Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. Tính thể tích của khối lăng trụ này.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI – KIỂM TRA HỌC KỲ II, LỚP 12
ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi môn: TOÁN (THPT)
(Đề thi gồm 1 trang) Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian phát đề)
I PHẦN CHUNG CHO TẦT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm):
Câu 1 (3,0 điểm): Cho hàm số 3
1 2
x y
x
− +
= +
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
: 7 2011 0
d x− y+ =
Câu 2 (3,0 điểm):
1 Giải bất phương trình : 5x +52−x <26
2 Tính tích phân
2
2 3 3 0
I =∫x x − dx
3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( 2 )
y = x + x + Câu 3 (1,0 điểm): Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Góc giữa hai mặt phẳng (A’AB) và (ABC) bằng 0
45 Tính thể tích của khối lăng trụ này
II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm bài một trong hai phần sau đây :
Phần A Theo chương trình chuẩn:
Câu 4a (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
1 2
: 3 , ' :
1
= +
= −
1 Chứng minh rằng hai đường thẳng , 'd d chéo nhau Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng
này
2 Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa d và song song với d’
Câu 5a (1,0 điểm): Tìm mô đun của số phức 1 3 ( )3
2 5
i
i
− +
Phần B Theo chương trình nâng cao:
Câu 4b (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng:
2 : 2 4 ,
1 6
x t
= −
= −
1 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 và d2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này.
2 Tìm hình chiếu vuông góc của O trên d1
Câu 5b (1,0 điểm): Giải hệ phương trình: 2
1
log log ( ) log ( )
x y
−
=
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:……
Chữ kí của giám thị 1:……… Chữ kí của giám thị 2:………
www.VNMATH.com
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH PHƯỚC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI – KIỂM TRA HỌC KỲ II, LỚP 12
Môn: Toán
Cho hàm số 3
1 2
x y
x
− +
= +
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
* Tập xác định: \ 1
2
D=R −
0,25
* Sự biến thiên:
+
( )2
7
1 2
x
−
+ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Hàm số không có cực trị
+ lim 3 1
x
x x
→±∞ − + = −
1 2
y= − là phương trình đường tiệm cận ngang
− + = +∞ − + = −∞
1 2
x= − là phương trình đường tiệm cận đứng
0,25 0,25 0,25 0,25
+ Bảng biến thiên :
x
- ∞ 1
2
− +∞ '
y − −
2
− +∞
−∞ 1
2
−
0,25
Câu I
(3,0
điểm)
* Đồ thị :
Điểm đại diện :
x 0 3
y 3 0
Nhận xét : ĐTHS nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
0,25
0,25
4 2
-2 -4
www.VNMATH.com
Trang 32 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với
đường thẳng d x: −7y+2011=0 Theo giả thiết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên tiếp tuyến có hệ số góc
là k= − 7
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm
Giải phương trình f '(x0)=k
2 0 2 0
0
0
7
7
1 2
0 1
x x x x
−
+
=
⇔ = −
0,25
0,25
+ x0 = ⇒0 y0 =3 : Phương trình tiếp tuyến là y= − +7x 3 0,25 + x0 = − ⇒1 y0 = −4 : Phương trình tiếp tuyến là y= − −7x 11 0,25
1 (1, 0 điểm)
Giải bất phương trình : 5x +52−x <26
5
− + < ⇔ + − <
x
( )2
⇔ x − x + <
Đặt t=5 x, t>0
Bất phương trình trở thành: t2 −26t+25<0
⇔ < <1 t 25
0 2
1 5 25
⇔ < <
⇔ < <
⇔ < <
x x
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T =( )0; 2
0,25
0,25 0,25
0,25
2 Tính tích phân
2
2 3 3 0
I =∫x x − dx
t= x − ⇒ = −t x
2 2
3t dt 3x dx
Đổi cận:x= ⇒ = − 0 t 2
x= ⇒ = 2 t 0
Vậy
0
3
4 4
t
I t dt
0,25
0,25 0,5
Câu II
(3,0
điểm)
3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( 2 )
y = x + x + TXĐ: D=R
Ta có: ' 246 4
23 4 2011
x y
+
=
+ + ' 0 46 4 0 2
23
y = ⇔ x+ = ⇔ = −x
BBT:
0,25
0,25
www.VNMATH.com
Trang 4- ∞ 2
23 − +∞
' y - 0 +
y +∞ +∞
ln46249 23 Vậy min ln46249 23 D y= tại 2 23 x= − , không tồn tại max D y 0,25 0,25 Câu III (1,0 Điểm) + Vẽ đúng hình + Gọi G là hình chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABC) Chỉ ra góc giữa (A’AB) và (ABC) là · 0 ' 45 A KG= (với K là trung điểm AB )
K Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là : 2 3 3 3 ' 4 6 8 ABC a a a V =S A G= = 0,25 0,25 0,25 0,25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: 1 2 2 1 : 3 , ' :
3 1 2 1 x t x y z d y t R d z t = + − + = − ∈ = = − = − Cơ bản Câu 4a ( 2,0 điểm) 1 Chứng minh rằng hai đường thẳng , 'd d chéo nhau Ta có: * M(1; 3;1− )∈d u, uurd =(2; 0; 1− ) là véc tơ chỉ phương của d * M' 2; 0; 1( − ∈) d', uuurd' =(3; 1; 2− ) là véc tơ chỉ phương của d’ ( ) ' ( )
'
' 1;3; 2 , , 1; 7; 2
d d
d d
u u MM
uuuuur uur uur uur uur uuuuur
Vậy d d, ' chéo nhau
Tínhcos(· d d; ' ?)
0,25 0,25
0,25
www.VNMATH.com
Trang 5Ta có: (· ) '
'
cos ; '
5 14 70
d d
u u
d d
uur uur uur uur
0,25
2 Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa d và song song với d’
Ta có: * M(1; 3;1 − )∈ ⇒d M(1; 3;1 − ) ( )∈ P
* uuurd =(2; 0; 1− ),uuurd'=(3; 1; 2− ) là cặp véc tơ chỉ phương của ( )P
⇒nuuur( )P =u uuur uurd, d'= − − −( 1; 7; 2) là véc tơ pháp tuyến của ( )P
Phương trình ( ) (P : 1 − x− − 1) (7 y+ − 3) (2 z− = 1) 0
⇔ +x 7y+2z+ =18 0
0,25
0,25 0,25 0,25
Câu
5a
( 1,0
điểm)
Tìm mô đun của số phức 1 3 ( )3
2 5
i
i
− +
8 60 150 125 1
i i
z= − + + − i+ i − i
= −145 64i+
0,25
0,5 0,25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
:
2
1 6
x t
= −
= − +
= −
1 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 và d2
Ta có: * M1(2;0; 1− ∈) d1, uuurd1 = −(1; 2;3) là véc tơ chỉ phương của d1
* M2(0; 2;1− )∈d2, uuurd2 = −( 2; 4; 6− ) là véc tơ chỉ phương của d2
Suy ra: M Muuuuuur1 2 = − −( 2; 2; 2 ,) uuur uurd1,u d2=(0;0; 0), M Muuuuuur1 2
và
1
d
uuur không cùng phương
Vậy d d1, 2 song song
Tính khoảng cách giữa d1và d2?
2
1 2
7 56
d d
M M u
d d d d d d M d
u
uuuuuur uur uur
0,25 0,25 0,25
0,25
Nâng
cao
Câu
4.b
( 2,0
điểm)
2 Tìm hình chiếu vuông góc của O trên d1
Ta có: * Phương trình mặt phẳng ( )Q qua O và vuông góc d1 là x−2y+3z=0
* Gọi H là hình chiếu của O trên d1 Suy ra H = ∩d1 ( )Q
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ
29 14
2 4
1
3 2 2
7
11 14
x
x y
x y z
z
=
+ = − ⇔ = −
Vậy 29; 1; 11
14 7 14
H − −
0,25 0,25
0,25
0,25
www.VNMATH.com
Trang 6Câu
5.b
( 1,0
điểm
Giải hệ phương trình 2
1
log log ( ) log ( )
x y
−
=
0
+ >
− >
x y
x y
1
log log ( ) log ( )
x y
−
=
3
1 1
3 1
−
+ − =
− =
2 1
x y
=
⇔ =
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ phương trình là 2
1
x y
=
=
0,25
0,5
0,25
Lưu ý: Thí sinh giải theo hướng khác đúng đều cho điểm tối đa
www.VNMATH.com