De dap an so tinh Quynh Luu 2011 2012

a) Hai tam giác KBC và HDC đồng dạng b) Hai tam giác CKH và BCA đồng dạng c) AB.[r]

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU THI CHỌN ĐỘI SƠ TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2011 - 2012

Môn: Toán - Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1: (2 điểm)

a) Tính:

b) Cho biết 2

2

x





  Hãy tính giá trị của biểu thức

2

4 2 1

x A



Câu 2: (1,5 điểm): Cho biết a n = 22n+1 + 2n+1 + 1

bn = 22n+1 - 2n+1 + 1 với n  N

Chứng minh rằng: trong hai số an và bn có một và chỉ một số chia hết cho 5

Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị bé nhất của biểu thức:

P = 3x -18x+282 + 4x - 24x + 452

Áp dụng hãy giải phương trình: 3x -18x+282 + 4x - 2x + 452 = -5 – x2 + 6x

Câu 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC > BD; kẻ CH vuông góc với

AD ( H  AD); kẻ CK vuông góc với AB ( K  AB) Chứng minh rằng:

a) Hai tam giác KBC và HDC đồng dạng

b) Hai tam giác CKH và BCA đồng dạng

c) AB AK + AD AH = AC2

d) HK = AC.sinBAD

Câu 5: (1 điểm) Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5

Chứng minh rằng: a2 + b2  1 + ab

Hết

Câu 1: (2 điểm)

a)

b) Ta có: A = =

Từ giả thiết  3x = -2x - 2x - 2  2x - 2x + 2 = - 7x  =

 A = =

Câu 2:

Ta có an ; bn là các số lẻ

an bn = (22n+1 + 1) - 22(n+1) = 24n+2 + 1 = 42n+1 + 1 = 4.16n + 1

Với n  N thì 16n có tận cùng là 1; 6; 16; 36  4.16n có tận cùng là 4; 44; 64  4.16n + 1 có tận cùng là 5; 45; 65

 an bn có tận cùng là 5  an bn chia hết cho 5 Vì an bn không có tận cùng là

25 nên an bn không chia hết cho 25 = 5 Vậy trong hai số an ; bn có một và chỉ một

số chia hết cho 5

Câu 3:

Ta có:

P = +

= +

 1 + 3 = 4

Dấu " = " xảy ra  x = 3

Vậy P nhỏ nhất bằng 4 khi x = 3

-5 - x + 6x = 4 - (x - 3)  4 Dấu " = " xảy ra  x = 3

 -5 - x + 6x đạt giá trị lớn nhất bằng 4 khi x = 3

 Phương trình 3x -18x+282 + 4x - 24x + 452 = -5 - x + 6x có nghiệm khi và chỉ khi 3x -18x+282 + 4x - 24x + 452 = 4 và -5 - x + 6x = 4

 x = 3

 Phương trình 3x -18x+282 + 4x - 24x + 452 = -5 - x + 6x có nghiemj duy nhất là

x = 3

Câu 4:

a) ∆KBC ∽ ∆HDC (g.g)

b) ∆CKH ∽ ∆BCA (c.g.c)

c) Lấy điểm M, N như hình vẽ Ta có:

∆ABM ∽ ∆ACK (g.g)

và ∆AND ∽ ∆ACH (g.g)

 AB.AK = AM.AC và AD.AH = AN.AC

 AB.AK + AD.AH = AC(AN + AM)

Mặt khác, ∆CBM = ∆AND  AN = AM

 AB.AK + AD.AH = AC(AM + CM) = AC

N M K

H

D C

B

A

d) Từ ∆CKH ∽ ∆BCA  =

 KH = AC = AC.Cos KCB = AC.SinKBC Mà = (Đồng vị)

 KH = AC.SinBAD

Câu 5:

Ta có: a2 + b2  1 + ab  (a + b)(a + b)  (a + b)(1 + ab)

 a + b + ab + ab  a + b + ab + ab

 ab + ab  ab + ab (do giả thiết)

 ab + ab  a + b  a(a - b) - b(a - b)  0  (a - b) (a + b)  0 (*)

Vì a, b là các số dương nên BĐT luôn đúng a,b dương  BĐT a2 + b2  1 + ab luôn đúng a, b dương (đpcm)