[r]
Trang 1Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán Thời gian: 120’
Câu 1: (2đ): Tính giá trị của biểu thức:
a √13+30√2+√9+4√2
b √2+√3
2 −√3−√2 −√3
2+√3
Câu 2: (2đ): Rút gọn: [2 x −1 2 x +1 −
2 x − 3
2 x −1]:2 x −1
2 x +1
Câu 3: ( 2đ): Giải hệ phơng trình: x2+y2+z2 = xy+yz+zx (1)
x2002 +y2002+z2002 = 32003 (2)
Câu 4: (2đ): Cho phơng trình: x2 + mx +3 (1)
a Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1 Tìm nghiệm kia
Câu 5: (2đ): Cho Parabol (P) có phơng trình: y = x2 - 2x -1
Và đờng thẳng D có phơng trình: y = - mx+m2
a Chứng minh rằng (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B
b Xác định tham số m sao cho: x2 A+x 2 B =10
Câu 6: (2đ): Giải phơng trình: x3
√4 − x2 +x2− 4=0
Câu 7: (2đ): Tìm x để biểu thức
x+2005¿2
¿
y= x
¿
đạt giá trị lớn nhất
Tính giá trị lớn nhất đó, x lấy giá trị dơng tuỳ ý
Câu 8: (2đ): P là một điểm bên trong hình chữ nhật ABCD sao cho
PA = 3 (cm); PD = 4 (cm); PC = 5(cm)
Câu 9: (2đ): Cho ABC có độ dài các cạnh là a,b,c ( hình vẽ )
Với c b a Gọi P là 1 điểm bên trong tâm giác c a Kéo dài AP; BP; CP có BC; CA; AB lần lợt tại A’; B’; C’
Chứng minh: AA’ +BB’+CC’ <2 a+b A b C
Câu 10: (2đ): Dựng một tam giác cân biết chu vi và đờng cao xuất phát từ
một đỉnh
.P
Trang 2Đáp án
Môn: Toán
Câu 1: a
2+1
2√¿2
¿
¿
¿
¿
¿
√2+1 ¿2
¿
¿
¿
5+3√2 ¿2
¿
¿
2+ √ ¿
13+30 √ ¿
¿
√13+30√2+√9+4√2= √ ¿
b √2+√3
2 −√3−√2 −√3
2+√3=|2+√3|−|2−√3|=2√3 (1đ)
Câu 2:
[2 x −1 2 x +1 −
2 x − 3
2 x − 1]:2 x −1
2 x +1
2 x − 1¿2−(2 x+1)(2 x − 3)
¿
¿ :2 x −1
2 x+1
¿
(2 x+1)(2 x −1).
2 x +1
2 x − 1=(2 x −12 )2
¿ ¿
Câu 3:
x2+y2+z2 = xy+yz+zx (1)
x2002 +y2002+z2002 = 32003 (2)
Từ (1) ta có: x2 - xy+y2 -yz +z2 -zx = 0
2x2 -2xy + 2y2 - 2yz + 2z2 - 2zx = 0
(x-y)2 + ( y - z)2 + (z - x)2 = 0
x-y = y-z = z-x =0 x=y=z
Thay vào (2) ta đợc: x2002 + x2002 + x2002 = 32003
3x2002 = 32003
x2002 = 32002 x = 3 Vậy hệ đã cho có nghiệm x=y=z=3
Câu 4: a Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
>0 m2-12>0 |m| <2√3
b Phơng trình có 1 nghiệm x1 =1 ta có:
1+m+3 = 0 m=-4 ( thoả mãn)
Theo viét ta có: S = x1+x2 x2 = S - x1 = -m-1
Trang 3x2=-(-4) - 1 = 3
Trang 4Câu 5: a Phơng trình tơng giao của Parabol (P) và đờng thẳng D:
x2 - 2x - 1 = -mx +m2
x2 + (m-2)x - (m2 +1) = 0
= (m-2)2+ 4(m2+1)>0 với m
Vậy (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B
b x2 A + x 2 B =10 (xA+ xB) 2- 2xA.xB =10
Theo định lí viét ta có: xA+xB = 2-m
xA.xB = -(m2+1) Khi đó: (xA + xB)2 - 2xA.xB =10
(2-m)2 +2(m2+1) =10
4- 4m + m2+2m2+2 =10
3m2-4m -4 = 0 m = 2 và m = -2/3
Vậy với m = 2 và m = -2/3 thì x2 A + x 2 B =10 (2đ)
Câu 6: Điều kiện: 4-x2 > 0 |x| < 2 (0,5đ)
x3
√4 − x2 +x2− 4=0 ⇔ x3
=(4 − x2).√4 − x2 (0,5đ)
x6 =(4 - x2)3
x2 = 4-x2 x2 = 2 x = √2 ; x = - √2 (0,5đ)
Vậy phơng trình có nghiệm x = √2 (0,5đ)
Câu 7:
x+2005¿2
¿
y= x
¿
đạt lớn nhất khi 1/y đạt giá trị lớn nhất
x+2005¿2
¿
¿
1
y=¿
(0,5đ)
Vì 4010 không đổi nên ta tìm giá trị nhỏ nhất của x+20052
x
Ta có x và 20052
x dơng và tích của chúng bằng 2005
2 không đổi
Do đó x+2005
2
x nhỏ nhất khi x =
20052
x x
2= 20052 (0,5đ) x = 2005
Vì x dơng nên x = 2005
Vậy giá trị lớn nhất của y là:
2005+2005 ¿2
¿
¿
y=2005
¿
(0,5đ)
Trang 5Câu 8: D C
- Qua P vẽ đờng vuông góc với AD
và BC tại H và K (0,5đ)
PA2-PD2 = (PH2+HA2)-(PH2+HP2) H
tơng tự: PB2 - PC2 = KP2 - KC2 A B
mặt khác ta có: HA = KB và HD = KC (0.5đ)
32 - 42 = PB2 - 52 PB2 = 18 PB = 3√2 (0,5đ)
Câu 9: Ta chứng minh bổ đề trong một tam giác bất kì
AA’ < max {AB ; AC}
( đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn ) C’ a
Mặt khác: AA’C = ABC +A’AB > ACB P
Suy ra: AA’ < AC
( bất đẳng thức tam giác) ( đpcm) (1đ) A B’ b
C
áp dụng: AA’<b ( vì b c)
BB’<a ( vì a c)
Do đó: AA’ + BB’ + CC’ < b + a + a = 2a+b ( đpcm) (1đ)
Câu 10:
- Giả sử dựng đợc tam giác ABC cân tại A
đờng cao AA"’ = h chu vi là: 2p
- Suy ra: AB + BA’ = p
- Trên A’B lấy BE sao cho BE = BA E B A’ C
- Nối E với A
- Ta có: BAE cân tại B
và A’E = p
- Tam giác A’AE vuông tại A’ và AA’ = h; A’E = p nên dựng đợc (1đ)
Cách dựng:
- Dựng tam giác A’AE vuông tại A’ có A’A = h và A’E = p
- Dựng trung trực của AE cắt EA’ tại B suy ra : BA = BE
- Trên EA’ lấy A’C = A’B
- Tam giác ABC là tam giác cần dựng (0,5đ)
Thật vậy: Tam giác ABC có AA’ = h ; A’B = A’C nên cân tại A
Chu vi là: 2 ( AB + BA’) = 2 ( BE + BA ) = 2p (0,5đ)
Bài toán có nghiệm hình khi trung trực AE cắt EA’
Nghĩa là: EB < EA’
AB < p
h < p
P
5 5
K 3
Trang 6( Ghi chú: - Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
- Bài hình không vẽ hình không cho điểm )