SKKN REN KY NANG TIM UCLNBCNN

[r]

i-Đặt vấn đề

1-Cơ sở lí luận

Trong chơng trình số học 6, học sinh mới chỉ biết đến các khái niệm ớc chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN) , còn các ứng dụng của chúng học sinh mới chỉ biết một phần nhỏ trong việc giải các bài tập về rút gọn phân số hay quy đồng mãu nhiều phân số … Trong khi đó UCLN và BCNN có vai trò rất quan trọng trong việc giải các bài tập về tìm hai số nguyên dơngkhi biết một

số yếu tố trong đó có các dữ kiện về UCLN và BCNN ,các bài tập về tìm số, các bài tập giải…

Do đó để học sinh hiểu sâu hơn về các ứng dụng của UCLN và BCNN trong việc giải toán đồng thời tạo hứng thú học tập cho học sinh tôi đa ra một số ứng dụng của UCLN và BCNN trong giải toán Đó là tìm hai số nguyên dơng khi biết một số yếu tố trong đó có UCLN và BCNN.

2-Cơ sở thực tiễn.

Trong quá trình dạy bồi dỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy học sinh còn bỡ ngỡ khi gặp một số bài toán có liên quan đến việc tìm số chẳng hạn:

-Tìm hai số nguyên dơng a,b biết: tích và UCLN (BCNN)

-Tìm hai số nguyên dơng a,b biết:ka+lb=m và UCLN(BCNN)

-Tìm hai số nguyên dơng a,b biết:UCLN và BCNN.

-Tìm hai số nguyên dơng a,b biết:m.UCLN+n.BCNN=k và p.a+q.b=m.

Cho nên để giúp các em làm quen , với dạng toán trên cũng nh tạo hớng đi trong việc giải các bài tập toán liên quan đến UCLN và BCNN tôi xin đa ra một số ví dụ

và phơng pháp giải.

II-Nội dung.

1-Phơng pháp chung:

1.1-dựa vào định nghĩa UCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu

tố đã cho để tìm hai số.

1.2-Trong một số trờng hợp có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa UCLN ,BCNN và tích của hai số nguyên dơng a,b ,đó là:

a.b=(a,b).[a,b], trong đó (a,b) là UCLN và [a,b] là BCNN của a và b

Ta chứng minh hệ thức này nh sau : Theo định nghĩa UCLN , gọi d=(a,b) ⇒ a=a1.d; b=b1d với a1,b1 Z+;

(a1,b1)=1 (*)

Từ (*) suy ra ab=a1b1d2;[a,b]=a1b1d ⇒ (a,b).[a,b]=d(a1b1d)=a1b1d2=ab

⇒ ab= (a,b)[a,b] (**)

2-Một số ví dụ minh hoạ :

Bài toán 1:

Tìm hai số nguyên dơng a,b biết : [a,b]=900 và (a,b)=10

Lời giải:

Do vai trò của a,b là nh nhau , không mất tính tổng quát ,giả sử ab

Từ (*) , do (a,b)=10 nên a=10a1;b=10b1 ,a1 b1 (do ab )

Với a1,b1 Z+ ; (a1,,b1)=1 Theo định nghĩa BCNN:

[a,b]=a1b1d=a1b110=900

⇒ a1b1= 90

b1=90

¿

¿ a1=2, b1=45

¿ a1=5, b1=18

¿ a1=9, b1=10

⇒¿

a=10 , b=900

¿

¿ a=20 , b=450

¿ a=50 , b=180

¿ a=90 , b=100

⇒¿

Bài toán 2:

Tìm số nguyên dơng a,b biết ab=24300 và (a,b)=45

Lời giải:

Lập luân nh bài 1,giả sử ab;

Do (a,b)=45 ⇒ a=45 a1,b=45b1 với a1,b1Z+,(a1,b1)=1;a1b1

Vì vậy ab=45a1.45b1=2025a1b1 ⇒ ab=24300 ⇒ a1b1=12;

a1=1;b1=12

a1=3 b1=4

⇒¿

¿

a=45 ;b=540 a=135 ;b=180 ¿

⇒¿

Bài toán 3 :Tìm hai số nguyên dơng a,b biết ab =4320

Và BCNN(a,b)=360

Lời giải:

Từ (**) ⇒ (a,b)=12,bài toán đợc đa về dạng bài toán 2:

Kết quả:

a=12 ; b=360 a=24 ; b=180 a=36 ; b=120 a=60 ; b=72

¿

Bài toán 4:

Tìm hai số nguyên dơng a,b biết : a

b =2.6 và (a,b)=5;

Lời giải:

Theo (*), (a,b)=5 ⇒ a=5a1;b=5b1;với a1,b1 Z+,(a1,b1)=1;

Vì vậy : a

b =

a1

b1 =2.6 ⇒ a1

13 5

⇔{a1 =13

b1 = 5 ⇔{a=65 b=25

chú ý:Phân số tơng ứng với 2.6 phải chọn là phân số tối giản do (a1,b1)=1;

Bài toán 5:

Tìm a,b biết : a

b =

4

5 và [a,b]=140

Lời giải :

Đặt (a,b)=d vì a

b =

4

5 , mặt khác (4,5)=1 nên a=4d ;b=5d

Lu ý :[a,b] = 4.5.d = 20d = 140

Bài toán 6:

Tìm hai số nguyên dơng a, b biết :a+b=84 và (a,b) = 6

Lời giải:

Giả sử ab Do (a,b) = 6 nên a=6a1;b=6b1; với a1,b1 Z+,(a1,b1)=1;a1b1 Vì vậy : a+b = 84 ⇔ 6(a1+b1) = 84 ⇔ a1+b1=14

a1=1 ; b1=13

a1=3 ; b1=11

a1=5 ; b1= 9

⇔¿

a=6 ; b=78 a=18 ; b=66 a=30 ; b=54

⇔¿

Bài toán 7:

Tìm a, b biết a+ b = 42 và [a,b] =72

Lời giải : Gọi d=(a,b) ⇒ a=a1d; b=b1d với a1,b1Z+,(a1,b1)=1

Không mất tính tổng quát giả sử ab ⇒ a1b1

Do đó a+b =d (a1+b1) = 42 (1) [a,b]=a1b1d=72 (2)

⇒ d là UC(42,72)

⇒ d  {1,2,3,6}.

Lầ lợt thay các giá trị của d vào (1) và(2) để tính a1, b1 ta thấy chỉ có trờng

hợp :

d = 6 ⇒{a1 +b1=7

a1b1=12 ⇒{a1 =3

b1=4

(thoả mãn điều kiện của a1,b1) vậy d = 6 và {a=18 b=24

Bài toán 8:

Tìm a, b biết a-b =7,[a,b]=140

Lời giải:

Gọi d=(a,b) ⇒ a=a1d; b=b1d với a1,b1Z+,(a1,b1)=1

Do đó a-b=d(a1-b1)=7 (1’) [a,b]=a1b1d=140 (2’)

⇒ d  {1,7}

thay lầnn lợt các gí trị của d vào (1’) và (2’) để tính a1, b1 ta đợc kết quả duy

nhất : d=7 ⇒{a1−b1=1

a1b1 =20 ⇒{a1 =5

b1 =4

vậy d= 7 và {a=35 b=28

bài toán 9:

Tìm hai số nguyên dơng biết :

a+2b=48 và ƯCLN(a,b)+3BCNN(a,b)=114

lời giải:

gọi d=(a,b) ⇒ a=a1d; b=b1d với a1,b1Z+,(a1,b1)=1

⇒ [a,b]=a1b1d

từ a+2b=48 ⇒ d(a1+2b1)=48 ⇒ 48d (3)

Từ (a,b)+3[a,b]=114 ⇒ d+3da1b1=114

⇒ d(1+3a1b1)=114

⇒ 114d (4)

Từ (3) và (4) Suy ra d là ớc chung của 48 và 114 hay d  (1,2,3,6).

Mặt khác do d(1+3a1b1)=114 ⇔ d(1+3a1b1)=3.38 ⇒ d3 (theo tính

chất chia hết của một tổng)

Thay d=3 và d=6 lần lợt vào d(1+3a1b1)=114 và d(a1+2b1)=48

Ta tìm đợc a,b

Đáp số

III –Kết luận Trên đây là một số bài toán cũng nh phơng pháp giải toán mà bản thân tôi đã tích luỹ đợc qua việc bồi dỡng học sinh giỏi, rất mong đợc góp ý chân thành của bạn đọc cũng nh tất cả anh chị em giáo viên trong ngành để sáng kiến ngày một tốt hơn

Ngày 24 tháng 3 năm 2005