Vấn đề Cực trị - ÔTĐH - Lý thuyết và bài tập

CỰC TRỊ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN (Tài liệu được cung cấp bởi Trung tâm luyện thi Tầm Cao Mới).. --- Biên soạn: Trần Hải Nam --- I.[r]

Trang 1

VẤN ĐỀ VI

CỰC TRỊ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

(Tài liệu được cung cấp bởi Trung tâm luyện thi Tầm Cao Mới)

Biên soạn: Trần Hải Nam

-I Cơ sở lý thuyết

1 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trong lân cận x0 (kể cả x0), kí hiệu v(x0) thế thì:

a Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại x0   f x 0  f x ,  x x v x,   0 và x x 0

Với: x0 gọi là điểm cực đại của hàm số

Y=f(x0) gọi là giá trị cực đại của hàm số

N(x0,f(x0)) gọi lầ điểm cực đại của đồ thị

b Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại x0   f x <f x , 0   x x v x,   0 và x x 0

Với: x0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số

Y=f(x0) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

N(x0,f(x0)) gọi lầ điểm cực tiểu của đồ thị

Chú ý: Gọi chung

x0 gọi là điểm cực điểm của hàm số

Y=f(x0) gọi là giá trị cực trị của hàm số

N(x0,f(x0)) gọi lầ điểm cực trị của đồ thị

2 Điều kiện cần

Hàm số y=f(x) Có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0

 f’(x)= 0

3 Điều kiện đủ

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trong khoảng (a,b) và x0 a b, 

 Hàm số f đạt cực đại tại x=x0  y’=f’(x) đổi dấu từ (+) qua (-)

x   x 

y’ + 0 -

y  f x 0 

CĐ

 Hàm số f đạt cực đại tại x=x0  y’=f’(x) đổi dấu từ (-) qua (+)

x   x 

y’ - 0 +

y  f x 0 

CT

II Phương pháp giải

1 Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số y=f(x)

Trang 2

Bước 1: tìm miền xác định

Bước 2: Tìm y’

Bước 3: Tìm nghiệm x0 (nếu có) của f’(x) và tính y0=f(x0)

Bước 4: Lập bảng biến thiên và dựa vào đây kết luận

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số sau yf x  x26x1

Lời giải

- Miền xác định: R

- y'f x'  2x6

- f x'    0 2x  6 0 x3

- Bảng biến thiên:

x   3 

y’ + 0 -

y  10 

- Vậy hàm số đạt cực trị tại x = 3 và ymax=10

2 Dạng 2: Tính giá trị của một tham số đề hàm số y=f(x) đạt cực trị tại x 0

Bước 1: Tìm miền xác định và tính đạo hàm bậc nhất

Bước 2: Phần thuận

Hàm số đạt cực trị tại x0  f’(x)=0 Từ đây ta tính được giá trị của tham số

Bước 3: Phần đảo

Thay giá trị của tham số mới tìm được vào f’(x) Từ đây tìm nghiệm của f’(x)=0 và lập bảng biến thiên xem hàm số f(x) có đạt cực trị tại x0 không?

Ví dụ: Cho hàm số yf x  x3 2m1x2 m 5x1

Tính m để hàm số đạt cực trị tại x=1

Lời giải

- Miền xác định: R

- y'f x'  3x2 2 2 m1xm 5

- Thuận: Hàm số đạt cực trị tại x = 1 => f’(1) = 0

2

m

 

- Đảo: Với m = -2

 

2

1 7 3

x x









 



Trang 3

- Bảng biến thiên

x

  1

7

3 

y’ 0 + 0

-y  CT  CD

- Kết luận: Với m = -2 thì hàm số đạt cực tiểu tại x =1

III Các bài tập áp dụng

1 Cho hàm số   3  2 2 2 3 2 1

3

x

Tính m để hàm số qua một cực tiểu (hay cực đại) khi x = -2

2 Cho hàm số  

x m

 

 Đạt cực đại tại x = 2

Cùc trÞ cña hµm sè 1)- Gi¸ trÞ lín nhÊt gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè

BT1

Tìm Max,Min của y=1+sin

6

x +cos6x

1+sin4x +cos4x

BT2 (§HSP1 2001)

Tìm Max,Min của y=3 cos

4

x +4 sin2x

3 sin4x +2 cos2x

BT3

a) Tìm Max,Min của y=sin x (1+cos x )

b) Tìm Max,Min của y=sin x +3 sin 2 x

BT4

Tìm Max,Min của y= 1

4 +sin x+

1

4 − cos x

BT5

Tìm Max,Min của

y= 1+sin 2 x

1− sin 2 x −(a+1)

1+tgx

1 − tgx+a

với x ∈¿

BT6

a)Tìm Max,Min của y=sin3x +cos3x

b)Tìm Max,Min của y=1+cos x +1

2cos 2 x+

1

3cos 3 x

c)Tìm Max,Min của y=1+cos x +1

2cos 2 x+

1

3cos 3 x+

1

4cos 4 x

Trang 4

d)Tìm Max,Min của y=sin x +|cos 2 x +sin x|

BT7

Tìm Max,Min của y=sin

6x |cos x| + cos 6x|sin x|

|cos x| + |sin x|

BT8 (ĐHBK 1996)

Cho 0 ≤ x ≤ π

2 vµ 2 ≤ m , n ∈ Z

Tìm Max,Min của y=sin m x cos n x

BT9

Cho 1 ≤ a Tìm Max,Min của y=√a+cos x+√a+sin x

Tìm Max,Min của y=√1+2 cos x +√1+2 sin x

BT10

Giả sử 12 x2−6 mx+m2−4 +12

m2=0 có nghiệm x1, x2 Tìm Max,Min của S=x13

+x23

BT11

TTìm Max,Min của

x − 4 y¿2

¿

x2−¿

S=¿ Víi x2 + y2 > 0

BT12 (HVQHQT 1999)

Cho x,y ≥ 0 , x+y=1

Tìm Max,Min của S= x

y +1+

y

x +1

BT13 (ĐHNT 1999)

Cho x,y ≥ 0 , x+y=1

Tìm Max,Min của S=3 x+9y

BT14 (ĐHNT 2001)

Cho x,y > 0 , x+y=1

Tìm Max,Min của S= x

√1− x+

y

√1 − y

BT15 (ĐH Th ¬ng m¹i 2000)

Tìm Max,Min của y=sin6x +cos6x +a sin x cos x

BT16 (HVQY 2000)

Tìm Max,Min của y=sin4x+cos4x +sin x cos x+1

BT17 (ĐH cảnh sát 2000)

Trang 5

Tỡm Max,Min của y=5 cos x −cos 5 x

Với x ∈[− π4 ;

π

4]

BT18 (ĐHQG TPHCM 1999)

Cho sin x+cos x f ( x)=cos¿3−3 sin 2 x+m22 x +2.¿

Tìm Max,Min của f(x) Từ đó tìm m để |f (x)|2≤36 ∀ x

BTBS

Tìm GTNN yx3  3x2  72x 90 x  5;5

Tìm GTNN

1 1 1

y x y z

     

thoả mãn

3

2

x y x   voi x y z

HD: Côsi

3

2

xyz

Tìm GTLN, GTNN của hàm số

y

2

4

Tìm GTLN của hàm số

2

x

y  x x   

3

4 2sin sin en 0;

3

2

3

ln

1;

x

2)- Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong ph ơng trình, bpt ,hpt, hbpt

BT1

GPT: 1− x¿5= 1

16

x5

+ ¿

BT2(ĐH Thuỷ Sản 1998)

Tìm m để phơng trình sau có nghiệm

√2− x+√2+x −√(2 − x)(2+x )=m

BT3(ĐH Y TPHCM 1997)

Trang 6

a) √x+√9 − x=√− x2+9 x +m

b) √3+x+√6 − x −√(3+x)(6 − x)=m

BT4

Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm

m x −√x −3 ≤ m+1

BT5(ĐHQG TPHCM 1997)

Tìm m để x2 +1 ¿2+m ≤ x√x2 +2+4

¿

đúng với mọi x thuộc [0;1]

BT7(ĐHGT 1997)

Tìm m để √(1+2 x).(3 − x)≥ m+(2 x2−5 x − 3)

đúng ∀ x ∈[−12 ;3]

BT8

Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt

x2−2 x +2¿3

¿

BT9

Tìm a dể BPT sau đúng với mọi x thuộc R

3 cos 4x −5 cos 3 x − 36 sin2x −15 cos x+36 +24 a −12 a2

> 0 BT10

a) Tìm m để √(4+x )(6 − x)≤ x2−2 x+ m

đúng với mọi x thuộc [-4;6]

b) Tìm m để − 4√(4 − x )(2+ x)≤ x2− 2 x +m −18

đúng với mọi x thuộc [-2;4]

Tìm a để phơng trình có nghiệm duy nhất 3 x2−1

√2 x −1=√2 x − 1+ ax

BT12 (ĐH QGTPHCM 1997-1998)

a) Tìm m dể phơng trình sau có nghiệm

4 (sin 4x +cos4x)− 4(sin6x +cos6x )− sin24 x=m

b) Tìm m dể phơng trình sau có nghiệm

cos 4 x+6 sin x cos x=m

c) Tìm m dể phơng trình sau có nghiệm sin 4x +cos4x=m2 cos 24 x

BT13 (ĐH Cần Thơ 1997)

Tìm m dể phơng trình sau có nghiệm

3 cos 62 x+sin4x+cos4x − m=2 cos2x √1+3 cos 22 x BT14(ĐHGT 1999)

a)Tìm m để m cos 2 x − 4 sin x cos x +m −2=0

Trang 7

Có nghiệm x ∈(0 ; π

4)

b)Tìm m để sin x cos 2 x sin 3 x=m

Có đúng 2 nghiệm x ∈[π4 ;

π

2]

BT15

√x+6 √x − 9+√x −6 √x − 9= x+m

6

BT16

Tìm a để bất phơng trình sau đúng với mọi x thuộc R a 9 x+4(a− 1)3 x+a>1

BT17

Tìm a để bất phơng trình sau có nghiệm log2(√x2 +1)< log2(a x+a)

BT18

Tìm a để hệ bất phơng trình sau có nghiệm

¿

3 x2+2 x −1<0

x2 +3 mx+1<0

¿ {

¿

3)- Sử dụng GTLN, GTNN chứng minh bất đẳng thức

BT1

CMR −2 ≤ x +√12− 3 x2≤1

Với mọi x thuộc TXĐ

BT2

a)Tìm m để m√x2

+8=x +2 có 2 nghiệm phân biệt b)Cho a + b + c = 12 CMR

√a2 +8+√b2 +8+√c2

+8 ≥ 6 √6

BT3

CMR sin x+1

2sin 2 x+

1

3sin 3 x +

1

4sin 4 x ≥

2 3

với x ∈[π5 ;

3 π

5 ]

BT4

CMR

√17≤√cos 2a+4 cos a+6+√cos 2a − 2cos a+3 ≤√2+√11

BT5

CMR sin 2 x < 2

3 x − x3 với x ∈(0 ; π

2)

BT6

Trang 8

CMR 2(x3

+y3

+z3

)−(x2 y+ y2z+ z2x)≤ 3

với ∀ x , y , z ∈[0,1]

BT7

CMR cot gA+cot gB+cot gC+3√3 ≤ 2[sin A1 +

1

sin A+

1

sin C]

∀ Δ ABC

4)- Cực trị hàm bậc 3

Xác định cực trị hàm số

BT1

Tìm m để các hàm số có cực đại cực tiểu

1) y=1

3 x

3

+ mx2+(m+6) x −(2m+1)

2) y=(m+2) x3 +3 x 2

+m x −5

BT2(HVNgân Hàng TPHCM 2001)

CMR với mọi m hàm số sau luôn dạt cực trị tại x1; x2 với x1 –x2 không phụ thuộc m

y=2 x3−3(2m+1)x2+6 m.(m+1)x +1

BT3

Tìm m để hàm số sau luôn đạt cực trị tại x1; x2 thoả mãn x1 < -1 < x2 không phụ thuộc m

y=1

3 x

3

+(m− 2)x2+(5 m+4 ) x+m2+1

BT4(CĐSP TPHCM 1999)

Tìm m để y=x3− 3 mx2+3(m2−1)x +m đạt cực tiểu tại x = 2

BT5(ĐH Huế 1998)

Tìm m để y=x3− 3 mx2+(m−1)x +2 đạt cực tiểu tại x = 2

BT6(ĐH Bách Khoa HN 2000)

Tìm m để y=mx3+ 3 mx2−(m −1)x −1 không có cực trị

Ph

ơng trình đ ờng thẳng đi qua cực đại cực tiểu

BT7(ĐH Thuỷ Sản Nha Trang 1999)

Cho hàm số y=2 x3−3(3 m+1)x2+12.(m2+m)x +1

Tìm m để hàm số có CĐ,CT Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT

BT8(HVKT Mật mã 1999)

Cho hàm số y=x3− 3(m+1)x2 +2(m 2

+7 m+2) x −2 m(m+2) Tìm m để hàm số có CĐ,CT Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT

BT9

Tìm m để f (x)=x3−3 mx2

+4 m3 có CĐ,CT đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x

BT10(ĐH D ợc HN 2000)

Tìm m để f (x)=2 x3− 3(2 m+1) x2+6 m(m+1)x +1 có CĐ,CT đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x + 2

Trang 9

Cho (Cm) : y=mx3− 3 mx2+(2 m+1) x+3− m Tìm m để (Cm ) có CĐ và CT CMR khi đó đ-ờng thẳng đi qua CĐ, CT luôn di qua một điểm cố định

BT12

Tìm a để hàm số sau luôn đạt cực trị tại x1; x2 thoả mãn x12+x22=1

y=4

3 x

3−2(1 − sin a)x2−(1+cos 2 a) x +1

BT13

Cho hàm số y=1

3 x

3−1

2(sin a+cos a)x

2

+(34sin 2 a) x

1) Tìm a để hàm số luôn đồng biến

2) Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x1; x2 thoả mãn

x12+x22=x1 +x2

BT14

Tìm m để hàm số y=x3− 3 m

2 x

2

+m

Có các điểm CĐ và CT nằm về 2 phía của đờng thẳng y = x

5)- Cực trị hàm bậc 4

BT1

Tìm m để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà không có cực đại y=x4+8 m x3+3(2m+1)x2− 4

BT2

CMR hàm số f (x)=x4− x3−5 x2+1

Có 3 điểm cực trị nằm trên một Parabol

BT3

Cho (Cm) : y=f (x)=3 x4+ 4 mx3+ 6 mx2+24 mx+ 1

Biện luận theo m số lợng Cực đại, cực tiểu của (Cm)

Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x0∈[− 2;2]

BT3

Cho (Cm) : y=f (x)=1

4 x

4−2 x3

+ 3

2(m+2)x

2−(m+6) x +1

Tìm m để hàm số có 3 cực trị

Viết phơng trình Parabol đi qua 3 điểm cực trị của (Cm)

BT4(ĐH Cảnh sát 2000)

Tìm m để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà không có cực đại y=1

4 x

4− mx2

+ 3 2

BT5 (ĐH Kiến trúc 1999)

Tìm m để f (x)=mx4+(m− 1) x2+(1− 2 m) có đung một cực trị

6)- Cực trị hàm Phân thức bậc 2 / bậc 1

6.1-Sự tồn tại cực trị- đ ờng thẳng

Trang 10

đi qua CĐ,CT BT1

Tìm m để các hàm số sau có cực trị

y= x2+2 m2x +m2

x +1 y= x

2

+(m+2) x − m

x +1 y= x

2

+2 mx − m

x+m (ĐH SPHN 1999)

y= x

2 +(m− 1) x − m x+1 (CĐ SPHN 1999)

y=mx

2

+(m+1)x +1

mx+2

(ĐH Y Thái Bình 1999 )

y= 2 m

2

x2+(2 −m2)(mx+1)

Thái Nguyên 2000)

BT2 (ĐH TCKT 1999)

Cho (C m ) : y= − x2+mx −m2

x − m

Tìm m để hàm số có CĐ, CT

Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ, CT

BT3 (ĐH Dân lập Bình D ơng 2001)

Cho (Cm) : y= x

2

+(m+2) x +3 m+2

x +1

Tìm m để hàm số trên có CĐ, CT

BT4

Tìm a để y= x

2

+2 x cos a+1

x +2 sin a có CĐ , CT

BT5

Tìm a để y= x

2

cos a+x +sin2a cos a+sin a

BT6 (ĐH Cảnh sát 2000)

Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT của : y= x

2

+mx− 8

x − m

BT7

Cho (Cm) : y=(m+1)x

2−2 mx −(m3−m2−2)

Tìm m để hàm số có đạt cực trị tại các điểm thuộc ( 0 ; 2 )

BT8

Trang 11

Tìm a,b,c để y=ax

2

+bx+c

x −2 có cực trị bằng 1 khi x=1 và đờng tiệm cận xiên của đồ

thị vuông góc với đờng y= 1− x

2

6.2-Quỹ tích các điểm cực trị trên mặt phẳng toạ độ BT9 (ĐH Đà Nẵng 2000)

Cho hàm số (Cm) : y= x

2

+mx− m− 1

x+1

Tìm m để hàm số có cực trị Tìm quỹ tích của điểm cực trị (C m )

BT10 (ĐH Thuỷ Sản TPHCM 1999)

Cho hàm số (Cm) : y= x2− mx− 2 m−2

x −1

Tìm m để hàm số có cực trị CMR các điểm cực trị của (Cm) luôn nằm trên một

Parabol cố định

BT11 (ĐH Ngoại Ngữ 1997)

Cho hàm số (Cm) : y= x2+mx− 2 m− 4

x +2

Tìm m để hàm số có CĐ,CT Tìm quỹ tích của điểm CĐ

BT12

Cho hàm số (Cm) : y= x

2

+m(m2−1)x −m4+1

x − m

CMR: trên mặt phẳng toạ độ tồn tại duy nhất một điểm vừa là điểm CĐ của đồ thị ứng với m nào đó đồng thời vừa là điểm CT ứng với giá trị khác của m

6.3-Biểu thức đối xứng của cực đaị, cực tiểu

BT13

Tìm m để y= 2 x

2

−3 x+m

x − m có CĐ,CT và |yCD− yCT|>8

BT14

Tìm m để y=(m−1)x

2

+x+2

(m+1)x +2 có CĐ,CT và (yCD− yCT)(m+1)+8=0

BT15 (ĐHSP1 HN 2001)

Tìm m để y= x

2

+2 mx+2

x +1 có CĐ,CT và khoảng cách từ 2 điểm đó đến đờng thẳng

x + y + 2=0 là bằng nhau

BT16

Tìm m để y= x

2 +(m+2) x ++ 3 m+ 2

x +2 có CĐ,CT đồng thời thoả mãn yCD

2

+yCT2

> 1 2

6.4-Vị trí t ơng đối của các điểm CĐ - CT BT17 (ĐH Cần Thơ 1999)

Trang 12

Cho : y= x

2

+(2 m+3) x+m2+4 m

x +m

Tìm m để hàm số có 2 cực trị trái dấu nhau

BT18 (ĐH QG 1999)

Cho : y= x2+x +m

x +1

Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục Oy

BT19 (ĐH Công Đoàn 1997)

Cho hàm số : y= x

2

− mx+m

x −m (m#0)

Tìm m để hàm số có 2 cực trị trái dấu nhau

BT20 (ĐH Th ơng Mại 1995)

Cho hàm số : y= x

2

− mx+2 m−1

x −1

Tìm m để CĐ,CT về 2 phía đối với trục Ox

BT21 (ĐH Ngoại Ngữ 2000)

Cho hàm số : y= x

2 +(m+1) x − m+1

x −m

Tìm m để hàm số có CĐ,CT và YCĐ YCT >0

BT22

Tìm m để : y= x

2− mx+5 −m

x −m có CĐ,CT cùng dấu

BT23

Tìm m để : y= x

2

+mx− m

x −1 có CĐ,CT nằm về 2 phía của đờng thẳng x-2y-1=0

BT24

Tìm m để : y=2 mx

2

+(4 m2+1) x+2m+32 m3

x +2 m có một cực trị thuộc góc (II) và một cực trị

thuộc góc (IV) trên mặt phẳng toạ độ

BT25

Tìm m để : y= x

2−(m+1) x+4 m2−4 m− 2

x −m+1 có một cực trị thuộc góc (I) và một cực trị

thuộc góc (III) trên mặt phẳng toạ độ

7)- Cực trị hàm Phân thức bậc 2 / bậc 2

BT1

Lập bảng biến thiên và tìm cực trị

y= 2 x

2

+x − 1

x2− x +1

Trang 13

y= x

2

+3 x −4

x2− x −2

y= −3 x

2

+10 x −8

2 x2−8 x +6

BT2

Tìm m,n để y= x

2

− mx+2 n

x2−2 x+1 đạt cực đại bằng

5

4 khi x= - 3

BT3

1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT của y= 2 x

2

+3 x −1

x2− 4 x +5 m (m>1)

2) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT của y= − x

2

−2 x +5

3 x2

+2 x − m

3) Tìm a,b để y= ax +b

x2

+x +1 có đúng một cực trị và là cực tiểu

8)- Cực trị hàm số chứa giá trị tuyệt đối và hàm vô tỷ

BT1

Tìm cực trị hàm số sau y=|− 2 x2+3 x+5|

BT2 (ĐH Ngoại Th ơng 1998)

Tìm m để phơng trình (15)|x2− 4 x+ 3|=m4−m2+ 1

có 4 nghiệm phân biệt

BT3 (ĐH Kinh Tế 1997)

Cho f (x)=|x3+3 x2− 72 x +90|

Tìm Maxf (x)ã⏟

x ∈[− 5; 5]

BT4

Tìm m để phơng trình (12)|x3−6 x2+9 x − 2|=m2− m

BT5

Tìm m để phơng trình 2.|x2− 5 x+4|=x2− 5 x +m

BT6

Tìm cực trị hàm số sau

1) y=2 x+3+√− x2− 4 x +5

2) y=√x2+x+1+√x2− x +1

BT7

Trang 14

1) Tìm a để hàm số y=− 2 x +a√x2

+ 1 có cực tiểu 2) Tìm a để hàm số y=− 2 x +2+a√x2− 4 x +5 có cực đại

BT8

Lập bảng biến thiên và tìm cực trị hàm số sau

1) y=1 −3 x +5√x2+2

2) y=3 x +√10− x2

3) y=√3 x3− 3 x

4) y=x √1− x

1+x

9)- Cực trị hàm l ợng giác hàm số Mũ,lôgarit

BT1

Tìm cực trị hàm số

y= cos x

sin3x −2 cot g x

y=cos2x −cos x +1

y=1+cos x +1

2 cos 2 x +

1

3 cos 3 x

y= sin x −2

sin x +1

y=cos x (1+sin x )

y=sin3x +cos3x

BT2

Tìm a để hàm số y=a sin x+1

3.sin 3 x đạt CĐ tại x=

π

3

BT3

Tìm cực trị hàm số

1) y=( x +1)2 e x

2) y=(x+1) e

x2− x x+1

3) y=e x ln x

4) y= lg x

x

Trang 15

¿

e

−1

|x|

(√2+sin 1

x) (Khi x#0)

0 khi x=0

¿y={

¿

Mọi chi tiết liên hệ info@123doc.org Hoặc info@123doc.org

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	249,19 KB