Lập phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC.. Cỏc mặt bờn của hỡnh chúp nghiờng đều trờn đỏy một gúc 600.. Chõn đường cao của hỡnh chúp kẻ từ S ở miền trong của tam giỏc ABC.. Tớnh thể tớ
Trang 1sở gd & đt bắc ninh
trường thpt quế võ 1
( Đề thi gồm có 01 trang)
đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường
năm học 2009-2010 Môn : Toán Khối: 12
Thời gian 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
CÂU I: (2 điểm)
Cho hàm sốy x3 3x 2 (C)
1) Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số (C)
2) Gọi A1,A2,A3 (C)thẳng hàng.Tiếp tuyến tại A1,A2,A3 cắt (C) lần lượt tại B1,B2,B3 Chứng minh rằng B1 ,B2 ,B3 cũng thẳng hàng
Câu II: (2 điểm )
1) Giải phương trình: 2sin x cos x 1 1
2) Giải hệ phương trình :
3 2 2
log log
y x
x
y xy y
Câu III: (2 điểm )
1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x x x 12 m 5 x 4 x
2) Cho x,y,z là các biến số dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 ) (
4 ) (
4 ) (
4
x
z z
y y
x x
z z
y y
x P
CÂU IV: (2 điểm)
1) Cho tam giỏc ABC, biết C(4;-1), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A
cú phương trỡnh tương ứng là: d1: 2x 3y 12 0; d2: 2x 3y 0 Lập phương
trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC
2) Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng, cạnh huyền BC = a,
B Cỏc mặt bờn của hỡnh chúp nghiờng đều trờn đỏy một gúc 600 Chõn đường cao của hỡnh chúp kẻ từ S ở miền trong của tam giỏc ABC Tớnh thể tớch khối chúp
Câu V: (2 điểm)
1) Có bao nhiêu cách chia hết 200 quyển sách giống nhau thành bốn phần biết rằng mỗi phần có ít nhất 20 quyển sách
2) Tìm hệ số không chứax trong khai triển
20 3
1 2
……….Hết
(Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu trong khi làm bài)
Trang 2HỌ TấN NGƯỜI TỔ HỢP
Phạm Thu Thủy
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2009-2010
MễN TOÁN – KHỐI 12 (4 trang)
Cõu1
2 điểm
1) TXĐ:R, Sự biến thiờn, Đồ thị ………
2)Giả sửA i(x i,y i) (C) y i x i3 3x i 2 i 1,2,3
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến tạiA icủa (C) với đồ thị (C) là
nghiệm pt:x3 3x 2 y' (x i)(xx i) y i x 2x i
VậyB i( 2x i, 8x i3 6x i 2 ) DoA i ( ) : y a.xb x i3 m.x i n
q x p x
B i i i
( 2 , ( 2 ) .Xột ( ') :y p.xqB i ( ' ) đpcm
1.0 0.25
0.25 0.25 0.25
1) Giải phương trình : 2 sin cos 1 1
sin 2 cos 3 3
ĐK : sinx – 2cosx + 3 0, x R
0,25
tanx = -1
4
x k
0,25
KL : Phương trình có một họ nghiệm
4
x k
0,25
2) Giải hệ log log (1)
2 2 3(2)
x y
ĐK : x,y > 0, x 1,y 1
y
x
0,25
đặt t logy x t, 0
t2+ t – 2 = 0
2
1
1 2
x y t
x t
y
+ x = y hệ phương trình có nghiệmx = y = 2
3 log 2
0,25
+ x 12
y
phương trình (2) có dạng 2
1
2y 2y 3 ( *)
với y > 1
2
1
2 2
2 1
y
y
phương trình ( * ) vô nghiệm
0,25
Cõu 2
2 điểm
Với 0 < y < 1 :
2
1
2 1
2 2
y
y
Phương trình (*) vô nghiệm 0,25
Trang 3Hệ có nghiệm : y = log2 3
2 1) Tìm m để phương có nghiệm
12 ( 5 4 )(1)
x x x m x x
BG : ĐK 0 <x < 4
(1) x x 12 x 5 x 4 xm
0,25
f x x x x x x
+ h’(x) > 0 và g’(x) > 0 với x 0; 4
0 <x < 4 f(0) < f(x) < f(4)
12 5 4 m 12
Cõu 3
2 điểm
2) 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2
với x,y,z > 0
Ta có : 4(x 3 + y 3 ) > ( x + y ) 3 ( 1 )
CM : (1) 4(x2 + y2–xy ) > ( x + y )2 (x – y)2 > 0 Dấu “ =”
xảy ra khi và chỉ khi x = y
0,25
Tương tự : 4 ( y3 +z3 ) > (y + z)3 Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khiy = z
4 (z 3 + x 3 ) > ( z + x)3 Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khiz = x 0,25
Do đó : 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
Lại có: 2 2 2
3
6
2 x y z
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khix = y = z 0,25
3
3
1
xyz
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi xyz 1
x y z
Vậy MinP = 12 khi và chỉ khi x = y = z = 1
0,25
Cõu 4
2 điểm
1) ( 1 điểm) + Vỡ BCd1 nờn BC nhận VTPT n (2; 3)
của d1làm VTCP của mỡnh
0,25
Trang 4d2 C(1;-1)
M
PT: 3(x 4) 2(y 1) 0 3x 2y 10 0
+ Tọa độ điểm A là nghiệm của hpt:
2 3 12 0 3 ( 3; 2)
AC (7; 3)
VTPT của AC là
(3;7) : 3( 3) 7( 2) 0 3 7 5 0
AC
n PT AC x y x y
+ Gọi M là trung điểm BC Khi đó tọa độ điểm M là nghiệm của hpt:
3 2 10 0 6 (6; 4)
Gọi B(x;y) thì 4 12 8
(8; 7) (11; 9)
VTPT
của AB là
(9;11) : 9( 3) 11( 2) 0 9 11 5 0
AB
n PT AB x y x y
+ KL:
0,25
0,25
0,25
2) (1 điểm)
B
C
A O S
I K
H
+ Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC).
H,I,K lần lượt là hình chiếu của O trên AB, AC, BC.
60
SHO SIO SKO
là góc của các mặt bên hợp với đáy
các tam giác vuông SOH, SOI, SOK bằng nhau
0,25
Trang 5OH OI OK O
Cách đều 3 cạnh của ABC
O
là tâm đường tròn nội tiếp ABC, bán kính OH OI OK x
Ta có diện tích ABC là: . 1 .
2
ABC
S p r AB AC
Trong đó:
2
.cos ; sin ;
(1 sin cos )
p AB BC CA
r
AB AC BC a
.tan 60 3
SOOH r + Thể tích SABC là:
1
( sin cos ) 3
sin 2 3
(1 sin cos ) 24 1 sin cos
6.sin 2
96 cos cos( )
SABC ABC
AB AC
a
a a
a
0,25
0,25
0,25
Trang 61) (1đ)
2) (1đ)
1) Gọi x ,y, z, t là số sách mà từng phần có đựoc thì x.y.z.t thoả mán
điệu kiện x,y,z,t20 ;
x+y+z+t=200 (1) ( Đặt a=x-19;b=y-19;c=z-19;d=t-19) (1) trỏ thành a b c d 124 (*)
( Đặt a=x-19;b=y-19;c=z-19;d=t-19) thì a,b,c,d dương
số cách chia quà là số nghiệm nguyên dương của phương trình (*)
+)Đặt 276 dấu chấm theo hàng ngang tạo đươc 275 khoảng trống
.Đặt 3 que tính vào ba khoảng trống bất kỳ (phần dấu chấm đầu tiên
gán cho a phần dấu chấm thứ hai gán cho b.phần dấu chấm thứ ba
gán cho c phần dấu chấm thứ tư gán cho d) như vậy ta có một
nghiệm nguyên
d c
b
a / / /
vậy số nghiệm nguyên của pt(*) là số cách đặt 3 que và ba khoảng
trống bất kỳ là số tổ hợp chập 3 của 123
KL :Số cách chia 200 quyển sách thoả mãn đàu bài là 3
123
C
2) Tìm hệ số không chứax trong khai triển
6
5 60 20 20
0 20
3 1 20 2 1 20
0 20
20 3 1 2 1 20
3
2
2 2
1 2
k k k
k
k k
k k
x
x x
x x x
x
C
C
;
Hệ số không chứa x thì 60-5k=0 nên k=12( T/m)
Hệ số cần tìm là 12 8
20 2
0.25
0.25
0.25 0.25
0.25 0.25
0.25 0.25