Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2).. 1.Theo chương trình Chuẩn Câu VIa.[r]
Trang 1KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ễN THI ĐẠI HỌC KHỐI A - B – D Năm 2010.
Mụn thi: Toỏn Thời gian làm bài: 180 phỳt.
Ngày 20 thỏng 12 năm 2010.
A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Cõu I (2 điểm)
Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 cú đồ thị là (C m ); ( m là tham số)
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2 Xỏc định m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phõn biệt C(0;1), D, E sao cho cỏc tiếp tuyến của (C m ) tại D và E vuụng gúc với nhau
Cõu II (2 điểm)
1.Giải phương trỡnh: cos 2 x − tan2x=cos
2
x+cos3x −1
2 Giải hệ phương trỡnh:
2 2
1 4
Cõu III (1 điểm)
Tớnh tớch phõn:
3 2 2 1
log
1 3ln
Cõu IV (1 điểm)
Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' =
3 2
a
và góc BAD = 600 Gọi M và N lần lợt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B' Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
Cõu V (1 điểm)
Cho a, b, c là cỏc số thực khụng õm thỏa món a b c 1 Chứng minh rằng:
7 2
27
ab bc ca abc
.
B PHẦN RIấNG (3 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)
1.Theo chương trỡnh Chuẩn
Cõu VIa ( 2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giỏc ABC biết A(5; 2) Phương trỡnh đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam
giỏc ABC
2 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, hóy xỏc định toạ độ tõm và bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam
giỏc ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Cõu VIIa (1 điểm)
Cho z1, z2 là cỏc nghiệm phức của phương trỡnh 2z2 4z11 0 Tớnh giỏ trị của biểu thức
2
1 2
2 Theo chương trỡnh Nõng cao
Cõu VIb ( 2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng:x3y 8 0, ' :3x 4y10 0 và điểm
A(-2 ; 1) Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xỳc với đường thẳng ’
2 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trỡnh mặt phẳng (ABC) và tỡm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
Cõu VIIb (1 điểm)
Giải hệ phương trỡnh :
2
log ( 5) log ( 4) = 1
Trang 2- tavi
-ĐÁP ÁN KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN THI ĐẠI HỌC KHỐI A - B – D Năm 2010
2 PT hoành độ giao điểm x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 x(x2 + 3x + m) = 0 m = 0, f(x) = 0 0.25
Đê thỏa mãn yc ta phải có pt f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác 0 và
Hay 12 1 22 2
, 0
9( ) 18 ( ) 3 ( ) 36 6 ( ) 1 4 9 1 0
x x x x x x m x x x x m x x m m m
0.25
Giải ra ta có ĐS: m =
8
0.25
II 1 ĐK cosx ≠ 0, pt được đưa về cos 2x tan 2x 1 cosx (1 tan 2x) 2cos 2x cos -1 0x 0.5
Giải tiếp được cosx = 1 và cosx = 0,5 rồi đối chiếu đk để đưa ra ĐS:
0.5 2
0
y , ta có:
2
2 2
2
1
4
1 4
x
x y y
x y
y
0.25
Đặt
2 1 ,
x
y
ta có hệ: 2 2
+) Với v3,u1ta có hệ:
0.25
+) Với v5,u9ta có hệ:
vô nghiệm
KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.x y
0.25
2
3
ln
ln 2
x
x
Đặt
dx
x
Suy ra
2
3
2 2
2
1 1
1 3ln
t
2 3
1
Trang 3IV Chứng tỏ AC’ BD 0.25
C/m AC’ PQ, với P,Q là trung điểm của BD, MN Suy ra AC’ (BDMN) 0.25 Tớnh đỳng chiều cao AH , với H là giao của PQ và AC’ Nếu dựng cỏch hiệu cỏc thể
Tớnh đỳng diện tớch hỡnh thang BDMN Suy ra thể tớch cần tỡm là:
3
3 16
a
0.25
V Ta cú ab bc ca 2abc a b c ( ) (1 2 ) a bc a (1 a) (1 2 ) a bc Đặt t= bc thỡ ta
cú
0
.Xột hs f(t) = a(1- a) + (1 – 2a)t trờn đoạn
2 (1 ) 0;
4
a
0.5
Cú f(0) = a(1 – a)
2
a a
và 2 2
a
f a a
0,25
Vậy
7 2
27
ab bc ca abc
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3 0.25 VIa 1 Gọi C = (c; 2c+3) và I = (m; 6-m) là trung điểm của BC
Suy ra: B= (2m-c; 9-2m-2c) Vì C’ là trung điểm của AB nên:
C CC
m
5 41
6 6
I
Phơng trình BC: 3x – 3y + 23=0
Tọa độ của C là nghiệm của hệ:
;
x y
C
0.5
Tọa độ của B =
19 4
;
3 3
2
Ta cú: AB(2; 2; 2), AC(0; 2;2).
Suy ra phương trỡnh mặt phẳng trung trực của
Vectơ phỏp tuyến của mp(ABC) là nAB AC, (8; 4; 4).
Suy ra (ABC):
2x y z 1 0
0.25
Giải hệ:
Suy ra tõm đường trũn là I(0; 2;1).
0.25
Bỏn kớnh là R IA ( 1 0) 2(0 2) 2(1 1) 2 5. 0.25 VII
a Giải pt đó cho ta được cỏc nghiệm: 1 2
Suy ra
2 2
0.25
Đo đú
2
1 2
11
4
VIb 1 Tõm I của đường trũn thuộc nờn I(-3t – 8; t) 0.25
Trang 4Theo yc thì k/c từ I đến ’ bằng k/c IA nên ta có
2 2
0.25
Khi đó I(1; -3), R = 5 và pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25 0.25 2
Ta có AB(2; 3; 1), AC ( 2; 1; 1) n(2; 4; 8)
là 1 vtpt của (ABC) 0.25 Suy ra pt (ABC) là (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 hay x + 2y – 4z + 6 = 0 0.25
M thuộc mp: 2x + 2y + z – 3 = 0 nên ta có hệ, giải hệ được x = 2, y = 3, z = -7 0.25 VII
b
+ Điều kiện:
2
( )
I
( )
log ( 5) log ( 4) = 1 log ( 5) log ( 4) = 1 (2).
I
Đặt log2y(1 x)t
thì (1) trở thành:
2
1
t
Với t 1 ta có: 1 x y 2 yx1 (3). Thế vào (2) ta có:
2
0 2
x x
Suy ra:
1 1
y y
0.25
+ Kiểm tra thấy chỉ có x2, y1thoả mãn điều kiện trên
A B
D P
M N
Q