Đề thi thử ĐH môn toán số 143

b Chứng minh rằng: với mọi giá trị của m, đường thẳng d: yx m luôn cắt đồ thị C tại hai điểm A,B phân biệt.. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010.

Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 143 )

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm )

Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : 2

1

x y x





 (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C).

b) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của m, đường thẳng d: yx m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm A,B phân biệt Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB.

Câu II (2,0 điểm ).

1 Giải bất phương trình : 4 4 2

16 6 2

  

   

2.Giải phương trình: 1 2 8 1 2

2cos cos ( ) sin 2 3cos( ) sin

Câu III (1,0 điểm)

Tính tích phân:

ln 3 2

x

e dx I



  



Câu IV (1,0 điểm).

Một hình nón đỉnh S , có tâm đường tròn đáy là O. A B, là hai điểm trên đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng a,   0

60

chiều cao và diện tích xung quanh của hình nón

Câu V (1,0 điểm).

Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh:  3 3 3

2

b c c a a b

II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B).

A Theo chương trình Chuẩn :

Câu VI.a(2,0 điểm).

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x2 y2  4x 2y  1 0 và điểm A(4;5) Chứng

minh A nằm ngoài đường tròn (C) Các tiếp tuyến qua A tiếp xúc với (C) tại T 1 , T 2 , viết phương trình đường thẳng T 1 T 2

2 Trong không gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S):

x y z  x y z  Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại

A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P).

Câu VII.a(1,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện:

z i  z 2 3  i Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất.

B Theo chương trình Nâng cao :

Câu VI.b(2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16, A,B thuộc đường thẳng d:

2 2x y  2 2 0  và B, C thuộc trục Ox Xác định toạ độ trọng tâm của tam giác ABC.

2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2) Viết

phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC.

Câu VII.b(1,0 điểm) Cho hàm số (Cm ):

2 1

y x

 



 (m là tham số) Tìm m để (C m ) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C m ) tại A, B vuông góc

……….Hết………

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010.

Mơn thi : TỐN ( ĐỀ 143 )

PHẦN

CHUNG

(7 điểm)

Nội dung chính và kết quả Điểm

thành phần Câu I

2 điểm

a) (1điểm) D=R/ 1

y ' 2

1 (x 1)



 > 0 ,  x D  h/số đồng biến trên D và khơng cĩ cực trị Các đường tiệm cận: T/c đứng x=1; T/c ngang: y =1

Tâm đối xứng I(1;1)

BBT

x -  1 + 

y’ + +

y

+  1

1 - 

Đồ thị

f(x)=(x-2)/(x-1) f(x)=1 x(t)=1 , y(t)=t

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

x y

0,25 điểm

0,25 điểm

0,5 điểm

b) (1 điểm)

* Phương trình hồnh độ giao điểm của d ( ) C là:

x2  mx m  2 0  (1) ; đ/k x 1

Vì

(1) 1 0

f

    



 



với m,nên p/t (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt khác 1 với

m

 Suy ra d ( )  C tại hai điểm phân biệt với m

*Gọi các giao điểm của d ( )  C là: A( ;x A x Am) ; B( ;x B x Bm);với x ; A x B

là các nghiệm của p/t (1)



2

2 4( 2) 2 ( 2) 4 8





0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

Vậy : ABmin 2 2 , đạt được khi m = 2

0,25 điểm

II.1

(1 điểm) * Đk:

4 0

4 0

x x

 





 



 x  4 Đặt t = x  4 x 4 (t > 0)

BPT trở thành: t2 - t - 6  0  2( )

3

t





 



* Với t  3  2 x 2 16  9 - 2x

( )

4( 16) (9 2 )

a

b

 











  

 



 

    





x 4

9 - 2x 0

x 4

9 - 2x

* (a)  x  9

2

* (b)  145 9

36 x <2

*Tập nghệm của BPT là: T= 145;

36



0,25

0,25

0,25

0,25

II.2

(1

điểm

)

a) (1 điểm) 2cosx+ 1 2 8 1 2

os ( ) sin 2 3 os(x+ )+ sin



    

2 osx+c

os sin 2 3sinx+ sin

3c x 3 x 3 x

6 osx+cosc x 8 6sinx.cosx-9sinx+sin x

    6 osx(1-sinx)-(2sinc 2 x 9sinx+7) 0 

7

6 osx(1-sinx)-2(sinx-1)(sinx- ) 0

2

c

(1-sinx)(6cosx-2sinx+7) 0

(2)

1 sinx=0 6cosx-2sinx+7=0





 



2 ;( ) 2

(p/t (2) vô nghiệm )

III

(1 điểm) * Đặt t = 2

x

e  , Khi x = ln2  t = 0

x = ln3  t = 1

ex = t2 + 2  e2x dx = 2tdt

* I = 2

1 2 2 0

( 2)

1



 

1

2 0

2 1

1

t



 

 



* = 2

1

0

( 1)t dt

1 2 2 0

( 1) 1

 

 



0,25 0,25 0,25

* = ( 2 1

2 ) 0

t  t + 2ln(t2 + t + 1)10= 2ln3 - 1

0,25

Câu IV

Đặt OA R



ASO

Tam giác OIA vuông tại I nên

2

2

SA a

2

a

SO 

2

xq

a

0,25

0,25 0,25 0,25

V

(1 điểm)

* Ta cm với a, b > 0 có a3 + b3  a2b + ab2 (*)

Thật vậy: (*)  (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b)  0

 (a + b)(a - b)2

 0 đúng Đẳng thức xẩy ra khi a = b

* Từ (*)  a3 + b3  ab(a + b)

b3 + c3  bc(b + c)

c3 + a3  ca(c + a)

 2(a3 + b3 + c3 )  ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)

* Áp dụng BĐT co si cho 3 số dương ta có:

3

1

1

1

3 3 3

1 1 1

a b c = 3

abc (2)

* Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được BĐT cần cm

Đẳng thức xẩy ra khi a = b = c

0,25

0,25

0,25

0,25

VI.a.1

(1 điểm)

* Đường tròn (C) có tâm I(2;1), bán kính R = 2

Ta có IA = 2 5 > R  A nằm ngoài đường tròn (C)

* Xét đường thẳng  1: x = 4 đi qua A có d(I; 1) = 2  1 là 1 tiếp

tuyến của (C)

*  1 tiếp xúc với (C ) tại T1(4;1)

* T1T2  IA  đường thẳng T1T2 có vtpt n= 1

2 IA

=(1;2)

0,25 0,25 0,25

S

phương trình đường thẳng T1T2 : 1(x - 4) + 2(y - 1)

 x + 2y - 6 = 0

0,25

VI.a.2

(1 điểm) * Mp(P) có vtpt

P

n = (1;1;-2)

(S) có tâm I(1;-2;-1)

* IA = (2;1;2) Gọi vtcp của đường thẳng  là u



 tiếp xúc với (S) tại A  u



 IA

Vì  // (P)  u



 nP

* Chọn u0= [IA ,nP] = (-4;6;1)

* Phương trình tham số của đường thẳng :

3 4

1 6 1

 





 



  



0,25

0,25

0,25 0,25

VII.a

(1 điểm)

* Đặt z = x + yi (x; y R)

|z - i| = |Z - 2 - 3i|  |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i|

*  x - 2y - 3 = 0  Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z là

đường thẳng x - 2y - 3 = 0

* |z| nhỏ nhất  |OM | nhỏ nhất  M là hình chiếu của O trên 

*  M( 3

5;-6

5)  z = 3

5-6

5i

Chú ý:

HS có thể dùng phương pháp hình học để tìm quỹ tích điểm M

0,25 0,25 0,25 0,25

VI.b.1

(1 điểm)

* B = d Ox = (1;0)

Gọi A = (t;2 2 t - 2 2)  d

H là hình chiếu của A trên Ox  H(t;0)

H là trung điểm của BC

( 1)t  (2 2t 2 2)  3|t - 1|

ABC cân tại A  chu vi: 2p = 2AB + 2BH = 8|t - 1|

*  16 = 8|t - 1|  t 3

t 1





 



* Với t = 3  A(3;4 2), B(1;0), C(5;0)  G(3;4 2

3 ) Với t = -1  A(-1;-4 2), B(1;0), C(-3;0)  G( 1; 4 2

3

0,25

0,25 0,25

0,25

VI.b.2 * Gọi d là đường cao tương ứng với đỉnh A của ABC 0,25

(1 điểm)  d là giao tuyến của (ABC) với () qua A và vuông góc với

BC

* Ta có: AB= (1;3;-3), AC= (-1;1;-5) , BC= (-2;-2;-2)

[AB, AC] = (18;8;2)

mp(ABC) có vtpt n = 1

4[AB, AC] = (-3;2;1)

mp( ) có vtpt n ' = -1

2 BC



= (1;1;1)

* Đường thẳng d có vtcp u =[n , n ' ] = (1;4;-5)

* Phương trình đường thẳng d:

1

2 4

3 5

 





 



  



0,25

0,25

0,25

VII.b

(1 điểm)

* Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox:

2

1

x m x

 



x

= 0 

   







x

x 1

(Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt  pt f(x) = x2 - x + m = 0 có 2

nghiệm phân biệt khác 1

 0

(1) 0

f

 







 

1 4 0

m m









 



(*)

* Khi đó gọi x1, x2 là nghiệm của f(x) = 0  1 2

1 2

1

m

 









x x

x x

'( )( 1) ( 1) ' ( )

( 1)

x

  



 Hệ số góc tiếp tuyến của (Cm) tại A và B lần lượt là:

k1 = y'(x1) = 1 1 1

2 1

'( )( 1) ( ) ( 1)

x

 

1

'( ) ( 1)

f x

1

2 1

x

x 

* Tương tự: k1 = y'(x2) = 2

2

2 1

x

x  ( do f(x1) = f(x2) = 0) Theo gt: k1k2 = -1  1

1

2 1

x

2

2 1

x

x  = -1

*  m = 1

5( thoả mãn (*))

0,25

0,25

0,25

0,25