De thi vao 10 chuyen Binh Dinh de so 7

điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC.[r]

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH

Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn

Đề số 7

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

Năm học 2009 – 2010

Thời gian làm bài 150 phút

Ngày thi: 19/06/2009

Bài 1: (1,5 điểm)

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

b c c a a b

Bài 2: (2 điểm)

Cho 3 số phân biệt m, n, p Chứng minh rằng phương trình x m x n x p

nghiệm phân biệt

Bài 3: (2 điểm)

Với số tự nhiên n (n  3), đặt S n     n  n n 

Chứng minh rằng S n 1

2



Bài 4: (3 điểm)

Cho ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB = c E là

điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC Nối AE cắt cạnh

BC tại D

a) Chứng minh: AD2AB AC DB DC 

b) Tính độ dài đoạn AD theo a, b, c.

Bài 5: (1,5 điểm)

m

1 2

 với mọi số nguyên dương m, n.

-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :

HƯỚNG DẪN GIẢI

==========

Bài 1:

 Ta có:

m m k

n n k





 (với 0 < m < n, k > 0) (1)

Thật vậy, (1)  m n k(  )n m k(  ) 0mk nk  0m n  (0 < m < n, k > 0)

 Áp dụng:

a b c

b c a b c

2

b c a

c a a b c

2

c a b

a b a b c

2

Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được:

b c c a a b a b c

2(   ) 2

 Chứng minh BĐT phụ:

x y z

x y z

1 1 1 (   )   9

  (x, y, z > 0)

Ta có:

x y z

1 1 1 (   )    3              3 2 2 2 9

 Thay x a b y b c z c a  ,   ,   vào (2) ta được:

2



Từ (2) và (3) suy ra:

b c c a a b

Bài 2: Xét phương trình: x m x n x p

 Điều kiện xác định của (1): x m n p , ,

 Biến đổi (1)  x n x p(  )(  ) ( x m x p )(  ) ( x m x n )(  ) 0

 x3 2 2(m n p x mn np mp  )    0

 = m n p(   )2 3(mn np mp  )m2n2p2 mn np mp 

= 1 (m n)2 (n p)2 (m p)2 0

2        (vì m  n  p).

Vậy (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Bài 3: S n     n  n n 

 Với k nguyên dương, ta có: k2  1 2 (k k1) (1)

Thật vậy, (1)  k(2 1)2 4 (k k1) 4k24k 1 4k24k (BĐT đúng)

2 ( 1 ) ( 1)

= k k





 Cho k lần lượt lấy các giá trị từ 1 đến n, thay vào (2), rồi cộng các BĐT, vế theo vế, ta được:

n

S

A

E

/

/

1 2

b c

a

.

O

Bài 4:

a) Chứng minh: AD2 AB AC DB DC 

Xét hai tam giác ABD và AEC, ta có: A1A ABD AEC2, 

 ABD  AEC 

AD AB AD AE AB AC

AC AE .  .

Mạt khác, ABD  CED 

BD DA BD DC DA DE

DE DC  .  .

 AB.AC – BD.DC = AD.AE – DA.DE = AD(AE – DE) = AD2

Vậy: AD2AB AC DB DC  (1)

b) Tính AD

Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:





     

Thay (2) vào (1), ta được:

2 2

2

Vậy: AD =

bc b c a b c a

b c

(   )(   )

Bài 5: Chứng minh:  

m

1 2



Trước hết, ta cần chứng minh: n n2 

 , với  n  N* (1)

Thật vậy, (1)  n n2

2  

(2) Đặt t t

n

1 (0 1)

, ta có:

(2)   3 2t2 t 2 0   3 2t2  3 2t 3 2t t  2 0

  3 2 ( 1)t t  3 2 1 t 2 0

  3 2 ( 1)t t  3 2 1 ( 1)  t  3 2 2 1 0   (3)

Vì 0 < t  1 và 3 2 2 1 0   nên (3) đúng  (2) đúng

Mặt khác,

m

1

m

1 2

 , m, n  N*

=========================