Đường trung trực của AD cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở E, F.. Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF./... Đơn vị: Trường THCS Vĩnh Lộc.
Trang 1MA TRẬN
Mức độ Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao
Số học
C4b
1,5
C4a 2,5
2
4 Đại số
C1C1a;C3a
2
C1b,C1c C3b, C2
7
C3c 3
7
12 Hình học
C5 4
1
4 Tổng
3
3,5
4
7
3
9,5
10
20
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TO ÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ 2
Trang 2ĐỀ KIỂM TRA
Câu 1(4 điểm)
Cho biểu thức
A
a, Tìm điều kiện để A có nghĩa
b, Rút gọn A
c, Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là 1 số nguyên
Câu 2(2điểm)
Cho: 2 2 2
1 1 1
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
Chứng minh rằng: x + y2+ z3 = 1
Câu 3 (6 điểm)
a, Chứng minh rằng với x > 1 ta có: 2
1
x
−
b, cho a > 1, b > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 2 2
c, Cho a, b là các số thực dương, chứng minh rằng:
( )2
2
a b
Câu 4 (4 điểm)
a, Chứng minh rằng chữ số tận cùng của các số tự nhiên n và n5 là như nhau b,Chứng minh: 2n + 1 v à ( 1)
2
n n+
nguyên tố cùng nhau
Câu 5(4 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh 60 cm Trên cạnh BC lấy điểm D sao
cho BD = 20cm Đường trung trực của AD cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở E, F Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF./
……… HẾT……….
Trang 3Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(4điểm
)
a, Điều kiện để biểu thức A xác định:
0
4
9
x
x
x
b,
( 22)( 9 3) 3 22 31
A
( )( )
=
( )( ) ( ( )( )( ) ) ( ( ) )
2
x A
+
Với x∈ ¢ , để A∈ ¢ thì x− 3 phải là ước của 4, từ đó suy ra
{1; 4;16; 25; 49}
x∈ , nhưng x≠ 4,x≠ ⇒ = 9 x 1;16; 25;49
1
0,5 0,5 1
0,5 0,5
Câu 2
(2điểm
)
Từ x + y + z = 1 ⇒ + + (x y z) 3 = 1
⇒ +x3 y3 + +z3 3(x y y z z x+ )( + )( + = ) 1
Thay: x3 +y3 + =z3 1 ⇒ 3(x y y z z x+ )( + )( + = ) 0
0 0 0
x y
y z
z x
+ =
+ =
.Nếu x + y = 0 ⇒ = ⇒z 1 x2 +y2 + = ⇒ 1 1 x2 +y2 = 0
⇒ = = ⇒ +x y 0 x y2 + =z3 1(1)
.Nếu y + z = 0 ⇒ = ⇒x 1 y2 + + = ⇒z2 1 1 y2 +z2 = 0
⇒ = = ⇒ +y z 0 x y2 + =z3 1(2)
.Nếu z + x = 0 ⇒ = ⇒y 1 x2 + + = ⇒z2 1 1 x2 +z2 = 0
⇒ = = ⇒ +x z 0 x y2 + =z3 1(3)
Từ (1),(2), và (3) suy ra: x y+ 2 + =z3 1
0,5 0,5
0,25 0,25 0,25 0,25
a, Ta có: x = (x - 1) + 1 ≥ 2 x− ⇒ 1 2
1
x
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Trang 4Câu 3
(6điểm
)
Dấu = xảy ra ⇔ =x 2
b, Áp dụng ý a: E = 2 2
c, Ta có :
∀ a , b > 0
1 0; 1 0
⇒ − + ≥ − + ≥
( 1) ( 1) 0
⇒ − + + − + ≥ ∀ a , b > 0
1 0
2
Mặt khác: a b+ ≥ 2 ab > 0 (2)
Nhân từng vế của (1) và (2) ta có :( ) ( ) 1 ( )
2 2
( ) (2 )
2
a b
0,25 1 1 0,5
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5
Câu 4
(4điểm
)
a, Chứng minh rằng chữ số tận cùng của các số tự nhiên n và n5 là
như nhau
Xét số: A = n5 – n = n(n2 -1)(n2 +1) = n(n + 1)(n - 1)(n2 +1)
Ta thấy n(n + 1)M2, ∀ ∈n ¥
Ta cần chứng minh: A M 5, ∀ ∈n ¥
- Nếu n = 5k ⇒AM 5
- Nếu n = 5k + 1⇒ n – 1 = 5k ⇒ A M 5
- Nếu n = 5k + 2⇒ n 2 = 25k2 + 20k + 4 ⇒ n 2 +1 M 5⇒AM 5
- Nếu n = 5k + 3⇒ n 2 = 25k2 + 30k + 9 ⇒ n 2 +1 M 5⇒AM 5
- Nếu n = 5k + 4⇒ ⇒ n 2 +1 M 5⇒ AM 5
Do đó: AM 5 , ∀ ∈n ¥
Vì AM 2 và AM 5, mà (2 ,5 ) = 1, nên AM 10
⇒ n và n5 có cùng chữ số hàng đơn vị
b,Chứng minh: 2n + 1 v à ( 1)
2
n n+
nguyên tố cùng nhau
Ta thấy: n(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp
2n +1 là tổng của 2 số đó
Mà 2 số tự nhiên liên tiếp nguyên tố cùng nhau nên tổng và tích của
chúng cũng nguyên tố cùng nhau:
(n,n+1) = 1⇒(2n + 1,n(n + 1)) = 1
Do đó ta có: 2n + 1 v à ( 1)
2
n n+
nguyên tố cùng nhau
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,5
0,5 0,5
Trang 5Câu 5
(4điểm
)
GT
ABC
∆ :
AB = AC = BC = 60cm,
BD = 20 cm
KL DE = ?, DF = ?, EF = ?
Đặt DE = AE =x, DF = AE = y Kẻ DI ⊥AB, DK ⊥AC
+ Ta có: BI = BD.cos600 = 20.1
2= 10 ;
DI = BD2 −BI2 = 20 2 − 10 2 = 300 10 3 =
Ta có : EI = 50 – x, áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông
DEI ta có :
ED2 = EI2 + ID2 = (50 – x)2 + ( 10 3)2
⇔ x2 = 2500 – 100x + x2 + 300 ⇔ 100x = 2800 => x = 28
+ Ta có: CK = CD.cos600 = 40.1
2= 20 ;
DK = DC2 −KC2 = 40 2 − 20 2 = 1200 20 3 =
Ta có : FK = 40 – y, áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông
DFK ta có :
DF2 = DK2 + FK2 = (40 – y)2 + ( 20 3)2
⇔ y2 = 1600 – 80y + y2 + 1200 ⇔ 80y = 2800 => y = 35
+ Kẻ EH ⊥AF, ta có : AH = EA.cos 600 = 28.1
2 = 14
HF = y – 14 = 35 – 14 = 21
EH = x.sin600 = 28 3 14 3
2 =
=> EF = ( )2
Vậy : DE = 28 ; DF = 35, EF = 7 21
0,5
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
Người ra đề: Dương Thị Thoa.
Đơn vị: Trường THCS Vĩnh Lộc.
B
K F E
A
I
y
y x
G