b, Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận các giá trị nguyên.. Vẽ hình bình hành ABCD, tiếp tuyến tại C của O cắt AD tại N a, Chứng minh AD là tiếp tuyến của O b, Chứng minh
Trang 1MA TRẬN
Mức độ Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao
Số học
C4 a
3
C4b
2
2
5
Đại số
C1a
2
C3b, C1b
6,5
C2, C3a
2,5
4
11
Hình học
C5a
2
C5b
2
2
4
Tổng
2
4
3
7,5
3
8,5
5
20
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ 1
Trang 2ĐỀ KIỂM TRA Câu 1: (4,0 điểm)
A
=
a, Tìm x để A có nghĩa; Rút gọn biểu thức A
b, Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận các giá trị nguyên
Câu 2: (2,5điểm) Cho 3 số x, y, z thoả mãn:
2 2 2
3 3 3
1 1 1
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
Tính giá trị biểu thức 2010 2011 2012
1
z y x
Q
+ +
=
Câu 3: (4,5 điểm)
a, Cho bốn số thực bất kỳ a b c d, , , Chứng minh:
( 2 2) ( 2 2)
ab cd + ≤ a + c b + d
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1)
Cho biết , 0
10
x y
x y
≥
+ =
C
âu 4 (5điểm)
a, Chứng minh rằng: n4 − 4n3 − 4n2 + 16 384nM , với mọi n chẵn và n > 4
b, Cho 3 số : A = 44… 44 ; B = 22… 22 ; C = 88…… 88
2n chữ số 4 (n + 1) chữ số 2 n chữ số 8
Chứng minh rằng: A + B + C + 7 là 1 số chính phương
Câu 5 : (4điểm):
Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O) Vẽ hình bình hành ABCD, tiếp tuyến tại C của (O) cắt AD tại N
a, Chứng minh AD là tiếp tuyến của (O)
b, Chứng minh AC, BD, ON đồng quy
……… ……Hết………
Trang 3Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(4)
a) Để A có nghĩa, trước hết x≥0 Đặt t= x x( ≥ 0)
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )
2
A
Để biểu thức A có nghĩa thì:
Khi đó, rút gọn ta được:
( 1 )
t A
t
+
=
− Thay t= x x( ≥ 0) Vậy 2( 12)
x A
x
+
=
− b)
t t
A
− + +
Để A là nguyên thì x nguyên và t− ∈ ± ±2 { 1; 3}
Nếu t− = − ⇔ = 2 1 t 1 ( Loại vì trái với điều kiện (*))
Nếu t− = − ⇔ = − < 2 3 t 1 0 (Loại)
Nếu t− = ⇔ = ⇔ = 2 1 t 3 x 9 và A= 2
Nếu t− = ⇔ = ⇔ = 2 3 t 5 x 25 và A= 1
Vậy : Để A nhận các giá trị nguyên thì thì x= 9 và x= 25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Câu2
(2,5đ)
Vì x2, y2, z2 > 0, nên từ (2) ⇒ x2, y2, z2 < 1 ⇒ -1 < x, y, z < 1
⇒
3 2
3 2
3 2
x x
y y
z z
≤
≤
≤
⇒ x3+y3+z3 < x2+y2+z2 = 1
Nhưng do (3) ⇒
3 2
3 2
3 2
x x
y y
z z
=
=
=
⇒ x, y, z chỉ có thể là 0 hoặc 1
⇒ x2010=x, y2011=y, z2012=z ⇒ x2010+y2011+z2012=x+y+z=1
=> 2010 20111 2012 = 1
+ +
=
z y x Q
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5 a)Ta có:
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Trang 4(4,5đ)
0 ≤ ab cd+ ≤ a +c b +d ⇔ ab cd+ ≤ a +c b +d
2
a b c d abcd a b a d b c c d
( ) ( )2 2 ( ) ( ) ( )2
Đúng với 4 số thực a, b, c, d bất kỳ
Vậy: 0 ≤ ab cd+ ≤ (a2 +c2) (b2 +d2), ∀a b c d, , , ∈R
Dấu đẳng thức xảy ra khi ad bc− =0 hay c d(a 0,b 0)
a = b ≠ ≠
4 4 4 4
2
2 2 2 4 4
4 4 2 2
b A x y x y
A x y xy x y x y
A xy x y x y
A x y x y xy
A x y xy
= + + +
⇒ = + − − + +
= >Min A = 45 khi xy = 2 và x y+ = 10
0,5
0,5
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5 0,5
0,5
Câu4
(5đ)
a) Ta thấy 384 = 3 128, với (3, 128 ) = 1
Vì n chẵn và n > 4 ⇒ =n 2 ,k k∈ Ν và k > 2
n − n − n + n= k − k − k + k
⇒A = 16k(k3 -2k2 – k + 2)
= 16k (k - 2)(k - 1)(k + 1)
Mà k , (k - 2) , (k - 1) , (k + 1) là 4 số nguyên liên tiếp nên ắt có 1 số chia
hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4
⇒ (k - 2)(k - 1)k(k + 1)M 8
⇒A M 128
Mặt khác: trong 3 số nguyên liên tiếp, có 1 số chia hết cho 3
⇒(k - 1)k(k + 1)M 3
⇒A M 3, với (3, 128 ) = 1⇒ ⇒A M 384
Vậy: n4 − 4n3 − 4n2 + 16 384nM , với mọi n chẵn và n > 4
2
2
1
7
7
66 69 3
n
n chuso
A B C
+
+
−
+
= ÷ =
Vậy A + B + C + 7 là số chính phương
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25
0.25 0.25 0.25
0,5
0,5
0,5
0,5
ABC (AB = AC) nội tiếp (O)
2 1
C B
M O
Trang 5Câu 5
(4đ)
GT Vẽ hình bình hành ABCD.Tiếp
tuyến tại C của (O) cắt AD tại N
KL 1 AD là tiếp tuyến của (O)
2 AC, BD, ON đồng quy
Chứng minh:
a, Chứng minh AD là tiếp tuyến của (O)
Ta có: AB = AC (giả thiết) và OB = OC (bán kính (O))
OA là trung trực của BC OA BC
Mặt khác AD//BC (Cạnh đối của hình bình hành) OA AD
Vậy AD vuông góc với bán kính OA của (O) tại A Do đó AD là tiếp tuyến
của (O)
b, Chứng minh AC, BD, ON đồng quy
Ta có: NA = NC và ¶N1 =¶N2 (Tính chất của tiếp tuyến)
NAC cân tại N và NO là đường phân giác góc N
Do đó NO đồng thời là trung tuyến nên NO qua trung điểm M của AC
Mặt khác ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường Tức là AC và BD cắt nhau tại M
Vậy 3 đường thẳng AC, BD, ON đồng quy
0,5
0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5
0,5
Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
Người ra đề: Dương Thị Thoa.
Đơn vị: Trường THCS Vĩnh Lộc.
