CÂU HỎI ÔN TẬP KINH TẾ LƯỢNG

CÂU HỎI ÔN TẬP KINH TẾ LƯỢNG

Câu 1: Phân tích hồi qui là gì? VD minh hoạ.

1 Phân tích hồi qui là nghiên cứu sự phụ thuộc của 1 biến (biến phụ thuộc) vào 1

hay nhiều biến khác (biến giải thích), với ý tưởng là ước lượng (hay dự đoán) giá trị trung bình của biến phụ thuộc trên cơ sở các giá trị biết trước của các biến giải thích

2 VD :

- Một nhà kinh tế có thể nghiên cứu sự phụ thuộc của chi tiêu cho tiêu dùng cá nhân vào thu nhập cá nhân thực tế Điều này có ích trong việc ước lượng xu thế tiêu dùng biên tế (MPC) – mức thay đổi trung bình về chi tiêu cho tiêu dùng khi thu nhập thực tế thay đổi 1USD

- Một nhà độc quyền có thể định giá cả hay sản lượng (nhưng không thể cả hai), đồng thời muốn biết phản ứng của mức cầu đối với sản phẩm khi giá cả thay đổi Từ đó ước lượng độ co giãn về giá cả đối với mức cầu của sản phẩm, giúp cho việc xác định mức giá để tạo ra lợi nhuận cao nhất

- Một nhà nông học có thể quan tâm tới việc nghiên cứu sự phụ thuộc của sản lượng lúa vào nhiệt độ, lượng mưa, nắng, phân hoá học,….Qua đó, cho phép dự báo sản lượng lúa trung bình khi biết được các thông tin về nhiệt độ, lượng mưa-nắng và phân hoá học nói trên

Câu 2: Sự khác nhau giữa quan hệ thống kê và quan hệ hàm số? VD minh hoạ.

Quan hệ thống kê

(Quan hệ phụ thuộc tương quan)

Quan hệ hàm số

- Phản ánh mối quan hệ không chính xác

giữa biến phụ thuộc và biến độc lập

- Biến phụ thuộc là một đại lượng ngẫu

nhiên

- Ứng với mỗi giá trị của biến độc lập có

thể có nhiều giá trị khác nhau của biến phụ

thuộc

- Phân tích hồi qui chỉ quan tâm đến quan

hệ thống kê

- Phản ánh mối quan hệ chính xác giữa biến phụ thuộc và biến độc lập

- Các biến không phải là đại lượng ngẫu nhiên

- Ứng với mỗi giá trị của biến độc lập có duy nhất một giá trị của biến phụ thuộc

- Phân tích hồi qui không nghiên cứu mối quan hệ hàm số

VD: Quan hệ giữa doanh số bán và chi phí

quảng cáo của 1 loại hàng hoá Quan hệ

giữa chi tiêu và thu nhập của các hộ gia

đình Quan hệ giữa năng suất lúa và nhiệt

độ, lượng mưa, nắng, phân hoá học,…

VD: Cách tính lương cơ bản của nhà nước được qui định là: LCB = Đơn giá tiền lương * Hệ số bậc lương Như vậy, những người có cùng hệ số bậc lương sẽ có chung

1 mức lương cơ bản

Câu 3: Xét hàm hồi qui: E(Y/X i ) = β 1 + β 2 X i Hãy nêu ý nghĩa của β 1 , β 2 và E(Y/X i ) ?

1 Hệ số tự do (Hệ số tung độ gốc) : β 1

- Cho biết giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y là bao nhiêu khi biến độc lập X=0

- Điều này chỉ đúng về mặt lý thuyết, trong các trường hợp cụ thể ta phải kết hợp với lý thuyết kinh tế và điều kiện thực tế của vấn đề đang nghiên cứu

2 Hệ số góc (Hệ số độ dốc) : β 2

- Cho biết giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị khi giá trị của biến độc lập X tăng 1 đơn vị với điều kiện các yếu tố khác không thay đổi

- Nếu β2 > 0 thì giá trị trung bình của Y sẽ tăng, nếu β2 < 0 thì giá trị trung bình của

Y sẽ giảm

3 Hàm hồi qui tổng thể PRF (dạng tuyến tính) : E(Y/X i )

- Cho biết giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y sẽ thay đổi như thế nào khi biến độc lập X nhận các giá trị khác nhau

- E(Y/Xi) là tuyến tính đối với các tham số, nó có thể không tuyến tính đối với biến

Câu 4 : Xét hàm hồi qui tổng thể : E(Y/X i ) = β 1 + β 2 X i

1 Dạng ngẫu nhiên của E(Y/X i ) :

- Gọi Yi là giá trị quan sát của biến phụ thuộc Y, Ui là chênh lệch giữa Yi và E(Y/

Xi)

- Ta có : Ui = Yi – E(Y/Xi)  Yi = E(Y/Xi) + Ui

- Trong đó : Ui là đại lượng ngẫu nhiên – được gọi là sai số ngẫu nhiên (nhiễu), Yi

được gọi là hàm hồi qui tổng thể ngẫu nhiên

2 Hàm hồi qui mẫu của E(Y/X i ) – Ý nghĩa các kí hiệu :

- Trong thực tế, nếu không có điều kiện để điều tra toàn bộ tổng thể, ta có thể ước lượng giá trị trung bình của biến phụ thuộc từ số liệu của 1 mẫu Hàm hồi qui được xây dựng trên cơ sở 1 mẫu được gọi là hàm hồi qui mẫu SRF

- Nếu hàm hồi qui tổng thể có dạng tuyến tính : E(Y/Xi) = β1 + β2Xi

thì hàm hồi qui mẫu có dạng : Yˆi ˆ1  ˆ2X i

- Trong đó, ˆY : là ước lượng điểm của E(Y/X i i) ; ˆ1 : là ước lượng điểm của β1 ; ˆ2 : là ước lượng điểm của β2

Câu 5 : Trình bày phương pháp OLS để ước lượng hàm E(Y/X i ) = β 1 + β 2 X i

- Để tìm hàm Yˆi  ˆ1 ˆ2Xi ta dùng phương pháp bình phương tối thiểu OLS xác định các hệ số ˆ1 và ˆ2 sao cho tổng bình phương phần dư có giá trị nhỏ nhất,

1 i

i 2 1 i n

1 i

2















 => min (với ei  Yi  Yˆi  Yi  ˆ1 ˆ2Xi)

- Điều kiện cần để 2

1

n i i

e



 đạt cực trị là :

2 ˆ

1

i n

1

2

n

1 i

2 i















































2 ˆ

e

n

1 i i n

1 i

i 2 1 i 1

n

1 i

2 i















































Yi nˆ1 ˆ2 Xi





YiXi  ˆ1 Xi ˆ2 X2i

- Giải hệ phương trình chuẩn ở trên ta được :

X ˆ Y

ˆ

2

1   



ˆ

- Đặt xi  Xi X và yi  Yi Y ta nhận được:











1 i

2 i

n

1 i

i i 2

x

x y ˆ

Câu 6: Nêu các giả thuyết của mô hình tuyến tính cổ điển?

Các giả định về sai số hồi quy như sau đảm bảo cho các ước lượng hệ số hàm hồi quy tổng thể dựa trên mẫu theo phương pháp bình phương tối thiểu là ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất(BLUE)

- Giả thiết 1 : Biến giải thích là phi ngẫu nhiên (các giá trị của chúng là các số đã

xác định)

- Giả thiết 2 : Kỳ vọng của yếu tố ngẫu nhiên Ui = 0 :

E(U i /X i ) = 0

- Giả thiết 3 : Các Ui có phương sai bằng nhau (thuần nhất) :

Var(U i /X i ) = Var(U j /X j ) = 2



- Giả thiết 4 : Không có sự tương quan giữa các Ui

Cov(U i ,U j ) = 0 với mọi i ≠ j

- Giả thiết 5 : Ui và Xi không tương quan với nhau

Cov(U i ,X i ) = 0 Câu 7 : Phát biểu và chứng minh định lý Gauss – Markov đối với hàm 2 biến.

1 Định lý : Với các giả định của phương pháp OLS, các ước lượng của phương

pháp OLS sẽ là các ước lượng tuyến tính không chệch và có phương sai nhỏ nhất trong lớp các ước lượng tuyến tính không chệnh Hay nói cách khác : Với các giả định của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển, hàm hồi quy tuyến tính theo phương pháp bình phương tối thiểu là ước lượng tuyến tính không thiên lệch tốt nhất

2 Chứng minh : Đối với hàm 2 biến, ˆ1 và ˆ2 là các ước lượng tuyến tính, không chệch và có phương sai nhỏ nhất của β1, β2

a Chứng minh ˆ1, ˆ2 là hàm tuyến tính của biến ngẫu nhiên Y.

2

ˆ



1

i

i n

i i

x k

x





=> ˆ2 là hàm tuyến tính của Y.

1 2

1 1 1

i i i i i

i i i

  

        

=>ˆ1 cũng là hàm tuyến tính của Y.

b Chứng minh ˆ1, ˆ2 là ước lượng không chệch.

i i i i i i i i i i

           

Ta có:

1

0

i

x

Vậy:

1

i i i

k U



 

1

ˆ

n

i i i



=> ˆ2 là ước lượng không chệch của β 2

1 1 2 1

2

1 1

1

1 ( )

n

i i i i

i

n

i i i

n

X

X k U n









  





Do đó:

ˆ

=> ˆ1 là ước lượng không chệch của β 1

c Chứng minh ˆ1, ˆ2 có phương sai nhỏ nhất.

 ˆ2 có phương sai nhỏ nhất 

2 1

ˆ n

i i i

k Y





  ;

2

2

2 1

ˆ

i i

x











- Giả sử 2

1

ˆ * n i i

i

W Y







ˆ ( *) n i ( )i n i( i)

ˆ ( *)

- Do ˆ *2 là ước lượng không chệch nên E ( *)ˆ2 2

- Cho nên:

1

0

n i i

W





1

1

n

i i i

W X







2

ˆ

(vì var( ) var( ) Yi  Ui  2)

2

2 2 1

1 1

2

2 2

2

2 2 2 1

1 1 1

ˆ

ˆ

n

i i

n

n

i

i i

W

x

x W



 





  







=> ˆ2 có phương sai nhỏ nhất trong các ước lượng tuyến tính không chệch của 2.

 Tương tự: => ˆ1là ước lượng không chệch có phương sai nhỏ nhất của 1

Câu 8: Xét hàm hồi qui tuyến tính 2 biến E(Y/X i ) = 1+2Xi

1 Định nghĩa hệ số xác định:

Hệ số xác định R2 là đại lượng dùng để đo mức độ phù hợp của hàm hồi qui, R2

được tính bằng công thức:

TSS

RSS 1 TSS

ESS

R2







(Tổng bình phương tất cả các sai lệch giữa Y i với Y )

ˆ ˆ

(Tổng bình phương tất cả các sai lệch giữa ˆ Y với i Y )

ˆ

n n

i i

(Tổng bình phương tất cả các sai lệch giữa Y i với ˆ Y ) i

Ta có: 0 ≤ R2 ≤ 1

- R2 = 0: X, Y khôg có quan hệ

- R2 = 1: Tất cả các sai lệch của Y đều giải thích được bởi mô hình hồi qui

2 Tại sao có thể dùng hệ số xác định để đánh giá mức độ phù hợp của mô hình hồi qui mẫu?

Theo công thức, ta thấy :

TSS

RSS 1 TSS

ESS

R2





 Nếu hàm hồi qui mẫu phù hợp tốt với các số liệu quan sát thì ESS sẽ càng lớn hơn RSS, ngược lại nếu hàm hồi qui mẫu kém phù hợp với các giá trị quan sát thì RSS sẽ càng lớn hơn ESS

Vì vậy, trong hàm hồi qui mẫu, R

2

dùng để giải thích sự thay đổi của Y theo X

Câu 9: Nêu định nghĩa, ý nghĩa các tính chất của hệ số tương quan Minh hoạ

các tính chất bằng đồ thị.

1 Định nghĩa – Ý nghĩa: Hệ số tương quan (r) là số đo mức độ chặt chẽ của quan

hệ tuyến tính giữa X và Y, được xác định bởi công thức:

i

i

X X

2 Tính chất:

- Dấu của r phụ thuộc vào dấu của Cov(X,Y) hay dấu của hệ số góc 2

- -1 ≤ r ≤ 1

- r có tính chất đối xứng: rXY = rYX

- r độc lập với gốc toạ độ và các tỉ lệ

- X, Y độc lập => rXY = 0

- r chỉ là đại lượng đo sự kết hợp tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính r không có ý nghĩa để mô tả quan hệ phi tuyến

Vì vậy, Y = X2 là mối quan hệ chính xác nhưng r = 0

3 Đồ thị: (Xem hình 2.7 – Trang 32)

Câu 10 : Xét hàm hồi qui : Y 12X23X3 k X kU i

1 Kiểm định giả thiết bằng phương pháp khoảng tin cậy:

2 Kiểm định giả thiết bằng phương pháp mức ý nghĩa:

Câu 11: Xét hàm hồi qui tuyến tính 2 biến: E(Y/X0) =1+ 2X0

1 Chứng minh công thức dự báo khoảng cho giá trị trung bình của Y

- Với Xi = X0, giá trị đúng của dự báo trung bình E(Y/X0) được tính bởi:

E(Y/X0) =1+ 2X0 (1) =>   

Y   X (2)

- Lấy kì vọng toán của (2), ta có:

- Tức Y là ước lượng không chệch của E(Y/X0 0)

- Theo tính chất của phương sai, ta có: var(X Y ) var( ) var( ) 2cov( , ) X  Y  X Y

var( ) var( ) (Y    X ) var( ) 2  X cov( ,  ) (3)

2

( ) ( ) var( )

i

X X

x





2

var( )

X





- Vậy: cov( ,1  2) 2 2

i

X x

- Thay (4), (5), (6) vào (3) ta được:

var( )

Y

- Do Y là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn với kì vọng toán0

bằng 1+ 2X0 và phương sai tính theo công thức (7) Vậy:



0

( )

Z

se Y

 là đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn N(0,1)

- Nếu trong công thức của se( Y ) ta thay 0 2

 bằng  thì :2







T

là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật Student với bậc tự do là n-2

- Vì vậy, ta có thể tìm được giá trị t/2 thoả mãn: P T( t/2) 1   (8)

- Thay biểu thức của T vào (8), ta được :





0

1 ( )

se Y

 P Y0 t se Y/2 ( )0  E Y X( / 0) Y0t se Y/2 ( )0  1 

 P Y0 t se Y/2 ( )0 E Y X( / 0)Y0t se Y/2 ( )0  1  (9)

- Từ biểu thức (9) => CT dự báo GTTB:  

2 Tại sao khi dự báo khoảng cho giá trị trung bình của Y, nếu X 0 càng xa X thì độ chính xác của dự báo càng giảm?

- X0 càng lệch ra khỏi giá trị trung bình thì sai số của dự báo càng lớn Chúng ta sẽ thấy rõ điều này qua đồ thị sau:

100

200

300

400

500

600

700

800

Thu nhập khả dụng, X (XD)

- Khi X0 càng xa X thì khả năng dự đoán đường hồi qui mẫu càng giảm mạnh,

nghĩa là độ chính xác của dự báo càng giảm

Câu 12: Xét hàm hồi qui tuyến tính 2 biến: E(Y/X0) =1+ 2X0

1 Chứng minh công thức dự báo khoảng cho giá trị cá biệt của Y

- Thật vậy, theo cách viết của hàm hồi qui tổng thể dạng ngẫu nhiên, ta có:

Y0 =1+ 2X0 + U0 (1) => Y0 1 2X0 (2)

- Vì  , 1  là ước lượng không chệch của 2 1,2 và E(U0) = 0 theo giả thiết

Bình phương 2 vế của (3), rồi lấy kì vọng toán Ta có:

var(Y  Y ) var( ) (   X ) var( ) 2  X cov( ,  ) var( U ) (4)

- Ta có:



( ) ( ) var( )

i

X X

x



X

Ước lượng khoảng cho Y0 Ước lượng khoảng cho Y0

Y

       



2

var( )

X





- Vậy: cov( ,1  2) 2 2

i

X x

0

- Thay (5),(6),(7),(8) vào (4), ta được:

2

2

1

1 1

i

i









(9)

(Y  Y )là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn với kì vọng toán = 0 và phương sai tính theo CT (9) Vậy:





Z



 là đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn N(0,1)

- Nếu trong CT của 

se Y  Y ta thay 2

 (chưa biết) =  thì:2









T

  là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật Student với bậc tự do là (n – 2)

- Vì vậy, ta có thể tìm được giá trị t/2 thoả mãn: P T( t/2) 1   (10)

- Thay biểu thức của T vào (10), ta được:







 P Y(0 t se Y/2 ( 0 Y0)Y0 Y0t se Y/2 ( 0 Y0)) 1   (11)

- Từ (11) => CT dự báo cho giá trị cá biệt: Y0t se Y/2 ( 0 Y0)

2 Trong 2 dự báo trên với cùng độ tin cậy và X 0 , dự báo nào có độ chính xác cao hơn? Vì sao?

- Với cùng độ tin cậy  và X = X0, ta thấy:

Dự báo GTCB có: Y0 t se Y/2 ( 0 Y0)Y0 Y0 t se Y/2 ( 0Y0)

- Như vậy, khoảng tin cậy của GTCB rộng hơn khoảng tin cậy của GTTB Do đó, độ chính xác của dự báo GTCB cao hơn dự báo GTTB

Câu 13: Định nghĩa hệ số co giãn – Nêu ý nghĩa?

1 Định nghĩa hệ số co giãn:

- Xét mô hình tuyến tính logarit: lnY i   2lnX iU i

- Hệ số co giãn của Y đối với X chính là hệ số 2của mô hình tuyến tính logarit và được định nghĩa như sau: / 2

/

/

Y X

E



2 Ý nghĩa của hệ số co giãn:

- EY/X cho biết trong trường hợp các nhân tố khác không đổi, nếu X tăng 1% thì Y tăng (giảm) bao nhiêu %

- Nếu E Y X/ < 1 thì ta nói Y không có tính co giãn đối với X.

Câu 14: Nêu ý nghĩa các hệ số  ,  , ( ) của hàm sản xuất Cobb – Douglas.

Xét hàm sản xuất Cobb – Douglas: 2 3 i

U

i i i

Y X X e 



-  = độ co giãn riêng của sản lượng (Y) đối với lao động (X2i): cho biết sản lượng tăng (giảm) bao nhiêu % khi lượng lao động tăng (giảm) 1% với lượng vốn (X3i) không đổi

-  = độ co giãn riêng của sản lượng (Y) đối với vốn (X3i) khi lao động (X2i) không đổi

- () dùng để đánh giá việc tăng qui mô sản xuất, cụ thể:

* ( )=1 => tăng qui mô không hiệu quả  Các yếu tố đầu vào (vốn, lao động)

tăng lên k lần thì sản lượng tăng lên k lần

* ( )<1 => tăng qui mô kém hiệu quả  Các yếu tố đầu vào tăng lên k lần

nhưng sản lượng tăng ít hơn k lần

* ( )>1 => tăng qui mô có hiệu quả  Các yếu tố đầu vào tăng lên k lần và

sản lượng tăng nhiều hơn k lần

Câu 15: Trình bày phương pháp OLS đối với hàm hồi qui 3 biến

Cmr: CT  (X X T ) 1X Y T

 áp dụng cho hàm 2 biến (k = 2) cũng chính là CT tính   , 1  của hàm hồi qui 2 biến.2

1 Trình bày phương pháp OLS đối với hàm hồi qui tuyến tính 3 biến.

- Xét mô hình: E Y X( / 2i,X3i)12X2i3X3i

- Gsử ta có hàm hồi qui mẫu :    

Trong đó: 

1

 là ước lượng điểm của j (j =1, 2, 3)

- Khi đó : Y i 1 2X2i 3X3ie i (ei là phần dư ứng với quan sát thứ i)

i

- Theo phương pháp OLS,  , 1  và 2  được chọn sao cho:3



2

i

i i

Tính đạo hàm riêng bậc 2 của f    theo ( ,  , )