Tích chập tích phân và ứng dụng

Lý do chọn đề tài Phép biến đổi tích phân là một trong những vấn đề quan trọng của giảitích toán học và được phát triển liên tục trong khoảng hai trăm năm trở lại đây.Phép biến đổi tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Mục lục

Mục lục 2

Lời cảm ơn 4

Lời cam đoan 5

Mở đầu 6

Một số kí hiệu dùng trong luận văn 10

1 Một số kiến thức cơ sở 12

1.1 Phép biến đổi Fourier 12

1.1.1 Định nghĩa 12

1.1.2 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier 13

1.2 Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine 17

1.2.1 Định nghĩa 17

1.2.2 Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier cosine và Fourier sine 18

1.3 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev 22

1.3.1 Định nghĩa 22

1.3.2 Phép biến đổi ngược Kontorovich-Lebedev 23

1.3.3 Tích chập Kontorovich-Lebedev 23

1.4 Một số ứng dụng 23

1.4.1 Phương trình vi phân 23

1.4.2 Phương trình đạo hàm riêng 25

Kết luận chương 1 29

2 Tích chập suy rộng Fourier 30

2.1 Tích chập suy rộng Fourier sine - Fourier cosine 30

2.2 Tích chập suy rộng Fourier - Fourier sine - Fourier cosine 38

2.3 Một số ứng dụng 45

Kết luận chương 2 53

3 Tích chập suy rộng Kontorovich - Lebedev 54

3.1 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev ngược 54

3.2 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev giao hoán 68

3.3 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev không giao hoán 69

3.4 Ứng dụng 70

3.4.1 Hệ phương trình tích phân tổng quát dạng chập 70

3.4.2 Các ví dụ minh họa 74

Kết luận chương 3 82

Kết luận 83

Tài liệu tham khảo 84

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, cácthầy giáo, cô giáo của Seminar Giải tích, Đại học Bách Khoa Hà Nội đã giúp

đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

và hoàn thành luận văn này

Cuối cùng tôi xin được cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên kịpthời để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 26 tháng 09 năm 2016

Học viênMai Minh Long

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS.Nguyễn Xuân Thảo Tôi cũng xin cam đoan rằngluận văn này không trùng với các đề tài, luận văn đã công bố và các thông tintrích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Tác giảMai Minh Long

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phép biến đổi tích phân là một trong những vấn đề quan trọng của giảitích toán học và được phát triển liên tục trong khoảng hai trăm năm trở lại đây.Phép biến đổi tích phân đóng vai trò quan trọng trong toán học cũng như trongnhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên khác, đặc biệt là trong việc giải các bài toánvới điều kiện ban đầu và điều kiện biên của phương trình vi phân, phương trìnhđạo hàm riêng, phương trình tích phân, và các bài toán của vật lý - toán Cácphép biến đổi tích phân là những công cụ có hiệu lực để chuyển các toán tử viphân, toán tử đạo hàm riêng, toán tử tích phân về toán tử đại số và đồng thờiđưa các hệ phương trình vi phân, tích phân về hệ phương trình đại số tuyến tínhquen thuộc Những phép biến đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộngrãi nhất và ra đời sớm nhất đó là các phép biến đổi tích phân Fourier, Fouriercosine, Fourier sine

Cùng với sự phát triển của lý thuyết các phép biến đổi tích phân, mộthướng phát triển mới của lý thuyết các phép biến đổi tích phân là tích chậpcủa các phép biến đổi tích phân xuất hiện vào khoảng đầu thế kỷ 20 Các tíchchập được nghiên cứu đầu tiên đó là: Tích chập đối với phép biến đổi tích phânFourier F của hai hàm f và g được xác định như sau [3,5]

F g)(y) = (F f )(y).(F g)(y), ∀ y ∈ R, ∀ f, g ∈ L1(R).

Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fc của hai hàm f

và g được xác định như sau [5]

Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

F c (f ∗

g)(y) = (F c f )(y).(F c g)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1(R + ).

Tiếp đến là tích chập đối với các phép biến đổi Laplace, Mellin, Hilbert,Hankel và Stieltjes

Các tích chập nói trên đều có cùng một thuộc tính đặc trưng đó là trongđẳng thức nhân tử hóa của chúng chỉ có duy nhất một phép biến đổi tích phântham gia Điều này ít nhiều làm hạn chế đến cấu trúc và việc ứng dụng chúngvào giải các các phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập và các bàitoán thực tế

Năm 1951, I.N.Sneddon [11] đã xây dựng được tích chập suy rộng đầu tiênđối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine

1 g)(y) = (Fsf )(y).(Fcg)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1(R+).

Năm 1958, lần đầu tiên tích chập với hàm trọng ra đời Đó là tích chậpvới hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Mehler – Fox được khám phá bởiV.Y.Ya

Sau đó, năm 1967, V.A.Kakichev đã xây dựng phương pháp kiến thiết tíchchập với hàm trọng γ(y) đối với phép biến đổi tích phân K bất kì, thỏa mãnđẳng thức nhân tử hóa sau

K(f ∗ g)(y) = γ(y)(Kf )(y)(Kg)(y).

Nhờ phương pháp này mà một số tích chập với hàm trọng đã được xâydựng và nghiên cứu

Đến đầu những năm 90 của thế kỷ trước, S.B.Yakubovich đã đưa ra một

số tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân với chỉ số, chẳng hạn

như tích chập đối với phép biến đổi tích phân Mellin, tích chập đối với phépbiến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev, biến đổi G, biến đổi H.

Vào năm 1998, V.A.Kakichev và N.X.Thảo đã đưa ra phương pháp mớikiến thiết tích chập suy rộng của ba phép biến đổi tích phân bất kì K 1 , K 2 , K 3

với hàm trọng γ(y) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

K1(f γ∗ g)(y) = γ(y)(K2f )(y)(K3g)(y).

Từ ý tưởng của bài báo này trong những năm trở lại đây N.X.Thảo vàN.M.Khoa đã xây dựng và nghiên cứu hàng chục tích chập, tích chập suy rộng

và đa chập đối với chùm ba phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine,Fourier sine Chẳng hạn như: Tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fouriercosine và Fourier sine được xác định bởi

(fγ∗1

3 g)(x) = 1

2 √ 2π

phương trình vi, tích phân Vì vậy, tôi đã chọn hướng nghiên cứu của luận văn

là "Tích chập tích phân và ứng dụng" Cụ thể luận văn nghiên cứu tích chập vàtích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine,Fourier sine, Kontorovich-Lebedev và ứng dụng chúng vào giải phương trình và

hệ phương trình tích phân dạng chập

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày và nghiên cứu ba tích chập, tích chập suy rộng đối với các phépbiến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev vàứng dụng chúng để giải phương trình tích phân và hệ phương trình tích phândạng chập

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phépbiến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev vàứng dụng vào giải phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân dạng chập

4 Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng các phép biến đổi tích phân và các kết quả của giải tích, giảitích hàm

•Sử dụng phương pháp kiến thiết tích chập với hàm trọng của V.A.Kakichev,N.X.Thảo và kỹ thuật trong các bài báo của N.X.Thảo, N.M.Khoa để tìm hiểu,nghiên cứu các tích chập, tích chập suy rộng và các ứng dụng của chúng

5 Bố cục của luận văn

Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, luận văn gồm ba chương:

• Chương 1 Một số kiến thức cơ sở

Nhắc lại định nghĩa, các tính chất cơ bản của các phép biến đổi Fourier,Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev và một số ví dụ áp dụng cácphép biến đổi này trong việc giải các phương trình vi phân, phương trình đạohàm riêng

• Chương 2 Tích chập suy rộng Fourier

Trình bày định nghĩa và các tính chất của ba tích chập, tích chập suy rộngđối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine và

ứng dụng.

• Chương 3 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev

Trình bày định nghĩa và một số tính chất của tích chập suy rộng mà đẳngthức nhân tử hóa có biến đổi Kontorovich-Lebedev, ứng dụng của tích chập này

6 Kết quả đạt được

Luận văn đã trình bày làm rõ các vấn đề sau:

• Các biến đổi tích phân Fourier, Kontorovich Lebedev, Kontorovich Lebedev ngược và các tính chất, ứng dụng

-• Các tích chập đối với các phép biến đổi Fourier, Kontorovich - Lebedev,các đẳng thức và ứng dụng

• Các tích chập suy rộng của các phép biến đổi Fourier, Kontorovich Lebedev, Kontorovich - Lebedev ngược và ứng dụng

-• Mở ra các hướng nghiên cứu mới về đa chập và ứng dụng của tích chậpKontorovich - Lebedev trong các bài toán toán lý

Luận văn này đã được báo cáo tại Seminar Giải tích, Đại học Bách Khoa

Hà Nội

Một số kí hiệu dùng trong luận văn

Chương 1Một số kiến thức cơ sở

Trong chương này, tôi sẽ trình bày một số kiến thức về các phép biếnđổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, phép biến đổi Kontorovich-Lebedev, tích chập tương ứng của các phép biến đổi này và ứng dụng của chúngtrong việc giải phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng

1.1 Phép biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.1.2: (Biến đổi Fourier ngược) Nếu F (y) ∈ L1(R) thì hàm

Ví dụ 1.1.1: Tìm biến đổi Fourier của hàm exp(−ax2), a > 0.

Nhận xét: Nếu a = 12 th`ı F {e−2 }(y) = e−2 tức là hàm e−2 và biến đổiFourier của nó có dạng giống nhau (hàm có tính chất như vậy được gọi là tựnghịch đảo qua phép biến đổi Fourier).

Ví dụ 1.1.2: Tìm biến đổi Fourier của hàm

a (a 2 + y 2 ).

1.1.2 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier

Tính chất 1: Phép biến đổi Fourier là toán tử tuyến tính

Chứng minh: Theo định nghĩa ta có

Tính chất 5: Nếu f (x) khả vi liên tục từng khúc và khả tích tuyệt đối thì(i) f (y) = (F f )(y)ˆ bị chặn,

(ii) f (y) = (F f )(y)ˆ liên tục ∀y ∈ R

Chứng minh: Theo định nghĩa, ta có

Điều này chứng tỏ f (y)ˆ liên tục ∀y ∈ R

Tính chất 6: (Bổ đề Riemann - Lebesgue) Nếu f (y) ∈ L1(R) thì

−∞

e−iyx[f (x) − f (x − π

y)]dx.

f (x)cosyxdx. (1.2.1)được gọi là biến đổi Fourier cosine của hàm f

Ta có công thức biến đổi ngược là

0

ˆ

f (y)cosxydy.

Định nghĩa 1.2.2: Cho f ∈ L1(R+), hàm Fs(f ) xác định bởi

ˆ

f (y) = (Fsf )(y) =

r

2 π

0

f (x) sin yxdx. (1.2.2)

được gọi là biến đổi Fourier sine của hàm f.

Ta có công thức biến đổi ngược là

• Nếu f(x) là hàm chẵn thì (F f )(y) = (Fcf )(y), ∀y > 0.

• Nếu f(x) là hàm lẻ thì (F f )(y) = −i(F s f )(y), ∀y > 0.

Ví dụ 1.2.1: Tìm biến đổi Fourier cosine và Fourier sine của hàm

0

e−axcosyxdx

= 12

r

2 π

0

= 12

0

e−axsin yxdx

= 12i

r

2 π

0

= 12i

Tính chất 1: Các phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine là các toán

Chứng minh tương tự cho phép biến đổi Fourier sine.

Tính chất 2: Với a > 0, đặt fa(x) = f (ax). Khi đó, ta có

0

f (ax)cosyxdx

= 1a

r

2 π

r

2 π

Định nghĩa 1.2.3: Tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine của haihàm f và g được xác định bởi

2 π

g(u − t) cos ytdtdu.

g(u − t)cosytdtdu = 0. (1.2.11)

0

1

√ 2π

Định nghĩa: Cho f, g ∈ L1(R+).Tích chập với hàm trọng η(y) = sin y củahai hàm f và g đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine được xác định nhưsau:

(f ∗η

g)(x) = 1

2 √ 2π

Mà f (x) ∈ L1(R+) nên tích phân (1.3.1) hội tụ.

1.3.2 Phép biến đổi ngược Kontorovich - Lebedev

Phép biến đổi Kontorovich - Lebedev ngược (K−1) của một hàm được xácđịnh như sau:

i

f (u)g(v)dudv, x > 0.

(1.3.4)Tích chập (1.3.4) thuộc không gian L1(R+) và thỏa mãn đẳng thức nhân

tử hóa sau

K(f ∗

K g)(y) = (Kf )(y)(Kg)(y), ∀y > 0. (1.3.5)

Để ý rằng tất cả các tích chập trình bày ở trên đều có một đặc điểm chung

là đẳng thức nhân tử hóa của chúng chỉ có duy nhất một phép biến đổi tíchphân tham gia Do đó, ít nhiều làm ảnh hưởng đến tính ứng dụng của nó ỞChương 2 và Chương 3 sẽ trình bày các tích chập suy rộng với các phép biếnđổi tích phân và các ứng dụng của chúng

L = anDn+ an−2Dn−1+ + a1D + a0,

trong đó an, an−1, a1, a0 là các hằng số,D ≡ dxd và f (x) là hàm cho trước.Giải: Áp dụng biến đổi Fourier cho hai vế của (1.4.1) ta được

[an(ik)n+ an−1(ik)n−1+ + a1(ik) + a0](F y)(k) = (F f )(k).

Phương trình trên được viết gọn lại là

Ví dụ 1.4.2: Tìm nghiệm của phương trình vi phân

− d

dx 2 + a2u = f (x), − ∞ < x < +∞, (1.4.4)(trong đó f (x) là hàm cho trước) bằng phương pháp biến đổi Fourier.Giải: Áp dụng biến đổi Fourier vào hai vế của (1.4.4) ta được

−(ik)2 ˆu(k) + a2 ˆu(k) =

ˆ

f (k)

1.4.2 Phương trình đạo hàm riêng

Ví dụ 1.4.3: Xét phương trình truyền nhiệt sau

∂d

∂t(x, t) =

∂2u

∂x 2 (x, t). (1.4.6)Hãy tìm nghiệm của phương trình trên với điều kiện về nhiệt độ ban đầu

t = 0,

u(x, 0) = u0(x) (1.4.7)

và thỏa mãn các điều kiện

(i) u, ux, uxx liên tục, khả tích trên R theo biếnx, ∀t ≥ 0 cố định,

(ii) ∀T > 0, ∃ϕ ∈ L1(R) sao cho |ut(x, t)| ≤ ϕ(x), ∀t ∈ [0; T ], ∀x.

Giải: Biến đổi Fourier vế trái của (1.4.6) như là một hàm theo biến x (xem

Tương tự, biến đổi Fourier vế phải (1.4.6) và sử dụng tính chất 7 của biếnđổi Fourier ta có

F {u xx (x, t)}(k) = (ik)2 ˆu(k, t) = −k2 ˆu(k, t).

Như vậy, việc biến đổi Fourier hai vế của (1.4.6) cho ta phương trình viphân thường theo biến t

ˆ

ut(k, t) = −k2 ˆu(k, t). (1.4.8)Điều kiện ban đầu của phương trình vi phân (1.4.8) có được bằng cách biếnđổi Fourier hai vế của (1.4.7) Khi đó, phương trình (1.4.8) có nghiệm là



= √12πt

(ii) u(x, 0) = P (x), (P (x) là hàm phân bố nhiệt độ ban đầu).

Ở đây, ta giả thiết thêm rằng hàm u cùng với tất cả các đạo hàm của nótheo biến x tiến tới 0 khi x → ∞.

Giải: Áp dụng biến đổi Fourier sine vào hai vế của (1.4.9) ta có

0

u sin kxdx

= −k2U (k, t) vì u(0, t) = 0. (1.4.12)

Từ (1.4.11) và (1.4.12) ta có

dU (k, t)

dt = −k

2 U (k, t). (1.4.13)Khi đó, phương trình (1.4.13) có nghiệm

U (k, t) = U (k, 0)e−k2t, (1.4.14)trong đó

U (k, 0) = Fs{u(x, 0)} =

r

2 π

0

U (k, t) sin kxdx.

Kết luận Chương 1

Trong chương một luận văn đã trình bày về :

•Phép biến đổi Fourier, Fourier ngược, Fourier sine, Fourier cosine, Lebedev, các tính chất cơ bản của chúng

Kontorovich-• Các tích chập của hai hàm đối với các phép biến đổi tích phân

• Ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàmriêng

Tài liệu tham khảo: [2], [4], [6 - 8], [11], [14]

Chương 2Tích chập suy rộng Fourier

Chương này sẽ trình bày về tích chập suy rộng Fourier sine - Fourier cosine,tích chập suy rộng Fourier - Fourier sine - Fourier cosine, một số mệnh đề, đẳngthức, định lý của chúng và một số ứng dụng

2.1 Tích chập suy rộng Fourier sine - Fourier cosine

Định nghĩa 2.1.1: Tích chập suy rộng của f và g đối với các phép biếnđổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine được xác định bởi

g(v)cos(yv)dv

!(2)

= 2π

Z t 0

0

f (t)g(|x − t|) sin(yx)dtdx

= 1π

Z t 0

0

f (t)g(−x + t) sin(yx)dtdx. (2.1.8)

Đổi biến t = u, x = −(u − v), ta có

1 π

Z t 0

1 f )(y) = (Fsg)(y)(Fcf )(y).

Suy ra tích chập suy rộng (2.1.1) không giao hoán

Mệnh đề 2.1.1: Trong không gian hàm L1(R + ),tích chập suy rộng (2.1.1)không giao hoán, không kết hợp nhưng thỏa mãn các đẳng thức

Ở đây, (g ∗

h) được xác định bởi (1.2.3) còn(g ∗

3 h) được xác định bởi (0.1).Chứng minh: a, Từ đẳng thức nhân tử hóa (2.1.2) ta có

= (Fsf )(y)(Fcg)(y)(Fch)(y)

= (Fsf )(y)(Fch)(y)(Fcg)(y)

f (x − t)g(t)dt, x > 0, (2.1.10)trong đó biến đổi tích phân Laplace được cho bởi [11]

Z x 0

Đổi biến y = x + t ta được

Giả sử e là phần tử đơn vị của phép toán tích chập (2.1.2) trong khônggian hàm L1(R+). Khi đó, ta có:

(f ∗

1 g)(x) = f (x), ∀x > 0, ∀f ∈ L1(R+).

Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (2.1.2) ta được

(F s f )(y)(F ce)(y) = (F s f )(y), ∀y > 0, ∀f ∈ L1(R + ),

1

1 + y 2 > 0, ∀y > 0 ( Xem ví dụ 1.1.2)

Do đó, đẳng thức cuối tương đương với

(Fce)(y) − 1 = 0, ∀y > 0. (2.1.15)Mặt khác, theo Định lý Riemann - Lebesgue (Chương 1) ta có

Điều này và đẳng thức (2.1.15) dẫn tới điều vô lí

Vậy, không gian L1(R + ) được trang bị phép toán tích chập (2.1.1) là vànhđịnh chuẩn không giao hoán, không kết hợp và không có phần tử đơn vị

Định lý 2.1.3: (Định lý kiểu Titchmarch) Cho f, g ∈ L(R+,ex ). Khi đó,nếu (f ∗

f (x)xnsin(yx + π

2)

dn(Fsf )(y0)

dy n (y − y0)n

≤ Cn!1n! |(y − y0)n| = C |(y − y0)n|

nên chuỗi trên hội tụ khi

|y − y0| < 1.

Suy ra (F s f )(y) giải tích trong miền

{y ∈ C : |y − y0| < 1}, y0∈ R+.

Tương tự (Fcg)(y) giải tích trong miền

f (u)[sign(u − x)(g(|u − x|) + g(u + x))]du, x > 0. (2.1.17)

Tích chập (2.1.17) thuộc không gian L1(R+) và thỏa mãn đẳng thức nhân

tử hóa

F c (f ∗

3 g)(y) = (F s f )(y)(F s g)(y), ∀y > 0. (2.1.18)2.2 Tích chập suy rộng Fourier - Fourier sine - Fourier cosineĐịnh nghĩa 2.2.1: Tích chập suy rộng có hàm trọng γ3(y) = signy đối với

ba phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine của hai hàm f

Fourier cosine và Fourier sine của các hàmf và g thuộcL1(R)có đẳng thức nhân

f (u)[sign(u − x)(g(|u − x|) + g(u + x))]du, x > 0. (2.1.17)

Tích chập (2.1.17) thuộc khơng gian L1(R+)... γ3(y) = signy

ba phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine hai hàm f