Nghiên cứu phân tích xử lý ảnh bằng phương pháp wavelet định hướng

Phương pháp này có hiệu suất nén cao hơn rất nhiều so với phương pháp nén dự đoán bởi vì chính các phép biến đổi sử dụng các thuộc tính nén năng lượng của mình đã gói gọn toàn bộ năng lư

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

Kỹ thuật truyền thông

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :

PGS.TS Nguyễn Hữu Trung

Hà Nội – Năm 2013

1

Chương 1 Giới thiệu chung 8

1.1 Giới thiệu về nén ảnh 8

1.1.1 Sự cần thiết của công nghệ nén 8

1.1.2 Nguyên lý nén ảnh 8

1.1.3 Tiêu chuẩn đánh giá chất lượng mã hoá ảnh 11

1.2 Độ phân giải thời gian – tần số và nguyên lý bất định 12

1.3 Kỹ thuật mã hoá dựa trên phép biến đổi 13

1.3.1 Phép biến đổi Fourier 13

1.3.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn 14

1.3.3 Đa phân giải và Biến đổi Wavelet 15

1.4 Tổ chức luận văn 16

Chương 2 Lý thuyết Wavelet 18

2.1 Giới thiệu chung về Wavelet 18

2.2 Biến đổi wavelet liên tục 20

2.3 Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform) 20

2.3.1 Phân tích đa phân giải 21

2.3.2 Biến đổi wavelet rời rạc 22

2.3.3 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc 23

2.3.4 Biểu diễn ma trận DWT 27

2.4 Chuỗi Wavelet 30

2.4.1 Tính chất 30

2.4.2 Các tính chất của hàm tỷ lệ 32

2.4.3 Biến đổi chuỗi wavelet của tín hiệu 32

2.5 Phân loại Wavelet 33

2

2.7.1 Nén tín hiệu 39

2.7.2 Khử nhiễu 40

2.7.3 Mã hoá nguồn và mã hoá kênh 40

2.7.4 Wavelet trong các ứng dụng y sinh 40

2.7.5 Ứng dụng trong an toàn thông tin liên lạc 41

Chương 3 Ứng dụng Wavelet định hướng trong kỹ thuật nén ảnh 42

3.1 Giới thiệu 42

3.2 Tính chất bất đẳng hướng của ảnh và dư thừa dự đoán 43

3.3 Nguyên lý biến đổi định hướng 44

3.4 Khái niệm lifting 46

3.5 Biến đổi Wavelet trong xử lý nén ảnh 52

3.5.1 Việc nén ảnh 57

3.5.2 Việc truyền hình ảnh tăng cấp chi tiết dần dần 60

3.6 Biến đổi wavelet dựa trên cơ chế lifting 61

3.7 Biến đổi wavelet ADL 62

3.7.1 Nội suy pixel con 68

3.7.2 So sánh biến đổi wavelet ADL với biến đổi wavelet thẳng 70

3.8 Biến đổi Wavelet 2-D dựa trên cơ chế Lifting kết hợp dự đoán định hướng (2D-dir-DWT) 72 3.9 Biến đổi Wavelet 1-D dựa trên cơ chế lifting kết hợp dự đoán dư thừa(1D-dir-DWT) 73

Chương 4 Mô phỏng và thực nghiệm 75

4.1 Mô phỏng theo thuật toán đề xuất 75

4.2 Nhận xét kết quả mô phỏng đã thu được 78

4.3 Một số kết quả nghiên cứu thực nghiệm 79

4.4 Tổng kết 82

3

5.2 Hướng nghiên cứu tiếp theo 83 Các thuật ngữ viết tắt 85 Tài liệu tham khảo 86

4

Hình 2-1: Không gian và các không gian con trong đa phân giải Không gian 2

biểu diễn toàn bộ không gian biểu diễn một không gian con, biểu diễn chi tiết 22

Hình 2-2 Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con 24

Hình 2-3 Băng lọc hai kênh 27

Hình 2-4 Lấy mẫu đôi và tiling thời gian 31

Hình 2-5 Sơ đồ phân tích DWT 33

Hình 2-6 Sơ đồ tổng hợp DWT 33

Hình 2-7 Hàm của biến đổi Haar 35

Hình 2-8 Hàm của biến đổi Meyer 35

Hình 2-9 Hàm của họ biến đổi Daubechies với 36

Hình 2-10 Một vài hàm của các cặp họ biến đổi Biorthogonal 37

Hình 2-11 Hàm của họ biến đổi Coiflets 37

Hình 2-12 Một vào hàm của họ biến đổi Symlets 38

Hình 2-13 Hàm của biến đổi Morlet 38

Hình 2-14 Hàm của biến đổi Mexican Hat 38

Hình 3-1 Ảnh gốc (có độ phân giải CIF), ảnh MC-residual và ảnh RE-residual 44

Hình 3-2 Mô hình biến đổi lifting thuận 47

Hình 3-3 Bước dự đoán và Update trong Lifting 47

Hình 3-4 Tính toán các hệ số wavelet trong Lifting 50

Hình 3-5 Rosa Parks (1955) và Nelson Mandela (1990) 53

Hình 3-6 Rosa Parks – Trích dẫn một vùng ảnh nhỏ để nghiên cứu 54

Hình 3-7 Việc nén ảnh với các mức ngưỡng khác nhau 59

Hình 3-8 Bức ảnh sau khi nén 60

Hình 3-9 Quá trình truyền ảnh Nelson Mandela 61

5

Hình 3-12 Ảnh gốc (a) và ảnh kết quả sau các băng con LL (b), LH (c), HL (d), HH (e) 66

Hình 3-13 Phân vùng ảnh Barbara và hướng trong mỗi block 67

Hình 3-14 So sánh ảnh xử lý theo JPEG2000 và biến đổi ADL 2D 1 mức 68

Hình 3-15 So sánh ảnh giải mã ở tốc độ 0.3bpp dùng bộ lọc 5/3 71

Hình 3-16 Đồ thị PSNR của biến đổi wavelet thẳng và wavelet ADL 72

Hình 3-17 Các lựa chọn dự đoán hướng 73

Hình 4-1 Ảnh gốc ban đầu 75

Hình 4-2 Kết quả sau khi biến đổi Wavelet 1 chiều theo hàng 76

Hình 4-3 Kết quả sau khi biến đổi Wavelet 2 chiều 1 mức 76

Hình 4-4 Kết quả sau khi biến đổi Wavelet 2 chiều 2 mức 77

Hình 4-5 Ảnh sau khi biến đổi wavelet dựa trên cơ chế lifting 1 mức 77

Hình 4-6 Ảnh sau khi biến đổi wavelet dựa trên cơ chế lifting 2 mức 78

Hình 4-7 Mức tiết kiệm hệ số của 2D-dir-DWT so với 2D-sep-DWT 81

Hình 4-8 Mức tiết kiệm hệ số của 1D-dir-DWT+2D-sep-DWT so với 2D-sep-DWT 81

6

Bảng 1-1 Yêu cầu về không gian lưu trữ của các loại dữ liệu không nén 8

Bảng 3-1 Kết quả 3 bước biến đổi Wavelet tương ứng 56

Bảng 3-2 Giá trị hệ số trung bình trong băng con LH, HL và HH 69

Bảng 4-1 So sánh kết quả giữa biến đổi DWT-2D và Lifting DWT 78

7

Cuộc sống càng phát triển, nhu cầu thông tin của con người càng phong phú, dẫn đến sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật, các loại hình thông tin vô tuyến, các hình thức xử lý tín hiệu, đặc biệt là công nghệ xử lý ảnh Vấn đề này đặt

ra yêu cầu ngày càng cao trong việc xử lý tín hiệu để đảm bảo vừa có thể nén dữ liệu, tiết kiệm dung lượng trên đường truyền tín hiệu, vừa đảm bảo loại trừ nhiễu tín hiệu và có khả năng khôi phục lại được tín hiệu với chất lượng tốt

Có rất nhiều phương pháp xử lý tín hiệu với rất nhiều thuật toán, biến đổi toán học đã được nghiên cứu Trong số đó, biến đổi Wavelet hiện nay đang được xem là một phép biến đổi mới, có rất nhiều tiềm năng, đang phát triển khá mạnh mẽ với các

ưu điểm vượt trội so với các phép biến đổi truyền thống Wavelet cho phép phân tích tín hiệu cả trong miền thời gian và tần số Do đó, hiện nay biến đổi Wavelet đang được ứng dụng khá rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, từ y sinh tới công nghệ xử lý ảnh

Trong khuôn khổ luận văn này, em xin phép được giới thiệu về Nghiên cứu

phân tích xử lý ảnh bằng phương pháp Wavelet định hướng

Trong quá trình thực hiện luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo, các anh chị và các bạn

để luận văn được hoàn thiện hơn

Qua lời mở đầu, em xin được gửi lời trân trọng cảm ơn PGS.TS Nguyễn Hữu Trung và TS Nguyễn Thuý Anh đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và tạo điều kiện cho

em hoàn thành tốt luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn!

8

Chương 1 Giới thiệu chung

1.1 Giới thiệu về nén ảnh

1.1.1 Sự cần thiết của công nghệ nén

Ngày nay, các ứng dụng truyền Video/Hình ảnh trên môi trường Internet hay Truyền hình đang trở nên rất phổ biến Tuy nhiên, dữ liệu Video/Hình ảnh không nén là rất lớn Chúng ta có thể tham khảo một vài ví dụ về kích thước dữ liệu không nén:

Kích thước không nén

Văn bản 11”x8.5” Có độ phân giải

Bảng 1-1 Yêu cầu về không gian lưu trữ của các loại dữ liệu không nén

Ví dụ nêu trên cho thấy ảnh số, dữ liệu audio và video đều cầu một không gian lưu trữ lớn Để giải quyết vấn đề này, người ta tiến hành nén các dự liệu này trước khi lưu trữ hoặc truyền đi Quá trình giải nén sẽ được thực hiện khi người dung muốn sử dụng dữ liệu Với tỷ lệ nén 16:1, không gian lưu trữ yêu cầu giảm 16 lần

so với dung lượng yêu cầu

1.1.2 Nguyên lý nén ảnh

Hình ảnh mang một lượng thông tin rất lớn và do đó, yêu cầu về không gian lưu trữ và băng thông truyền lớn Việc thực hiện lưu trữ và truyền hình ảnh với kích thước gốc như vậy rất tốn kém Trong khi đó, một tính chất chung nhất của tất cả

- Dư thừa trong miền không gian: tương quan giữa các giá trị pixel của ảnh, điều này có nghĩa rằng các pixel lân cận của ảnh có giá trị gần giống nhau (trừ những pixel ở giáp đường biên ảnh)

- Dư thừa trong miền tần số: Tương quan giữa các mặt phẳng màu hoặc dải phổ khác nhau

Trọng tâm của các nghiên cứu về nén ảnh là tìm cách giảm số bit cần để biểu diễn ảnh bằng việc loại bỏ dư thừa trong miền không gian và miền tần số càng nhiều càng tốt mà vẫn đảm bảo khôi phục thông tin trong ảnh

Tỷ số nén là tham số quan trọng đánh giá khả năng nén của hệ thống, công thức được tính như sau:

Tỉ số nén = Kích thước dữ liệu gốc/Kích thước dữ liệu nén

Đối với ảnh tĩnh, kích thước chính là số bít để biểu diễn toàn bộ bức ảnh Đối với ảnh video, kích thước chính là số bít để biểu diễn một khung hình video (video

frame)

 Bộ mã hoá đặc trưng

Hình 1-1Mô hình bộ mã hoá ảnh

ra) và midtreat quantizer (có một số chẵn các mức ra)

- Lượng tử hóa vô hướng khác nhau (Nonuniform Scalar Quantization):

Phân chia vùng dữ liệu vào thành các khoảng không đều nhau Các khoảng cách có thể được lựa chọn để tối ưu hóa SNR cho một kiểu cụ thể của tín hiệu Một trong số các phương pháp lượng tử hóa của

Nonuniform Quantization là Companded quantizer

- Vector Quantization (VQ): Lượng tử hoá thực hiện trên một nhóm hệ số đồng thời

Bộ mã hoá Entropy thực hiện nén có tổn hao, sẽ đạt được hiệu quả nén cao hơn

Bộ mã hoá entropy thông dụng nhất là mã hoá Huffman và mã hoá Arithmetic Tuy nhiên, đối với các ứng dụng yêu cầu xử lý nhanh, mã hoá loạt dài (Run length Encoding -RLE) đơn giản lại đạt hiệu quả tốt hơn

Kỹ thuật mã hoá/nén ảnh có thể chia thành hai loại:

 Mã hoá dự đoán

Đối với mã hoá dự đoán (predictive coding) các giá trị mang thông tin đã được gửi hay đang sẵn có sẽ được sử dụng để dự đoán các giá trị khác và chỉ mã hoá sự sai lệch giữa chúng Phương pháp này đơn giản và rất phù hợp với việc khai thác các đặc tính cục bộ của bức ảnh

Kỹ thuật DPCM chính là một ví dụ điển hình của phương pháp này

11

Tuy nhiên, sai lệch giữa ảnh gốc và ảnh dự đoán vẫn có ý nghĩa (còn sử dụng ở bước tiếp theo) sau khi lượng tử hoá Chính điều này làm cho phương pháp mã hoá

dự đoán có nhiều dữ liệu được truyền đi hơn so với các phương pháp khác

 Mã hoá dựa trên phép biến đổi

Mã hoá dựa trên phép biến đổi (transform based coding) thực hiện như sau: Trước tiên thực hiện phép biến đổi với ảnh để chuyển sự biểu diễn ảnh từ miền không gian sang một miền biểu diễn khác Các phép biến đổi thường dùng là: DCT

- biến đổi Cosine rời rạc, DWT - biến đổi Wavelet rời rạc, LT - biến đổi trồng (lapped) Sau đó, thực hiện mã hoá đối với các hệ sộ biến đổi

Phương pháp này có hiệu suất nén cao hơn rất nhiều so với phương pháp nén dự đoán bởi vì chính các phép biến đổi (sử dụng các thuộc tính nén năng lượng của mình) đã gói gọn toàn bộ năng lượng bức ảnh chỉ bằng một số ít các hệ số, số lớn các hệ số còn lại ít có ý nghĩa hơn sẽ bị loại bỏ sau khi lượng tử hoá và như vậy lượng dữ liệu phải truyền nhỏ đi rất nhiều

 Mã hoá băng con

Bản chất của kỹ thuật mã hoá băng con (subband coding) là chia băng tần của tín hiệu (ảnh) thành nhiều băng con (subband) Để mã hoá cho mỗi băng con, chúng ta

sử dụng một bộ mã hoá và một tốc độ bít tương ứng với tính chất thống kê của băng con

1.1.3 Tiêu chuẩn đánh giá chất lượng mã hoá ảnh

Để đánh giá chất lượng ảnh ở đầu ra bộ mã hoá, người ta thường sử dụng hai

tham số: Sai số bình phương trung bình – MSE (Mean Square Error) và tỷ số tín hiệu trên nhiễu đỉnh – PSNR (Peak to Signal to Noise Ratio)

 MSE (Mean Square Error)

MSE thường được gọi là phương sai lượng tử - (Quantization Error

Variance) MSE giữa ảnh gốc và ảnh khôi phục được tính như sau:

12

(1.1)

Trong đó: Tổng lấy theo j và k tính là tổng tất cả các điểm ảnh trong ảnh và N là

số điểm ảnh

 PSNR (Peak to Signal to Noise Ratio)

Công thức tính giữa hai ảnh như sau:

(1.2)

Trong đó b là bít cho mỗi điểm ảnh, RMSE là căn bậc 2 của

Thông thường, nếu thì mắt người gần như không phân biệt được ảnh gốc và ảnh khôi phục

Một tham số khác hay sử dụng trong các hệ thống viễn thong là tỷ số tín hiệu trên nhiễu - , tuy vậy sử dụng cho một hệ thống né ảnh cũng có công thức

dB như sau:

(1.3)

1.2 Độ phân giải thời gian – tần số và nguyên lý bất định

Độ phân giải của tín hiệu có chiều dài hữu hạn là số mẫu tối thiểu cần có để biểu diễn tín hiệu đó Như vậy, độ phân giải của tín hiệu liên quan đến nội dung thông tin của tín hiệu Với tín hiệu có chiều dài vô hạn có năng lượng hữu hạn và suy giảm ở vô cùng, ta định nghĩa chiều dài của tín hiệu là khoảng chứa hầu hết thông tin của tín hiệu (ví dụ chứa 90% năng lượng tín hiệu)

Ở tín hiệu liên tục, việc thay đổi tỷ lệ không làm thay đổi độ phân giải vì nó ảnh hưởng đồng thời cả tốc độ lấy mẫu và chiều dài tín hiệu nên số mẫu để biểu diễn tín hiệu là hằng số Ở tín hiệu rời rạc, lấy mẫu lên và nội suy không ảnh hưởng độ phân giải vì các mẫu nội suy dư Lấy mẫu xuống bởi làm độ phân giải giảm đi lần và không thể khôi phục được

13

Khi nhận tỷ lệ sẽ làm thay đổi độ nét theo thời gian hoặc theo tần số, tức là chỉ đáp ứng một trong hai yêu cầu trên Độ nét được gọi là độ phân giải trong thời gian – tần số

Năng lượng của tín hiệu được định nghĩa như sau: (1.4) Tín hiệu f(t) được gọi là tín hiệu có tâm năng lượng tại a nếu

(1.5)

Xét một tín hiệu có năng lượng bằng 1 và có tâm năng lượng tại gốc toạ độ f(t)

với biến đổi Fourier F(w) thoả mãn:

và (1.6)

Độ rộng thời gian của f(t): (1.7)

Độ rộng tần số : (1.8) Định nghĩa về nguyên lý bất định: Nếu triệt tiêu nhanh hơn

khi thì

Dấu “=” xảy ra khi gọi là tín hiệu Gauss

Nguyên lý bất định có vai trò quan trọng vì nó đặt ra chặn trên cho độ nét tối đa cho cả thời gian và tần số Như vậy, việc nhân tỷ lệ không làm thay đổi tích độ rộng thời gian và tần số

1.3 Kỹ thuật mã hoá dựa trên phép biến đổi

1.3.1 Phép biến đổi Fourier

Phép biến đổi Fourier được thực hiện dựa trên cơ sở phân tích một tín hiệu thành tổng của các hàm sin với các tần số khác nhau Nói cách khác, phép biến đổi Fourier (FT) là kỹ thuật biến đổi tín hiệu từ

Mặc dù có nhiều hiệu quả (như là phân tích các tín hiệu tuần hoàn, thuận lợi cho các phép chập tín hiệu) nhưng phép biến đổi Fourier có hạn chế Khi biến đổi sang miền tần số, thông tin thời gian đã bị mất Đối với tín hiệu tĩnh (thuộc tính tín hiệu không thay đổi nhiều theo thời gian) thì nhược điểm trên không có ảnh hưởng quan trọng Tuy nhiên, các tín hiệu thường gặp trong thực tế thường là tín hiệu không dừng (ví dụ tín hiệu nhạc, tín hiệu nhiễu, …) chứa các thông số động: trôi, nghiêng, biến đổi đột ngột, khởi đầu và kết thúc của các sự kiện Khi đó, phép biến đổi Fourier hoàn toàn không mang lại các thông tin hữu ích

1.3.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn

Để khắc phục những hạn chế của biến đổi FT, phép biến đổi FT thời gian ngắn STFT (Short Term Fourier Transform) ra đời Điểm khác biệt nhỏ giữa STFT và FT là: trong biến đổi STFT, tín hiệu được chia thành các khoảng nhỏ và trong khoảng

đó, tín hiệu được giả định là tín hiệu ổn định Bằng cách chọn một hàm cửa sổ có

độ dài của cửa sổ đúng bằng khoảng tín hiệu đã phân chia, ta có thể thu được đáp ứng tần số - thời gian của tín hiệu một cách đồng thời mà phép biến đổi FT không thực hiện được

Tuy nhiên, biến đổi STFT hạn chế ở sự chính xác của độ phân giải thời gian và tần số bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg Các phương trình cơ bản không thể đưa ra biểu diễn thời gian-tần số chính xác của tín hiệu, ví dụ không thể

1.3.3 Đa phân giải và Biến đổi Wavelet

Trên cơ sở cách tiếp cận biến đổi STFT và những hạn chế của biến đổi STFT, biến đổi Wavelet được phát triển và có được những ưu điểm hơn so với biến đổi

STFT và Fourier

Sự dịch chuyển thời gian – tần số là tuyến tính trong STFT, còn trong biến đổi Wavelets có sự thay đổi thang độ/dịch thời gian tuyến tính của hàm Độ phân giải thời gian và tần số trong STFT độc lập với tần số phân tích, còn trong biến đổi Wavelets độ phân giải thời gian tỷ lệ thuận với tần số phân tích, độ phân giải tần số

16

Sức mạng của biến đổi Wavelets nằm ở việc sử dụng đa phân giải (Multiresolution) nghĩa là phân tích tín hiệu ở các tần số khác nhau và cho các độ phân giải khác nhau

Khi phân tích tín hiệu cho phép phân giải thời gian tốt và phân giải tần số kém ở các tần số cao; phân giải tần số tốt và phân giải thời gian kém ở các tần số thấp Như vậy, biến đổi này rất thích hợp với những tín hiệu: có các thành phần tần số cao xuất hiện trong khoảng thời gian ngắn, các thành phần tần số thấp xuất hiện trong khoảng thời gian dài chẳng hạn như ảnh, khung ảnh video hay các tín hiệu điện não

đồ EEG (electroencephalogram), điện cơ đồ EMG (electromyogram), và điện tâm

Cụ thể, bài toán đặt ra là Sử dụng biến đổi Wavelet thông thường và biến đổi Wavelet định hướng đối với ảnh tùy ý đầu vào để đánh giá hiệu quả xử lý ảnh của biến đổi Wavelet, đặc biệt là Wavelet định hướng

Dựa trên những yêu cầu đặt ra với đề tài Nghiên cứu phân tích xử lý ảnh bằng

phương pháp Wavelet định hướng, luận văn của em được cấu trúc như sau:

Chương 1: Giới thiệu chung

Giới thiệu chung một số khái niệm trong luận văn, trình bày mục đích, nội dung

và những yêu cầu đặt ra trong luận văn

17

Chương 2: Lý thuyết Wavelet

Trình bày cơ sở của lý thuyết Wavelet, những đặc điểm quan trọng của các dạng Wavelet khác nhau và ứng dụng của Wavelet

Chương 3: Ứng dụng Wavelet định hướng trong xử lý ảnh

Chương ba trình bày kỹ thuật xử lý ảnh sử dụng biến đổi Wavelet nói chung và đặc biệt đi sâu nghiên cứu, phân tích biến đổi Wavelet định hướng

Chương 4: Mô phỏng và kết luận

Chương bốn giới thiệu chương trình mô phỏng ứng dụng Wavelet và Wavelet định hướng trong xử lý ảnh được viết bằng Matlab, đưa ra các kết quả mô phỏng và phân tích các kết quả thu được

18

Chương 2 Lý thuyết Wavelet

Wavelet là công cụ toán học để phân chia dữ liệu thành những thành phần tần số khác nhau, sau đó nghiên cứu mỗi thành phần đó với độ phân giải tương ứng với thang tỷ lệ của thành phần phổ đó

Chương hai trình bày về sự hình thành của biến đổi Wavelet, các tính chất và các khía cạnh kỹ thuật của biến đổi Wavelet và giới thiệu một số ứng dụng của biến đổi Wavelet

2.1 Giới thiệu chung về Wavelet

Ý tưởng cơ bản của Wavelet là phân tích theo tỷ lệ Các hàm Wavelet thoả mãn các yêu cầu về mặt toán học được sử dụng để biểu diễn dữ liệu hay các hàm khác.Ý tưởng về phép xấp xỉ sử dụng các hàm xếp chồng đã tồn tại từ đầu thế kỉ 18 khi Joseph Fourier phát hiện ra có thể xếp chồng các hàm sin và cosin với nhau để biểu diễn một hàm khác

Tuy nhiên, trong phân tích Wavelet, tỷ lệ được sử dụng để phân tích dữ liệu theo một cách đặc biệt Các thuật toán Wavelet xử lý dữ liệu theo các tỷ lệ khác nhau hoặc các độ phân giải khác nhau Khi quan sát tín hiệu với một cửa sổ lớn, chúng ta

sẽ nhận được các đặc điểm chung Tương tự, nếu chúng ta quan sát dữ liệu với một cửa sổ nhỏ hơn, chúng ta sẽ nhận ra những đặc điểm chi tiết hơn

Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm Wavelet nguyên mẫu, được gọi là

Wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay Wavelet mẹ (mother wavelet) Phân tích thời gian được thực hiện với dạng (version) co lại, tần số cao của Wavelet mẹ, trong

khi phân tích tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng Wavelet

mẹ

Vì tín hiệu nguyên bản hay hàm có thể được biểu diễn dưới dạng một khai triển Wavelet (sử dụng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của các hàm Wavelet), các tính toán dữ liệu có thể được thực hiện sử dụng các hệ số Wavelet tương ứng Và nếu

19

như chọn được Wavelet phù hợp với dữ liệu, hay bỏ bớt các hệ số dưới một ngưỡng

nào đó, chúng ta thu được dữ liệu được biểu diễn rời rạc Mã hoá rời rạc (sparse

coding) làm cho Wavelet trở thành một công cụ tuyệt vời trong lĩnh vực nén dữ liệu

Các lĩnh vực ứng dụng khác sử dụng Wavelet bao gồm thiên văn học, âm học,

kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh,

âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, fractals,

turbulence, dự báo động đất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học như giải

phương trình vi phân từng phần (partial differential equation)

 Khái niệm

Wavelet là một họ các hàm số có tính chất địa phương hoá theo thời gian và không gian Ta thu được chúng từ một hàm đơn gọi là hàm Wavelet mẹ, bằng các phép tịnh tiến và co giãn Hàm Wavelet phải thoả mãn các điều kiện sau:

Với là biến đổi Fourier của :

Với một hàm Wavelet mẹ cho trước, , ta xây dựng được họ các Wavelet bằng phép tịnh tiến và co giãn từ như sau:

(2.4)

Ví dụ, một số hàm wavelet mẹ thường dung:

Hàm nón Mexico:

(2.5)

2.3 Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform)

Vì những hàm Wavelet được định nghĩa đối với mọi điểm trong không gian (a, b) nên rõ ràng việc áp dụng những cơ sở Wavelet rất dư thừa Do vậy, để giảm bớt sự dư thừa đó biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) được giới thiệu Biến đổi DWT dựa trên cơ sở mã hoá băng con, có thể được thực hiện dễ dàng, giảm thời gian tính toán và tài nguyên yêu cầu

Cơ sở của DWT được xây dựng từ năm 1976, khi các kỹ thuật phân tích tín hiệu rời rạc được phát triển Các nghiên cứu về DWT cũng được thực hiện trong lĩnh vực

mã hóa tín hiệu tiếng nói còn được gọi là mã hoá băng con (sub-band coding) Năm

1983, các kỹ thuật tương tự kỹ thuật mã hoá băng con được phát triển được gọi là

cả các độ phân giải Khi độ phân giải chi tiết thiến đến vô cùng thì sai số xấp xỉ tiến đến 0

Độ phân giải được đưa ra bởi Mallat và Meyer, nó không chỉ là cơ sở cho Wavelet mà còn là công vụ toán học rất mạnh để liên kết Wavelet và phân tích băng con tín hiệu

Định nghĩa: Một phân tích đa phân giải bao gồm một chuỗi của khối các không gian con đóng

Sao cho:

22

- Tồn tại sao cho là một cơ sở trực chuẩn

Hình 2-1: Không gian và các không gian con trong đa phân giải Không gian 2

biểu diễn toàn bộ không gian biểu diễn một không gian con, chi tiết

2.3.2 Biến đổi wavelet rời rạc

Một đặc điểm nổi bật của khai triển wavelet là dựa trên nền tảng cấu trúc đa phân giải để đưa ra một giải thuật rời rạc thời gian hiệu quả, bẳng cách thực hiện một dải lọc, giải thuật này được đưa ra bởi Mallat và được gọi là giải thuật Mallat Chọn các giá trị cố định: và ,

Cơ sở wavelet rời rạc gồm hai hàm cơ bản:

Trường hợp cơ sở trực chuẩn:

- Cơ sở phân tích tín hiệu trùng với cơ sở tổng hợp tín hiệu

23

- Cơ sở gồm hai hàm cơ bản: và

Trường hợp cặp cơ sở trực giao:

- Cơ sở phân tích tín hiệu khác với cơ sở tổng hợp tín hiệu

- Cơ sở phân tích tín hiệu gồm hai hàm cơ bản: và

- Cơ sở tổng hợp tín hiệu gồm hai hàm cơ bản: và

Dãy bộ lọc hai kênh: Hai hàm cơ sở của wavelet rời rạc chính là những hệ số của hai bộ lọc thông thấp và thông cao

(2.10)

(2.11)

2.3.3 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc

Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu các bộ lọc được sử dụng phổ biến Wavelet có thể được thực hiện bởi các bộ lọc lặp đi lặp lại với tỷ lệ thay đổi Độ phân giải của tín hiệu là tiêu chuẩn để đánh giá lượng thông tin chi tiết trong tín hiệu Độ phân giải của tín hiệu được xác định bởi các quá trình lọc, và tỷ lệ được xác định bởi sự phân

chia (upsampling) và nội suy (downsampling) còn gọi là quá trình lấy mẫu con (subsampling)

Biến đổi Wavelet rời rạc được tính toán bởi quá trình lọc thông thấp và thông cao liên tiếp của tín hiệu rời rạc theo thời gian, được gọi là thuật toán Mallat hay sự

phân tích cây Mallat (Mallat-tree decomposition) Ý nghĩa quan trọng của thuật

toán Mallat là thuật toán này đã kết nối sự đa phân giải liên tục theo thời gian với các bộ lọc rời rạc

Thuật toán DWT:

Khởi đầu: Chiếu tín hiệu lên , với j được xác định bởi tần số lấy mẫu Trong thực tế, thực hiện thay thế các hệ số tỷ lệ với các giá trị mẫu

24

1 Chia các hệ số xấp xỉ thành hai phần xấp xỉ và chi tiết nhờ sử dụng và

2 Thay đổi tỷ lệ các hệ số xấp xỉ

3 Tiếp tục chia phần xấp xỉ thành hai phần xấp xỉ và chi tiết như bước (1)

4 Lặp lại bước (2) và (3) cho đến khi đạt được kết quả thoả mãn

H

H

H G

Trong hình vẽ 2-2, tín hiệu được được biểu thị bởi dãy , với là số nguyên

Bộ lọc thông cao và bộ lọc thông thấp được biểu diễn tương ứng là và Ở mỗi mức, bộ lọc thông cao đưa ra thông tin chi tiết trong khi bộ lọc thông thấp kết hợp với hàm tỷ lệ đưa ra các xấp xỉ thô

25

Ở mỗi mức phân tích, các bộ lọc nửa dải (half band filter) đưa ra các tín hiệu

kéo dài duy nhất nửa băng tần Các bộ lọc này làm tăng độ phân giải tần số lên gấp đôi vì tính bất định của tần số được giảm đi một nửa

Theo luật Nyquist nếu như tín hiệu nguyên bản có tần số góc cao nhất  rad/s yêu cầu tần số góc lấy mẫu là  , vậy khi tần số góc cao nhất là  thì tần số góc lấy mẫu sẽ là  , do vậy loại bỏ một nửa số mẫu cần lấy mà không gây ra sự mất mát thông tin Việc lấy mẫu con với hệ số chia 2 làm giảm một nửa độ phân giải thời gian vì toàn bộ tín hiệu bây giờ được biểu diễn trên chỉ một nửa số lượng mẫu

Như vậy, độ phân giải thời gian đạt được tốt ở các tần số cao, trong khi độ phân giải tần số lại trở nên tốt hơn ở các tần số thấp Quá trình lọc và phân chia là liên tiếp nhau cho đến khi đạt được mức yêu cầu Số lượng tối đa các mức phụ thuộc vào độ dài của tín hiệu

Biến đổi Wavelet rời rạc của tín hiệu thu được nhờ sự xâu chuỗi (concatenating)

các hệ số và , bắt đầu từ mức cuối cùng của quá trình phân tích

Hình 2.9b biểu diễn quá trình khôi phục tín hiệu nguyên bản từ các hệ số Wavelet

Về cơ bản, quá trình khôi phục là sự đảo ngược của của quá trình phân tích Các

hệ số xấp xỉ và các hệ số chi tiết ở mọi mức được nội suy bởi hệ số 2, qua các bộ lọc tổng hợp thông thấp và thông cao và sau đó được gộp vào với nhau

Quá trình tiếp tục cho đến đạt được cùng số mức thu được trong quá trình phân tích tín hiệu nguyên bản

Phương pháp tốt nhất để mô tả quy trình trên cũng như đưa ra một quy trình hiệu quả để xác định các hệ số wavelet là biểu diễn phép toán của các bộ lọc

Trở lại hai biểu thức (2.41) và (2.44) trong phần trước, mỗi liên hệ giữa và :

(2.12)

và được xác định bởi các biểu thức:

(2.14) (2.15) Các biểu thức (2.47), (2.48) biễu diễn phép lọc tín hiệu qua các bộ lọc số tương ứng với các phép toán tích chập với đáp ứng xung của các bộ lọc

Hệ số 2k đại diện cho phép phân chia (downsampling) Các toán tử H và G

tương ứng với bước trong phân tích wavelet

Như vậy biến đổi wavelet rời rạc có thể tóm tắt như sau (hình 2.10):

(2.16) Chúng ta có thể gọi các hệ số là các hệ số chi tiết và là

hệ số xấp xỉ với ,

Quy trình khôi phục tín hiệu cũng tương tự như phân tích Tín hiệu ở mọi mức

được nội suy (upsampled) với hệ số 2, qua các bộ lọc tổng hợp ký hiệu (thông

cao và thông thấp tương ứng), sau đó được cộng với nhau Các toán tử được xác định như sau:

(2.17) (2.18)

Áp dụng đệ quy ta có:

(2.19)

là phần từ cơ bản của thuật toán hình chóp

Hình 2-3 Băng lọc hai kênh Cấu trúc trên bao gồm bốn bộ lọc, có thể chia băng lọc hai kênh thành hai băng lọc cơ bản là băng lọc phân tích và băng lọc tổng hợp Băng lọc phân tích có bộ lọc

thông thấp H(z) và bộ lọc thông cao G( z) Đầu ra y và g y từ các bộ lọc này được h

phân chia và giữ lại các thành phần chẵn

Phép toán thứ nhất là tích chập Sự chuyển đổi tuyến tính được biểu diễn bởi ma

trận Toeplitz (ma trận đường chéo không đổi) Các hệ số h(k) xuất hiện trên đường

chéo phụ Vectơ đầu vào x là rất dài trong thực tế và vô hạn trong lý thuyết, như vậy

ma trận bộ lọc H f là vô hạn

: 1 0 1 :

: : : : : : : :

: 0 1 2 3 0

0 :

: 0 0 1 2 3

0 :

: 0 0 0 1 2 3 :

: : : : : : : :

h h

h f

v v v

x x x

h h h

h

h h h

h

h h h

h x

: 2 0 :

: : : : : : : : :

:

: 0 0 1 2 3 0

0 0

:

: 0 0 0 0 1 2 3 0

:

: : : : : : : : :

x h

h h h

h h h

h H

: 3 2 1 0 :

: : :

: :

: :

:

: 0 1

2 3

0 0

:

: 0 1

2 3

0 0

:

: 0 0

0 1

2 3

:

: 0 0

0 1

2 3

:

: : :

: :

: :

:

g h g h

a

y y y y

x x x x

g g g

g

h h h

h

g g

g g

h h

h h

T

(2.22)

Khi tái tổng hợp lại tín hiệu chúng ta có cơ sở đối ngẫu TS:

: 1 1 0 0 :

: : : : :

: :

:

: 0 1 2 3

0 0

:

: 0 1 2 3

0 0

:

: 0 0 0 1

2 3 :

: 0 0 0 1

2 3 :

: : : : :

: :

:

x x x x

y y y y

g g g

g

h h h

h

g g g

g

h h h

h T

g h g

h T

Đặc điểm quan trọng của các ma trận này là chúng đều được nhóm lại, hay các

bộ lọc này đều là các bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR

Điều kiện để khôi phục tín hiệu hoàn hảo: (2.24)

Xác định H tưong tự như H nhưng với g(j) là bậc đảo, đầu ra của hệ thống có

thể được viết thành: (2.25)

Như vậy, để tái khôi phục tín hiệu ta có:

Trong trường hợp băng lọc hai kênh là trực chuẩn: hay

Do vậy, khai triển gián đoạn thời gian được cho bởi đáp ứng xung của bộ lọc tổng hợp Trong phần trước chung ta đã đề cập đến thuật toán hình chóp, cấu trúc

dạng băng lọc dải bát độ (octave-band filter bank), hình 2.3 biểu diễn các băng lọc

cấu trúc cây

Chúng ta thấy rằng tín hiệu ban đầu được chia ra qua băng lọc hai kênh, sau đó phiên bản thông thấp lại được phân sử dụng cùng băng lọc và tiếp tục như vậy Có thể chứng minh được rằng cấu trúc này thực hiện đầy đủ một chuỗi Wavelet trực giao gián đoạn theo thời gian Nếu như băng lọc hai kênh là trực chuẩn, băng lọc này thực hiện một chuỗi Wavelet gián đoạn thời gian trực chuẩn

Nếu như tín hiệu qua bộ lọc sau nội suy với hệ số 2 là tương đương với tín hiệu được nội suy hệ số 2 sau khi qua bộ lọc , chúng ta có thể biến đổi bất kỳ băng lọc bát độ nào với các tầng thành một kênh Ví dụ, băng lọc bốn kênh với

30

các bộ lọc thông thấp và thông cao chúng ta thu được các bộ lọc tương đương:

Trong trường hợp trực chuẩn, băng bát độ trực chuẩn với các tầng , các bộ lọc tương đương:

(2.26) , (2.27) Trong miền thời gian, mỗi đầu ra của băng tổng hợp có thể được biểu diễn như sau: với , trừ đầu ra cuối cùng có dạng

Như vậy, chúng ta có ma trận tổng hợp đơn vị nhờ chèn các hàng: như được thực hiện trong (2.27) Ma trận biểu diễn ma trận biến đổi Wavelet

31

- Dịch: Nếu một tín hiệu có một khai triển tỷ lệ hữu hạn thì tín hiệu này sẽ có tính dịch yếu tương ứng được dịch đi , đó là:

- Bảo toàn năng lượng:

Lấy mẫu đôi và Tiling thời gian – tần số:

Quá trình lấy mẫu ở miền thời gian, tại tỷ lệ , được thực hiện với chu kỳ , lúc đó:

Ở dạng tỷ lệ, số mũ của 2 thường được đề cập Khi tần số là đảo của tỷ lệ thì ta thấy nếu wavelet tập trung quanh thì tập trung quanh Điều này sinh ra một quá trình lấy mẫu đôi của miền thời gian – tần số

Hình 2-4 Lấy mẫu đôi và tiling thời gian

(2.29)

Một cách tổng quát:

Điều đó có nghĩa moment đầu tiên của wavelet là

2.4.3 Biến đổi chuỗi wavelet của tín hiệu

Wavelet có ba hàm cơ sở Hiện nay, người ta quan tâm nhiều đến nghiên cứu hai loại là wavelet trực chuẩn (như Haar, Daubechies ) và wavelet cặp trực giao (B-Spline)

Biến đổi chuỗi wavelet gồm hai quá trình: khai triển tín hiệu thành những chuỗi wavelet và tổng hợp chúng thành tín hiệu ban đầu Biến đổi chuỗi wavelet thực hiện bằng cơ sở trực chuẩn hay cặp trực giao đều có sơ đồ chung chỉ khác ở hàm cơ sở tổng hợp tín hiệu

Thực hiện dựa trên biến đổi wavelet rời rạc do phân tích rời rạc đảm bảo mã hoá tiết kiệm không gian và là vừa đủ cho sự tái tạo chính xác

Tín hiệu và x[n] được phân tích bởi dãy bộ lọc băng hai kênh thành hai dãy hệ

số co ký hiệu cD và cA Dãy hệ số của nhánh lọc thông thấp cA, lại tiếp tục được phân tích bởi cùng một dãy bộ lọc hai kênh, và sự phân tích lại tiếp tục trên nhánh thông thấp Môi lần khai triển sẽ tạo ra hai dãy hệ số wavelet:

2.5 Phân loại Wavelet

Chúng ta có thể phân loại Wavelet thành hai dạng: (a) trực giao và (b) song trực giao Dựa trên cơ sở ứng dụng để lựa chọn sử dụng Wavelet thích hợp

 Đặc điểm của băng lọc Wavelet trực giao

Các hệ số của các bộ lọc là số thực Các bộ lọc là cùng độ dài và không đối xứng Bộ lọc thông thấp H và bộ lọc thông cao G là liên hệ với nhau:

34

 z z Hz 1

G N (2.30) Hai bộ lọc là xen kẽ động với nhau Sự xen kẽ này tự động đưa đến tính trực

giao double-shift giữa các bộ lọc thông thấp và thông cao, nghĩa là tích vô hướng

của các bộ lọc cho dịch 2 là bằng không, nghĩa là H  k G k 20 với kЄZ Các bộ lọc thoả mãn biểu thức (2.67) được gọi là các bộ lọc gương liên hợp CMF

(Conjugate Mirror Filters) Sự khôi phục hoàn hảo là có thể với sự xen kẽ động (alternating flip) [3]

Mặc dù với sự khôi phục hoàn hảo, các bộ lọc tổng hợp là giống hệt với các bộ lọc phân tích Các bộ lọc trực giao cung cấp một số lượng lớn các momen triệt tiêu Đặc điểm này ứng dụng trong xử lý tín hiệu và hình ảnh Các bộ lọc trực giao có cấu trúc cân đối, đều đặn dẫn đến việc thực hiện và mở rộng cấu trúc dễ dàng

 Đặc điểm của băng lọc Wavelet song trực giao

Trong trường hợp các bộ lọc Wavelet song trực giao, các bộ lọc thông thấp và thông cao không có cùng độ dài Bộ lọc thông thấp luôn đối xứng trong khi bộ lọc thông cao là bất đối xứng Các hệ số của bộ lọc có thể là số thực hay số nguyên

Để sự khôi phục hoàn hảo, băng lọc song trực giao có toàn bộ độ dài lẻ hay tất

cả là độ dài chẵn Hai bộ lọc phân tích có thể cùng đối xứng với độ dài lẻ hay một đối xứng với độ dài lẻ và một bất đối xứng với độ dài chẵn Cũng như vậy, hai tập

hợp của các bộ lọc phân tích và tổng hợp cũng phải đối ngẫu (dual) Các bộ lọc

song trực giao pha tuyến tính là các bộ lọc phổ biến cho những ứng dụng nén dữ liệu [3]

2.6 Các họ Wavelet

Hiện nay có một số hàm cơ bản có thể được sử dụng như là Wavelet mẹ cho các biến đổi Wavelet Vì Wavelet mẹ sinh ra tất cả các hàm Wavelet được sử dụng trong biến đổi nhờ phép tịnh tiến và lấy tỷ lệ, xác định các đặc điểm của biến đổi Wavelet kết quả Do vậy, đặc điểm của từng ứng dụng riêng cần được quan tâm và Wavelet

mẹ thích hợp sẽ được chọn để có được biến đổi Wavelet hiệu quả

35

 Biến đổi Wavelet Haar

Biến đổi Wavelet Haar là biến đổi đơn giản nhất trong các phép biến đổi Wavelet Hình vẽ 3.16 mô tả dạng hàm ψ(t) với biến đổi Haar Do tính chất đơn giản của biến đổi Haar mà nó được ứng dụng tương đối nhiều trong nén ảnh

Hình 2-7 Hàm của biến đổi Haar Đặc tính của Haar wavelet: Độ rộng xác định = 1; Độ dài bộ lọc = 2; Số moment bằng 0 đối với hàm wavelet = 1

 Biến đổi Wavelet Meyer

Yves Meyer là một trong những nhà khoa học đã đặt nền móng cho phép biến đổi Wavelet Phép biến đổi Wavelet mang tên Meyer cũng là một phép biến đổi thông dụng, và là hàm mức xác định theo miền tần số Biến đổi này có khả năng phân tích tín hiệu tốt hơn nhiều so với biến đổi Haar

Dạng của hàm ψ(t) với biến đổi Meyer cho ở hình vẽ:

Hình 2-8 Hàm của biến đổi Meyer

36

 Biến đổi Wavelet Daubechies

Cũng giống như Meyer, Daubechies cũng là một nhà khoa học có công lao to lớn trong việc nghiên cứu phát triển phép biến đổi Wavelet Biến đổi Daubechies là một trong những phép biến đổi phức tạp nhất trong biến đổi Wavelet, khám phá ra cái gọi là Wavelet trực giao khoảng chặt, khiến cho phân tích wavelet rời rạc có giá trị thực tế Họ biến đổi này được ứng dụng hết sức rộng rãi Biến đổi Wavelet áp dụng trong JPEG2000 là một biến đổi trong họ biến đổi Wavelet Daubechies Tên gọi của họ Wavelet Daubechies được viết là dbN, với N là thứ tự và db là tên họ wavelet

Dưới đây là một số hàm ψ(t) của họ biến đổi Wavelet Daubechies:

Hình 2-9 Hàm của họ biến đổi Daubechies với

Đặc tính của DbN: Độ rộng xác định = 2N – 1; Độ dài bộ lọc = 2N; Số moment bằng 0 đối với hàm wavelets = N

 Biến đổi Wavelet song trực giao

Họ các wavelet biểu thị thuộc tính của pha tuyến tính, cần cho tái tạo tín hiệu và hình ảnh Nhờ dùng hai wavelet, một cho phân tích (bên trái) và một cho tái tạo (bên phải) thay vì chỉ dùng một cái, đã đạt được các đặc tính thú vị

37

Hình 2-10 Một vài hàm của các cặp họ biến đổi Biorthogonal

Bior Nr, Nd có các đặc tính: Độ rộng xác định = 2Nr + 1 cho tổng hợp và 2Nd + 1 cho phân tích; Độ dài bộ lọc = max(2Nr, 2Nd ) + 2; Có tính đối xứng; Số moment bằng 0 đối với hàm wavelet = Nr – 1

 Biến đổi Wavelet Coiflets

Xây dựng bởi I Daubechies theo đề nghị của R Coifman

Hình 2-11 Hàm của họ biến đổi Coiflets Đặc tính: Độ rộng xác định = 6N – 1; Độ dài bộ lọc = 6N; Gần đối xứng; Số moment bằng 0 đối với hàm wavelets = 2N; Số moment bằng 0 đối với hàm tỷ lệ

=2N–1

 Biến đổi Wavelet Symlets

Symlets là wavelet gần đối xứng, được đề nghị bởi Daubechies là điều chỉnh của họ db Đặc tính của hai họ là tương tự

38

Hình 2-12 Một vào hàm của họ biến đổi Symlets

 Biến đổi Wavelet Morlet

Wavelet này có hàm mức, nhưng rõ ràng

Hình 2-13 Hàm của biến đổi Morlet

 Biến đổi Wavelet Mexican Hat

Wavelet này không có hàm mức và là dẫn xuất của một hàm mà tỷ lệ với đạo hàm bậc hai của hàm mật độ xác suất Gauss

Hình 2-14 Hàm của biến đổi Mexican Hat