Trong nhiÒu trêng hîp, viÖc tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc rÊt khã thùc hiÖn nÕu chØ sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi trùc tiÕp, nhng l¹i thùc hiÖn ®îc dÔ dµng h¬n th«ng qua viÖc tÝnh gi¸ trÞ cñ[r]
Trang 2Coi mỗi cây là một điểm, bài toán được quy
vuông góc của A, D trên PQ, NP Đường
thẳng qua A vuông góc với DB cắt DB, PQ
lần lượt tại I, E
Ta thấy KDB = HAE vì đây là hai tam
giác vuông có AH = DK ; (hai
góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Suy ra AE = DB
Cách dựng : Nối D với B Kẻ từ A đường
thẳng vuông góc với DB tại I
Trên đường AI kéo dài về phía I lấy E sao
cho AE = DB Kẻ đường thẳng d qua C và E
Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với d tại Q
Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với d tại P.Qua A dựng đường thẳng vuông góc với
BP cắt DQ và BP lần lượt tại M và N
Ta có hình vuông MNPQ cần dựng.Chứng minh : Dễ dàng chứng minhMNPQ là hình vuông
Biện luận : Bài toán này có thể :+ Không có nghiệm (1)
+ Có đúng một nghiệm (2)+ Có vô số nghiệm (3)Tuy nhiên, việc tìm điều kiện cần và đủ
đối với tứ giác lồi ABCD sao cho (1) hoặc(2) hoặc (3) xảy ra là một vấn đề rất phứctạp TTT2 coi như đây là vấn đề mở đặt racho tất cả các bạn đọc của tạp chí Mongrằng các bạn cùng quan tâm giải quyếtvấn đề này
Giải thưởng đặt ra cho bạn có lời giải đúng
đầu tiên là quà tặng trị giá 500.000 đồng.Nhận xét : 1) Một số bạn còn nêu cáchdựng hình vuông MNPQ có cạnh MN chứahai đỉnh kề nhau của tứ giác lồi ABCD chotrước, ba cạnh NP, PQ, QM chứa hai đỉnhcòn lại của tứ giác lồi ABCD Đây cũng làmột bài toán rất khó ở khâu biện luận.2) Chưa bạn nào giải quyết trọn vẹn bàitoán này, phần thưởng xin được dành lạichờ các bạn
Anh Compa
EAH BDK
l
Bạn có thể điền các số tựnhiên từ 0 đến 9 vào các ôtròn trong hình bên, sao chotổng ba số trong ba ô tròncùng thuộc một đoạn thẳng
đều bằng nhau được không ?
Hoàng hải dương(Giáo viên trường THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên)
Trang 3Mọi dòng sông lớn đều bắt nguồn từ những
con suối nhỏ, mọi bài toán khó đều khởi
nguồn từ những bài toán đơn giản hơn Vì vậy
để học giỏi môn toán thì không những bạn
cần phải nắm vững và biết vận dụng các bài
toán cơ bản mà còn nên biết cách phát triển
một bài toán để có thêm những bài toán mới
Bài toán sau là một bài toán quen thuộc
trong chương trình hình học lớp 8 :
Bài toán 1 : Cho tứ giác ABCD có AB < CD
Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của
AB, AC, CD, BD Chứng minh rằng tứ giác
MNPQ là hình bình hành
Hình bình hành MNPQ sẽ có dạng đặc
biệt hơn nếu tứ giác ABCD thỏa mãn thêm
các điều kiện nào đó
Dễ thấy hình bình hành MNPQ trở thành
hình thoi khi và chỉ khi tứ giác ABCD có hai
cạnh đối bằng nhau Ta có kết quả :
Bài toán 2 : Cho tứ giác ABCD có
AD = BC, AB < CD Gọi M, N, P, Q lần lượt
là trung điểm của AB, AC, CD, BD Chứng
minh rằng tứ giác MNPQ là hình thoi
Lưu ý QM, MN, NP, PQ lần lượt là các
đường trung bình của các tam giác BAD,
ABC, CAD, DBC ta sẽ có điều phải chứng
minh (xem hình 1)
Hình 1
Con đường đi từ bài toán 1 đến bài toán 2chính là nhờ phép đặc biệt hóa
Đường chéo QN của hình thoi MNPQ là
đáy của tam giác cân PQN nên đườngthẳng QN cắt AD, BC lần lượt tại I, K thì
so le trong) Do đó (xem hình 2)
Ta có thêm kết quả :Bài toán 3 : Cho tứ giác ABCD có
AD = BC, AB < CD Gọi N, Q lần lượt làtrung điểm của hai đường chéo AC, BD.Chứng minh rằng đường thẳng NQ tạo với
AD, BC các góc bằng nhau
Hình 2Tương tự, MP là đáy của tam giác cânNMP nên đường thẳng MP cũng sẽ tạo vớicác đường thẳng AD, BC những góc bằngnhau Từ đó ta có bài toán :
Bài toán 4 : Cho EDC có ED < EC.Lấy A, B lần lượt trên ED, EC sao cho
DA = CB Gọi P, M lần lượt là trung điểmcủa DC, AB PM cắt EC, ED lần lượt tại
H, G Chứng minh rằng EGH cân tại E.Các bạn có thể chứng minh được ngaykhi xem hình 3
AIQ BKN.
BKN PQN
Nguyễn đức trường(Giáo viên trường THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội)
Trang 4Hình 3
Đến đây, ta nhận thấy rằng là góc
ngoài của EGH (cân tại E) nên dễ dàng
phát hiện thấy đường thẳng GH song song
với đường phân giác trong của Nếu
cho E, A, B cố định thì M là trung điểm của
AB cũng cố định, phân giác trong của
cũng cố định Từ đó ta được một kết quả
khá thú vị
Bài toán 5 : Cho EAB, EA < EB D, C lần
lượt chạy trên các tia đối của tia AE, tia BE
sao cho DA = CB Chứng minh trung điểm P
của DC chạy trên một đường thẳng cố định
Các bạn có thể chứng minh được ngay
điểm P nằm trên đường thẳng d đi qua
trung điểm M của AB cố định và song
song với đường phân giác trong cố định
của Tất nhiên đường thẳng d là
đường thẳng cố định (xem hình 3)
Dựa vào các kết quả trên và đọc thêm bài
viết “Phương tích và bài toán Castillon” của
tác giả Trần Anh Dũng, đăng trên TTT2 số 16
thì các bạn có thể giải quyết được bài toán :
Bài toán 6 : Cho ABC (AB < AC), phân
giác AD và trung tuyến AM Đường tròn
ngoại tiếp ADM cắt AB, AC lần lượt tại E, F
Gọi I là trung điểm của EF, đường thẳng MI
cắt AB, AC lần lượt tại Q, P Chứng minh
rằng APQ cân tại A
Trong quá trình suy nghĩ để tiếp tục phát
triển bài toán 2, tình cờ tôi gặp đề toán
4(7) của TS Nguyễn Minh Hà (trang 32,
TTT2 số 7) Nhờ bài toán 2, ta có một cách
giải khá đơn giản đề toán 4(7) và đề xuất
được kết quả mở rộng hơn
Trước hết, ta giải bài toán 4(7)
Bài toán 4(7) : Cho tứ giác ABCD có
AD = BC Về phía ngoài của tứ giác này, tadựng hai tam giác bằng nhau là ADE vàBCF Chứng minh rằng trung điểm các đoạn
AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng.Lời giải :
Hình 4Trường hợp AB < CD : Gọi I, K, H, M, N,
P, Q lần lượt là trung điểm của AB, EF, CD,
CE, DF, BD, AC (hình 4)
Từ giả thiết ADE = BCF và dựa vàotính chất của đường trung bình trong tamgiác ta dễ dàng có được kết quả :
HNP = HMQ (c.c.c)
có cùng tia phân giác.Mặt khác, áp dụng bài toán 2 cho hai tứgiác ABCD và EFCD, ta có IPHQ và KMHN
là các hình thoi Suy ra HK và HI lần lượt làphân giác của
Suy ra H, I, K thẳng hàng
Trường hợp AB = CD : dành cho bạn đọc.Các bạn thử chứng minh kết quả mở rộngcủa bài toán trên :
“Cho tứ giác ABCD có AD = BC Về phíangoài của tứ giác này, ta dựng hai đa giácbằng nhau là ADM1M2 Mnvà BCN1N2 Nn.Chứng minh rằng trung điểm các đoạn
AB, CD, M1N1, M2N2, , MnNncùng thuộcmột đường thẳng.”
DEC
DEC
Trang 5Tại sao thừa nghiệm ?
(TTT2 số 17)
l Kết quả :
Tất cả các bạn đều “soi” chính xác sai
lầm chung của 3 lời giải là : Ngộ nhận
các điểm B, N, C thẳng hàng để chứng
minh A, E, N thẳng hàng Bạn Nguyễn
Thị Lâm Ngọc, đội 19, Yên Nam, Duy
Tiên, Hà Nam ví von kiểu sai này như
“sửa chân ghế gãy bằng cách tháo chân
ghế khác để lắp vào thay thế chân ghế
gãy !” Bạn Đỗ Đình Hòa, 9A1, THCS
Hoài Xuân, Hoài Nhơn, Bình Định còn
góp ý cả cho đề bài : “nên có giả thiết
MA MB để bài toán chặt chẽ !”
Lời giải đúng : Giả sử AM > BM thì N
nằm trên nửa mặt phẳng bờ CM có chứa
BF và N nằm ngoài hình vuông BMEF
Gọi I là giao điểm của BE và AC
Phổ, Quảng Ngãi ; Nguyễn Thanh Long,
con mẹ Phạm Thị Minh, Giáo viên trường
TH Kỳ Phong, Kỳ Phong, Kỳ Anh, Hà Tĩnh
IAM IBM 45 BI AI
l K Kếếếếếếếếế Kếtếếtếếtếếtếtếtếếtếếtếếtế qqqqqqqqqqqqqqquuuuuuu qu q ảảảảảảảả uả uảả :::::
Trong kì thi vào lớp 10 trường PTNK
Kiểm tra trực tiếp, ta thấy trong tập hợp trên
có một giá trị không phải là nghiệm của phươngtrình đã cho Hãy cho biết giá trị đó và nguyênnhân dẫn đến thừa nghiệm trong lời giải trên ?
x 103x 8x 60 0
x 10
x 6
x10
Trang 6Bài 1 : Số nào tiếp theo ?
thẳng xuất phát từ một điểm trong n đoạn
thẳng xuất phát từ một điểm ta có một tam
giác nên công thức tính số tam giác là :
Với n = 9 ta có số tam giác là A = 36
Bài 2 : Bạn Nguyễn Mạnh Thắng cũng
nhận xét cứ hai đường kẻ ngang trong số a
đường kẻ ngang và hai đường kẻ dọc trong
số b đường kẻ dọc thì ta có một hình chữ
nhật nên công thức tính số hình chữ nhật là :
Với a = 4 và b = 5 ta có số hình chữ nhật
là B = 60
Bạn Nguyễn Duy Cương, bố là Nguyễn
Huỳnh Sơn, tổ 11, phường Trung Tâm,
Nghĩa Lộ, Yên Bái tâm sự đôi lời :
“Coi đi coi lại thật khó khăn
Đôi chỗ vẫn còn thấy lăn tăn
Tìm đâu cho ra được cách giải ?
Mải mê suy nghĩ : bỏ cả ăn !
Thôi thì cũng đành phải đếm vậy
Sáu mươi hình đây, hết lăn tăn
Nghĩ đi nghĩ lại vẫn lăn tăn ”
Bạn Cương, bạn Thắng được “ăn” phần
thưởng của TTT Các bạn Nguyễn Thị Thu
Hà, 8B, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh,
Nghệ An ; Nguyễn Thị Phương, 8A, THCS
Đình Bảng, Hoằng Lộc, Hoằng Hóa, ThanhHóa cũng có bài giải hay, được TTT thưởng.Ngoài ra, các bạn Lê Võ Châu Anh, 9A,THCS Nguyễn Trọng Bình, Kỳ Anh, HàTĩnh ; Trần Hoàng Anh, 7A1, THCS MinhThành, Thái Bình ; Nguyễn Thị Nguyệt,xóm 9, Ninh Hiệp, Gia Lâm, Hà Nội ; PhạmHạnh Ngân, 5A, TH Văn Cẩm, Hưng Hà,Thái Bình ; Bùi Minh Trí, 6C ; Trần Thị Hoa
Lê, 7A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh,Nghệ An ; Phạm Thị Yến Nga, THCS LậpTân Hương, Đức Thọ, Hà Tĩnh ; Đỗ ThịQuỳnh Hoa, 7A, THCS Lê Quý Đôn, YênHưng, Quảng Ninh cũng có bài giải hay,
Trang 7Các bài toán về tính số đo góc rất đa
dạng, xuất hiện nhiều trong các kì thi Để
giải quyết tốt dạng toán này có khi phải vẽ
hình phụ Trong bài viết này, tôi xin giới
thiệu với các em phương pháp vẽ thêm
hình phụ là tam giác đều trong bài toán
tính số đo góc
Bài toán 1 : Cho tam giác ABC cân
tại A, Trên AB lấy điểm D sao cho
AD = BC Tính
Lời giải :
Cách 1 : Trên nửa mặt phẳng có bờ là
đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam
giác đều BCE (hình 1)
Hình 1 Hình 2
Vì tam giác ABC cân tại A, nên
Vậy E thuộc miền trong tam giác ABC, suy ra
Dễ thấy ABE = ACE (c.c.c) nên
Ta có là góc ngoài của DAC nên
ở miền trong tam giác lấy điểm Isao cho
Lời giải : Trên nửa mặt phẳng có bờ là
đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tamgiác đều BCE (hình 3)
Hình 3Vì ABC cân tại A, A 80 o nên
o
o
(c.g.c), kết hợp với (2) ACD CAE 10
Trang 8điểm A thuộc miền trong tam giác BCE
Dễ dàng chứng minh được AEB = ICB
(g.c.g) BA = BI ABI cân tại B, có
Bài toán 3 : Cho tam giác ABC cân tại A,
Trên cạnh AB kéo dài về phía B,
lấy điểm E sao cho AE = BC Tính
Lời giải : Trên nửa mặt phẳng có bờ là
đường thẳng AE, chứa điểm C, dựng tam
giác đều AEF (hình 4)
Hình 4Vì ABC cân tại A, nên
tia AF nằm giữa hai tia AE, AC
ABC = CAF (c.g.c)
AC = FC AEC = FEC (c.c.c)
Qua một số bài toán nêu trên có thể
thấy, việc vẽ thêm hình phụ là tam giác đều
tỏ ra rất hiệu quả đối với bài toán tính số đo
góc bởi vì nó đã tạo ra các góc 60o; tạo ra
nhiều mối quan hệ bằng nhau giữa các
cạnh, các góc, các tam giác,
Các bạn hãy làm thêm bài toán sau :
Bài toán 4 : Cho tam giác ABC cân tại A,
Trên AC lấy điểm E, trên BC lấy
l Tài liệu tham khảo : “Bài tập nâng cao
và một số chuyên đề Toán 7”, Nhà xuất
bản Giáo dục năm 2004 (sách tham dự
cuộc thi viết sách Bài tập và sách Tham
khảo của Bộ Giáo dục Đào tạo)
Đếm đầu nhân xuất trăm người
“Lão”, “nhiêu” hai hạng còn thời “dân đinh”Bánh dày “lão” một mình 5 chiếcBánh chưng phần dịch việc ông “nhiêu”Mỗi ông 3 chiếc đủ tiêu
Còn xôi cắt thỏi chia đều đàn em
Cứ ba bác thòm thèm 1 thỏiThế hậu rồi, còn hỏi han chi ?!
Xế chiều, tan đám người điBánh, xôi tính chục, vị chi đủ 10”.Hỏi có bao nhiêu “lão”, “nhiêu”, “dân
đinh” ?(“Lão”, “nhiêu” - các chức sắc của làng)
Đọc bài thơ ta như thấy lại truyện ngắn
“Việc làng” của nhà văn Ngô Tất Tố, cũng
có thể minh họa cho câu : “Một miếng giữalàng bằng một sàng xó bếp” của các cụ đểlại Về nội dung Toán học, bài toán nàytương tự bài “Trăm trâu trăm cỏ”
Bạn thử giải xem sao ?
Nguyễn Thị Thuận(Giáo viên THCS huyện Từ Sơn, Bắc Ninh)
Trang 9ThS Nguyễn Văn Nho (NXBGD)Nguyễn Văn Nho
Kì trước chúng tôi đã giới thiệu 4 trong 25 câu hỏi dành cholớp 7 của năm 2002 Sau đây là 5 câu hỏi, lần lượt từ câu 21 đếncâu 25 dành cho lớp 8, cũng của năm này
Bài 2 (câu 22) : Người ta xếp 64 hình lập
phương đơn vị (1 x 1 x 1), tạo thành một hình lập
phương lớn (4 x 4 x 4) rồi sơn màu đỏ cho các mặt
của hình lập phương lớn Mỗi hình lập phương
đơn vị được tính điểm theo bảng như sau :
Vậy tổng số điểm của 64 hình lập phương
Bài 4 (câu 24) : Ron có 8 chiếc que, độ dài mỗi que là một số tự nhiên (khác 0) Ronnhận thấy rằng cậu ta không thể dùng bất cứ 3 que nào trong 8 que ấy để tạo thànhmột hình tam giác Như thế, que dài nhất mà Ron đang có sẽ có độ dài bé nhất bằngbao nhiêu ?
(A) 20 (B) 21 (C) 22 (D) 23 (E) 24
Bài 5 (câu 25) : Tony và Maria đang tập luyện để dự một cuộc thi chạy Họ cùng chạylên và xuống một ngọn đồi (quãng đường từ chân đồi đến đỉnh đồi dài 700m) Tốc độchạy lên dốc của cả hai người luôn không đổi và khác nhau Khi chạy xuống dốc, mỗingười chạy với tốc độ gấp đôi tốc độ của họ đã chạy khi lên dốc Maria là người lên đến
đỉnh đồi trước, cô quay xuống ngay và gặp Tony lúc anh chỉ còn cách đỉnh đồi 70m KhiMaria xuống đến chân đồi, cô còn cách Tony bao xa ?
(A) 140m (B) 250m (C) 280m (D) 300m (E) 320m
(Tiếp theo kì trước)
Trang 10Bài 1 : Naoki làm trung bình được 68%
nghĩa là bình quân mỗi bài kiểm tra đạt 68
điểm (điểm tối đa của mỗi bài là 100) Vậy
tổng số điểm của 9 bài kiểm tra là :
9 x 68 = 612 (điểm)
Khi bỏ qua không tính điểm thấp nhất
của bài làm (là điểm 0) thì xem như Naoki
vẫn đạt 612 điểm nhưng chỉ với 8 bài kiểm
tra Điều này có nghĩa là cậu ta làm bài đạt
điểm bình quân là : điểm = 76,5 điểm
hay đã làm trung bình được 76,5%
Trả lời : (A)
Bài 2 : Từ hình vẽ ta thấy : tam giác đều
lớn (ngoại tiếp lục giác đều) được ghép bởi
9 tam giác đều nhỏ (bằng nhau) ; lục giác
đều được ghép bởi 6 tam giác đều nhỏ nói
trên Diện tích lục giác đều bằng 12 nên
diện tích mỗi tam giác đều nhỏ bằng 2, suy
ra diện tích tam giác đều lớn bằng 18
Sau 100 giây, Sedra chỉ chạy được :
Vậy khi đó Sedra còn cách đích 91m
Trả lời : (E) Bài 4 :
Cách 1 : Lập bảng như sau cho mỗi bể
Ta có 20 = 2 + 18 = 8 + 12 = 14 + 6 nên từbảng suy ra số cá Vàng tương ứng cho mỗitrường hợp là 33, 32 và 31 Vậy nếu Enzo cótất cả 20 con cá Ngũ Sắc thì số cá Vàng nhỏnhất mà cậu ta có thể có là 31
Trả lời : (C).Cách 2 : Ta lập bảng như sau :
(trong bể thứ nhất, gọi 2a là số cá Ngũ Sắc thì3a là số cá Vàng ; trong bể thứ hai, gọi 3b là
Cuộc thi Toán gau-xơ của ca-na-đa
(dành cho lớp 7)
Cuộc thi Toán gau-xơ của ca-na-đa
Trang 111) Tìm tất cả các vị trí của điểm M sao cho :
2) Xét điểm M nằm trên đường chéo AC Gọi N là chân đườngvuông góc hạ từ điểm M xuống cạnh AB và O là trung điểm của
đoạn AM Chứng minh rằng tỉ số có giá trị không đổi khi M dichuyển trên đường chéo AC
3) Với giả thiết M nằm trên đường chéo AC, xét các đường tròn(S1) và (S2) có đường kính tương ứng là AM và CN Hai tiếp tuyếnchung của (S1) và (S2) tiếp xúc với (S2) tại P và Q Chứng minhrằng đường thẳng PQ tiếp xúc với (S1)
j Câu 5 : Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số a là
số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí hiệu là [a] Dãy các số
MAB MBC MCD MDA.
Trang 12j Câu 1 : (2 điểm)
a) Giải phương trình :
b) Định m để phương trình x2- (m + 1)x + 2m = 0 có hai nghiệmphân biệt x1, x2sao cho x1, x2là độ dài hai cạnh góc vuông củamột tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5
và chúng gặp nhau lần thứ hai tại một điểm C Biết thời gian xe
XBđi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là
1 giờ Hãy tính vận tốc của từng chiếc ô tô
j Câu 4 : (3 điểm)
Gọi I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoạitiếp (C) của tam giác nhọn ABC Tia AI cắt đường tròn (C) tại K (K A) và J là điểm đối xứng của I qua K Gọi P và Q lần lượt làcác điểm đối xứng của I và O qua BC
a) Chứng minh rằng tam giác IBJ vuông tại B
b) Tính góc BAC nếu Q thuộc (C)
c) Chứng minh rằng nếu Q thuộc (C) thì P cũng thuộc (C)
Trang 13Kết quả : Thi giải toán qua thư
Bài 1(17) : Hai số p, q thỏa mãn đẳng
Nam, THCS Đông Mỹ, Đồng Hới, Quảng
Bình đề xuất bài toán tổng quát : “Nếu
TP Buôn Ma Thuột, Đắk Lắk ; Nguyễn HữuNam, 6C, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kì, HảiDương ; Phan Đức Thành, 9/4, THCSNguyễn An, Gò Vấp, TP Hồ Chí Minh ; TrầnChính Nghĩa, THCS Lê Quý Đôn, TX TuyênQuang, Tuyên Quang
LtnBài 2(17) : Đặt
Chứng minh rằng :
Lời giải : Cách 1 : (của bạn Hoàng Đức ý) Ta có :
Trang 14Từ (1) và (2) suy ra :
Cách 2 : (của bạn Tô Việt Anh)
Với k nguyên dương ta có :
Cách 3 : (của bạn Khuất Văn Phiến)
Nhận xét : 1) Nhiều bạn đã giải được bàinày với nhiều cách khác nhau Hầu hết cáclời giải đều đúng, đặc biệt có gần 30 lời giảicho kết quả mạnh hơn nhiều
2) Các bạn có lời giải ngắn gọn và pháthiện được kết quả mạnh hơn là : Khuất VănPhiến, đội 5, xã Đại Đồng, Thạch Thất, HàTây ; Tô Việt Anh, 9A, THCS NguyễnTrường Tộ, Đống Đa, Hà Nội ; Triệu MạnhDuy, mẹ là Nguyễn Thu Hương, Trung tâm
Đào tạo cán bộ Y tế, 35 Trần Nhật Duật ;Trần Thu Thủy, 6A4, THCS Trần ĐăngNinh, TP Nam Định, Nam Định ; Lê HươngTrâm, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao,Phú Thọ ; Hoàng Đức ý, 8E, THCS TrầnMai Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa ;Nguyễn Thành Trung, 8D, THCS TT KìAnh, Kì Anh, Hà Tĩnh ; Nguyễn Trung Kiên,8C, THCS Vĩnh Yên, TX Vĩnh Yên, VĩnhPhúc ; Bùi Đức Minh, 9CT, THCS Trần Phú,
TX Phủ Lí, Hà Nam
nguyễn anh quânBài 3(17) : Cho các số dương x, y, z thỏamãn bất đẳng thức :
2xyz + xy + yz + zx 1
Tìm giá trị lớn nhất của xyz
Lời giải : áp dụng bất đẳng thức Cô-sicho bốn số 2xyz, xy, yz, zx ta có :
14
Trang 15Nhận xét : Đây là bất đẳng thức cơ bản.
Hầu hết các bạn đều giải theo cách trên
Các bạn lớp 6, 7 sau có lời giải tốt : Nguyễn
Rồng, Thanh Hóa ; Nguyễn Thị Cẩm
Nhung, 7A, THCS Chu Văn An, Hương
Khê, Hà Tĩnh ; Đặng Vân Anh, 6A, THCS
Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An ;
Nguyễn Văn Ngọc, 7G, THCS Nguyễn Huệ,
Đông Hà, Quảng Trị ; Bùi Bảo Khang, 7A1,
THCS số 2, An Nhơn, Bình Định ; Dương
Danh Hoàng Anh, 6A4, THCS Phan Chu
Trinh ; Võ Văn Tuấn, 7A5, THCS Buôn Hồ,
KRông Buk, Đắk Lắk
Nguyễn Minh đứcBài 4(17) : Tính các góc của tứ giác ABCD
biết
Lời giải : (theo bài của bạn Phạm Thị Thu
Hoài) Dựng AH CD, gọi O, E lần lượt là
giao điểm của BD với AH, AC K là giao điểm
của AD và CO Xét tam giác vuông OHD, do
tứ giác ABCO nội tiếp, từ đó
ta có nhận xét : điểm C phải nằm bên trong đường tròn ngoại tiếp
ABD Gọi M, N, I lần lượt là giao điểm của
DC, AC, BC với đường tròn ngoại tiếp
ABD Ta chứng minh được AN là đườngkính ; N là trung điểm của từ đó suy ra
AC là trục đối xứng của tứ giác ABCD vàtính được các góc của tứ giác này
Với cách giải này, ta cũng có thể tổngquát được bài toán
2) Các bạn có lời giải đúng và gọn là :Phạm Thị Thu Hoài, thôn Đồng Kinh, TháiThuần, Thái Thụy, Thái Bình ; Tô Việt Anh,9A, THCS Nguyễn Trường Tộ, Đống Đa, HàNội ; Nguyễn Mạnh Tùng, 7B, THCS Thị
MI,
Trang 16Trấn, Tân Yên, Bắc Giang ; Nguyễn Nam
Hải, SN 173 đường Lê Lợi ; Đỗ Việt Hùng,
SN 11 đường Trường Chinh, TX Phủ Lí, Hà
Nam ; Nguyễn Thành Trung, 8D, THCS thị
trấn Kì Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh ; Trần Văn
Dưỡng, Đỉnh Dương, Trừng Xá, Lương Tài,
Bắc Ninh ; Võ Văn Tuấn, 7A5, THCS Buôn
Hồ, KRông Buk ; Dương Danh Hoàng Anh,
6A4, THCS Phan Chu Trinh, Buôn Ma
Thuột, Đắk Lắk
Nguyễn văn mạnhBài 5(17) : Cho tam giác ABC, trực tâm H,
nội tiếp đường tròn (O) M là trung điểm của
BC AM cắt (O) tại N (N A) Chứng minh
rằng MN MH Khi nào xảy ra đẳng thức ?
Lời giải : Có ba trường hợp cần xem xét
Trường hợp 1 : ABC vuông tại A (hình 1)
Nguyễn Minh Hà
Trang 17Thám tử Sê-Lốc-Cốc có người bạn cũ là
nhà toán học nổi tiếng - giáo sư Bây-len
Một lần, thám tử nhận được thư của giáo
sư báo tin sẽ đến công tác ít ngày tại thành
phố nơi thám tử sinh sống Mặc dù rất
mong gặp bạn cũ, nhưng khi giáo sư đến
thì thám tử lại đang phải đi điều tra một vụ
án đặc biệt nghiêm trọng xảy ra ở thành
phố khác, vì thế mấy ngày sau ông mới trở
về tìm gặp giáo sư Bây-len được
Đến khách sạn Rồng Đen - nơi giáo sư
Bây-len thuê phòng, thám tử vô cùng kinh
ngạc được biết người bạn của mình
đã bị sát hại mấy ngày trước
đây Người quản lí khách
- Rất tiếc là chưa
- Ông còn biết thêm điều gì nữa không ?
Xin hãy kể cho tôi nghe ! Tôi vô cùng
thương tiếc bạn mình và muốn khám phá
vụ án mạng này trong thời gian sớm nhất
- Khi ông Bây-len đến thuê phòng, tôi
mới biết ông ấy là đồng hương của mình
Chúng tôi nhanh chóng có thiện cảm với
nhau và mỗi lần nướng bánh tôi lại mang
đến biếu ông ấy một vài chiếc Ông cótưởng tượng được không ? Khi bị sát hại
ông ấy vẫn còn cầm chặt một chiếc bánhnướng trong tay Tôi đau lòng lắm ! Đếncảnh sát cũng cảm thấy khó hiểu, khôngbiết vì sao một người bị đâm trọng thương
là ai thì cảnh sát chưa kết luận
được Hôm xảy ra án mạngtôi đang trực và tôi biếtchắc chắn hôm đókhông có một ngườilạ nào đến kháchsạn cả
- Hung thủ có đểlại dấu vết gì không ?
- Tôi không rõlắm, nhưng hình như
là không
Thám tử Sê-Lốc-Cốc đứng lên Ông đi đilại lại, đăm chiêu suy nghĩ một lúc khá lâu
- Rất có thể điều bí mật của vụ án nằmtrong chiếc bánh nướng ! - Thám tử thốt lên.Nghe vậy, người quản lí khách sạn vộithanh minh :
- Thưa thám tử, xin ông đừng nghi ngờtôi và những chiếc bánh của tôi ! Tôi vàgiáo sư Bây-len là chỗ thân tình mà, tôilàm sao có thể hại ông ấy được !
- ồ không ! Tôi không nghi ngờ ông
Vũ Bội Tuyền (Hà Nội)
Trang 18l Kết quả :
đâu ! Có lẽ tôi đã hiểu vì sao mà người
bạn của tôi lại cố cầm chiếc bánh trong
tay khi bị đâm trọng thương
Trong khi người quản lí khách sạn đang
cố suy nghĩ thi thám tử đột nhiên hỏi :
- Được ạ, tôi luôn sẵn lòng giúp thám tử
Hai người lên tầng ba Họ đi dọc theo
hành lang, bắt đầu từ phòng số 1 Khi gần
hết hành lang, thám tử Sê-Lốc-Cốc bỗng
dừng lại, chỉ vào một phòng và hỏi :
- Ai ở trong phòng này ?
- Thưa, anh ta tên là Mi-ke, một người
hám tiền, hám rượu Mà hai hôm nay,
anh ta đã đi đâu đó, chưa thấy về
Nhưng tôi nghĩ chiếc bánh thì không thể
có liên quan gì đến anh ta được
- Có đấy Bánh nướng viết theo tiếng
Anh là Pie, đọc là pai, mà pai cũng chính
là cách đọc tên của một con số trong
toán học Thế nào, ông đã đoán ra chưa ?
Không phải ngẫu nhiên mà một giáo sư
toán học lại cố cầm chiếc bánh Pie khi bị
giết đâu Theo tôi thì Mi-ke là kẻ khả nghi
nhất trong vụ án này Tất nhiên tôi cần
gặp đội cảnh sát đã điều tra vụ án và sẽ
phải tìm hiểu kĩ thêm nữa trước khi đưa ra
kết luận cuối cùng
Người quản lí khách sạn nghĩ mãi mà
vẫn chưa hiểu tại sao thám tử Sê-Lốc-Cốc
lại khẳng định mối liên quan giữa chiếc
bánh nướng với anh chàng Mi-ke Còn các
bạn - những thám tử “Tuổi Hồng” yêu thích
môn toán thì sao, có đoán ra không ?
Ông Ben không thể hiểu nổi vì saothám tử Sê-Lốc-Cốc đã kịp nhận ra kẻsát nhân, còn các “thám tử Tuổi Hồng”
- bạn đọc của TTT- thì lại phán đoánthật chính xác và tài tình : Ngoài ôngBen ra, chỉ có duy nhất người thư kíGiôn là biết kế hoạch các thám tử sẽnấp sau tấm ri-đô Bóng đen lẻn vào
và lập tức bắn thẳng vào tấm ri-đô,chứng tỏ hắn đã biết trước kế hoạch
đó Không ai khác, hắn chính là ngườithư kí đã được ông Ben hết sức tin yêu.Quả là một kẻ vô ơn bội nghĩa ! Phần thưởng kì này được trao chonăm bạn có bài làm xuất sắc hơn cả :Nguyễn Hồng Nhung, 7B, THCSKiều Phú, Quốc Oai, Hà Tây ; Lê ThịThúy Phương, 7A, THCS Tô Hiệu, TX.Nghĩa Lộ, Yên Bái ; Lê Quang Đạt,6A, THCS TT Hải Lăng, Quảng Trị ;Nguyễn Đăng Toàn, 6A9, THCS TT.Phước An, Krông Păk, Đắk Lắk ;Nguyễn Dương Lam Linh, F91, TrầnQuang Diệu, Phan Thiết, Bình Thuận
Thám tử Sê-Lốc-Cốc
(TTT2 số 17)