Các hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Ngoài ra để ý rằng tổng các bình phương bằng 0 thì các bình phương đó bằng 0 nên ta biến đổi giả thiết của bài toán về tổng các bình phương bằng 0.. Quan sát giả thiết và biểu thức P ta[r]

 

− −  − − 

=Chẳng hạn hệ số của hạng tử a b trong khai triển của 4 3 ( )7

a b+ là

4 7

7.6.5.4 7.6.5.4

thẻ áp dụng khi giải một số dạng bài tập toán như sau

+ Áp dụng trực tiếp các hằng đẳng thức để thực hiện tính phép tính, tính giá trị

+ Chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của biểu thức đại số

+ Áp dụng các hằng đẳng thức để giải mọt số bài toán số học và tổ hợp

Bài 1 Thực hiện phép tính

9x – 3x – 4c) (a – b2)(a b+ 2) d) (a2+2a 3 a+ )( 2+2a 3− )

• Định hướng tư duy Rút gọn biểu thức là cách gọi khác của thực hiện phép tính, do đó

ta sử dụng các hằng đẳng thức để khai triển các hạng từ rồi thu gọn biểu thức

• Định hướng tư duy Bài toán tìm x là một dạng bài tập tìm giá trị của biến khi biết giá

trị của biểu thức Với các bài tập trên để tìm được x trước hết ta cần sử dụng các hằng đẳng thức để khai triển các hạng từ rồi thu gọn biểu thức rồi mới đi tìm giá trị của x từ đẳng thức đơn giản cuối cùng

x 2 2x 1 x

3

 =

 + = − + =  

D= 2 1 2+ +1 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1 – 2

• Định hướng tư duy Quan sát các biểu thức ta thấy có bóng dáng của các hằng

đẳngthức đáng nhớ Do đó ta sử sử dụng các hẳng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi các biểu thức

• Định hướng tư duy Quan sát giả thiết của bài toán ta thấy có hai hướng

+ Hướng 1 Biến đổi biểu thức làm xuất hiện các hạng tự có dạng x y − và x 2y+

+ Hướng 2 Thay x y 7= + và x 5 2y= − tương ứng vào các biểu thức rồi thu gọn biểu thức

Cả hai hướng trên ta đều cần sử dụng biến đổi để đưa về các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc khai triển các hằng đẳng thức đáng như

C x= +4y – 2x 10 4xy – 4y+ + = x 2y – 2 x 2y+ + (3)

Thay x 2y 5+ = vào biểu thức C ta được C 5 – 2.5 15= 2 =

• Định hướng tư duy Quan sát các đẳng thức cần chứng minh ta thấy có hai hướng

+ Hướng 1 Khai triển vế trái của đẳng thức rồi sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi biểu thức về vế phải

+ Hướng 2 Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi đồng thời cả hai vế rồi so sánh kết quả

sử sử dụng các hẳng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi giả thiết của bài toán Ngoài ra để ý rằng tổng các bình phương bằng 0 thì các bình phương đó bằng 0 nên ta biến đổi giả thiết của bài toán về tổng các bình phương bằng 0

• Định hướng tư duy Quan sát giả thiết của bài toán và đẳng thức cần chứng minh ta dự

đoán rằng a c; b d= = hoặc a d; b c= = Như vậy ta đi chứng minh a c= hoặc a d = ,

điều này đồng nghĩa với (a c a d− )( − )=0.

Lời giải

a b+ = +c d a +b +2ab c= +d +2cd Kết hợp với a2+b2 = + ta được ab cdc2 d2 =

Cũng từ a b c d+ = + ta được b c d a= + − , thay vào ab cd= ta được

a c d a+ − =cdac ad a+ − =cda −ac ad cd 0− + =  a c a d− − =0

+ Nếu a c 0− = ta được a c= , suy ra b d= Khi đó ta được a2018+b2018=c2018+d2018

+ Nếu a d 0− = ta được a d= , suy ra b c= Khi đó ta được 2018 2018 2018 2018

Vậy bài toán được chứng minh hoàn tất

Bài 9 Cho a, b, c, d là các số thực khác 0 thỏa mãn các điều kiện a b c d+ = + và

Vậy bài toán được chứng minh hoàn tất

Bài 10 Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ( ) (2 ) (2 )2

a b− + b c− + −c a =6abc Chứng

a +b +c =3abc a b c 1+ + +

• Định hướng tư duy Quan sát bài toán ta thấy cả giả thiết và đẳng thức cần chứng

minh đều phức tạp Trong giả thiết và đẳng thức cần chứng minh đều có các hẳng đẳng thức đáng nhớ Để ý rằng( ) (2 ) (2 )2 ( 2 2 2 )

a b− + b c− + −c a =2 a +b +c −ab bc ca− − Như vậy ta cần biến đổi đẳng thức cần chứng minh làm xuất hiện đại lượng như trên

a +b +c −3abc=3abc a b c+ + hay

• Định hướng tư duy Giả thiết bài toán cho hai biểu thức bậc 3 của hai biến a và b Quan

sát hai biểu thức đó ta thấy có các hạng tử của một hẳng đẳng thức bậc 3 Như vậy để chứng minh được a b 2 + = ta cần chứng minh được 3 ( )3

a = 2 b− Từ đó ta có các lời giải như sau

Lời giải

+ Lời giải 1 Từ b3−3b2+5b 11 0+ = ta được

• Lời giải 3 Ta có 3 2 3 2 ( )3 ( )

a −3a +5a 17 a− = −3a +3a 1 2a 16− + − = a 1− +2 a 1− −14 Đặt x a 1= − , khi đó kết hợp với giả thiết ta được 3

Do đó ta được x y 0+ = hay a 1 b 1 0− + − = nên a b 2+ =

• Lời giải 4 Cộng theo vế các hệ thức đã cho ta được

Do đó từ đẳng thức trên ta được a b 2 0+ − = hay a b 2+ =

Bài 12 Với a, b, c là các số thực thỏa mãn:

3a 3b 3c+ + =24+ 3a b c+ − + 3b c a+ − + 3c a b+ −Chứng minh rằng (a 2b b 2c c 2a+ )( + )( + )=1

• Định hướng tư duy Giả thiết bài toán cho ta các hẳng đẳng thức bậc ba nên ta hoàn

toàn có thể khai triển giả thiết và biến đổi về hệ thức cần chứng minh Tuy nhiên để ý ta nhận thấy có thể đổi biến 3a b c x; 3b c a y; 3c a b z+ − = + − = + − = rồi mới khai triển

hẳng đẳng thức thì phép khai triển sẽ bớt đi sự phức tạp

Lời giải

x +y +z = x y z+ + −3 x y y z z x+ + + Thật vậy, khai triển hẳng đăng thức bậc ba ta có

Vậy ta có điều cần chứng minh

Bài 13 Các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời các đẳng thức sau:

abc 0= thì xem như bài toán được chứng minh Nếu abc 0  thì đẳng thức thứ hai phải

xẩy ra Chú ý rằng nếu đẳng thức thứ hai xẩy ra thì ta có a b c = = Kết hợp với giả thiết

của bài toán thì ta được a b c 0 = = = , điều này mâu thuẫn với abc 0  Do đó đẳng thức

thứ hai không thể xẩy ra, tức là ta có điều cần chứng minh

Do đó ta được ( 2 2)( 2 2)( 2 2) 2 2 2

a −ab b+ b −bc c+ c −ca a+ a b c Kết hợp với hệ thức trên ta được a b c= = , thay vào hệ thức thứ hai ta được 3 3

8a =a  = a 0 abc 0= , Điều này mâu thuẫn với abc 0

• Định hướng tư duy Quan sát giả thiết ta thấy có bóng dáng của các hằng đẳngthức

đáng nhớ Do đó ta sử sử dụng các hẳng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi giả thiết của bài toán Ngoài ra để ý rằng tổng các bình phương bằng 0 thì các bình phương đó bằng 0 nên

ta biến đổi giả thiết của bài toán về tổng các bình phương bằng 0 Lại để ý đến biểu thức cần tính giá trị A ta dự đoán rằng x 1; y 1; z 1− − − nhận một trong các giá trị −1; 0;1

• Định hướng tư duy Quan sát giả thiết và biểu thức P ta thấy cần biến đổi biểu giả thiết

để làm xuất hiện các mẫu thức Để ý từ giả thiết ta có x y + = − nên z ( )2 2

= Lại chú ý rằng với x y z 0+ + = ta có x3+y3+z3=3xyz Từ đó ta

tính được giá trị của biểu thức P

Hoàn toàn tương tự ta cũng có

xy yz zx1

32

• Định hướng tư duy Do vai trò của các biến a, b, c trong bài toán như nhau nên ta dự

đoán a b c 2 = = = Ngoài ra để ý rằng tổng các bình phương bằng 0 thì các bình phương

đó bằng 0 nên ta biến đổi giả thiết của bài toán về tổng các bình phương bằng 0 Như vậy ta cần biến đổi giả thiết về dạng ( ) (2 ) (2 )2

( )2019 ( )2020 ( )2021 ( )2019 ( )2020 ( )2021

Lời giải

Do a b c 0+ + = nên ta có b c+ = − hay a ( )2 2

b c+ = aCũng từ a b c 0+ + = ta được a b+ = − và a cc + = − b

phương của một đa thức

• Định hướng tư duy Ta thấy đa thức P x( ) có bậc 4 nên khi viết thành bình phương của một đa thức thì đa thức đó phải có bậc hai Chú ý đến hệ số của hạng tử bậc bốn ta suy ra

đa thực bậc hai phải có hệ số cao nhất là 1 Như vậy đa thức bậc hai phải có dạng

Lời giải Lời giải 1 Do đa thức P x( ) có bậc 4 với hệ số cao nhât là 1

P x = x +mx n+

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để f k( ) (=f 2019 f 2020) ( )

• Định hướng tư duy Trước hết ta cần tính được giá trị f 2019 f 2020( ) ( ) Tiếp theo ta cần biến đổi f 2019 f 2020( ) ( ) về dạng k2+ka b+

f 2019 f 2020 = 2019 +2019a b 2020+ +2020a b+ và chú ý rằng 2020 2019 1= + ta biến đổi được

Bài 22 Cho hai số thực phân biệt a, b thỏa mãn 3 3 2 2( )

a +b =a b ab 3− Tính giá trị của biểu thức: T a b ab= + −

a +b +c =3abc Biến đổi đẳng thức giả thiết ta được

a b c a b b c c a 02

Do a, b là hai số phân biệt nên ( ) (2 ) (2 )2

a b− + b c− + −c a  0

Do đó ta suy ra được a b c 0+ + =  + = − =a b c ab Suy ra T a b ab 0= + − =

Bài 23 Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn a3+b3+c3=3abc và abc 0 Tính giá trị biểu thức

T= x 1− + + y 2− + + z 3− + với n là một số tự nhiên

xét trường hợp a 0= , các trường hợp khác hoàn toàn tương tự

Khi a 0= ta suy ra b c 0+ = hay ta được b= − c

Thay vào biểu thức T ta được 2n 1 ( )2n 1

T=b + + −b + = 0Vậy với x, y, z thỏa mãn yêu cầu bài toán ta được T 0=

Bài 26 Cho a, b, c là các số thực bất kì Chứng minh rẳng:

a +b +c +d +e a b c d e+ + +

đẳng thức trên, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương Để được các tích ab, ac, ad, ae vào trong bình phương ta cần ghép a

với b, c, d, e, và vì vai trò của b, c, d, e như nhau nên ta có thể nghĩ đến việc biến đổi như sau

a +b +ab Trong khi đó giả thiết lại xuất hiện biểu thức a b − Vậy mối liên hệ của hai

biểu thức này như thế nào? Dễ thấy được hằng đẳng thức (a b a− ) ( 2+b2 +ab)=a3−b3

Do đó một cách rất tự nhiên ta nhân hai vế của giả thiết với biểu thức a2+b2+ab để làm

Do b 0 hiển nhiên đúng Nên bất đẳng thức được chứng minh

Bài 28 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

a +b +c abc a b c+ +

• Định hướng tư duy Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức cơ bản có vế trái là các lũy

thừa bậc chẵn Để ý ta thấy abc a b c( + + )=ab.bc bc.ca ca.ab+ + , do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức thành tổng của các bình phương

Bài 29 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có:

ab a 2 b 6− + +12a −24a 3b+ +18b 36 0+ 

• Định hướng tư duy Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế trái của có sự xuất hiện

các đại lượng a a 2 ; b b 6( − ) ( + ) và chú ý thêm ta nhận thấy ( ) ( )2

a a 2− + =1 a 1− và

b b 6+ + =9 b 3+ Đến đây ta thấy có hai ý tưởng chứng minh bất đẳng thức trên

+ Hướng 1 Biến đổi tương đương làm xuất hiện các bình phương ( ) (2 )2

a 1 , b 3− + + Hướng 2 Đặt biến phụ x a a 2 ; y= ( − ) =b b 6( + ) và sử dụng điều kiện của biến phụ để chứng minh

Lời giải Cách 1 Gọi P là vế trái của bất đẳng thức đã cho, ta có

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Cách 2 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

( )( ) ( )2 ( )2

ab a 2 b 6− + +12 a 1− +3 b 3+ −  3 0

Đặt ( )

2 2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 30 Cho a, b là các số thực dương, tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng

• Định hướng tư duy Vì vai trò của a, b như nhau nên ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra

tại a b = , do đó khi biến đổi bất đẳng thức ta cần làm xuất hiện nhân tử ( )2

a b− Khi đó bất đẳng thức trở thành ( )2 ( 2 2)( 2 2) 2 2

a b−  a +4ab b+ a +b −ka b 0

ta cho a = , khi đó ta được b 4 4

12a −ka   0 k 12 Đến đây ta chỉ cần chứng minh

Cho a b= thì bất đẳng thức trên trở thành 12a4−ka4  0 k 12 Ta chứng minh k 12= là hằng số lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức đã cho

Thật vậy, ta xét các trường hợp sau

+ Với k 12 thì ta được (a2 +4ab b+ 2)(a2+b2)−ka b2 2  0

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng Vậy hằng số k lớn nhất là 12

Bài 31 Tìm các giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A 10x= +y +4z +6x 4y 4xz 2024− − +

biểu thức cho trong các bài toán tìm giá trị biểu thức có điều kiện ở trên Do đó ta sẽ sử dụng hẳng đẳng thức để phân tích thành các bình phương Chú ý rằng các bình phương không âm nên ta có thể suy ra được giá trị nhỏ nhất của A

3x 1+ 0; y 2− 0; 2z x−  nên ta suy ra được A 20190 

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

Lời giải

Biến đổi giả thiết của bài toán ta được

Do vậy ta được − 1 x2+y2−  hay 1 1 0 x 2 +y2  nên 0 A 22  

Ta có A 0 nên giá trị nhỏ nhất của A là 0, đạt được tại x 02 2 x y 0

y +6y 9+ = y 3+  nên suy ra 0 y2+6y 12 3+  với mọi số thực y Biến

đổi biểu thức B ta được

Kết hợp với kết quả trên ta được B 2.3 2013 2019 + =

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x 1; y= = − 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 2019, đạt được tại x 1; y= = − 3

Bài 34 Cho x, y, z là các số nguyên dương phân biệt Chứng minh rằng:

( ) (5 ) (5 )5

A= x y− + y z− + z x− chia hết cho B 5 x y y z z x= ( − )( − )( − )

• Định hướng tư duy Để chứng minh được A chia hết cho B ta cần biến đổi biêu thức A

về dạng kB Chú ý rằng bài toán cho các nhị thức bậc 5 nên ta có thể sử dụng nhị thức Newton để khải triển Lại thấy z x− = − − + −(x y y z) nên để giảm bớt đi sự phức tập ta có thể đổi biến = −a x y; b y z = −

Lời giải

Đặt = −a x y; b y z khi đó ta được = − z x− = − +(a b)

Bài toán quy về chứng minh ( + )5− 5− 5

a b a b chia hết cho 5ab a b( + ) Ta có

minh số tổng quát của dãy là số chính phương Muốn vậy ta phân tích số đó thành bình phương của một số tự nhiên khác Chú ý đến biến đổi n

Khi đó ta được ( 2 − + )2 = 2  2− + =  =( − )2

Vậy a và b là hai số chính phương liên tiếp

Bài 38 Cho p, q, r, s là các số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh 2− 2 + −2 2

Mặt khác ta lại có (p 1 p p 1− ) ( + ) chia hết cho 3, mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên

p không chia hết cho 3 Do đó 2− =( − )( + )

Do đó ta được p2−q2 + −r2 s chia hết cho 24 2

Bài 39 Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( )p; q sao cho 2 − 2 =

Lời giải

Từ p2 −2q2 =1 ta được p2 =2q2+1 Do đó ta suy ra được p là số nguyên tố lẻ

Từ đó ta đặt =p 2k 1 với k là số nguyên dương +

Vậy cặp số nguyên tố ( ) ( )p; q = 3; 2 thỏa mãm yêu cầu bài toán

Bài 40 Tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng số đó bằng lập phương

của tổng các chữ số của nó

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là abcd với a, b,c,d N và  1 a 9; 0 b,c,d 9 Theo bài  

Ta có nhận xét Một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó khi chia cho 9 có cùng số dư

m a b c d m N , khi đó abcd và m có cùng số dư khi chia cho 9

Từ đó ta được abcd m 9 hay ta được − abcd m 9k k N − = (  *)

m m 9k m 1 m m 1 9k

Do đó (m 1 m m 1 9− ) ( + ) Ta biết rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp có duy nhất

một số chia hết cho 3 mà tích của chúng chia hết cho 9 nên trong ba số đó có duy

nhất một số chia hết cho 9

Ta có 1000 abcd 9999  1000 m 3 999910 m 21  

Do đó ta được 9 m 1 20;11 m 1 22 Ta xét các trường hợp sau: −   + 

• Trường hợp 1 Nếu m 9 , khi đó m 18 Do đó ta được = abcd 18= 3=5832

Thử lại ta thấy =( + + + )3

• Trường hợp 2 Nếu m 1 9 , khi đó m 1 18+ + = nên m 17=

Do đó ta được abcd 17= 3 =4813 Thử lại ta thấy =( + + + )3

Do đó trường hợp này loại

Vậy các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 5832 và 4913

Bài 41 Tìm số chính phương có bốn chữ số khác nhau sao cho khi viết số đó theo

thứ tự ngược lại ta được một số có bốn chữ số cũng là số chính phương và chia hết cho số ban đầu

Lời giải

Gọi số cần tìm là abcd x= 2 với a, b, c, d là các chữ số và x là một số tự nhiên Số

viết theo chiều ngược lại là dcba=y với y là một số tự nhiên Vì cả hai số đều có 2

bốn chữ số nên ta suy ra được a 0;d 0 

Theo bài ra ta có y2 =kx với k là một số tự nhiên lớn hơn 1 2

Vì a, d là các chữ số tận cùng của số chính phương nên a,d1; 4; 5; 6; 9 ( )*

Mặt khác do k 2 và dcba=y có bốn chữ số nên =2 a 1 hoặc =a 4 Ta xét các

trường hợp sau

• Trường hợp 1 Với =a 1 , khi đó ta được dcb1 k.1bcd= Từ đó suy ra cả d và k

đều là số lẻ kết hợp với (*) ta suy ra được =d 9 và =k 9