[r]
Trang 1Đề thi học sinh giỏi 12
(Thời gian làm bài 180’)
c c tr ự ị đồng th i g c to ờ ố ạ độ O l tr ng tâm c a các tam giác t o b i 3à ọ ủ ạ ở
nh v 3 i m c c tr c a th h m s
x+y = √4 z −1
y + z = √4 x −1
z + x = √4 y −1
parabôn (P): y2 = 4x M l m t i m di à ộ đ ể động trên (P) M 0, T l m tà ộ
i m trên (P) sao cho T
a Ch ng minh r ng khi M di ứ ằ động trên (P) thì đường th ng MT luônẳ
i qua m t i m c nh
b Ch ng minh r ng khi M di ứ ằ động trên (P) thì thì trung i m I c ađ ể ủ
MT ch y trên 1 pa ra bol c ạ ố định
sinx + siny + sin (x+y) = 3√3
2
2 nπ
4 nπ cos x
Tính lim
n →+∞ In
ln a
a− 1 <
1+ 3
√a a+√3a
Đáp án
Câu 1: (3 i m ) đ ể
T p xác ậ định: D = R y = x4 - 6x2 + 4x + 6
y’ = 4x3 - 12x + 4 y’ = 0 <=> g(x) = x3 - 3x + 1 = 0 (1)
Ta có g(x), liên t c g(-2) = -1, g(-1) = 3, g(1) = -1 , g(2) = 3 ụ
Trang 2
¿
g(- 2) g (- 1)< 0
g(-1) g ( 1)< 0
g( 1) g( 2)< 0
¿ { {
¿
g(x) liên t c nên phụ ương trình (1) có 3 nghi m phân bi t th a mãn : ệ ệ ỏ
- 2 < x1 < -1 < x2 < 1 < x3 < 2
* Ta có y = 1
G i các i m c c tr l A (xọ đ ể ự ị à 1,y1), B(x2,y2), C (x3,y3) v G (xà 0,y0) là
tr ng tâm tam giác ABC ọ
Theo L Viet có Đ x1 + x2 + x3 = 0 (2)
x1x2 + x2x3 = x3x1 = -3 (3)
T (2) suy ra xừ 0 = x1+x2+x3
T (1) (2) (3) suy ra:ừ
y0 = 1
3 (y1+y2+y3) = -3 ( x12+x22
+x32 )-(x1+x2+x3) - 6
= -3 (x1 + x2 + x3)2 - 2 (x1x2 + x2x3 + x3x1) - 6 = -3 (0 - 2 (-3) - 6) = 0
V y G (0;0) ậ 0(0;0) ( PCM)Đ
Câu 2: ( 2 i m) đ ể
x+y = √4 z −1 (1)
y + z = √4 x −1 (2) (I) k x,y,z đ > 1
4
z + x = √4 y −1 (3)
áp d ng b t ụ ấ đẳng th c cosi tacó:ứ
√4 z −1=√(4 z −1) 1 < (4 z−1)+1
Tương t ự √4 x −1 < 2x (2’) ❑
√4 y −1 < 2y (3’)
T (1’) ;(2’) ; (3’) v (1) ; (2) ; (3) suy ra ừ à
2(x+y+z) = √4 z −1+√4 x −1+√4 y −1 < 2z + 2x + 2y (4)
T (4) suy ra: ừ
4z - 1 = 1 (I) <=> 4x - 1 = 1 <=> x = y = z = 1
2 nghi m úngệ đ (I)
4y - 1 = 1
V y h (I) có nghi m x = y = z = ậ ệ ệ 1
2
Câu 3: (P): y2 = 4x
a (3 i m đ ể ) Gi s ả ử M( y12
4 ; y1) ; T(y22
4 ; y2) v i yớ 1,y2 0; y1 y2 OTOM ⃗ OT ⃗ OM = 0 ⇔ y1
2
4 .
y12
4 + y y2 = 0
y1 y2 + 16 = 0 (1)
Phương trình đường th ng MT: ẳ x -
y12
4
y22
4 -
y12
4
= y - y1
y2 - y1 4x - y12 = (y1 + y2) (y-y1)
Trang 3 4x - (y1 + y2) y - 16 = 0 4(x- 4)- (y1 + y2) y= 0
Nên đường th ng MT luôn i qua i m c ẳ đ đ ể ố định J (4;0)
b (3 i m đ ể ) G i I (xọ 0, y0) l trung i m MT thìà đ ể
x0 = 1
8(y12+ y22) (1)
y0 = y1+ y2
T (1) suy ra xừ 0 = 1
8 (y1+y2)2 - 2y1y2 =
1
8 (2y0)2 - 2 (-16)
= 1
2 . y02+4 y02 = 2x0 - 8
T ó ừ đ I ch y trên parabôn (P) : yạ 2 = 2x = 8 c ố định
Câu 4: (3 i m đ ể )
sin x + sin y + sinz (x+y) = 3√3
áp d ng b t ụ ấ đẳng th c Bunhiac pxki v t (1) ta có ứ ố à ừ
3√3
2 ¿
2
27
4 =¿
= [sinx + siny + sinz (x+y)] 2 < (12 + 12+12).(sin2x + zin2y +
sin2(x+y))
= 3 1 −cos 2 x
1 −cos 2 y
2 +sin2 (x+y)
= 3.[1- cos (x+y) cos (x-y) + 1 - cos2 (x+y)]
= 3 2-(cos (x+y)+ 1
2 cos (x-y)2) +
1
4 cos2 (x-y)
< 3 (2- 0 + 1
4 ) =
27
4 (2) (Do cos2 (x-y) < 1; (cos (x+y) +
1
2 cos (x-y)2 > 0
T (2) suy ra: ừ
cos2 (x-y) = 1 (1) cos (x+y) + 1
2 cos (x-y) = 0 sinx = sin y = sin (x+y) = ❑√3
2
¿
x =π
3 + 2k π
y =π
3 + 2n π víi k , n ∈ Z
¿ {
¿
2n π
4n π
cosx
x dx
Ta ch ng minh:ứ 0 < In < 1
Ta có: In = ∫
2 nπ
4 nπ cos x
4 nπ
4 nπ
d (sin x)
sin x
x
¿4 nπ
¿2 nπ
-∫
2 nπ
4 nπ
sin x d (1
x)
Trang 4= ∫
2 nπ
4 nπ sin x
x2 dx
* Ta có: sin x
x2 <
1
x2 x 2n , 4n nên
In < ∫
2 nπ
4 nπ
dx
x2=−
1
x
¿4 nπ
¿2 nπ = -
1
4 nπ+
1
2nπ=
1
4 nπ (2)
* Ta có: In = Σ
k=n
2 n− 1
∫
2 kπ
2(k+1 )π
sin x
x2 dx đặt JK = ∫
2 kπ
2(k+1 )π
sin x
x2 dx
=> JK = ∫
2 kπ
(2 k +1)π
sin x
(2 k +1)π
2 (k +1)π sin x
x2 dx > ∫
2 kπ
2(k+1 )π
sin x (
x+π¿2
¿
1
x2−
1
¿
)dx >0 (3)
Ta l i có: Iạ n = Σ
k=n
2 n− 1
T (2) (4) suy ra 0 < Iừ n 1
4 nπ (1) úngđ
Ta l i có ạ Lim
n →+∞
1
4 nπ = 0 nên Lim n →+∞ In = 0
Câu 6: (3 i m) đ ể
ln a
a− 1 <
1+ 3
√a a+3
√a (1) v i 1 ớ a > 0 Trong h p 1: a >1ợ
(1) <=> (a + 3
√a )lna < (1 + 3
√a ) (a-1) (2) Đặt x = 3
√a => x
>1
(2) <=> 3(x3 +x) lnx < (1+x).(x3-1) x > 1
<=> x4 + x3 - x - 1 - 3 (x3+x)lnx > 0 (3) x > 1
t f(x) = x
Đặ 4 + x3 - x - 1 -3 (x3 + x)lnx x 1;+ ∞ )
Ta có f’(x) = 4 x3 + 3x2 - 1 - 3 (3x2 + 1) lnx + (x3 + x) 1
x
= 4x3 - 4 - 3 (3x2 + 1) lnx
f”(x) = 3.(4x2 - 3x - 6xln x - 1
x ) f(3)(x) = 3 ( 8x +
1
x2 -6ln x - 9)
f(4)(x) = 3.(8- 6
x −
2
x3 ) = 6 (4 x3−3 x − 1)
4 x2+4 x+1
¿
6 (x −1)¿
¿
> 0 , x > 1
Suy ra f(3)(x) đồng bi n nên [1;+ế ∞ )
f(3)(x) > f(3)(1) = 0 tương t f’(x)ự > 0 v i ớ x > 1
f(x)> f (1) = 0 v i ớ x >1 suy ra (3) úng.đ
Tr ườ ng h p 2: ợ 0 < a < 1 đặt a = 1
a1 , a1 > 1 quay v trề ường
h p 1.ợ