Kỹ thuật đồ họa nguyễn đình cường

Nếu chọn Δy=1, thì x kế tiếp được tính như sau Tương tự nếu B nằm bên trái, A nằm bên phải thì... Giả sử điểm xi, yi đã được vẽ.. Xét khoảng cách giữa hai điểm chọn với điểm nằm trên

Computer Graphic

NGUY N ĐÌNH C Ễ ƯỜ NG KHOA CÔNG NGH THÔNG TIN Ệ

Đ I H C NHA TRANG Ạ Ọ Email:cuongnd@ntu.edu.vn

Đi m ể

 Ví d : Trong m t ph ng m t đi m là m t c p (x,y) ụ ặ ẳ ộ ể ộ ặ

 Trong không gian 3 chi u, m t đi m là b ba (x,y,z) ề ộ ể ộ

Các bi u di n t a đ ể ễ ọ ộ

Đo n th ng ạ ẳ

 Trong h th ng đ h a, các đo n th ng đ ệ ố ồ ọ ạ ẳ ượ c bi u th b i vi c “tô” đo n th ng ể ị ở ệ ạ ẳ

b t đ u t đ u mút này kéo dài cho đ n khi g p đi m đ u mút kia ắ ầ ừ ầ ế ặ ể ầ

Thu t toán sinh đo n th ng ậ ạ ẳ

DDA = Digital Differential Analyser

 Xét đ ườ ng th ng có h s góc 0<m≤1 (gi s đi m A n m bên trái và đi m cu i ẳ ệ ố ả ử ể ằ ể ố

b n m bên ph i) ằ ả

 N u ch n ế ọ Δx=1, y k ti p đ ế ế ượ c tính nh sau: ư

Với m>1, hoán đổi vai trò x, y cho nhau Nếu chọn Δy=1, thì

x kế tiếp được tính như sau

Tương tự nếu B nằm bên trái, A nằm bên phải thì

Sơ đồ thuật toán DDA

Trường hợp 0<m≤1

Thuật toán Bresenham (0<m

≤1)

Phương trình đường thẳng:

y =mx +b (1)

Thuật toán Bresenham (0<m ≤1)

(2) (4)

Giả sử điểm (xi, yi) đã được vẽ Ta phải chọn điểm kế tiếp là (xi+1, yi), hay

(xi+1, yi+1) Xét khoảng cách giữa hai điểm chọn với điểm nằm trên

đường thực Nếu khoảng cách nào bé hơn thì ta láy điểm đó

Thuật toán Bresenham (0<m ≤1)

Thuật toán Bresenham (0<m ≤1)

Tóm t t ắ

Thu t toán MidPoint ( ậ 0<m ≤1)

 Thu t toán này đ a ra cách ch n đi m S(x ậ ư ọ ể i +1, y i ) hay P(x i +1, y i +1) b ng cách so sánh đi m th c ằ ể ự Q(x i +1, y) v i đi m M (trung đi m c a S và P) ớ ể ể ủ

Thuật toán MidPoint ( 0<m ≤1)

Thuật toán MidPoint ( 0<m ≤1)

Ta có dạng tổng quát phương trình đường thẳng:

Ax + By + C =0

Với A=y2-y1, B= -(x2-x1), C=x2.y1-x1.y2

Đặt F(x, y) = Ax + By + C , ta có nhận xét

Thuật toán MidPoint ( 0<m ≤1)

Lúc này, việc chọn các điểm S hay P được đưa về việc xét dấu của:

· Nếu pi <0 => M nằm trên đoạn thẳng => Q

nằm dưới M => Chọn S

· Nếu pi ≥ => M nằm dưới đoạn thẳng => Q

nằm trên M => chọn P

Thuật toán MidPoint ( 0<m ≤1)

Mặt khác

Nên

Thuật toán MidPoint ( 0<m ≤1)

Thuật toán vẽ đường tròn

Xét đường tròn (C) tâm O(xc, yc) bán kính R

Phương trình tổng quát

Để đơn giản đầu tiên ta xét đường tròn có tâm góc tọa độ (xc=0, yc=0)

Do tính đối xứng của đường tròn nên:

(x,y ) thuộc (C)thì các điểm (y,x), (-y,x), (-x,y), (-x,-y), (-y,-x), (y,-x), (x,-y) cũng (C)

Vẽ một phần tám rồi lấy đối xứng

Thu t toán v đ ậ ẽ ườ ng tròn

 Thu t toán Bresenham ậ

 Thu t toán Midpoint ậ

Bresenham – Vẽ đường tròn

▪ Giả sử (xi, yi ) đã vẽ được Cần chọn điểm kế tiếp là (xi+1, yi) hoặc (xi+1,yi--1)

Bresenham – Vẽ đường tròn

Bresenham – Vẽ đường tròn

Bresenham – Vẽ đường tròn

Thuật toán MidPoint-Vẽ đường tròn

Thuật toán MidPoint-Vẽ đường tròn

Thuật toán MidPoint-Vẽ đường tròn

Bài tập

Computer Graphic

Pi( t)=(1−t) Ai+ t Bi

[cos θ 0 0 sin θ /z cp

sin θ 0 0 −cosθ / z cp

0 m 0 (1−n / z cp)]

[T R] θZ =[−sin θ cosθ 0 0cos θ sin θ 0 0

BI N HÌNH TRONG KHÔNG GIAN UNITAR Ế

I= Is Kdcosθ

Gouraud vecto trung bình

Phong, ph ươ ng pháp n i suy ộ

Phong, ph ươ ng pháp n i suy ộ

Nhân 2 Ma trận

Mô hình 3D

Đ ườ ng cong Bezier

VONOROI

BÀI TOÁN ĐA GIÁC

value

Hệ thống xử lý tín hiệu 2 chiều

2.1 Một số tín hiệu 2 chiều cơ bản 2.1.1 Xung Dirac và xung đơn vị:

t0

0

; )

(

t

t t

Biểu diễn dưới dạng công thức

 Xung đơn vị, tác động tại thời điểm t=0

0 1

) (

n

n n



(n)

n0

Tại thời điểm n0 tác động là (n-no)

 Một tín hiệu S(n), được biểu diễn tổng quát như sau

k S n

S ( ) ( )  ( )

0 0

0 ,

0 )

,

(

y x

y

x y

x



y

x0

0 0

0 ,

0

1 )

,

(

n m

n

m n

k S n

m

Dùng cho tín hiệu liên tục

Dùng cho tín hiệu rời rạc

Hệ thống xử lý tín hiệu 2 chiều(tt) 2.1.2 Tín hiệu đơn vị và bước nhảy đơn vị

0 1

) (

t

t t

t u

0)(0

t u t

t u t

 Bước nhảy đơn vị:

01

)(

n

n n

0 1

) (

k n

k n k

n u

0 0

0 ,

0 1

) , (

y x

y x

y x u

y

xu(x,y)

Với tín hiệu rời rạc

0 0

0 ,

0 1

) , (

n m

n m

n m

m

u ( , )  ( , )

Một số tính chất với tín hiệu phân tách được

) ( ) ( )

,

) ( ) ( )

,

) ( ).

( )

, ( m n  m  n

Hệ thống xử lý tín hiệu 2 chiều(tt)

2.2.1 Toán tử hệ thống

T[.]

S(x,y)S(m,n)

z(x,y)

y x S T y x z

)]

,([),(

)]

,([),(

,(),()

,(

),(),(),()

,(),(),

y x kz y

x kS const k

y x z y x z y x z y

x S y x S y x S

T T

x

Z( , ) [ ( , )] [ ( , )( , ) ] ( , ) [( , )]

: gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến

v u y x h v y u x

T[(  ,  )] ( , ; , )

Hệ thống xử lý tín hiệu 2 chiều(tt)

 Với hệ thống tuyến tính bất biến dịch ta có

v y u x h v y u x T

v y u x h v u y x h

y x h u

x h

),()]

,([

),(),,,(

),()0,0

;,(

),(),()

,(

y x h y x S y x Z

dudv v y u x h v u S y

x Z

),(),()

,(

n m h n m S n m Z

l n k m h l k S n

m Z

),(),(),(m n S m n h m n

n

-11

h(m,n)

m

)1,1(),1()1,(),(

)1,1()1,1(),1()0,1()1,()1,0(),()0,0(

)1,1(),1()

,(),0()

,(),(

),(),()

,(),(),(

1 0

1 0

1 0

1 0

m h n m h

n m h S n m h S n

m h S n m h S

n m h l S l

n m h l S l

n k m xh l k S

l n k m xh l k S n

m h n m S n m x

k l

Áp dụng công thức

Hệ thống xử lý tín hiệu 2 chiều(tt)

)1,1(),1()1,(),(

)1,1()1,1(),1()0,1()1,()1,0(),()0,0(

)1,1(),1()

,(),0()

,(),(

),(),()

,(),(),(

1 0

1 0

1 0

1 0

m h n m h

n m h S n m h S n

m h S n m h S

n m h l S l

n m h l S l

n k m xh l k S

l n k m xh l k S n

m h n m S n m x

k l

n

41

h(m,n)

m

3200

0

n

00h(m-1,n-1)

3h(m,n-1)

0 0 0n

-10

-2 -3-h(m-1,n)

m-40

n k m g l k S

n m S n m g n m g n

m

S

),(),()

,(),(

),(),(),(),

(

b Tính kết hợp

Với các S1(m,n), S2(m,n) và S3(m,n) ta có:

 ( , ) ( , )  ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ))

Ghép nối tiếp 2 hệ thống h1 và h2 là ghép đầu ra của h1 nối vào đầu

S(m,n)

Hệ thống xử lý tín hiệu 2 chiều(tt)

Ta có

 ( , ) ( , )  ( , ) ( , ) ( , ))

,(

),(),(),(),()

,(),(),(

),(),(),(

),(),(),(

1 2

1 2

2 1

2 1

1 1

2

n m h n m h n m S n m h n m h n m S

n m h n m h n m S n m h n m h n m S n m g

n m h n m S n m

v

n m h n m v n m g

g(m,n)S(m,n)

c Tính ch t phân ph i v i phép c ng ấ ố ớ ộ

V i các tín hi u Sớ ệ 1(m,n), S2(m,n) và S3(m,n) ta có:

 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ))

,

Ta có

 ( , ) ( , )

),(

),(),(),(),(

),(),(),(

2 1

2 1

2 1

n m h n m h n m S

n m h n m S n m h n m S

n m g n m g n m g

-11

h3(m,n)

mn

11

),(),(),(),(),(),(

3 2

1

3 2

n m h n m h n m h n m S

n m h n m h n m S n m h n m S n m g

,1()1,(),(

)1.1()1,1(),1()0,1()1,()1,0(),()0,0(

),1(),1()

,(),0(

),(),()

,(),(

3 3

3 3

3 2 3

2 3

2 3

2

1 0

3 2

1 0

3 2

1 0

1 0

3 2

3 2

m h n m jh

n m h h n m h h

n m h h

n m h h

l n m h l h l

n m h l h

l n k m h l k h n

m h n m h

l l

k l

Tính riêng: h2(m,n)h3(m,n)

m h n m

S( , ) ( , ) ( , ) ( , )

Khai tri n công th c trên v i S(m,n) và H(m,n) ta s thu để ứ ớ ẽ ược tín hi u ra G(m,n).ệ

w x +b=0

PCA

gcc -o accum accum.c -lglut -lGLU -lGL -lm

apt-get install freeglut3-dev

OPENGL

DISCUSSION

E=m.c 2

[1] Fundermantal of Computer Graphic,3rd Peter Shirley and Steve Marscher [2] Computer Graphic princle and practise, John F, Hughes.

[3] Foundations of 3D Computer Graphics, Steven J Gortler

[4] Introduction to Computer Graphics, David J Eck

[5] Computer Graphic C version

[6] Đ h a máy tính và mô hình hóa hình h c, VERA B.ANAND, Nhà xu t b n ồ ọ ọ ấ ả Thành Ph H Chí Minh, 2000 ố ồ

[7] The Algorithm Design Manual, Steven S Skiena

[8] Point-Based Graphic, Markus gross and Handspeter PFISTER

[9] Foundation of Machine Learning, Mehryar Mohri, Afshin Rostamizadeh, Ameet Talwakar

[10] M t s hình nh ví d đ ộ ố ả ụ ượ c search t internet ừ