Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10

phương trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho MNEF là hình vuông.. Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau:[r]

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1.(5,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai x2 5 x m   0 (1) với x là ẩn số

a) Giải phương trình (1) khi m = 6.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x1 x2 x2 x1 6.

Điểm K trên đoạn

thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số

AD

AK

Câu 4 ( 5,0 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm

AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình CD x:  3y 1 0,

16

;13

E 

a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD

và BE.

b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.

Câu 5 (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a  b  c  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Ta có x x1 2  x2 x1   6 x x1 2 x1 x2  6

Hay m 5 2 m  6 2m m 5m 36 0   (1)

0,5

x y xy

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là

trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình

: 3 1 0

CD x y  ,

16

;13

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

cabc

9c

ba

1c

ba

1

cabcab

7ca

bcab

7ca

2bc2ab2cba

9

2 2

a   

`SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN ĐỀ THI OLYMPIC 24/3 QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi: TOÁN 10 (đề thi đề nghị)

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 4 (4,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có BC = 4 √ 2

,các đường thẳng AB và AC lần lượt đi qua các điểm M(1; −

5

3 ) và N(0;

18

7 ) Xác định tọa độ cácđỉnh của tam giác ABC, biết đường cao AH có phương trình x+y – 2=0 và điểm B có hoành độdương

theo hai vecto AB và AC

-Hết -

SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN

Câu 1

5,0 a) Giải phương trình: 1

√ 2 x+1− √ 3x =

√ 3x+2 1−x (1)

0,25

0.5 0.5

0.5 0.5 0.25

0.5 0.5 0.5 0.25

m

a) Tìm tập xác định của hàm số : y= √ √ x−2+ √ x−1− √ x+3 1.5

ĐK:

x−2≥0 x−1≥0 x+ 3≥0

b) Gọi x x là hai nghiệm của phương trình 1; 2 x2−mx+m−1=0

0.5

0.5 0.5

Theo Bunhiacopski:

√ 1−x+ √ 1− y≤ √ 2 √ 1−x+1− y= √ 2 ( Do x+y=1 ) (2)

Đường thẳng AB đi qua hai điểm M và N1 nên có PT 7x+3y = 2

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

0.5 0.25 0.5

m Câu 5

4,0

a) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện = 2 thì tam

giác ABC là tam giác cân.

a2+b2−c2

2 ab

+ Thay vào = 2, rút gọn ta được b=c

+ Vậy tam giác ABC cân tại A

0.5 0.5 0.75 0.25

b) Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là một điểm trên

cạnh AC sao cho NC2NA và I là trung điểm của đoạn MN Chứng

minh : BC NM    BM NC

Hãy biểu diễn vecto AI

theo hai vecto AB

6 AC



0.5 0.5 0.5 0.5

SỞ GD & ĐT THANH HÓA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4 Năm học 2016 – 2017

*** Môn thi: Toán - Khối 10

( Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu 2 (8.0 điểm) Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:

Câu 3 (2.0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi S là diện tích tam giác ABC,

2

2 cot cot

c S

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị xem thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh ;Số báo danh…

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN CẤP TRƯỜNG KHỐI 10

Với

31

m m

m

x x

m m

x x m

Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là: S 2;3

x y

x y a

x

x y b

a b





2.0

Ta có :

2 2 2

sin

2cos

2

a A R

a A

phương trình đường thẳng AB Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N

trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho MNEF là hình vuông

 pt AB: 2(x - 6) + 3(y - 0) = 0  pt AB: 2x + 3y -12 = 0 0.5

*) Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn

OB sao cho MNEF là hình vuông

Gọi H là hình chiếu của A trên Ox, do MNEF là hình vuông nên ta có:

*** Môn thi: Toán - Khối 10

( Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu 1 (5.0 điểm) Cho hàm số y x  2  2  m  1  x  4

1 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x thỏa mãn1; 2

x

x x

Câu 5 (2.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường thẳng chứa

đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1 = 0 ; 2x - y - 2 = 0 Tìm tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC

Câu 6 (1.0 điểm) Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn 4a b c   3abc

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Giám thị xem thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh ;Số báo danh…

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁP TRƯỜNG KHỐI 10

Năm Học 2015- 2016

m

m m

y y

33

m m

x x

96

x x

a b

a b

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường thẳng

chứa đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1

= 0 ; 2x - y - 2 = 0 Tìm tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC 2.0

vì AC đi qua A(3; 0) và vuông góc với đt: x + y + 1 = 0 nên ta có:

SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM

Môn thi: TOÁN 10

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có BC =4 √ 2 ,các đường thẳng

AB và AC lần lượt đi qua các điểm M(1; −

2 a+c

√ 4 a2− c2 b) Cho hình vuông ABCD cạnh a M là điểm trên cạnh AB Chứng minh rằng :

-Hết -SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN

Vậy (1) có nghiệm: 1≤x <2

0,250,250,50,50,250,250.250.25

y )

3 + x

0,25

0,25

¿ [ { ¿ ¿ ¿ (thỏa điều kiện)

Vậy, hệ đã cho có nghiệm (x,y) là : (-1 ;-1) ; (1 ;1)

0,250,25

0,250,250.25

4,0 a) Tìm tập xác định của hàm số : y= √ x−2 √ x−1 1,0

Viết lại: y= √ x−1−2 √ x−1+1= √ ( √ x−1−1)2=| √ x−1−1|

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi : x−1≥0

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = [1 ; +)

0,250,250,250,25b) Tìm m để đường thẳng d: y=x-1 cắt parabol (P): y=x2+ mx+1 tại hai

PT hoành độ giao điểm của (P) và d là: x2+mx+1=x−1

 x2+( m−1)x +2=0 (1)

(P) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt P, Q khi và chỉ khi:

PT (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ>0 ⇔m2−2 m−7>0

⇔ m<1−2 √ 2 hoặc m>1+2 √ 2

Gọi xP ,xQ là 2 nghiệm của (1)

0,250,250,50,5

0,50,5 Theo Bunhiacopski:

¿

2Vậy minQ = √ 2

0.50.25

Đường thẳng AB đi qua hai điểm M và N1 nên có PT 7x+3y = 2

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

0.50.250.5

Câu 5

4,0 a) a)Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c , AC = b.Tam giác ABC có đặcđiểm gì nếu:

1+cos B sin B =

2 a+c

√ 4 a2− c2 (1)

2,0

.Nhận thấy cả hai vế của (1) đều dương nên bình phương hai vế ta có

0,25

0,250,250,250.25b) ) Cho hình vuông ABCD cạnh a M là điểm trên cạnh AB Chứng minh

Do AM ,DC cùng hướng, ta có:

DM



.DC =( DA + AM ) DC = AM .DC = AM DC CM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HIỀN

KỲ THI OLYMPIC 24–3 QUẢNG NAM Môn thi: TOÁN 10(ĐỀ ĐỀ NGHỊ)

Chứng minh rằng cotB+cotC= 2 cot A khi và chỉ khi tứ giác AOGM nội tiêp

b) Cho tam giác ABC có D E,M,G là các điểm thỏa mãn :

a/Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn x2y2 2x 4y và đường thẳng0

d:x-y-1=0.Tìm tọa độ M thuộc d mà từ đó kẻ được hai tiêp tuyến đến đườn tròn (C) tiếp xúc với (C) ở A,Bthỏa góc AMB bằng 60 0

b/Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có

21 3,

-Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24–3 QUẢNG NAM LẦN THỨ NHẤT

Môn thi: TOÁN 10

0.250.25

0,25

0,250,250,25

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D  2, 2

Điều kiện cần :y có đồ thị đối xứng qua oy tương đương chẵn

Kl

0,250,250,250,250,250,250,250,25

b) Cho hàm số y x 2và y x  6 m.Xác định giá trị tham số m để đồ thị của chúng

cắt nhau ở hai điểm A,B phân biệt thỏa AB = 2 2,0

Gọi (P) là parabol y x 2 và d là đường thẳng y x 6m 

PT hoành độ g/đ của (P) và d là: x2 x 6m 0  (1)

(P) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi:

PT (1) có hai nghiệm phân biệt   ' 0 m 1/ 24

Gọi x ; x là 2 nghiệm của (1)A B

0,250,250,250,25

Học sinh không cần chỉ ra dấu bằng vẫn cho tối đa

Câu 4

2,0

Cho tam giácABC.O, M,Nần lượt là tâm đường tròn ngoại tiêp, trung điểm cạnh AB

,BC tam giác ABC

Chứng minh rằng cotB+cotC= 2 cot A khi và chỉ khi tứ giác ANGM nội tiêp

G trọng tâm ABC Chứng minh được

 AGOM nội tiêp

Tương tự AGON nội tiêp và kết luận

0,50,50,250,25

0,250,25

0,25

Câu 6

3,0 .Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn

x y  x y và đường thẳng d:x-y-1=0.Tìm tọa độ M thuộc d mà từ đó kẻ được hai tiêp tuyến đến đườn tròn (C)

tiếp xúc với (C) ở A,B thỏa góc AMB bằng 60 0

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có

21 3,

5 5

B 

  Đường phân giác ngoài gócBAC cắt cạnh BC kéo dài ở E(9,3)

Phương trinh tiêp tuyến ở A của đường tròn ngoại tiêp tam giác ABClà

x+2y-7=0.Tìm tọa đọ của A biết A có tung độ dương

Giả sử F,D lần lượt là giao điểm của đường phân giác ngoài d’và trong d

của góc BAC với đtBC

Hình

Viết BC x-2y-3=0

Tìm F là giao của d’ với BC,F(5,1)

Chùng minh được FA=FE

Tham số hóa A

Tìm A

0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10

ĐỀ THI MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2018-2019

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (2,0 điểm) Tìm tập xác định của hàm số

21

Câu 3 (2,0 điểm) Tìm m để phương trình 2x2 2xm   có nghiệm.x 1

Câu 4 (2,0 điểm) Tìm tham số m để bất phương trình 2

Câu 6 (2,0 điểm) Giải hệ phương trình

Câu 7 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh 3a Lấy các điểm M, N lần lượt trên các cạnh BC, CA

sao cho BM =a, CN=2a Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN Tính độ dài PN theo a.

Câu 8 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có BC 2AB,phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B là  d :x y  2 0 Biết  ABC  1200 và

3;1

A Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác

Câu 9 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC gọi I là tâm đường tròn nội tiếp D ABC, biết IG^IC.

Chứng minh rằng

23

a b

+ +

=+ (Với AB=c BC, =a CA, = ).b

Câu 10 (2,0 điểm) Cho các số thực a b c  , , 0 thỏa mãn

3 2

-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

I.

LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theocách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

(Đáp án có 05 trang)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10

ĐỀ THI MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2018-2019

ì é £ïï

đồ thị đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB = 4 5.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: x2+2mx- 3m=- 2x+3

m m

é êÛ

>-ê ëGọi A x( 1; 2- x1+3 ;) (B x2; 2- x2+3) với x x là nghiệm phương trình (*)1; 2

Để bất phương trình có tập nghiệm  ta cần có mx2 4x m  3 0 với x  

4 412

4 412

4 412

4 412

5 (2,0 điểm) Giải phương trình 2x2- 6x- =1 4x+5

Điều kiện:

45

x³

- Đặt t= 4x+ Þ ³5 t 0

0,5

Ta có

2 54

é = ê

-Þ ê= +ê

(2,0 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh 3a Lấy các điểm M, N lần lượt trên các

cạnh BC, CA sao cho BM =a, CN=2a Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho

AM vuông góc với PN Tính độ dài PN theo a.

Đặt AP x A Bx0

Ta có: AM AB BM  AB 13BC AB13AC AB  23AB13AC

13

BC  AB, phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B là

 d :x y  2 0 Biết  ABC  1200 và A3;1 Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của

a b c   

Tìm giá trị nhỏ

MinS 

Dấu “=” xảy ra

1 2

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu I (6 điểm)

1) Cho parabol ( ) :P y2x26x ; 1

Tìm giá trị của k để đường thẳng : y(k6)x cắt parabol 1  P tại hai điểm phân biệt M N sao cho ,

trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng

3

2

d y x2) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số): x2 2(m1)x m 3(m1)2  có hai nghiệm 0 x x 1, 2thỏa mãn điều kiện x1x2  Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:4

Câu IV(4 điểm)

1) Cho tam giác ABC có BC a AC b ,  diện tích bằng S

Tính số đo các góc của tam giác này biết 1 2 2

4

S  a b

2) Cho tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a Trên các cạnh BC CA AB lần lượt lấy các , ,

Câu IV(3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD Biết diện

tích hình thang bằng 14 ( đơn vị diện tích), đỉnh A1;1

và trung điểm cạnh BC là

1

;02

H  

  Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương và D nằm trên đường thẳng

: 5 1 0

d x y  

-Hết -ĐÁP ÁN Câu I:

Khi đó giao điểm M x k 1;( 6)x11 , N x 2;(k6)x21

nên trung điểm của

y x

nên k28k 2 0 hay k  4 3 2 thì thỏa mãn bài toán

Ta có bảng biến thiên hàm số trên miền điều kiện

Ta có giá trị lớn nhất của P là 16 khi m 2

Giá trị nhỏ nhất của P là -144 khi m 2

Giải hai pt này ta được x1,x 2 2 Thử lại nghiệm

KL: Hệ phương trình có hai nghiệm là ( ; ) (1; 1), (2x y    2, 2)

x y

A B C

Phương trình tổng quát của CD: 3x y  5 0 0.5

Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: Toán – Lớp 10 – THPT Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 (3.0 điểm) Cho hàm số y=x2−4 x + 4−m ; (P m)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=1

b) Tìm m để (P m) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn [ −1;4 ]

Câu 2 (3.0 điểm) Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2−3 x +a=0 ; x3 và

x4 là hai nghiệm của phương trình x2−12 x+b=0 Biết rằng

a) Cho tam giác OAB Đặt  OA=a,  OB=b Gọi C, D, E là các điểm sao cho

Câu 5 (3.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A (−1;1); B(2; 4) .

a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.

b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.

Câu 6 (2.0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x+ y=2019 Tìm giá trị nhỏ nhất của

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

TXĐ: R Đồ thị là 1 parabol, có:Đỉnh I( 2;-1) hệ số a=1>0 parabol có bề lõm

hướng lên trên

0.5 0.5

Lập BBT

Tìm giao của parabol với trục hoành, trục tung và vẽ

0.5 0.5

b) Tìm m để (P m) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn

[ −1;4 ]

1.0

Xét pt hoành độ giao điểm x2−4 x +4−m=0⇔ x2−4 x+3=m−1

Dựa vào đồ thị tìm được −1<m−1≤3 ⇔ 0<m≤4

Chú ý: HS có thể dùng bảng biến thiên cho hàm y=x2−4 x+3 hoặc y=x2−4 x+4

0.5 0.5

Với k =2 thì x1=1 ta được a=2, b=32 (tm) 0.5

Với k=−2 thì x1=−3 ta được a=−18, b=−288 (tm) 0.5 3

Ta được y=x+1 thay vào pt thứ hai ta được

+) pt 6 √ x−1+ x+8=4 x2 , hs có thể chuyển vế và bình phương, đưa về tích.

4

a) Cho tam giác OAB Đặt  OA=a,  OB=b Gọi C, D, E là các điểm sao cho 3.0