Phân tích phổ trên cơ sở xử lý số tín hiệu

Các chip DSP này có tốc độ tính toán rất cao với giá thành hạ; đã trở thành 1 linh kiện không thể thiếu trong các hệ thông tin liên lạc, các thiết bị xử lý ảnh, xử lý tiếng nói, … Các ứn

LUẬN VĂN THẠC SĨ

ĐỀ TÀI

PHÂN TÍCH PHỔ TRÊN CƠ SỞ XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU

CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ

MÃ SỐ NGÀNH: 60.52.70

Tác giả: NGUYỄN TRỌNG LUẬT

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 07 năm 2002

Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

Thạc sĩ HỒ TRUNG MỸ

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày 01 tháng 07 năm 2002

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA -

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên: NGUYỄN TRỌNG LUẬT Giới tính: Nam

Ngày tháng năm sinh: 12 – 01 – 1970 Nơi sinh: Tp Hồ Chí Minh Chuyên ngành: Kỹ thuật điện tử Mã số ngành: 60.52.70

Khoá: 08

I Tên đề tài:

PHÂN TÍCH PHỔ TRÊN CƠ SỞ XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU

II Nhiệm vụ và nội dung:

- Tổng quan lý thuyết xử lý số tín hiệu

- Thiết kế phần cứng kit DSP có khả năng giao tiếp PC

- Viết chương trình lọc số FIR, phân tích phổ giao tiếp PC

III Ngày giao nhiệm vụ:

IV Ngày hoàn thành nhiệm vụ:

V Họ và tên cán bộ hướng dẫn: Tiến sĩ NGUYỄN NHƯ ANH

VI Họ và tên cán bộ chấm nhận xét 1: PGS Tiến sĩ VŨ ĐÌNH THÀNH VII Họ và tên cán bộ chấm nhận xét 2: Thạc sĩ HỒ TRUNG MỸ

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CÁN BỘ PHẢN BIỆN 1 CÁN BỘ PHẢN BIỆN 2

TS.NGUYỄN NHƯ ANH PGS.TS.VŨ ĐÌNH THÀNH THS.HỒ TRUNG MỸ

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được thông qua hội đồng chuyên ngành Phòng quản lý khoa học – sau đại học

Trong nhiều năm qua, các lĩnh vực khoa học như điện tử, viễn thông, vật lý … phát triển rất nhanh và nhiều ứng dụng tác động rất lớn đến đời sống chúng ta Trong các lĩnh vực trên, xử lý tín hiệu số (DSP – Digital Signal Processing) đóng vai trò quan trọng như xử lý tiếng nói, xứ lý các đại lượng vật lý hạt nhân, xử lý tín hiệu tim, …

Trước đây, tín hiệu được xử lý bằng các thiết bị điện tử tương tự (analog) Nhưng với sự phát triển mạnh mẽ của các thiết bị điện tử số (digital), nhất là sự ra đời và phát triển của máy tính (PC), đã hình thành một lĩnh vực mới, đó là xử lý tín hiệu số

Xử lý tín hiệu số trên máy tính đã giúp chúng ta thực hiện một cách tiện lợi và linh hoạt mà với kỹ thuật tương tự có thể không thực hiện được Tuy nhiên, nó có nhược điểm là tốc độ xử lý chậm dẫn đến việc không thể áp dụng được với các hệ thống cần xử lý theo thời gian thực Ngày nay với sự phát triển nhanh chóng của công nghệ vi điện tử mà các chip xử lý số chuyên dụng đã được tạo ra Các chip DSP này có tốc độ tính toán rất cao với giá thành hạ; đã trở thành 1 linh kiện không thể thiếu trong các hệ thông tin liên lạc, các thiết bị xử lý ảnh, xử lý tiếng nói, …

Các ứng dụng xử lý tín hiệu số đều thực hiện trên các phép toán và lý thuyết xử lý tín hiệu như: phân tích phổ, lọc số, năng lượng phổ … Trong phạm vi phân tích phổ và lọc số, chúng ta có nhiều ứng dụng thực tế:

- Xử lý âm thanh: lọc số tín hiệu, đáp ứng tần số thiết bị khuếch đại, …

- Xử lý tiếng nói: tổng hợp và nhận dạng tiếng nói, …

- Y tế: chẩn đoán tình trạng bệnh nhân thông qua phổ của các tín hiệu cảm biến

- Cơ khí, địa chất: xác định khuyết tật của sản phẩm, xác định thành phần khoáng chất

Hiện nay, các công ty điện tử lớn như TEXAS INSTRUMENT, MOTOROLA, ANALOG DEVICES, … đều đã đưa ra các chip DSP có tốc độ xử lý cao Với các chip DSP này, chúng ta có thể thiết kế thành các kit DSP hoàn chỉnh với giá thành hạ phù hợp với nhu cầu thực tế Từ các đặc điểm trên, tôi thực hiện đề tài này với chip ADSP-2181 của công ty ANALOG DEVICES

Tôi xin chân thành cảm ơn Cô Nguyễn Như Anh, người đã trực tiếp hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận án cao học

Tôi xin cảm ơn sự giảng dạy tận tình của quý thầy cô đã cung cấp cho tôi những kiến thức khoa học Tôi cũng xin cảm ơn sự động viên quý báu của thầy cô và các bạn đồng nghiệp trong Bộ môn Điện Tử

Lời Cảm Ơn

CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT VỀ XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU

1.1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ TÍN HIỆU RỜI RẠC 1

1.1.1 Định nghĩa .1

1.1.2 Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất 1

1.1.3 Phép biến đổi của tín hiệu rời rạc 2

1.2 HỆ THỐNG RỜI RẠC 3

1.2.1 Định nghĩa .3

1.2.2 Phân loại 3

1.3 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN 5

1.3.1 Các phương pháp phân tích hệ thống tuyến tính bất biến 5

1.3.2 Đáp ứng xung .6

1.3.3 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả 8

1.3.4 Tính ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến .9

1.4 BIẾN ĐỔI FOURIER 10

1.4.1 Định nghĩa .10

1.4.2 Điều kiện tồn tại của biến đổi Fourier 11

1.4.3 Phổ biên độ, phổ pha và phổ mật độ năng lượng 12

1.4.4 Tính chất của biến đổi Fourier 13

1.4.5 Phân tích hệ thống tuyến tính bất biến trong miền tần số .18

1.4.6 Lấy mẫu và khôi phục tín hiệu .20

1.4.7 Tính chất DFT .28

1.5 TÍNH TOÁN NHANH FFT 34

1.5.1 Tính trực tiếp DFT .35

1.5.2 Thuật toán FFT cơ số 2 .35

1.5.3 Thuật toán FFT cơ số 4 .38

1.5.4 Thuật toán Goertzel .40

1.5.5 Thuật toán tính IFFT .41

1.6.1 Thiết kế mạch lọc FIR pha tuyến tính bằng phương pháp cửa sổ 42

1.6.2 Thiết kế mạch lọc FIR bằng phương pháp lấy mẫu tần số .45

1.7 MẠCH LỌC SỐ CÓ ĐÁP ỨNG XUNG VÔ HẠN IIR 46

1.7.1 Thiết kế mạch lọc IIR từ mạch lọc tương tự .47

1.7.2 Thiết kế mạch lọc IIR bằng phương pháp tương đương vi phân .48

1.7.2 Thiết kế mạch lọc IIR bằng phương pháp đáp ứng xung bất biến 50

CHƯƠNG II: GIỚI THIỆU ADSP 2181 2.1 TỔNG QUAN 52

2.1.1 Các đơn vị chức năng .53

2.1.2 Giao tiếp bộ nhớ và hệ thống 54

2.1.3 Đặc tính DSP 54

2.2 CẤU TRÚC BÊN TRONG 55

2.2.1 Các đơn vị tính toán .55

2.2.2 Các bộ tạo địa chỉ dữ liệu và bộ sắp xếp chương trình .56

2.2.3 Hệ thống bus .56

2.3 DI CHUYỂN DỮ LIỆU 57

2.3.1 Bộ cấp phát địa chỉ dữ liệu .57

2.3.2 Các truy xuất dữ liệu lập trình .60

2.3.3 Trao đổi giữa bus PMD và DMD .62

2.4 CÁC NGOẠI VI 63

2.4.1 Port nối tiếp 63

2.4.2 Bộ Timer .65

2.5 TỔNG QUÁT VỀ YÊU CẦU MỘT HỆ THỐNG DSP(ADSP2181) 66

2.6 MÔ TẢ CHỨC NĂNG CHÂN ADSP2181 68

CHƯƠNG III: GIAO TIẾP PC VÀ CODEC AD1847 3.1 GIAO TIẾP NỐI TIẾP RS232 70

3.1.1 Giới thiệu .70

3.1.2 Các đặc trưng .70

3.1.3 Đầu nối cổng nối tiếp trên PC 71

3.2.1 Tổng quát .73

3.2.2 Đặc điểm card ISA 75

3.3 CODECAD1847 76

3.3.1 Mô tả tổng quát 76

3.3.2 Chức năng .78

3.3.3 Các thanh ghi điều khiển .79

3.3.4 Các thủ tục .84

3.3.5 Mô tả chức năng Codec AD1847 .88

CHƯƠNG IV: THIẾT KẾ PHẦN CỨNG 4.1 GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ KIT ADSP 91

4.1.1 Yêu cầu chung 91

4.1.2 Lựa chọn phương án thiết kế 91

4.2 THIẾT KẾ KIT ADSP 92

4.2.1 Khối giải mã địa chỉ Card ISA 92

4.2.2 Khối giao tiếp PC qua RS232 95

4.2.3 Khối dao động 96

4.2.4 Khối nút bấm 97

4.2.5 Khối hiển thị trạng thái .98

4.2.6 Khối giao tiếp Analog .98

CHƯƠNG V: THIẾT KẾ PHẦN MỀM ADSP 5.1 LỌC SỐ 100

5.1.1 Lọc số FIR 100

5.1.2 Lọc số IIR 113

5.2 XỬ LÝ FFT 127

5.2.1 Phân tích FFT trên ADSP 127

5.2.2 Lưu đồ và chương trình FFT 136

5.3 KẾT QUẢ THI CÔNG 159

tài liệu tham khảo

1.THE SCIENTIST AND ENGINEER’S GUIDE TO DIGITALSIGNAL PROCESSING

Steven W.Smith Ph.D

2.DIGITAL SIGNAL PROCESSING: PRINCIPLES, ALGORITHMS, AND APPLICATION

John G.Proakis and Dimitris G.Manolakis

3.DISCRETE TIME SIGNAL PROCESSING

Alan V Oppenheim and Ronald W.Schafer

4.ADSP-2100FAMILY DSPAPPLICATION VOL1,2

5.AD1847SERIAL PORT 16-BIT CODEC

6.ADSP-2100FAMILY EZ-KIT LITE REFERENCE MANUAL

Chương I:

LÝ THUYẾT XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU

1.1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ TÍN HIỆU RỜI RẠC:

1.1.1 Định nghĩa

Tín hiệu là biểu hiện vật lý của thông tin Về mặt toán học, tín hiệu là một hàm của một hoặc vài biến độc lập Hầu hết các tín hiệu trong thực tế như là tín hiệu thoại, tín hiệu địa chấn, sinh học, tín hiệu radar và tín hiệu thông tin liên lạc khác như tín hiệu phát thanh và truyền hình là các tín hiệu tương tự Để xử lý các tín hiệu tương tự đó bằng phương pháp số, đầu tiên cần phải biến đổi chúng thành dạng số, tức là biến đổi chúng thành chuỗi số có giá trị hữu hạn Thủ tục này được gọi là sự biến đổi tín hiệu tương tự thành tín hiệu số và nó tương ứng với thiết bị có tên gọi bộ biến đổi tương tự – số (Analog to Digital Converter)

Về mặt toán học, ta thấy rằng tín hiệu tương tự là một hàm liên tục (xa(t)) với biến số cũng liên tục (t), còn tín hiệu số là hàm số mà các giá trị của nó đã rời rạc hóa (x(n) với biến số cũng rời rạc n)

Để hiểu rõ hơn, ta xét quá trình lấy mẫu từ tín hiệu tương tự xa(t) thành tín hiệu rời rạc x(n) Ta xét một tín hiệu tương tự xa(t), ví dụ xa(t) = Acos(Ωt + θ) Trong đó, Ω được hiểu là tần số của tín hiệu tương tự và có thứ nguyên rad/s; Ω = 2πf (f có thứ nguyên là Hz)

Các giá trị của tín hiệu được lấy với khoảng thời gian cách nhau là Δt=T Khi đó Δt= T được gọi là chu kỳ lấy mẫu (Sampling period) hay khoảng cách lấy mẫu (Sampling interval) và giá trị nghịch đảo của nó Fs = 1/T được gọi là tốc độ lấy mẫu (Sampling rate) hay tần số lấy mẫu (Sampling frequency)

1.1.2 Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất:

a Tín hiệu tuần hoàn

Ta nói rằng một tín hiệu là tuần hoàn với chu kỳ N nếu ta có:

b Độ dài của một tín hiệu rời rạc

Độ dài của tín hiệu được xác định bởi số mẫu có mặt trong biểu diễn tín hiệu Độ dài của tín hiệu ký hiệu: L[x(n)]

Ví dụ

+ u(n) là tín hiệu có độ dài vô hạn :L[x(n)] = ∞ + δ(n) là tín hiệu có độ dài bằng 1 : L[x(n)] = 1

c Năng lượng và công suất của tín hiệu

+ Năng lượng của tín hiệu :

Năng lượng E của một tín hiệu được định nghĩa là E = ∑∞

+ Công suất của tín hiệu:

Một vài tín hiệu có năng lượng vô hạn, tuy nhiên nó có công suất trung bình Công suất trung bình của tín hiệu x(n) được định nghĩa như sau:

n x

N ( )1

n

N x xN

N P

E

12

1limlim

Nếu Px hữu hạn thì tín hiệu x(n) gọi là tín hiệu công suất

1.1.3 Một vài phép biến đổi của tín hiệu rời rạc:

a Tổng của hai tín hiệu

y(n) = x1(n) + x2(n) Tổng của hai tín hiệu nhận được bằng cách cộng từng đôi các giá trị mẫu tương ứng đối với trị số của biến độc lập n

b Tích của hai tín hiệu

y(n) = x1(n) x2(n) Tích của hai tín hiệu nhận được bằng cách nhân từng đôi một các giá trị của biến độc lập

c Tích của một tín hiệu với một hằng số

Tích của một tín hiệu với một hằng số nhận được bằng cách nhân tất cả các giá trị mẫu của tín hiệu đó với hằng số

d Dịch chuyển tín hiệu

Tín hiệu x(n) có thể dịch chuyển theo thời gian bằng cách thay thế biến độc lập n bởi n – k Nếu k>0 thì kết quả thu được là tín hiệu lấy trễ của x(n) bởi k mẫu theo thời gian Nếu k<0 thì kết quả thu được là tín hiệu lấy sớm của x(n) bởi

k mẫu theo thời gian

e Gập tín hiệu (folding)

Một phép biến đổi hữu ích nữa là đổi biến n bằng (-n) Kết quả ta có x(-n) thay vì x(n) Phép biến đổi này thực hiện bằng cách lấy đối xứng tín hiệu x(n) với chính nó qua gốc thời gian ta có x(-n) Phép biến đổi này được gọi là phép gập tín hiệu qua gốc thời gian

Ta có thể biểu diễn quan hệ giữa x(n) và y(n) như sau:

y(n) = H[ x(n) ] hoặc x(n) y(n) H

Quan hệ giữa x(n) và y(n) được gọi là quan hệ vào ra của hệ thống Có thể biểu diễn quan hệ vào ra này bằng những phương trình gọi là các phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng, chẳng hạn như:

y(n) = x(n) + 2 x(n -1) + y(n -1)

1.2.2 Phân loại hệ thống rời rạc

a Hệ thống động và hệ thống tĩnh

Một hệ thống rời rạc gọi là tĩnh hay không nhớ nếu hệ thống ngõ ra tại một thời điểm bất kỳ của nó hoàn toàn phụ thuộc vào các mẫu tín hiệu vào ở cùng thời điểm, nhưng không phụ thuộc vào các mẫu xảy ra trước và sau thời điểm đó của ngõ vào Bất cứ trường hợp nào khác đều gọi là hệ thống động hay có nhớ Nếu ngõ ra của một hệ thống tại một thời điểm n0 – N→ n0 (N≥0) thì hệ thống được gọi là có nhớ hay hệ thống động trong khoảng thời gian N

Nếu: + N hữu hạn (0<N<∞) thì hệ thống là có nhớ hữu hạn

+ N vô hạn thì hệ thống là có nhớ vô hạn

+ N = 0 thì hệ thống là tĩnh hay không nhớ

b Hệ thống bất biến và hệ thống biến đổi theo thời gian

Một hệ thống gọi bất biến nếu quan hệ vào – ra của nó không thay đổi theo thời gian Cụ thể hơn một rời rạc có quan hệ vào – ra được đặc trưng bởi toán tử H: x(n) y(n) hay y(n) = H[ x(n) ] H

Gọi x(n-k) là tín hiệu có được khi cho tín hiệu x(n) dịch chuyển đi k đơn vị thời gian, nếu tác động x(n,k) vào hệ thống thì đáp ứng ngõ ra tương ứng của hệ thống là y(n,k) = H[ x(n) ] hay x(n,k) y(n,k) H

Nếu y(n,k) ≡ y(n-k) thì ta nói hệ thống có tính bất biến (Time – Invariant System) Nếu y(n,k) ≠ y(n-k) thì ta nói hệ thống có tính biến đổi theo thời gian (Time – Variant System)

c Hệ thống tuyến tính và phi tuyến (Linear and Nonlinear System)

Ta ký hiệu H đặc trưng cho quan hệ vào-ra của hệ thống

+ x1(n) và x2(n) là tín hiệu vào bất kỳ nào đó

+ y1(n) và y2(n) là các đáp ứng ngõ ra tương ứng với mỗi tín hiệu vào ở trên:

d Hệ thống nhân quả và không nhân quả (Causal and Noncausal System)

Định nghĩa: Một hệ thống được gọi là nhân quả khi tín hiệu ngõ ra tại một thời điểm nào đó chỉ phụ thuộc các giá trị của tín hiệu vào từ thời điểm đó trở lại trước (tức là các giá trị hiện tại và quá khứ) Ta có thể biểu diễn quan hệ vào-ra của một hệ thống nhân quả bằng một phương trình toán học như sau:

y(n) = F[x(n), x(n-1), x(n-2)]

với F là một hàm số nào đó

Nếu hệ thống không thỏa mãn định nghĩa này, thì ta gọi là hệ thống không nhân quả

e Hệ thống ổn định và không ổn định

Một hệ thống gọi là ổn định nếu nó bị chặn (BIBO: Bounded Input Bounded Out), tức là với một tín hiệu vào x(n) hữu hạn thì tín hiệu ra y(n) cũng hữu hạn, tức là nếu:

1.3.1 Các phương pháp phân tích một hệ thống tuyến tính bất biến

Có hai phương pháp để phân tích hoạt động của một hệ thống tuyến tính bất biến đối với một tín hiệu vào

Phương pháp thứ nhất:

Là giải pháp giải trực tiếp phương trình quan hệ vào – ra của hệ thống thường có dạng như sau

y(n) = F[y(n-1), y(n-2), …, y(n-N), x(n), x(n-1), …, x(n-N)]

Với F[.] là biểu thị một quan hệ nào đó, đặc biệt với một hệ thống tuyến tính bất biến thì dạng chung như sau:

−+

a

)()

(

Với ak và bk là các hệ số hằng với x(n) và y(n) Một phương trình biểu diễn quan hệ vào-ra như vậy gọi là một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng Cách giải phương trình này sẽ được xét ở mục sau

Phương pháp thứ hai:

Là phân tích tín hiệu vào thành tổng của những tín hiệu đơn giản nhất (elementary signal), những tín hiệu đơn giản này được chọn sao cho đáp ứng của hệ thống đối với mỗi tín hiệu có thể xác định được một cách dễ dàng nhất Sau đó áp dụng tính chất tuyến tính của hệ thống, ta có tín hiệu ngõ ra sẽ là tổng của các đáp ứng của hệ thống đối với các hệ thống đơn giản

Để minh họa ta giả sử rằng tín hiệu x(n) được phân tích thành tổ hợp tuyến tính của tập hợp các tín hiệu {xk(n)} sao cho:

k k

Với {ck} là tập hợp các giá trị biên độ của tín hiệu đã phân tích

Gọi đáp ứng của hệ thống đối với mỗi tín hiệu xk(n) và yk(n) Ta có thể viết:

k

y(n) = ∑ (1.8)

k k

+ Nếu ta dịch chuyển x(n) đi k đơn vị thời gian thì x(n,k) = x(n-k)

+ Nếu x(n) = δ(n) thì x(n,k) = δ(n,k) = δ(n-k)

Tác động x(n,k) vào hệ thống thì nhận được đáp ứng ngõ ra của hệ thống là y(n,k):

y(n,k) = H[ x(n-k) ] Khi x(n,k) = δ(n-k) thì y(n,k) = h(n-k) = H[ x(n-k) ]

Đặc biệt khi hệ thống có tính bất biến thì: h(n-k) = h(n,k)

b Đáp ứng của một hệ thống tuyến tính bất biến với tín hiệu vào bất kỳ

Xét một hệ thống tuyến tính bất biến H với đáp ứng xung là h(n) Tác động vào hệ thống một tín hiệu x(n), ở hai mục trên ta biết rằng có thể phân tích x(n) thành tổ hợp tuyến tính của các xung đơn vị với các độ dịch chuyển khác nhau, tức là:

ra tương ứng với từng thành phần tín hiệu xk(n) = x(k) δ(n-k)

n h k

x( ) δ( )]

Công thức trên cho ta xác định được tín hiệu ra của một hệ thống tuyến tính bất

biến khi đã biết đáp ứng xung và tín hiệu vào Do đặc điểm của cách tính y(n)

theo công thức trên nên nó còn được gọi là tích chập và thường được ký hiệu như

sau:

y(n) = x(n) * h(n) Các bước để tính tích chập tiến hành lần lượt như sau:

Trước hết ta đổi biến x(n) thành x(k); h(n) thành h(k)

Bước 1: Gập dãy xung h(n) đối xứng qua gốc tọa độ (n=0) Ta được h(-k)

Bước 2: Dịch chuyển: h(-k) đi n0 vị trí về bên phải (trái) nếu n0 là dương

(âm) ta thu được h(n0-k)

Lưu ý: Nếu độ dài của x(n) là Lx; độ dài của h(n) là Lh và độ dài của đáp ứng ngõ

ra y(n) là Ly thì ta có biểu thức liên hệ giữa các độ dài như sau:

Ly = Lx + Lh – 1 Để ý rằng Lx, Ly, Lh là các giá trị nguyên dương

c Tính chất của tích chập

Tích chập có tính giao hoán

Tích chập có tính kết hợp

y(n) = x(n) * [h1(n) * h2(n)] = [x(n) * h1(n)] * h2(n) (1.12) Tính kết hợp cho ta thấy rằng việc nối nối tiếp hai hệ thống tuyến tính bất biến có

đáp ứng xung h1(n) và h2(n) sẽ cho ta một hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng

xung là tích của h1(n) và h2(n) : h1(n) * h2(n) :

y1(n) = x(n) * h(n)

y(n) = y1(n) * h2(n) = y(n) = [x(n) * h1(n)] * h2(n) = x(n) * [h1(n) * h2(n)]

⇒ h1(n) * h2(n) = h(n)

Tích chập có tính phân phối

y(n) = x(n) * [h1(n) + h2(n)] = [x(n) * h1(n)] + [x(n) * h2(n)]

1.3.3 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả

Định nghĩa: Một hệ thống gọi là tuyến tính bất biến và nhân quả nếu nó có đủ ba tính chất: tuyến tính, bất biến, nhân quả (các tính chất này đã được định nghĩa ở mục 1.2) Trong mục này ta xét đặc tính của hệ thống này dựa trên khái niệm về đáp ứng xung và tích chập

+ Trước hết, nếu hệ thống có tính nhân quả thì giá trị tín hiệu tại ngõ ra ở một thời điểm n0 chỉ phụ thuộc các giá trị tác động của ngõ vào x(n) ở hiện tại và quá khứ Nói cách khác, y(n) tại n = n0 chỉ phụ thuộc giá trị của x(n) với n ≤ n0

+ Trong trường hợp hệ thống có tính tuyến tính, bất biến và nhân quả thì các tính chất này có thể chuyển thành điều kiện của đáp ứng xung Để xác định điều kiện này ta xét ngõ ra của một hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả tại thời điểm

n0 giá trị này được tính bằng tích chập:

h( ) ( 0 )

Ta tách tích chập trên thành hai phần, một phần bao gồm các giá trị x(n) ở tại các giá trị từ n0 trở về trước (tức là các giá trị hiện tại và quá khứ của x(n)), và phần thứ hai bao gồm các giá trị từ n0 trở về sau x(n0 + 1), x(n0 + 2), … tức là các giá trị tương lai của x(n)

(

k n x k h k

n x k h

y(n0) = [h(0).x(n0) + h(1).x(n0 -1) + h(2).x(n0 - 2) + …] +

+ [h(-1).x(n0+1) + h(-2).x(n0-2) + …]

Ta nhận thấy rằng, nếu ngõ ra tại thời điểm n = n0 chỉ phụ thuộc giá trị tín hiệu vào ở thời điểm hiện tại và quá khứ thì đáp ứng xung của hệ thống thỏa mãn điều kiện:

h(n) = 0 khi n < 0

vì h(n) là đáp ứng của hệ thống đối với xung đơn vị cấp tại n= 0; (δ(n) = 0 khi n ≠ 0)

Do vậy, h(n) = 0 khi n < 0 là điều kiện cần và đủ để hệ thống có tính nhân quả

Hệ thống tuyến tính bất biến có tính nhân quả nếu và chỉ nếu đáp ứng xung của hệ thống bằng 0 khi n < 0

Vì hệ thống nhân quả, h(n) = 0 khi n < 0, giới hạn của tích chập khi tính y(n) có thể thay đổi:

n x k h

0

)()

()

()

(

n h k

x( ) ( ) ( ) ( )

Lưu ý rằng trong các ứng dụng thời gian thực, tính nhân quả của hệ thống là điều kiện cần thiết, bởi vì tại một thời điểm n0 nào đó, ta không thể tìm được giá trị của ngõ ra trong tương lai mà chỉ xác định được ngõ ra ở hiện tại và quá khứ

Để cho thuận tiện ta gọi chuỗi nhân quả hay tín hiệu nhân quả là các tín hiệu có giá trị bằng 0 khi n<0 và tín hiệu khác 0 khi n < 0 ta gọi là tín hiệu không nhân quả Với khái niệm trên ta thấy nếu một tín hiệu nhân quả tác động vào một hệ thống bất biến và nhân quả thì tín hiệu ra cũng là nhân quả

n x k h

)()

()

()

Nếu tín hiệu vào bị chặn tức là tồn tại Mx sao cho

y( ) ( )

Từ biểu thức trên ta thấy rằng nếu ngõ ra bị chặn thì đáp ứng xung của hệ thống phải thỏa mãn điều kiện:

+ N, ngõ ra của hệ thống là:

−+

N n x k h N

n y

≤

−+

=+

N

M k N n x k h k

N n x k h N

n

y( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ∑ ( )

Nếu N→ ∞:

0)(lim→∞∑h k =

N

0)(lim→∞∑ y n0 +k =

n

Kết quả cho thấy rằng nếu một tác động x(n) độ dài hữu hạn đưa vào hệ thống thì sẽ tạo ra một tín hiệu y(n) có biên độ suy giảm dần khi n → ∞, khi đó hệ thống có tính ổn định

1.4 BIẾN ĐỔI FOURIER

e n

thành phần tần số nằm ngoài khoảng này đều tương ứng với một tần số nằm trong khoảng đó Thực vậy :

e n

x( ) (ω 2π )

= ( ) ω 2 π ( ) ω (ω) (1.18)

X e

n x e

e n x

n

n j n

kn j n

Như vậy ta thấy rằng X(ω) tuần hoàn với chu kỳ 2π

Mặt khác, từ X(ω) ta có thể tính được x(n)

Ta nhân hai vế của (1.17) với ejωm rồi lấy tích phân hai vế trong (-π,π) :

π ω ω ω ω (1.19)

π

π π

n x

π π

n m m x

0

)(

(1.21) còn gọi là biến đổi Fourier ngược

Tóm lại ta có cặp biến đổi Fourier như sau:

1 Phương trình tổng hợp, biến đổi ngược Fourier:

x(n) = ∫

π

ω ωω

π 2 ( ).

2

1

d e

e n

x( ) ω

1.4.2 Điều kiện tồn tại của biến đổi Fourier

Điều kiện tồn tại của biến đổi Fourier có thể thiết lập bằng cách quay trở lại (1.17) Thực vậy, để chuỗi Fourier tồn tại thì vế phải của (1.17) phải hội tụ Do modul của số hạng e-jωn (e-jωn = e-j2πfn vì ω=2πf) luôn bằng 1 Vậy điều kiện cần để X(ω) tồn tại là:

Lớp tín hiệu thỏa mãn điều kiện trên gọi là tín hiệu khả tổng tuyệt đối, X(ω) tồn

tại nếu và chỉ nếu x(n) là khả tổng tuyệt đối Khi đó ta luôn có:

Ex ≡

2 2

)()

Vế phải của (1.25) là năng lượng của tín hiệu Vì vậy nếu (1.24) thỏa mãn thì

(1.25) cũng thỏa mãn Các tín hiệu thỏa mãn (1.24) gọi là khả tổng tuyệt đối

(absolutely summable), và các tín hiệu đó tất nhiên có năng lượng hữu hạn

1.4.3 Phổ biên độ, phổ pha và phổ mật độ năng lượng

Năng lượng của tín hiệu x(n) được định nghĩa là:

E

π π

ω ωω

2

1)

()

()

πωω

π

d x

d e n x X

)

()(2

π

2

1)( 2 ∫

−

π π

Với θ(ω) = ∠ X(ω) là phổ pha của X(ω)

Và ⎟ X(ω)⎟ là phổ biên độ

• Sxx(ω) được gọi là phổ mật độ năng lượng của x(n)

Sxx(ω) = ⎟ X(ω) ⎜2 = X(ω) X*(ω) (1.29) Giả sử x(n) là thực, ta suy ra rằng:

∠X(-ω) = ∠X(ω) (hàm lẻ) (1.32) Từ (1.19)

Từ các đặc tính đối xứng của X(ω), ta có thể giới hạn lại khoảng tần số cần khảo sát cho ngắn gọn hơn Tức là nếu hàm số là đối xứng chẵn thì từ khoảng tần số ban đầu (-π,π) ta chỉ cần xét trong khoảng (0,π) là đủ

1.4.4 Tính chất của biến đổi Fourier đối với tín hiệu rời rạc

Để thuận tiện, ta dùng các ký hiệu sau:

e n x n

ω

2

.sin)(cos

ω

ω

R

I X

n

• Tín hiệu thực và chẵn:

x(n) = x(-n), x(n) cos(ωn) là hàm chẵn và x(n) sin(ωn) là hàm lẻ Từ (1.44), (1.45) và (1.34), ta có:

=1

cos)(

n

n n

• Tín hiệu thực và lẻ:

x(n) = x(-n), x(n) cos(ωn) là hàm lẻ và x(n) sin(ωn) là hàm chẵn

=1

sin)

(

n

n n

c Tính dịch chuyển

Nếu x(n) X(ω) F

Thì x(n -k) eF -jωk X(ω) (1.70) Nếu biểu diễn phổ của x(n-k) dưới dạng modul và argument ta có:

⎢Y(ω)⎢ = ⎢X(ω)⎢

e Tính tích chập trong miền tần số

Ta thấy việc nhân tín hiệu x(n) với ejω

0n trong miền thời gian tương đương với việc dịch chuyển tần số của phổ X(ω) đi một lượng ω0, việc này được thực hiện trên đồ thịbằng cách tịnh tiến song song đồ thị của X(ω) theo trục tần số một đoạn

X3(ω) chính là tích chập của X1(ω), X2(ω)

i Tính vi phân trong miền tần số

j Quan hệ Parserval’s

x( ) ω

để tính X1(ω) trong vế phải của đẳng thức Parserval’s

ωωω

π π

ω

d X e

n x n

n

)

(2

1

2

* 2 1

2

1)

(

n

n j n

n x n x d

e X n

π 2

2 2

.)(2

1)

x n

(1.79)

Ta nhận thấy vế trái của (3.56) chính là năng lượng Ex của tín hiệu x(n), nó chính là tín hiệu tự tương quan của x(n) : rxx(l) tính tại l=0 Tích phân ở vế phải chính là phổ mật độ công suất, vì vậy ta thu được:

ωωπ

ωω

π X d S xx( ).d

2

1

)(2

- Nếu x(n) là thực thì X(ω) là đối xứng : ⎢X(ω)⎢= ⎢X(-ω)⎢

- Nếu x(n) là thực thì Sxx(ω) là đối xứng : Sxx(ω) = Sxx(-ω)

k Định lý tương quan

Nếu x1(n) XF 1(ω)

1.4.5 Phân tích hệ thống tuyến tính bất biến trong miền tần số

a Đáp ứng tần số (Frequency Response)

Trong phần 1.4.4.e ta nêu tính chất của tích chập trong miền tần số như sau:

e n h n

Do đáp ứng tần số chính là biến đổi Fourier của đáp ứng xung nên nó cụng có hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π Mặt khác, từ đáp ứng tần số cũng có thể tính được đáp ứng xung theo công thức tổng hợp:

−

π π

ω ωω

e n

h j n n

h( ).cosω ( ).sinω = HR(ω) +j HI(ω)

Với HR(ω) = ∑∞ n là phần thực của H(ω)

)(

ω

ωθ

R

I H

H arctg

Lưu ý rằng do tính chất chẵn lẻ của hàm cos và sin nên:

HR(ω) = HR(-ω) là hàm chẵn đối với ω (1.89)

HI(ω) = - HI(-ω) là hàm lẻ đối với ω (1.90)

Do vậy ⎢HR(ω) ⎢ = ⎢ HR(-ω) ⎢ là hàm chẵn đối với ω (1.91)

θH(ω) = -θH(-ω) là hàm lẻ đối với ω (1.92)

b Quan hệ hàm truyền đạt và đáp ứng tần số của hệ thống

Khi tính H(z) trên vòng tròn đơn vị ta có thể thu được đáp ứng tần số của hệ thống Vì vậy:

H(

ω ω

ω

j i

e z n

n e

z H

e n

h( ) ω

c Đáp ứng tần số của hệ thống ghép nối

• Hệ thống ghép nối tiếp

Đáp ứng xung của hệ thống ghép nối như trên được tính như sau: h2(n) h1(n)

h(n) = h1(n) * h2(n)

Aùp dụng tính chất của tích chập trong miền tần số, ta tính được đáp ứng tần số của hệ thống ghép nối tiếp như sau:

H(ω) = H1(ω) H2(ω) Nếu hệ thống lớn gồm nhiều hệ thống nhỏ ghép nối tiếp và có đáp ứng tần số lần lượt là H1(ω), H2(ω), …, HL(ω) thì đáp ứng tần số H(ω) cua hệ thống lớn là:

1.4.6 Lấy mẫu và khôi phục tín hiệu

Lấy mẫu tín hiệu là một quá trình không thể thiếu trong việc xử lý số tín hiệu Lấy mẫu tín hiệu được thực hiệnvới tất cả các tín hiệu có phổ hữu hạn Ví dụ như với các tín hiệu mà ta thường gặp hàng ngày như: tiếng nói, hình ảnh, …

Bộ xử lý số

a Lấy mẫu tín hiệu tương tự và khôi phục tín hiệu từ các mẫu (Lấy mẫu trên miền thời gian)

Ta xét tín hiệu tương tự xa(t) được lấy mẫu với tốc độ lấy mẫu Fs Tín hiệu rời rạc thu được là x(n) Phổ của tín hiệu tương tự là Xa(F); và phổ của tín hiệu rời rạc là X(ω) (giả sử rằng tín hiệu có năng lượng hữu hạn)

Hình 1.2: Các loại tín hiệu

Về mặt toán học, ta thấy rằng tín hiệu tương tự là một hàm liên tục xa(t) với biến số cũng liên tục t, còn tín hiệu số là một hàm số mà các giá trị của nó đã rời rạc hóa (x(n) với các biến số cũng rời rạc n)

Để hiểu rõ hơn ta xét quá trình lấy mẫu từ tín hiệu tương tự xa(t) thành tín hiệu rời rạc x(n) Ta xét một tín hiệu tương tự xa(t) như hình vẽ, ví dụ xa(t)=Acos(Ωt+θ) Trong đó Ω được hiểu là tần số của tín hiệu tương tự và có thứ nguyên là rad/s; Ω

= 2πF (F có thứ nguyên là Hz)

Các giá trị tín hiệu được lấy với khoảng thời gian cách nhau là Δt = T Khi đó Δt =

T gọi là chu kỳ lấy mẫu (sampling period) hay khoảng cách lấy mẫu(sampling interval) và giá trị nghịch đảo của nó Fs = 1/T; Fs là tốc độ lấy mẫu (sampling rate) hay tần số lấy mẫu (sampling frequency)

Chu kỳ lấy mẫu là khoảng thời gian giữa hai mẫu gần nhau nhất Chu kỳ lấy mẫu là đại lượng thiết lập quan hệ giữa biến t và biến n cuả tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc, ta đã có t=nT=n/Fs

Mặt khác, để thiết lập quan hệ giữa biến tần số của tín hiệu tương tự và tần số của tín hiệu rời rạc, ta xét tín hiệu tương tự xa(t)=Acos(Ωt+θ) kết quả ta sẽ được một tín hiệu sin rời rạc xn(t)=Acos(ωt+θ)

e n

e n

π ω

πωω

π

2 / 1

2 / 1

2

)

(2

1)

(2

1

df e f X d

F

n F j a

2

F

n F j a

2

2 /

2

)

(

1 s s

s s

dF e

F

F X F

F

n F j a

2

F

n F j a

2

F k

F n F j a k

dF e

F X

) 2 / 1 (

) 2 / 1 (

2

)

Ta thấy rằng hàm số Xa(F) nằm trong khoảng tần số (k-1/2)Fs ÷ (k+1/2)Fs là đồng nhất với Xa(F-kFs) trong khoảng –Fs/2 ÷ Fs/2 Do vậy:

F k

F n F j a k

dF e

F X

) 2 / 1 (

) 2 / 1 (

2

2 /

2

).(

F f

X( ) ( )

Đẳng thức (1.109) cho ta thấy quan hệ giữa phổ của tín hiệu rời rạc X(f) và phổ của tín hiệu tương tự Xa(F) với chu kỳ Fs Do đó ta thấy phổ của tín hiệu rời rạc x(n) là sự tuần hoàn với chu kỳ fp=1 hay Fp=Fs

Giả sử phổ của tín hiệu xa(t) được vẽ như hình trên.Phổ bằng 0 khi ⎢F ⎢> B

• Nếu Fs <2B thì các chu kỳ liên tiếp của X(f) sẽ bị gối lên nhau Phổ của tín hiệu rời rạc chứa các thành phần tần số chồng lấn lên nhau của tín hiệu analog xa(t) Sự chồng chập này khiến cho việc khôi phục các tín hiệu tương tự từ các mẫu của nó trở nên không thể thực hiện chính xác Hiện tượng này gọi là sự trùm phổ

• Nếu Fs ≥ 2B ở đây 2B được gọi là tần số Nyquist Phổ của tín hiệu rời rạc là các chu kỳ liên tiếp của Xa(F) và được tách rời nhau (phổ không bị chồng chập) Trong trường hợp này phổ của tín hiệu tương tự chính là phổ của tín hiệu rời rạc với tỷ lệ Fs trong một chu kỳ; với khoảng tần số cơ bản ⎢F ⎢≤ Fs/2 hoặc ⎢f ⎢≤ 1/2:

21

s

s s

s

F F khi

F F khi F

F X

s

s

e n x F

2 /

Để cụ thể, ta giả sử Fs = 2B, thế (1.100) vào (1.112), ta có:

xa(t) = x n e e dF

F

Ft j F

F Fn j s

2 /

/

)

(1

s

F

n t F j

n

F

F s

nT t T nT

)(

)sin(

Với x(n) = xa(nT) và T=1/Fs = 1/2B là khoảng thời gian lấy mẫu

Công thức (1.113) gọi là công thức nội suy cho phép tái tạo lại tín hiệu xa(t) từ các mẫu xa(nT) đó

Định lý lấy mẫu:

Một tín hiệu tương tự có thời gian tồn tại hữu hạn, với tần số cao nhất (dải thông) là B Hertz, có thể được khôi phục chính xác và duy nhất nếu nó được lấy mẫu với quá trình lấy mẫu có tốc độ lấy mẫu là Fs ≥ 2B

b Lấy mẫu và khội phục tín hiệu tương tự trên miền tần số

Xét tín hiệu xa(t) với phổ của nó Xa(F) Giả sử ta lấy mẫu trên phổ Xa(F) tại các tần số cách đều nhau một khoảng δF Tập hợp các mẫu phổ thu được là Xa(δF)

Ta xét khả năng khôi phục Xa(F) hoặc xa(t) từ các mẫu Xa(δF)

t

a

1 2

T

T k j s

s

s

s dt e

nT t x

2 /

2 /

1 2

)

2

2

)

(1

dt e

t x T

Xét tín hiệu xa(t) với thời gian tồn tại là t

1 Nếu Ts > 2t : khi đó xp(n) là tín hiệu tuần hoàn chu kỳ Ts ; xp(t) bao gồm tín hiệu xa(t) ban đầu được lặp lại với chu kỳ Ts ; các chu kỳ của xp(n) tách rời nhau và khi đó xa(t) chính là xp(n) trong một chu kỳ cơ bản

T t khi t

0

2/)

F k F F

F k F F F

k X

)(

)(

sin)

(

δδ

π

δδ

π

2 Nếu Ts < 2t : khi đó xp(n) là tín hiệu tuần hoàn chu kỳ Ts ; xp(n) bao gồm tín hiệu xa(t) ban đầu được lặp lại với chu kỳ Ts ; nhưng trong trường hợp này các chu kỳ của x(n) chồng chập lên nhau, hiện tượng này gọi là hiện tượng trùm thời gian, thì ta không thể xác định xa(t) theo xp(t)

c Lấy mẫu và khôi phục tín hiệu rời rạc trên miền tần số

Xét tín hiệu không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn x(n) có biến đổi Fourier là X(ω):

e n x

X(ω) ( ) ω

Giả sử ta lấy mẫu X(ω) tại các tần số cách nhau một giá trrị là δ Vì X(ω) tuần hoàn với chu kỳ 2π nên ta chỉ cần xét các mẫu trong một chu kỳ là đủ Để cho thuận tiện ta gọi N là số mẫu trong một chu kỳ (0≤ω≤2π) với khoảng cách giữa các mẫu là δω = 2π/N

Với ωk = 2πk/N là các tần số lấy mẫu, ta tính được độ lớn của phổ X(ω) tại các tần số lấy mẫu là:

N

N

k X X

π π

(

n

kn N j

N n

kn N j

e n x e

n x N

k X

π π

−

− 1

kn N j e n x

=

l

kn N j N

lN

lN n

e n x

π 2 1

2 N

n

kn N j l

l

e lN n x N

k X

x )

Ta nhận thấy đây là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ N, thu được từ tín hiệu ban đầu x(n) bằng cách lặp lại dịch đi N mẫu sau mỗi chu kỳ kế tiếp nhau Do vậy, xp(n) có thể khai triển dưới dạng một chuỗi Fourier:

xp(n) = ∑−

=

1 0

k e c

kn N j

x N

π

k = 0, 1, 2, , N-1 (1.129)

Từ công thức tính ck và X(2πk/N) ta rút ra :

X N

2

.2

1 N k

kn N j e k N

X N

π

Hai phương trình trên cho phép ta xác định tín hiệu xp(t) từ các mẫu phổ X(2πk/N) Tuy nhiên nó không cho biết khả năng khôi phục X(ω) hay x(n) từ các mẫu có chính xác hay không Để thực hiện điều này ta xét quan hệ giữa xp(n) và x(n):

• Vì xp(n) được tạo ra từ x(n) nên khi đã xác định xp(n) nếu như không có sự trùm thời gian, tức là nếu như x(n) hữu hạn về mặt thời gian và thời gian tồn tại x(n) nhỏ hơn N

• Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử x(n) có độ dài hữu hạn Tức là x(n)≠0 khi n ∈ [0, L-1] hay 0 ≤ n ≤ L-1

L : chiều dài của x(n)

+ Trường hợp thứ nhất: N ≥ L suy ra xp(n) = x(n) khi 0 ≤ n ≤ L-1 Trường hợp này x(n) có thể được tái tạo chính xác từ xp(n)

+ Trường hợp thứ hai: N < L, xp(n) gồm các chu kỳ liên tiếp của x(n) song bị các chu kỳ này chồng chập lên nhau khi 0 ≤ n ≤ L-1 Do hiện tượng trùm thời gian này, ta không thể khôi phục chính xác x(n) từ xp(n)

d Biến đổi Fourier rời rạc của chuỗi tín hiệu rời rạc có độ dài hữu hạn

Một tín hiệu giả tuần hoàn x(n), độ dài L, có năng lượng hữu hạn được lấy mẫu phổ trong miền tần số, tần số lấy mẫu có khoảng cách bằng nhau k

Khi x(n) có độ dài hữu hạn L ≤ N thì xp(n) đơn giản là sự lặp lại tuần hoàn của x(n) với chu kỳ là N Ta có xp(n) trên một chu kỳ sẽ được xác định theo công thức sau:

)(

N n L khi

L n khi n x

Vì vậy, các mẫu phổ (2 k)

N

X π , k=0, 1, 2, , N-1 thể hiện một chuỗi x(n) hữu hạn, duy nhất Vì x(n) ≡ xp(n) trên một chu kỳ ( thêm vào N-L mẫu có giá trị bằng 0) nên tín hiệu x(n) ban dầu có thể khôi phục một cách chính xác từ các mẫu phổ

)

2

( k

N

X π , k=0, 1, 2, , N-1 theo công thức đã chứng minh được

Tóm lại, ta có thể ký hiệu các mẫu phổ thu được ở trên là:

k

kn N j e k X N n x

x( )

Bây giờ giả sử ta dịch chuyển tín hiệu tuần hoàn xp(n) đi k đơn vị về phía phải, ta thu được một tín hiệu tuần hoàn khác:

x p

0

10

)(

Chuỗi tín hiệu này có quan hệ với tín hiệu ban đầu bởi tính dịch vòng

Thông thường tính trễ vòng của tín hiệu có thể biểu diễn bằng phép chia modulo cho N Do vậy, ta có:

Do vậy, x’(n) chính là x(n) lấy trễ một vòng đi 2 đơn vị thời gian, theo chiều dương qui định là ngược chiều kim đồng hồ Tính trễ của tín hiệu có độ dài N cũng tương đương với tính trễ tuyến tính của tín hiệu tuần hoàn chu kỳ N và ngược lại

d Tính đảo ngược thời gian

Nếu x(n) X(k) DFT x(-n,(modN)) = x(N-n) X(-k,(modN)) = X(N-k) DFT (1.142)

Vì vậy, tín hiệu đảo ngược thời gian N điểm tương ứng với các giá trị DFT bị đảo ngược

e Tích của hai chuỗi DFT và tích chập vòng

Giả sử ta có hai chuỗi tín hiệu x1(n) và x2(n) có độ dài hữu hạn là N DFT N điểm của chúng là:

π

k= 0, 1, 2, , N-1 (1.143)

k= 0, 1, 2, , N-1 (1.144)

Nếu ta nhân hai chuỗi DFT trên với nhau sẽ được một chuỗi DFT mới, Ký hiệu

X3(k) và IDFT của X3(k) là một chuỗi tín hiệu x3(k) Ta xác định quan hệ giữa

π

= ∑−

=

1 0

2 2

1( ) ( )

1 N n

n N

k j e k X k X N

2 1

0

2 2

1 0

2

1 N n

n N

k j N

l

N

kn j N

n

N

kn j

e e

l x e

n x N

π π

1 0

) ( 2 1

0 2

1 N n

N

l

l n m N

k j N

l

e l x n x N

) ( 2

N

l

l n m N

k j e

1

1

a a

a khi N

) ( 2

N

l

l n m N j e

π

(1.147)

ta thấy

• a = 1 khi m-n-1 chia hết cho N

• Trong trường hợp khác aN=1 với ∀a≠0

1 0

N n

m pN n m l N a

N

l k

1

1

a a

a khi N

(

N

l

N n

m x n x

(với m=0, 1, 2, , N-1)

x3(m) được gọi là tích chập vòng của hai chuỗi x1(n) và x2(n) và được ký hiệu như sau:

/

))

(mod,1(

N

n

N kn j

e N n

/

))

(mod,1(

l

n

N kn j

e N n

/

)

1(

N

n

N kn j

e n

/ 2

))

(mod,1(

l

n

N kn j

e N n

/ 2

))

(mod,1(

l

n

N kn j

e N n

1

/ 1 ( 2

)

(

N

N m

N m k j

e m

/ 2

))

(mod,1(

N

n

N kn j

e N n

=

+

− 1

0

/ ( 2

)

(

l N

m

N l m k j

e m

0

/ ( 2

e m