Tối ưu hóa thiết kế các chi tiết máy

Đối với bài toán tối ưu trong thiết kế, vấn đề cốt yếu trước khi quyết định một qui trình thiết kế đó là việc xem xét hệ thống thứ bậc của các biến thiết kế như hình vẽ dưới đây.. Đó là

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-o0o -

TRƯƠNG CÔNG TIỄN

TỐI ƯU HÓA THIẾT KẾ CÁC CHI TIẾT MÁY

CHUYÊN NGÀNH: CƠ KHÍ CHẾ TẠO MÁY

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 7 NĂM 2007

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày tháng năm 2007

Tp HCM, ngày tháng năm 2007

I TÊN ĐỀ TÀI: Tối ưu hoá thiết kế các chi tiết máy

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ:

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ:

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS Phan Đình Huấn

QL CHUYÊN NGÀNH

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua

Ngày tháng năm 2007

LỜI CẢM ƠN

Xin gởi đến giáo viên hướng dẫn làm luận án tốt nghiệp của tôi: PGS TS Phan Đình Huấn lời cám ơn chân thành nhất Thầy đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian làm luận án vừa qua, đã dành nhiều thời gian quý báu của mình để giúp tôi : chọn phương pháp nghiên cứu đề tài, phát hiện những sai sót, những quan niệm chưa thực sự đúng với thực tế Đặc biệt, thầy đã tạo điều kiện cho tôi có một môi trường nghiên cứu rất phù hợp, có nhiều thời gian tiếp xúc với các thầy cô khác có trình độ chuyên môn cao trong nhiều lãnh vực khác nhau để tôi có thêm điều kiện trao đổi, học hỏi

Cuối cùng, tôi xin chân thành kính gởi lời cảm tạ sâu sắc đến tất cả các thầy cô trong Khoa Cơ Khí, trong Trường Đại Học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh, vì quý thầy cô đã tận tuỵ dạy dỗ, truyền đạt cho tôi rất nhiều những kiến thức quý báu về khoa học cơ bản và chuyên ngành trong suốt thời gian học tại trường

Tp Hồ Chí Minh, ngày 07 tháng 7 năm 2007

Học viên thực hiện

Trương Công Tiễn

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Thiết kế máy là tập hợp nhiều dạng thiết kế có liên quan và cả không có liên quan đến cơ sở kỹ thuật Cách giải quyết vấn đề không đơn thuần phải là bài toán thiết kế mà nó còn bao gồm cả những lĩnh vực khác ví dụ như tính thẩm mỹ trong mẫu mã và hình dáng sản phẩm Tuy nhiên, với sự cạnh tranh ngày càng khốc liệt trên thị trường, một sản phẩm bảo đảm các tính năng kỹ thuật, có mẩu mã đẹp nhưng giá thành thấp nhất sẽ dễ dàng đi đến thành công hơn

Xuất phát từ thực tế đó, việc nghiên cứu thiết kế tối ưu là cần thiết Ngày nay, với sự ra đời và phát triển không ngừng của các công cụ tin học (cả phần cứng lẫn phần mềm) thì việc ứng dụng máy tính để giải quyết các bài toán thiết kế là một xu hướng tất yếu Sự ra đời của những phần mềm đồ hoạ giúp cho các nhà thiết kế có thể dễ dàng thể hiện các ý tưởng, sáng tạo của mình Bên cạnh đó, các phần mềm tính toán số cũng hỗ trợ một phần đáng kể giúp giảm thời gian tính toán

Nội dung nghiên cứu trong luận văn này là ứng dụng phầm mềm đồ hoạ để thể hiện các ý tưởng thiết kế, sau đó bằng phương pháp phân tích để giảm thiểu tối đa thời gian thiết kế, dùng thuật toán tối ưu để xác định lại các thông số thiết kế Qua đó, bước đầu xây dựng một phương án thiết kế các chi tiết máy theo khái niệm tối ưu

Công cụ đồ hoạ được sử dụng: AutoCAD

Công cụ tính toán: Ansys

MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Chương I TỔNG QUAN 9

1.1 Đặt vấn đề 9

1.2 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài 9

1.3 Khái niệm thiết kế máy hiện đại 10

1.4 Phương án giải quyết bài toán tối ưu 12

1.4.1 Phân tích và lựa chọn ý tưởng tốt nhất 12

1.4.2 Phân tích tối ưu kết cấu cụm chi tiết máy 14

1.4.3 Phân loại chi tiết cần thiết kế tối ưu 16

1.4.4 Tối ưu hoá thiết kế chi tiết máy trong Ansys 16

1.5 Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu 23

1.5.1 Mục tiêu đề tài 23

1.5.2 Phạm vi nghiên cứu 23

1.6 Kết luận 24

Chương II CƠ SỞ LÝ THUẾT 25

2.1 Bài toán tối ưu tổng quát 25

2.1.1 Phát biểu bài toán 25

2.1.2 Các yếu tố của một bài toán tối ưu 25

2.1.3 Phân loại các bài toán tối ưu 25

2.2 Quy hoạch tuyến tính 26

2.2.1 Phát biểu bài toán quy hoạch tuyến tính 26

2.2.2 Tính đối ngẫu và định lý cơ bản của quy hoạch tuyến tính 28

2.3 Quy hoạch lồi 32

2.3.1 Bài toán quy hoạch lồi tổng quát 32

2.3.2 Quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính 33

2.3.3 Quy hoạch lồi với ràng buộc phi tuyến 34

2.3.4 Quy hoạch lõm 35

2.3.5 Quy hoạch toàn phương 36

2.4 Quy hoạch phi tuyến không bị ràng buộc 37

2.4.1 Quy hoạch phi tuyến 37

2.4.2 Điều kiện tối ưu của QHPT không bị ràng buộc 38

2.4.3 Các phương pháp dùng đạo hàm 39

2.4.4 Các phương pháp không dùng đạo hàm 41

2.5 Quy hoạch phi tuyến bị ràng buộc 43

2.5.1 Mở đầu 43

2.5.2 Phương pháp gradient 44

2.5.3 Phương pháp hàm phạt 45

2.5.4 Phương pháp sai lệch linh hoạt 49

2.6 Quy hoạch thực nghiệm 50

2.7 Cơ sở lý thuyết bài toán tối ưu trong Ansys 51

2.7.1 Phương pháp xấp xỉ Sub-problem 51

2.7.2 Phương pháp First-Order 53

2.8 Bài toán kiểm chứng 54

2.8.1 Giải bằng phương pháp giải tích 54

2.8.2 Giải bằng phương pháp tối ưu 56

Chương III PHÂN TÍCH – TÍNH TOÁN TỐI ƯU MỘT SỐ CHI TIẾT CHO MÁY ĐÓNG GÁY HAI ĐẦU 58

3.1 Đặt vấn đề 58

3.2.1 Phân tích tổng quát 59

3.2.2 Sản phẩm máy 70

3.3 Phân tích, tính toán tối ưu các chi tiết máy 71

3.3.1 Kết cấu bộ truyền động – đẩy sách 71

3.3.2 Kết cấu bộ đóng 90

3.3.3 Kết cấu thân máy 100

3.3.4 Kết cấu các cụm chi tiết khác 109

3.3.5 Máy đóng gáy hai đầu 109

3.4 Kết luận 110

Chương IV KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI 111

4.1 Kết luận 111

4.2 Hướng phát triển đề tài 111

TÀI LIỆU THAM KHẢO 113

PHỤ LỤC 114

CHƯƠNG I

TỔNG QUAN

1.1 Đặt vấn đề

Công nghệ thông tin đã và đang đi vào cuộc sống và dần trở thành một công cụ đắc lực trong kỹ thuật, các sản phẩm phần mềm kỹ thuật giúp cho các kỹ sư nhanh chóng tính toán thiết kế, thẩm định, khảo sát kết quả thiết kế và thực hiện thực nghiệm mô phỏng trên máy tính thay cho việc chế thử hoặc vận hành thí nghiệm

Tất cả các vấn đề trong mọi lĩnh vực như toán học, khoa học ứng dụng, kinh tế, y tế và thống kê đều có thể đưa ra dưới dạng tối ưu Đặc biệt là các mô hình toán học thường được cải tiến để có thể phân tích và hiểu sâu hơn đối với các hiện tượng phức tạp Việc tối ưu được đưa ra ở đây là nhằm xác định hình thức và các đặc tính gần với thực tế nhất của mô hình

1.2 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài

Hiện nay, việc ứng dụng các phương pháp tối ưu vào lĩnh vực thiết kế không còn là điều mới mẻ trên thế giới Đã có những sản phẩm ứng dụng một cách rất thành công tối ưu được đưa vào thực tế sản xuất, ví dụ như trong ngành công nghệ chế tạo ôtô, người ta đã tính toán tối ưu từ hình dáng khí động học cho đến hiệu suất động cơ, giá thành sản phẩm thấp nhất, …

Trong một bài toán tối ưu, tìm một trạng thái tối ưu của một hệ thống bị ràng buộc sao cho đạt được mục tiêu mong muốn về chất lượng theo một nghĩa nào đó

Các yếu tố cơ bản của bài toán tối ưu:

- Trạng thái: mô tả trạng thái của hệ thống cần tối ưu

- Mục tiêu: đặc trưng cho tiêu chuẩn hoặc hiệu quả mong muốn (chi phí ít nhất, hiệu suất cao nhất, trọng lượng nhỏ nhất, thời gian ngắn nhất, …)

- Ràng buộc: thể hiện các điều kiện kinh tế, kỹ thuật, … mà hệ thống phải thoã mãn

Đối với bài toán tối ưu trong thiết kế, vấn đề cốt yếu trước khi quyết định một qui trình thiết kế đó là việc xem xét hệ thống thứ bậc của các biến thiết kế như hình vẽ dưới đây

Thành phần thấp nhất là các biến thiết kế độc lập Đó là các thành phần

cơ bản nhất đối với người thiết kế, để từ đó người thiết kế đưa ra các quyết định cơ bản nhất của qui trình thiết kế, ví dụ như đường kính trục truyền động, ứng suất chảy của vật liệu, độ nhớt của chất bôi trơn … Từ các quyết định này, người thiết kế hy vọng rằng có thể phát sinh các tiêu chuẩn đánh giá nhất định về các đặc tính thiết kế, ví dụ như khả năng chịu xoắn của trục, công suất động

cơ, trọng lượng chi tiết … Các đặc tính thiết kế này sẽ phát sinh các giá trị số và thường được biểu diễn bằng các đường cong Kết hợp các giá trị này, từ đó người thiết kế sẽ đưa ra một tiêu chuẩn có tính quyết định, đó chính là giá trị của hàm mục tiêu Tóm lại, từ giá trị của các biến thiết kế độc lập, sẽ có nhiều tập giá trị phát sinh, và người thiết kế sẽ chọn lựa giá trị tốt nhất trong các tập đó để làm tập thiết kế Đó chính là thực hiện việc thiết kế tối ưu

Hàm mục tiêu

Phân loại các giá trị

1.3 Khái niệm thiết kế máy hiện đại

Theo tài liệu [1], thiết kế là một quá trình của các ý tưởng sáng tạo hoặc tưởng tượng và truyền đạt những ý tưởng này cho người khác bằng một hình thức dễ hiểu Công cụ truyền đạt được sử dụng phổ biến nhất là đồ hoạ, có thể bao gồm: hình ảnh, mô hình, bản vẽ

Trong thiết kế cơ khí bao gồm: thiết kế mỹ thuật và thiết kế chức năng Đối với nhà thiết kế trực tiếp các sản phẩm cơ khí, từ việc nhận đơn hàng, nhà thiết kế thường phải thực hiện các bước sau:

Đơn hàng thiết kế sản phẩm

Xác định yêu cầu kỹ thuật của bài toán thiết kế

Đưa ra các ý tưởng thiết kế

Phân tích các ý tưởng

Thiết kế cấu trúc sản phẩm

Thiết kế chi tiết sản phẩm

Xây dựng nguyên mẫu

Nguyên mẫu phân tích Nguyên mẫu vật lý

Thử nghiệm mẫu

Đánh giá thiết kế theo các chỉ tiêu

Thiết kế lại

Đánh giá cuối cùng

Bản vẽ chế tạo

Lập quy trình chế tạo

Hình 1.1

Đối với một quy trình thiết kế như hình 1.1, công đoạn tối ưu thiết kế bắt đầu xuất hiện ở bước thiết kế cấu trúc sản phẩm Bởi nếu không ứng dụng các phương án tối ưu vào thời điểm này, các bước thiết kế kế tiếp sẽ bị chi phối bởi cấu trúc chung của sản phẩm Điều này dẫn đến một tình trạng có thể các chi tiết được tính toán thiết kế tối ưu như không phù hợp với cấu trúc chung hoặc có phù hợp tính năng kỹ thuật chăng nữa thì kết cấu chung của sản phẩm vẫn không đạt tối ưu về một phương diện nào đó

Hiện nay, vòng đời sản phẩm ngày càng ngắn hơn, chủng loại và hình dáng sản phẩm ngày càng đa dạng, vì vậy các sản phẩm phải đáp ứng những nhu cầu thực tế Với các công nghệ chế tạo hiện đại, vật liệu ngày càng được cải thiện, các thiết bị thay thế chức năng lẫn nhau được chế tạo gói gọn,… người thiết kế hoàn toàn có thể lựa chọn các thiết bị có chức năng tương đương được sản xuất sẵn Tuy nhiên, khi máy có độ phức tạp, mức độ tự động hoá, giá thành cao thì nhà thiết kế phải tính toán đến độ tin cậy khi máy làm việc trong điều kiện có cường độ cao Có nghĩa là với phương pháp khai thác sản phẩm hợp lý như: sử dụng sản phẩm đúng quy cách, có phương pháp bảo dưỡng hợp lý,… tuổi thọ sản phẩm sẽ bảo đảm thời gian làm việc

Vậy, các mục tiêu đặt ra ở đây là sự phối hợp linh hoạt giữa các yêu cầu về kinh tế và các yêu cầu về kỹ thuật

Vấn đề quan trọng nhất được xem xét ở đây là kết cấu và độ linh hoạt của máy Đây là sản phẩm của việc phân tích các ý tưởng Qua đó ta thấy, ý tưởng đóng vai trò hàng đầu trong thành công của sản phẩm Một ý tưởng thiết kế không tốt, cho dù có tính toán tối ưu các chi tiết đi chăng nữa thì sản phẩm cũng sẽ không đạt được các yêu cầu chung tốt nhất

1.4 Phương án giải quyết bài toán tối ưu

Việc tính toán các bài toán tối ưu trên thế giới đã được thực hiện từ lâu, tuy nhiên vẫn còn nhiều trường phái khác nhau Bài toán tối ưu là một bài toán rất rộng, ta chỉ có thể tìm được một nghiệm duy nhất trong một miền các giá trị ràng buộc nhất định

Hiện nay, đã có một số phần mềm trên thế giới cho phép nhà thiết kế tính toán tối ưu, ví dụ như Ansys Tuy nhiên, các phần mềm đó chưa thật sự là một phần mềm thiết kế tối ưu, người thiết kế phải thiết kế trên một nền đồ hoạ nào đó để có các thông số hình học, sau đó mới nhập các thông số vào các phần mềm tối ưu để tiến hành tính toán lại các thông số và tìm giá trị tối ưu

1.4.1 Phân tích và lựa chọn ý tưởng tốt nhất

Sau khi xác định các yêu cầu của khách hàng, nhà thiết kế đưa ra các ý tưởng để chọn lựa phương án thiết kế tối ưu

Nhà thiết kế phải xác định các thông số quan trọng ảnh hưởng đến chất lượng, giá thành của máy cũng như là của sản phẩm

Thông thường, đối với một sản phẩm cơ khí, các thông số đầu vào của một quy trình thiết kế là:

- Kết cấu cụm chi tiết máy

- Chức năng từng cụm chi tiết máy

- Mối liên kết các cụm chi tiết máy để cấu thành kết cấu máy

- Đơn giản hoá các chi tiết và cụm chi tiết

- Vật liệu chế tạo

- Phương pháp chế tạo

- Tối thiểu hóa chi phí chế tạo

Ta có thể mô tả kết cấu một sản phẩm thiết kế như sau:

Cụm chi tiết 1

Cụm chi tiết 2

Cụm chi tiết n

Bên cạnh đó, một yếu tố đóng vai trò rất quan trọng trong quá trình hoạch định các ý tưởng thiết kế là thiết bị được chế tạo sẵn Đối với một kỹ sư thiết kế, nếu không nắm được các thiết bị chế tạo sẵn trên thị trường và chất lượng của chúng sẽ làm nghèo nàn các ý tưởng thiết kế

Ví dụ: Cần thiết kế một bộ nguồn công suất 0.75KW từ điện năng với

vận tốc đầu ra là 70vòng/phút

Các phương án đề ra:

- Sử dụng động cơ thông qua bộ truyền đai để truyền động cho hộp giảm tốc

- Sử dụng động cơ thông qua khớp nối để truyền động cho hộp giảm tốc

- Sử dụng động cơ có hộp giảm tốc được lắp sẵn ở đầu động cơ Rõ ràng phương án đầu tiên có tỷ trọng thấp nhất vì khả năng làm việc của toàn bộ cụm chi tiết máy này bị phụ thuộc vào 4 cụm chi tiết thành phần: Động cơ, bộ truyền đai, hộp giảm tốc, bộ phận căng đai Bên cạnh đó, kết cấu cụm này sẽ rất cồng kềnh, dẫn đến phần khung, thân máy sẽ lớn hơn

Đối với phương án thứ hai sẽ tốt hơn vì chỉ phụ thuộc vào 3 cụm chi tiết: Động cơ, khớp nối và hộp giảm tốc Tuy nhiên kết cấu vẫn còn cồng kềnh, chiếm nhiều không gian lắp đặt

Phương án thứ ba là khả thi hơn cả với một kết cấu nhỏ gọn nhất, khả năng làm việc chỉ phụ thuộc vào chất lượng hay độ tin cậy của nhà sản xuất

Xét về phương diện kinh tế, rõ ràng phương án thứ ba vẫn tối ưu hơn cả bởi giá thành của một cụm được chế tạo sẵn như vậy rõ ràng thấp hơn so với các việc mua các thiết bị rời rạc Ngoài ra, phương án này sẽ không tốn các chi phí gia công như phương án một: đế, tạo rãnh trượt căng đai, căng đai Và chi phí lắp đặt cho phương án này cũng thấp nhất, nhanh nhất và đơn giản nhất

1.4.2 Phân tích tối ưu kết cấu cụm chi tiết máy

Một cụm chi tiết máy có thể thực hiện một chức năng là làm thay đổi hoá hay lý tính của phôi hoặc đóng vai trò trung gian như cơ cấu truyền động,

cơ cấu điều khiển, cơ cấu dẫn hướng,…

Hầu hết các bài toán thiết kế máy, ta thường đưa về dạng bài toán quy hoạch phi tuyến bị ràng buộc

Xem mỗi ý tưởng thiết kế như một trạng thái tĩnh Tìm trạng thái tối ưu khi hàm mục tiêu được diễn đạt bởi một hàm phi tuyến

Như vậy, tối ưu lúc này là ý tưởng tốt nhất trong một tập hợp các ý tưởng độc lập Các ý tưởng này ảnh hưởng trực tiếp đến các thông số kỹ thuật,

kinh tế Để xét mục tiêu, ta phải gán cho các ý tưởng những trọng số đánh giá Các trọng số này phụ thuộc vào nhiều yếu tố

Ý tưởng tốt nhất

Hình 1.3

Vậy ta có bài toán phân tích và lựa chọn ý tưởng

Xét lại ví dụ 2.1, ta có thể chọn mục tiêu là: kết cấu tốt nhất xét về nhiều phương diện

Các thông số tác động trực tiếp đến mỗi ý tưởng như: Giá thành, trọng lượng, độ đơn giản khi chế tạo, chất lượng, tính thẩm mỹ, thời gian sử dụng, năng suất, tính linh hoạt

Đối với ví dụ 2.1, giả sử các yếu tố ảnh hưởng được cho như sau:

Các giá trị đánh giá ý tưởng

Từ đó ta thấy, rõ ràng với ý tưởng 3, tổng điểm đạt giá trị cao nhất nên

ta chọn phương án 3 là phương án thiết kế tối ưu trong miền ý tưởng này Đối với cụm chi tiết dạng này,

Đây là phương pháp phân tích ý tưởng tối ưu được sử dụng phổ biến nhất hiện nay

1.4.3 Phân loại chi tiết cần thiết kế tối ưu

Sau khi có được ý tưởng tốt nhất cho thiết kế chi tiết, nhà thiết kế cần phải phân tích xem trong những chi tiết của cụm chi tiết vừa hình thành, những chi tiết nào quan trọng và cần được tính toán tối ưu Bởi vì trong một cụm chi tiết, có những chi tiết phụ phụ thuộc vào kết cấu của những chi tiết khác quan trọng hơn nên không cần thiết tính toán tối ưu

1.4.4 Tối ưu hoá thiết kế chi tiết máy trong Ansys

Trong phạm vi đề tài, sau khi phân tích kết cấu cụm chi tiết, các thiết kế ban đầu được thực hiện bằng phần mềm đồ hoạ AutoCAD, tiếp theo đó các bước tính toán tối ưu được tiến hành với sự hỗ trợ của phần mềm Ansys Sau khi có kết quả, hiệu chỉnh lại các thông số hình dáng hình học ban đầu để có được bản vẽ thiết kế hoàn chỉnh

1.4.4.1 Thiết kế tối ưu trong Ansys

Tối ưu là kỹ thuật để chúng ta tìm kiếm giải pháp tốt nhất cho vấn đề Bằng cách tối ưu ta có thể thoã mãn một số ràng buộc nhất định nào đó, đồng thời ta cũng đạt được giá trị cực tiểu (hay cực đại) một mục tiêu nào đó, chẳng hạn như khối lượng, thể tích, ma sát bề mặt, ứng suất, chi phí sản suất … Tối ưu là làm cho vấn đề đạt hiệu quả tốt nhất có thể có

Rõ ràng là tất cả các khía cạnh trong một tập hợp thiết kế đều có thể tối ưu: các kích thước (chiều dày, độ cao, bề rộng…), hình dạng vật thể (đường kính cong…), vị trí đặt tải trọng, chi phí sản xuất (khối lượng, thể tích…), tần số riêng của hệ dao động, đặc trưng vật liệu …

Bất kỳ mục (item) nào của ANSYS được biểu diển ở dạng tham số thì

ta có thể thực hiện tối ưu hay dùng để làm các ràng buộc cho công việc tối ưu

ANSYS đưa ra hai phương pháp tối ưu áp dụng rộng rãi cho hầu hết các vấn đề trong lĩnh vực tối ưu Phương pháp Subproblem Approximation là phương pháp zero_order cải tiến, nó áp dụng hiệu quả cho hầu hết các vấn đề kỹ thuật Phương pháp First_order phù hợp hơn cho các vấn đề yêu cầu độ chính xác cao

Cả hai phương pháp Subproblem Approximation và First_order, chương trình đều thực hiện chuổi vòng lặp: phân tích - đánh giá - sửa đổi Điều này có nghĩa là phân tích bước đầu hoàn thiện, kết quả đã tính đem so sánh với tiêu chuẩn và sửa đổi nếu cần thiết, vòng tính được lặp cho đến khi đạt kết quả cần thiết

1.4.4.2 Những khái niện dùng trong Ansys

Trước khi đề cập đến quy trình thiết kế tối ưu, chúng ta định nghĩa một số thuật ngữ cơ bản của bài toán tối ưu: biến thiết kế, biến trạng thái, hàm mục tiêu, kết quả khả thi, kết quả không khả thi, tập phân tích (Analyses file), bước lặp, vòng lặp …

Để thuận tiện chúng ta sẽ bắt đầu với một bài toán tối ưu tiêu biểu như sau:

Tìm trọng lượng nhỏ nhất của một dầm có tiết diện hình chữ nhật với các ràng buộc như sau:

Ứng suất của dầm không được vượt quá ứng suất cho phép σmax

Độ võng của dầm không được vượt quá độ võng cho phép δmax

Chiều cao của dầm không được vượt quá chiều cao cho phép hmax

Như vậy ta có ba điều kiện ràng buộc như sau:

σ ≤ σmax

δ ≤ δmax

b P

Hình 1.4

1 Biến thiết kế (Design Variables - DVs)

Biến thiết kế là các đại lượng độc lập và chúng được thay đổi trong quá trình tính toán sao cho tập thiết kế của ta là tối ưu Cận trên và cận dưới của biến thiết kế được xác định và gọi là các ràng buộc Các cận này giới hạn khoảng chạy của biến thiết kế Trong ví dụ nói trên chúng ta thấy rằng b và h có thể là các biến thiết kế Cả b và h đều không thể bằng không hoặc âm, do đó b và h có cận dưới là 0, (b, h > 0) Cận trên là giá trị nào đó lớn hơn 0, chúng bị ràng buộc do không gian hay vật liệu Ở bài toán nêu trên thì h còn có cận trên là hmax Trong một bài toán tối ưu bằng ANSYS, chúng ta có thể khai báo 60 biến thiết kế

2 Biến trạng thái (State Variables - SVs)

Biến trạng thái là các đại lượng ràng buộc thiết kế, chúng được xem là các biến phụ thuộc và chúng thường là các hàm của biến thiết kế Một biến trạng thái có thể có cận trên và cận dưới hoặc chỉ có một cận trên hoặc dưới Trong ví dụ trên chúng ta có hai biến trạng thái là ứng suất σ và độ võng δ của dầm Cả hai biến đều có cận trên là ứng suất σmax và độ võng δmax Chúng

ta có thể khai báo 100 biến trạng thái trong bài toán tối ưu bằng ANSYS

3 Hàm mục tiêu (Objective Function)

Hàm mục tiêu cũng là dạng biến phụ thuộc mà chúng ta muốn đạt giá trị tối ưu Nó có thể là hàm của các biến thiết kế, có nghĩa là thay đổi các giá trị biến thiết kế dẫn đấn thay đổi giá trị hàm mục tiêu Trong ví dụ nói trên hàm mục tiêu là khối lượng tổng thể của dầm, đó là đại lượng mà chúng ta cần cực tiểu hóa Ta chỉ có thể khai báo một hàm mục tiêu duy nhất trong bài toán tối ưu bằng ANSYS, điều này có nghĩa là khi ta muốn tối ưu khối lượng rồi thì

ta không thể khai báo thêm hàm mục tiêu khác chẳng hạn như chuyển vị hay ứng suất

Các biến thiết kế, biến trạng thái, hàm mục tiêu được gom thành một tập và được gọi là các biến tối ưu Trong ANSYS, những biến này được khai báo với một tên do người sử dụng đặt, gọi là các thông số Người sử dụng phải xác định rõ đại lượng nào tương ứng với biến thiết kế, đại lượng nào là biến trạng thái, và đại lượng nào là hàm mục tiêu

4 Tập thiết kế (Design set)

Tập thiết kế là tập hợp các giá trị của các thông số được khai trong quá trình tạo mô hình bài toán Điển hình, tập thiết kế được đặc trưng bằng các biến tối ưu (biến thiết kế, biến trạng thái, hàm mục tiêu), tuy nhiên, tất cả các thông số trong quá trình tạo mô hình (các thông số không nằm trong loại biến tối ưu) cũng được lưu trong tập thiết kế

5 Thiết kế khả thi và không khả thi (Feasible and Infeasible design)

Thiết kế khả thi (feasible design) là tập thỏa tất cả các điều kiện ràng buộc, ràng buộc về biến trạng thái cũng như ràng buộc về biến thiết kế Chỉ cần một trong các ràng buộc không thoả thì tập thiết kế đó được gọi là thiết kế không khả thi (infeasible design)

6 Thiết kế tốt nhất (Best design)

Tập thiết kế tốt nhất là tập thỏa mọi điều kiện ràng buộc và khi thay vào hàm mục tiêu thì hàm mục tiêu đạt giá trị tối ưu Nếu mọi tập thiết kế không khả thi (infeasible) thì tập thiết kế tốt nhất được chọn là tập gần tập khả thi nhất, bất kể đến giá trị của hàm mục tiêu

7 Tập phân tích (Analysis file)

Tập phân tích là tập dữ liệu đầu vào của ANSYS (tập này được tạo từ nhiều cách khác nhau) chứa toàn bộ các bước phân tích liên tiếp nhau (tiền xử lý, giải bài toán, hậu xử lý) Nó phải chứa mô hình theo dạng các thông số, (nghĩa là mô hình được định nghĩa bằng các thông số, và các thông số này được gán cho một giá trị nhất định nào đó), các thông số này được sử dụng để biểu diễn các đầu vào và đầu ra mà các đại lượng đầu vào và đầu ra này sẽ được sử dụng như là các biến thiết kế, biến trạng thái hay hàm mục tiêu Từ tập này, một file lặp tối ưu (optimization loop file) tự động được tạo ra và được dùng bởi trình optimizer để thực hiện vòng lặp

8 Vòng lặp (Loop)

Vòng lặp hay loop là tập lưu chuyển trong suốt quá trình phân tích bài toán Đầu ra của loop cuối cùng được lưu vào file “.OPO”

9 Bước lặp tối ưu (Optimization iteration)

Bước lặp tối ưu hay gọi đơn giản là bước lặp, là một hoặc nhiều vòng lặp phân tích (analysis loop), kết quả mỗi bước lặp được đưa vào thành tập thiết kế mới Điển hình, mỗi bước lặp ứng với một loop Tuy nhiên, với phương pháp first_order, mỗi bước lặp có thể có nhiều loop

10 Dữ liệu cơ sở tối ưu (Optimization Database)

Dữ liệu cơ sở tối ưu chứa môi trường tối ưu hiện hành, tức bao gồm các biến tối ưu, các thông số, tất cả các chi tiết tối ưu và các tập tối ưu đã được tính toán Dữ liệu cơ sở có thể lưu trữ vào file “.OPT”, hoặc được hồi phục trở lại bất cứ lúc nào trong khi đang xử lý

1.4.4.3 Thiết lập bài toán tối ưu trong Ansys

Có hai phương pháp để thiết lập bài toán tối ưu trong ANSYS: một là thiết lập file lệnh cho ANSYS đọc vào gọi là batch run, hai là dùng lệnh trực tiếp trên menu công cụ của ANSYS

- Giải bài toán bằng cách batch run thì thích hợp cho những bài toán phức tạp, tốn nhiều thời gian

- Giải bài toán bằng menu thì ta có thể thấy kết quả trực tiếp, thích hợp cho các bài toán nhỏ Các hoạt động trong optimizer có thể được thực hiện bằng các lệnh trực tiếp do đó cho phép chúng ta thăm dò được không gian thiết kế trước khi thực hiện tối ưu.Vì vậy chúng ta có thể kiểm soát và có thể làm giảm không gian thiết kế, đạt đến kết quả nhanh chóng hơn

Sau đây là quy trình thiết kế bài toán tối ưu trong ANSYS

1 Tạo analysis file sử dụng trong suốt vòng lặp

Xây dựng mô hình bài toán theo các tham số (/PREP7), ví dụ khai báo các keypoint bằng các tham số L, với L là số gán trước

Giải bài toán mô hình theo tham số (/SOLU)

Gọi ra và gán các đại lượng tính được thành các tham số mà chúng có thể được dùng sau này là các biến trạng thái hoặc hàm mục tiêu (/POST1/POST26)

2 Thiết lập các thông số trong ANSYS database tương ứng các thông số

trong Analysis file, bước này là điển hình nhưng không bắt buộc (/OPT)

3 Đưa vào modul optimization, xác định Analysis file (/OPT)

4 Khai các biến tối ưu (biến thiết kế, biến trạng thái, hàm mục tiêu

(/OPT)

5 Chọn phương pháp tối ưu (/OPT)

6 Xác định số vòng lặp (/OPT)

7 Thực hiện bài toán tối ưu (/OPT)

8 Xem các kết quả (design set)

1.4.5 Nguyên tắc lựa chọn các biến tối ưu

Có nhiều nguyên tắc giúp ích cho ta trong việc định nghĩa các biến thiết kế, biến trạng thái và hàm mục tiêu Sau đây là các nguyên tiêu biểu trong việc lựa chọn các biến tối ưu

1.4.5.1 Chọn lựa các biến thiết kế

Thông thường các biến thiết kế là các thông số hình học (geometry

parameter) như là chiều dài, độ dày, đường kính hoặc là các toạ độ trong mô

hình Do đó chúng phải có ràng buộc là phải dương Có vài điều cần thiết đối

với biến thiết kế như sau:

• Dùng càng ít biến thiết kế càng tốt Có quá nhiều biến thiết kế thì dẫn đến làm tăng xác suất của việc hội tụ cục bộ chứ không thật sự là hội tụ toàn thể, và ngay cả làm tăng xác suất không hội tụ (phân kỳ) của bài toán Đồng thời rõ ràng là nếu càng có nhiều biến thiết kế thì cần nhiều lần lặp, do đó làm tăng thời gian tính toán Một phương pháp để làm giảm số biến thiết kế là biểu diễn chúng trong các biểu thức tương quan nhau Điều này được

xem như là liên kết các biến thiết kế với nhau

Việc liên kết các biến thiết kế lại không thể thực hiện được nếu

các biến thật sự là độc lập với nhau Tuy nhiên, từ cách ứng xử của cấu trúc, ta có thể tạo ra các liên kết cho các biến thiết kế Ví dụ như ta biết rằng hình dạng tối ưu là phải đối xứng, khi đó ta chỉ dùng một biến thiết kế cho các thành phần đối xứng

• Cần xác định một tầm (range) hợp lý cho các biến thiết kế Một tầm quá rộng sẽ dẫn đến một không gian thiết kế tồi, ngược lại một tầm hẹp lại có thể có những thiết kế tốt Chú ý rằng chỉ có các giá trị dương mới được

phép, và do đó bắt buộc phải xác định một giới hạn trên

• Cần chọn lựa các biến thiết kế sao cho chúng tạo ra một thiết kế tối ưu thiết thực Ví dụ, chúng ta cần thực hiện tối ưu hoá trọng lượng của một dầm với một biến duy nhất là X1 như hình 2.6(a) Tuy nhiên ta thấy rằng nếu dầm có độ “tapper” thì sẽ cho trọng lượng nhỏ hơn Do đó ta có thể chọn 4 biến thiết kế là X1 Ỉ X4 như hình 2.6(b) Tuy nhiên, điều này có thể gây ra một cực tiểu cục bộ không như ý muốn (hình 2.6(c)) Ta có thể đổi cách chọn lựa các biến bằng cách tạo các mối liên hệ như hình 2.6(d) Như vậy, tránh chọn lựa các biến có thể gây ra các thiết kế không thực tế hoặc không như mong muốn

(b)

X1 X2

X3 X4

X1

(a)

(d)

X2 X3

X4

X1

(c)

X1 X2

X3

X4

1.4.5.2 Chọn lựa các biến trạng thái

Biến trạng thái thường là các đại lượng đáp ứng ràng buộc thiết kế Vài

ví dụ của biến trạng thái như ứng suất, nhiệt độ, mật độ dòng nhiệt, tần số dao động, độ võng, năng lượng hấp thụ … Một biến trạng thái cũng không bắt buộc phải là một đại lượng được tính toán bởi ANSYS, mà ta thấy rằng bất kỳ thông số nào cũng có thể được định nghĩa như là một biến trạng thái Có vài điều cần thiết đối với biến thiết kế như sau:

• Khi định nghĩa biến trạng thái (bằng lệnh OPVAR), nếu để trống

ở phần MIN thì có nghĩa là không có giới hạn dưới Tương tự, nếu để trống ở phần MAX thì có nghĩa là không có giới hạn trên Nếu như điền giá trị zero vào

một trong hai phần này thì có nghĩa là có cận trên hoặc cận dưới là zero

• Nên chọn vừa đủ số lượng biến trạng thái để ràng buộc của bài toán trở nên có ý nghĩa Ví dụ như trong bài toán ứng suất, nếu chỉ chọn ứng

suất lớn nhất trong một phần tử nào đó thì không phải là chọn lựa tốt, vì vị trí

ứng suất lớn nhất sẽ thay đổi từ vòng lặp này sang vòng lặp khác Cũng cần

nên tránh một trường hợp cực đoan khác là chọn ứng suất trong tất cả các phần

tử làm biến trạng thái Phương pháp tốt nhất là nên chọn ứng suất tại các vị trí mấu chốt làm biến trạng thái

• Đối với phương pháp xấp xỉ subproblem, nếu có thể nên chọn biến trạng thái sao cho chúng có mối liên hệ tuyến tính, hoặc bậc hai với các biến thiết kế Ví dụ như biến trạng thái G = Z1/Z2 có ràng buộc G < C (với Z1

và Z2 là các biến thiết kế, C là hằng số) có thể sẽ dẫn đến một xấp xỉ không tốt

vì G tỉ lệ nghịch với Z2 Hãy sữa lại biến trạng thái G như sau G = Z1 – (C*Z2) với ràng buộc G < 0, khi đó sự xấp xỉ cho biến trạng thái sẽ chính xác

• Nếu một biến trạng thái có cả cận trên và cận dưới, nên xác định

tầm (range) của biến trạng thái một cách hợp lý (giá trị MIN và MAX trong

lệnh OPVAR) Tránh khai báo một tầm quá hẹp, bởi vì các thiết kế khả thi có

thể không tồn tại trong tầm này Ví dụ, biến trạng thái ứng suất có tầm từ 500

Ỉ 1000 psi sẽ tốt hơn tầm từ 900 Ỉ 1000 psi

Nếu có một ràng buộc đẳng thức được thiết lập (chẳng hạn như tần

số = 386.4 Hz), nên định nghĩa hai biến trạng thái với cùng giá trị như vậy và dùng hai giá trị này để quan trắc giá trị mong muốn

1.4.5.3 Chọn lựa hàm mục tiêu

Hàm mục tiêu là đại lượng mà ta cố gắn để cực tiểu hoá hoặc cực đại hóa Có vài điều cần thiết đối với biến thiết kế như sau:

• Chương trình ANSYS luôn luôn cực tiểu hoá hàm mục tiêu Do

đó nếu bài toán của ta là cực đại hoá một đại lượng x nào đó, cần phải chuyển đổi bài toán lại dưới dạng x1 = C – x hay x1 = 1/x, với C là một số lớn hơn nhiều

so với giá trị cần đạt được của x Biểu diễn bài toán ở dạng C – x thì thường là cách tốt hơn so với 1/x, vì 1/x là một mối quan hệ tỉ lệ nghịch, do đó không thể

có sự xấp xỉ chính xác trong phương pháp xấp xỉ subproblem

• Hàm mục tiêu nên có giá trị dương trong suốt quá trình tính toán

tối ưu, vì giá trị âm có thể gây ra một số vấn đề số học Do đó để không cho giá trị âm xuất hiện trong quá trình tính toán, đơn giản là ta cộng thêm một hằng số dương đủ lớn vào hàm mục tiêu (đại lượng này phải lớn hơn giá trị lớn

nhất (về trị tuyệt đối) có thể của hàm mục tiêu)

1.5 Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu

1.5.1 Mục tiêu đề tài

Để đáp ứng ngày càng cao trong lĩnh vực thiết kế máy, tối ưu hoá thiết kế sẽ giúp cho nhà thiết kế đạt được một cách gần đúng nhất hình dáng tối ưu của các chi tiết trong công đoạn thiết kế mô phỏng bằng máy tính

Trong quá tình tính toán các chi tiết máy có hình dáng phức tạp, việc ứng dụng phương pháp số để giải quyết bài toán bền là một hướng phát triển tỏ

ra rất hiệu quả Do đó, cần kết hợp các quá trình trên để tạo ra một sản phẩm tốt nhất là cần thiết

Ta có thể đưa các loại hình dáng hình học của kết cấu về dưới dạng cơ bản để nghiên cứu:

- Dạng thanh, dầm

- Dạng tấm

- Dạng kết hợp

Mô hình kết cấu ban đầu dược xây dựng dựa trên phân tích các điều kiện làm việc của kết cấu, sau đó sử dụng phầm mềm tối ưu để xác định lại một số các thông số hình dáng theo các trạng thái làm việc trong một miền giới hạn nào đó

Đưa ra mô hình tối ưu

Để xây dựng mô hình, ta có thể sử dụng phần mềm AutoCAD Tính toán kết cấu bằng cách đưa mô hình về dạng phần tử hữu hạn và giải quyết bài toán tối ưu bằng phần mềm Ansys

1.5.2 Phạm vi nghiên cứu

Tối ưu hoá là một phạm vi nghiên cứu rộng lớn, liên quan đến nhiều lĩnh vực Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài, các vấn đề chỉ tập trung trong một số lĩnh vực sau:

- Nghiên cứu lý thuyết tối ưu

- Phân tích quy trình thiết kế máy

- Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn một số chi tiết máy cơ bản

- Tính toán tối ưu dựa trên mô hình phần tử hữu hạn

Các công cụ thực hiện nghiên cứu:

- Xây dựng mô hình thiết kế: Phần mềm AutoCAD

- Xây dựng mô hình và tính toán tối ưu: Phần mềm Ansys

Để thuận tiện trong quá trình nghiên cứu, tác giả đã chọn một thiết bị máy móc cụ thể để tính toán, đó là: Máy đóng gáy hai đầu

1.6 Kết luận

Từ nội dung nghiên cứu và trên cơ sở tuần tự các bước thực hiện thiết kế tối ưu, nhà thiết kế có thể tự tin đưa ra các thông số hình dáng ban đầu một cách ngẫu nhiên trong phạm vi tính toán, sau đó tối ưu để nhận được các kết quả cuối cùng hợp lý nhất

CHƯƠNG II

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Bài toán tối ưu hoá tổng quát

2.1.1 Phát biểu bài toán

Nghiên cứu lý thuyết của bài toán tối ưu:

- Sự cần thiết của tối ưu trong thiết kế các chi tiết máy

- Các thủ tục và phương án giải quyết vấn đề

Lý thuyết tính toán trong thiết kế chi tiết máy:

Nghiên cứu lý thuyết tính toán trong thiết kế các chi tiết máy để xác định các thông số đầu vào của một bài toán tối ưu, từ đó nghiên cứu phương án giải quyết bài toán tối ưu trong thiết kế các chi tiết máy

2.1.2 Các yếu tố của một bài toán tối ưu

Một bài toán tối ưu có ba yếu tố cơ bản sau:

- Trạng thái: Mô tả trạng thái của hệ thống cần tối ưu hoá

- Mục tiêu: Đặc trưng cho tiêu chuẩn và hiệu quả mong muốn

như: chi phí nhỏ nhất, hiệu suất cao nhất, trọng lượng nhỏ nhất, thời gian ngắn

nhất, ứng suất nhỏ nhất, …

- Ràng buộc: Thể hiện các điều kiện kinh tế, kỹ thuật, … mà hệ thống phải thoã mãn

2.1.3 Phân loại các bài toán tối ưu

2.1.3.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính:

Hệ thống ở trạng thái tĩnh có biến trạng thái:

A = (aij), i = 1 m; j = 1 n; b = [b1, b2, b3, …, bm]T

Bài toán:

ràng buộc (2.3) sao cho hàm mục tiêu (2.2) đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất

T n

x x x x

x* =[ 1*, *2, *3, , *]

2.1.3.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến

Hệ thống ở trạng thái tĩnh Tìm trạng thái tối ưu x* khi hàm mục tiêu được biểu diễn bởi một hàm phi tuyến f(x) hoặc có ít nhất nhất có một ràng buộc phi tuyến:

gr(x) ≤ 0, r = 1 … m

2.1.3.3 Bài toán cực trị phiếm hàm

Hệ thống ở trạng thái tĩnh hoặc động Biến trạng thái là z(x) với x là biến độc lập Mục tiêu được diễn đạt bởi phiếm hàm mục tiêu:

dx x z z L x

(

với z = [z1(x), z2(x), … , zn(x)]T; z’ = [ (x), z'1 z'2(x), … , z' n(x)]T;

dx

dz x

i ( )='

Ràng buộc có thể là các hàm phi tuyến, các phương trình đại số hoặc các phương trình vi phân

2.2 Quy hoạch tuyến tính

Quy hoạch tuyến tính là dạng toán thường dùng để tính toán tối ưu cho các bài toán như: bài toán vận tải, bài toán phân phối kế hoạch sản xuất, bài toán thực đơn, bài toán sử dụng vật tư

2.2.1 Phát biểu bài toán quy hoạch tuyến tính

2.2.1.1 Định nghĩa

Quy hoạch tuyến tính dùng để nghiên cứu phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất (min) hoặc giá trị lớn nhất (max) của một hàm tuyến tính theo một số biến, thoả mãn một số hữu hạn ràng buộc được biểu diễn bằng hệ phương trình và bất phương trình tuyến tính

2.2.1.2 Phân loại

a Dạng chính tắc : ràng buộc ở dạng đẳng thức

n a a

a a

b

1

Tìm các giá trị tối ưu [ T sao cho hàm mục tiêu

n

x x

x* = 1*, , *]

=

n j j

j x c

x

b x A

b Dạng chuẩn : ràng buộc ở dạng bất đẳng thức

Với các ràng buộc:

x

b x A

2.2.1.3 Đưa bài toán quy hoạch thực nghiệm về dạng chuẩn hoặc dạng chính tắc

a Thêm vào các biến phụ: w = [xn+1, … , xn+m]T

khi đó A.x ≤ b → A.x + E.w = b, với E là ma trận đơn vị

b Nếu ràng buộc ở dạng A.x ≥ b: nhân hai vế với (-1):

khi đó ta có: A

j n

c Nếu ràng buộc đẳng thức: ràng buộc Ax=b có thể thay thế bằng hai

ràng buộc bất đẳng thức Ax ≤ b và –Ax ≥ –b

2.2.1.4 Quan hệ giữa bài toán min và bài toán max

Trong bài toán min: Z = c.x → min

Đặt Z1 = -c.x → max

Gọi x* là trạng thái tối ưu của Z1 và –cx* = max(Z1) khi đó:

-cx* ≥ -cx hay cx* ≤ cx chứng tỏ: x cũng là trạng thái tối ưu của bài toán min

min(Z) = cx* = - max(Z1) = max(-Z1)

2.2.2 Tính đối ngẫu và định lý cơ bản của quy hoạch tuyến tính

2.2.2.1 Bài toán đối ngẫu

Bài toán dạng chuẩn: tìm x = [x1, , xn]T để hàm mục tiêu:

x

b x A

Bài toán đối ngẫu tương đương với bài toán dạng chuẩn

Tìm y = [y1, , yn]T để hàm mục tiêu V = b.y → min

y

c y

2.2.2.2 Định lý cơ bản của bài toán quy hoạch tuyến tính

Phương án tối ưu của quy hoạch tuyến tính chứa một số biến dương đúng bằng số các ràng buộc dạng đẳng thức độc lập được thoả mãn, các biểu thức còn lại có giá trị 0

2.2.3 Phương pháp đơn hình

Phương pháp này do nhà toán học Mỹ G B Dantzig đưa ra năm 1948 Nôi dung: tìm đỉnh tối ưu của đa diện các nghiệm cho phép bằng phương pháp lần lượt thử các đỉnh của đa diện Để việc thử không phải mò

mẫm, người ta đưa ra thuật toán để đi từ nghiệm xấu hơn tới nghiệm tốt hơn tức là đi dần tới nghiệm tối ưu

2.2.3.1 Nội dung phương pháp đơn hình

Giả sử có m ràng buộc độc lập được cho ở dạng chính tắc:

a Chọn biến cơ sở: đầu tiên ta chọn một điểm tuỳ ý của giao diện các

nghiệm cho phép, đó là tập n số (x1, , xn) Theo định lý cơ bản của quy hoạch tuyến tính thì có m số dương, còn những số khác bằng 0; gọi các biến dương của điểm xuất phát là biến cơ sở:

(x1, x2, , 0, 0, , 0)

b Tìm nghiệm suất phát (nghiệm thử thứ nhất): thay các biến cơ sở vào

ràng buộc (2.4) được m phương trình chứa m ẩn số:

+

=+

+

m m mm m

m m

b x a x

a

b x a x

1 1

1 11

Từ đó tìm được nghiệm xuất phát: (x1(0),x2(0), ,x m(0))

2 2 ) 0 ( 1

c Chọn nghiệm thử nghiệm thứ hai:

* Thử thêm vào biến xm+1, lúc này ràng buộc có dạng:

++

m r

b x

a x a x

a x

a r r rm m r m m r

,,2,1

2 2 1

Hệ (2.6) gồm m phương trình với m+1+ biến, (2.6) có nghiệm đơn trị khi các phương trình tạo thành hệ phụ thuộc, do đó cột cuối cùng phụ thuộc tuyến tính vào các cột còn lại là với hệ số y:

ar,m+1 = y1ar1 + + ymarm

hệ (4) có nghiệm duy nhất là: y1(0), y2(0), …, ym(0)

* Lấy các số hạng tương ứng của phương trình (2.6) trừ đi bội số của (2.7) kí hiệu bội số đó là λ > 0, ta có:

−+

+

−+

m r

b a

y x a y

x a y x

,,2,1

)(

)(

)

(2.7)

Hệ (2.7) là biến thể của (2.6) chỉ có các ẩn là khác nhau

* Chọn nghiệm thử thứ hai cho (2.7) là:

(2.8)

λλ

d Cách xác định biến bằng 0 trong biểu thức (2.8):

* Tính giá trị hàm mục tiêu với nghiệm thử thứ nhất và thử nghiệm thứ hai:

2 2 ) 0 ( 1

2 )

0 ( 2 2 ) 0 ( 1 )

0 ( 1

- ΔZ1 < 0; nghiệm mới xấu hơn nghiệm xuất phát

- ΔZ1 > 0; nghiệm mới tốt hơn nghiệm xuất phát

* Khi chọn được nghiệm mới bằng hoặc tốt hơn nghiệm xuất phát, ta đưa nó vào cơ sở và cần phải loại bỏ bớt một nghiệm trong biến xuất phát (theo định lý cơ bản chỉ có m nghiệm dương) Giả thiết đã đưa biến mới thứ m+1 vào cơ sở, khi đó có thể viết biến mới của phương án theo (2.8) Một biến thứ i nào đó phải thoã mãn phương trình:

, từ đó 0

0 ) 0

đối với các biến i ≠ j, thì: x i(0) −λy i0 >0 (2.11)

từ đó suy ra phải loại trừ biến nào ứng với λ > 0 và nhỏ nhất:

) 0 (

) 0 (

min0

e Thực hiện liên tục các thuật toán ở trên: đưa vào các biến chưa dùng

m+2, m+3, , tính ΔZ2, ΔZ3, cho đến khi khử hết các biến cơ sở

Trong hàm mục tiêu Z = c.x đã giả thiết các hệ số ci > 0 nhưng người ta giả thiết tồn tại cả những biến “có hại“ tức là hệ số ci < 0 Điều đó giúp ích cho nghiên cứu và không ảnh hưởng đến bước giải

f Sơ đồ giải thuật cho phương pháp đơn hình

Bắt đầu

Số liệu: A, B, c Chọn biến cơ sở

Tính nghiệm xuất phát và đánh giá ΔZi, I = 1, 2, …, r

Mọi ΔZi< 0 Nghiệm cơ sở là

và đánh giá ΔZi

2.2.3.2 Thuật toán đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát

a Phát biểu bài toán

Hàm mục tiêu: f(x) = ∑

j j

j x

c → min; j = 1, 2, , n

j j

b Biến đổi các ràng buộc và hàm mục tiêu

Đối với ràng buộc: ∑a ij x j ≤b i ta phải thêm biến bù xn+1 ≥ 0

Đối với ràng buộc: ∑a ij x j =b i ta phải thêm biến giả tạo xn+1 ≥ 0

Đối với ràng buộc: ∑a ij x j ≥b i ta phải thêm giả tạo rồi thêm biến bù Biến bù ứng với ràng buộc ≤ được đánh từ n+1 đến n+m1; các biến giả tạo ứng với ràng buộc ≥ và bằng được đánh số từ n+m1+1 đến n+m; biến bù ứng với ràng buộc ≥ được đánh số từ n+m+1 đến n+m+m2

Trong hàm mục tiêu, các hệ số ứng với biến bù xj là cj = 0, các hệ số ứng với biến giả tạo xj là cj > 0 đủ lớn, có thể chọn cj = M = max{a ij,b i,c j }

2.3 Quy hoạch lồi

2.3.1 Bài toán quy hoạch lồi tổng quát

x

L

λ(λ*, x*)

Hình 2.1

2.3.1.1 Phát biểu bài toán

Tìm x sao cho hàm mục tiêu:

f(x) → min Các ràng buộc:

x∈ C; gi(x) ≤ 0; i = 1, , m

Trong đó: C là tập lồi

f, g, là các hàm lồi trên C

2.3.1.2 Điều kiện tối ưu

a Miền nghiệm chấp nhận được

D = {x∈ C; gi(x) ≤ 0}; i = 1, , m

b Điểm yên (hình 2.1)

=

m i i

i g x

1

)(

- Điểm yên của hàm Lagrange L(x,λ) là điểm (x*, λ*) với x∈D; λ≥0 sao cho:

L(x, λ*) ≤ L(x*, λ*)≤ L(x*, λ)

c Điều kiện cần và đủ tối ưu

Có hai định lý để nhận biết x* là giá trị tối ưu:

Định lý 1:

Điểm x* là tối ưu khi và chỉ khi fz (x*) = (∇f(x*),z) ≥ 0; ∀Z ∈D(x*)

Tức là nếu đi từ x* theo mọi hướng mà f(x) đều tăng thì f(x) đạt giá trị min tại x*

Định lý 2: (định lý Kuhn – Tucker, phát biểu năm 1951)

Giả sử bài toán quy hoạch lồi thoã mãn điều kiện Slater:

∃x0 ∈ C: gi(x0) < 0; i = 1, 2, , m Điều kiện cần và đủ để x* trở thành nghiệm tối ưu là tồn tại một vectơ

m chiều, không âm:

2.3.2 Quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính

2.3.2.1 Phát biểu bài toán

Tìm min f(x) với các ràng buộc tuyến tính:

; i = 1, 2, , m

j

i j

ij x b

xj ≥ 0; j = 1, 2, , n trong đó: bi ≥ 0; miền nghiệm chấp nhận được D xác định bởi các ràng buộc là tập lồi (bị chặn); hàm f(x) khả vi, liên tục theo mọi biến

2.3.2.2 Phương pháp Frank – Wolfe

z

) 0 (

x

) (

ˆ k

x

) 1 (

- Giải bài toán quy hoạch tuyến tính

- Tối ưu một tham số để chọn độ dài của

bước

- Kiểm tra định lý tối ưu (Định lí 1)

* Trình tự ở bước lặp k (hình 2.2)

- Điểm xuất phát x(0) được chọn trước, do đó ở bước lặp k ta có điểm x(k) Tính ∇f(x(k)) và (x – x(k))

- Giải bài toán quy hoạch tuyến tính thứ k:

Tìm min: {〈∇f(x(k)), (x – x(k))〉}; x∈ D Từ đó tìm được Chọn hướng

) (

Nếu 〈∇f(x(k)), (x – x(k))〉 ≥ 0 thì x* = x(k) → nghiệm tối ưu là x*

Nếu 〈∇f(x(k)), (x – x(k))〉 ≤ 0 thì đạo hàm theo hướng z âm → nếu

đi từ xk tới thì f(x) giảm → hướng đi theo z là đúng → chọn bước đi λ tối

ưu

) (

Tiếp tục với x(k+1), giải bài toán quy hoạch tuyến tính thứ k+1, tìm được

Như vậy, khi k → ∞ thì f(x(k)) hội tụ về min f(x)

2.3.3 Quy hoạch lồi với ràng buộc phi tuyến

2.3.3.1 Phát biểu bài toán

Tìm x sao cho hàm mục tiêu: f(x) → min

Các ràng buộc: gi(x) ≤ 0; i = 1, 2, , m

Trong đó: f, gi là hàm lồi khả vi và các đạo hàm riêng liên tục

2.3.3.2 Phương pháp Gradient

- Tìm điểm xuất páht x(0) thoã mãn gi(x(0)) < 0 đối với các gi phi tuyến

Chọn điểm a ∈ D và xây dựng các nón có hướng chấp nhận dược tại a:

P(a) = {x: 〈∇gi(a), (x-a)〉 ≤ -gi(a)}; i = 1÷m Hướng chấp nhận được tại a: z = (x-a) + ε(x(0) - a); ε > 0

Ở bước k với k ≥ 0, đã tìm được x(k) ∈ D → xây dựng được nón P(x(k))

- Giải bài toán quy hoạch tuyến tính phụ:

Có hai trường hợp:

* σk ≥ 0, kết luận x(k)là tối ưu

* σk < 0, kết luận x(k) chưa là tối ưu, hướng chấp nhận được là:

Sau khi xác định được x(k+1), ta tiếp tục quá trình

2.3.4 Quy hoạch lõm

2.3.4.1 Hàm lõm

Hàm F(x) là lõm khi hàm –F(x) là lồi

Hàm F(x) là tựa lõm khi:

g(λx1 + (1-λ)x2) ≥ λg(x1) + (1-λ)g(x2)}

∀ x1, x2 ∈ Rn và ∀λ: 0 < λ <1

2.3.4.2 Bài toán quy hoạch lõm

Tìm min của hàm f(x), với các ràng buộc:

Aix + bi ≤ 0; i = 1, 2, , m;

xj ≥ 0; j = 1, 2, , n

Trong đó x = [x1, x2, , xn], Ai = [ai1, ai2, …, ain] là càc vectơ dòng n chiều, bi là số thực; miền nghiệm chấp nhận được D – xác định bởi các hàm ràng buộc – là một đa diện nằm trong đơn hình S – xác định bởi:

2.3.5 Quy hoạch toàn phương

2.3.5.1 Phát biểu bài toán

Tìm min f(x) = min [〈C, x〉 +

2

1 〈P.x, x〉]

Với các ràng buộc: gi(x) ≤ 0; i = 1 ÷ m

Trong đó: P = (Pij) là ma trận vuông đối xứng Khi P xác định không âm thì f(x) là hàm lồi, gi(x) có dạng tuyến tính

2.3.5.2 Phương pháp giải

- Dùng phương pháp Frank – Wolfe

- Aùp dụng định lý Kunh – Tucker, đưa bài toán về tìm điểm yên (x*, λ*) sao cho:

2.4 Quy hoạch phi tuyến không bị ràng buộc

2.4.1 Quy hoạch phi tuyến

Bài toán quy hoạch phi tuyến (QHPT) tổng quát tổng quát: tìm giá trị tối

ưu (max hoặc min) của hàm mục tiêu f(x) với các ràng buộc gi(x) ≤ bi; i = 1÷m; trong đó x = [x1, , xn]T ∈ Rn; các hàm f(x) và gi(x) là phi tuyến

Các tập nghiệm chấp nhận được:

D = {x ∈ Rn : gi(x) ≤ bi; 1÷m}

Tối ưu toàn bộ (tối ưu tuyệt đối):

max: f(x*) ≥ f(x) ; x ∈ D

min: f(x*) ≤ f(x) ; x ∈ D

x* - nghiệm tối ưu; f(x*) – giá trị tối ưu của f(x)

Tối ưu địa phương (tối ưu tương đối)

Nếu tồn tại lân cận V của x* sao cho:

D

E F

Hình 2.3

Trong hình 2.3, ta có:

Trong quy hoạch lồi thì tối ưu địa phương cũng là tối ưu toàn thể Trong quy hoạch phi tuyến tổng quát thì hiển nhiên tối ưu toàn thể cũng là tối ưu địa phương, điều ngược lại không đúng

Trong quy hoạch tuyến tính, hàm mục tiêu đạt giá trị tối ưu tại điểm cực biên của tập D Trong quy hoạch phi tuyến, hàm mục tiêu có thể đạt giá trị tối

ưu tại trong hoặc trên miền của D và có thể tồn tại một số giá trị tối ưu địa phương

Không có phương pháp chung nào có hiệu quả để giải bài toán quy hoạch phi tuyến Nói chung, các phương pháp có thể chia làm hai nhóm:

- Các phương pháp gradient có cùng đạo hàm

- Các phương pháp trực tiếp không dùng đạo hàm

2.4.2 Điều kiện tối ưu của QHPT không bị ràng buộc

2.4.2.1 Phát biểu bài toán

Tìm x* để f(x) → min, x ∈ En

x = [x1, , xn]T

2.4.2.2 Điều kiện cần của tối ưu địa phương

- f(x) khà vi tại x*

- ∇f(x*) = 0 nghĩa là x* là điểm dừng

2.4.2.3 Điều kiện đủ để có cực tiểu địa phương

Ngoài điều kiện cần còn thêm điều kiện đủ:

H = ∇2f(x*) > 0, nghĩa là ma trận Hesse xác định dương

Lưu ý rằng: ma trận đối xứng A = (aij) cấp n là xác định dương khi và chỉ khi định thức cấp n và mọi định thức ứng với phần tử chéo chính đều dương

n

n n

x x

f x

x

f x

x f

x x

f x

x

f x

x f

x x

f x

x

f x x f

2

2

2

1 2

2

2

2 2

2

1 2

2

1

2

2 1

2

1 1 2

a a

a a

> 0, , Δ2=

22 21

12 11

a a

a a

> 0; Δ1 = a11 > 0

Điều kiện đủ với cực đại địa phương:

- f(x) khà vi tại x*

- ∇f(x*) = 0 nghĩa là x* là điểm dừng

- ∇2f(x*) < 0, nghĩa là ma trận Hesse xác định âm

2.4.3 Các phương pháp dùng đạo hàm

2.4.3.1 Phương pháp gradient

a Gradient của một hàm và hướng gradient

Khi f(x) là một hàm vô hướng thì gradient của f(x) là một vectơ

∇f(x) =

T n x

f x

1

Theo hướng của ∇f(x0) thì hàm f(x) tăng nhanh nhất tại x0 Theo hướng của -∇f(x0) thì f(x) giảm nhanh nhất tại x0

b Nội dung phương pháp Gradient

Phương pháp gradient là một trong những phương pháp phổ biến nhất để tìm cựu tiểu cuả một hàm Phương pháp luôn luôn hội tụ Theo phương pháp này phép lặp lại được tính theo công thức:

x(k+1) = x(k) - λ(k) ∇f(x(k)) trong đó k ≥ 0: bước lặp thứ k

λ(k) > 0: là hệ số xác định độ dài của bước đi theo hướng gradient Ta có thể chọn λ = const cho cả quá trình hoặc xác định các giá trị tối ưu λ(k)

opt cho từng bước theo phương pháp tối ưu 1 tham số

-∇f(x(k)): hướng ngược lại của gradient tại x(k) (hướng dốc nhất tại x(k)) Ban đầu ta chọn {x(k)} tuỳ ý

Nếu dãy {x(k)} không hội tụ ta lấy λ nhỏ hơn Khi λ đủ nhỏ, {x(k)} sẽ hội tụ về giá trị tối ưu x*

2.4.3.2 Phương pháp hướng dốc nhất

Chọn điểm xuất phát, tính ∇f(x(k)); Δf(x (k)) ; s(k) =

)(

)(

) (

) (

k k

x f

x f

ΔΔ

Trong đó: s(k) là vectơ đơn vị theo hướng ∇f(x(k))

2.4.3.3 Phương pháp Newton (dùng gradient cấp 2 của f(x))

Theo phương pháp này ta phải tính ma trận Hesse:

∇2f(x) = H(x) =

j

i x x

x f

n

x x

f x

x f

x x

f x

x f

2

1 2

1

2

1 1 2

2.4.3.3 Phương pháp dùng gradient liên hợp

a Hướng liên hợp

Hai hướng si và sj là liên hợp với nhau, nếu:

(si)T.H.sj= 0 với i ≠ j và (si)T.H.sj> 0 với i = j; H = ∇2f(x)

b Nội dung phương pháp

Chọn x(0) và tính s(0) = -∇f(x(0))

Ở bước thứ k, dùng tối ưu 1 tham tham số xác định min f(x) theo hướng

s(k), xác định được x(k+1)

Tính f(x(k+1)) và ∇f(x(k+1))