Tổng hợp kiến thức ôn tập giữa kỳ

Bài toán tương ứng là tìm y để phương trình (*) có nghiệm... Note: TXĐ không đối xứng  hàm không chẵn, không lẻ..[r]

A HÀM SỐ

1) Dạng 1: Bài tập tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm

x



Giải:





3

1

x

x x

x

 



  



hoặc x 5

Vậy TXĐ: D 4;  \ 5

Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm

2 2

1 1

y

 



 

Giải:

TXĐ: D ℝ

Note: Luôn xác định TXĐ trước khi tìm TGT

Ta có:

2

2

1 1

y

 



  mà

2

1 0,

x     x x ℝ

yx yx y x   x y x  y x  y (*) Bài toán tương ứng là tìm y để phương trình (*) có nghiệm Khi đó:

 Nếu y 1, x 0

 Nếu y 1, ta có:

 2  2

1

3

  

Vậy TGT: 1;3

3

S  

   

2) Dạng 2: Hàm số chẵn, lẻ

Tóm tắt lý thuyết:

1 Hàm số f x  được gọi là chẵn nếu

   

,

x TXD x TXD

f x f x





 Đồ thị đối xứng qua trục tung

2 Hàm số f x  được gọi là lẻ nếu

,

x TXD x TXD



 Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ 0

Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm  2

y x x

Giải:

TXĐ: D ℝ., x ℝ  x ℝ

 TXĐ đối xứng

Ta có:     2

f  x  x  x

2

1

1

  (liên hợp)

Vậy y là hàm lẻ

Note: TXĐ không đối xứng  hàm không chẵn, không lẻ

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: bất kì hàm số f x  nào xác định trong một khoảng đối xứng a a;  cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng một hàm số chẵn và một hàm số lẻ

Giải:

Giả sử: f x     h x g x (1)

Với h x g x   , lần lượt là hàm số chẵn, lẻ xác định trên a a;  Khi đó:

         

f    x h x g  x h x g x (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:      

     

h x g x f x

h x g x f x







 Hệ phương trình cho ta nghiệm duy nhất

1 2 1 2





     



(chứng minh tính duy nhất)

  1     1    

(chẵn) (lẻ)

3) Dạng 3: Hàm tuần hoàn

Định nghĩa: Một hàm số f x  được gọi là tuần hoàn nếu  T R 0 sao cho

f x  f x T x TXD  

Ví dụ: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì của hàm số sau (nếu có) f x Acos x Bsinx

Giải:

 Trường hợp 1: A B 0

f x

  , là hàm hằng nên tuần hoàn nhưng không có chu kì cơ sở

 Trường hợp 2: 2 2

0

A B 

+ Trường hợp 2.1: Nếu   0 f x A là hàm hằng nhưng không có chu kì cơ sở

+ Trường hợp 2.2: Nếu  0 Giả sử T là số dương nhỏ nhất thỏa mãn

f x  f x T  x ℝ

n n

2 n

2

 khi n 1

 

f x

 tuần hoàn với chu kì cơ sở T  2



4) Dạng 4: Hàm hợp

Cho hai hàm số f g, Hàm hợp của f và g, kí hiệu fog là hàm số được định nghĩa:

fog x  f g x  

Ví dụ: Tìm f x  biết: 2

2

Giải:

TXĐ: D  R\ 0 

2

2

2

   

2

f t t

   với t 2

Vậy   2

2

f x x  với x 2

5) Dạng 5: Hàm ngược

Ví dụ cấp 3: ye y x, ln x là 2 hàm ngược, đối xứng nhau qua đường thẳng yx

Ví dụ: Tìm hàm ngược của hàm số sau: 1 

2

y e e

Giải:

Ta có:   1 

0, 2

f x  e e   x ℝ

 

f x

 đơn điệu tăng trên

 

1

f x

  trên ℝ

2

y e e  ye e 

 2

 

2 2

x

x

e y y thoa man







Đổi vai trò x y, ta được hàm ngược:  2 

y x x 

Chú ý: Chúng ta sẽ làm quen 4 hàm lượng giác ngược arcsin , arccos , arccot , arctanx x x x

B GIỚI HẠN

1 Dãy số

Ví dụ 1:

1 lim

1

n

I





 

1

1

1 1

 



Ví dụ 2:

1 2 3

1 2 3

lim

n n

n

n I

n



Ta có:

1

 

1

1

1

n

n

I n

 (Đ/l kẹp)

2 Hàm số

 Vô cùng bé (VCB):  x 0 khi xx0

 Vô cùng lớn (VCL):  x   khi xx0

0



 khử dạng vô định

Ví dụ 1:

2 2

lim

4

x

I





 

lim

x

x x



Ví dụ 2:

3 5

0

lim

x

x I





Khi x 0, ta có:

5

ln 1 cos 1 ~ cos 1 ~



3

x

3

1

cos1

5 2

5

x

x I

x



Ở đây vận dụng các VCB tương đương khi x 0

 x~ sin ~ arcsin ~ tan ~ arctan ~x x x x e x1 ~ ln 1 x

 1 x 1 ~ x, đặc biệt m1 1 ~

m



 1 cos ~ 2

2

x

x

3 Hàm số liên tục

Cho hàm số f x  xác định trong một lân cận nào đó của x0 Nó được gọi là:

(+) liên tục phải tại x0:    

0

0

lim

x x f x f x

() liên tục trái tại x0:    

0

0

lim

x x f x f x

(=) liên tục tại x0:    

0

0 lim

x x f x f x

Ví dụ: Tìm a để hàm số liên tục tại x 0:   2 1, 0

ax bx neu x

f x

a x b x neu x

 

Ta có:   2

f a b  

()  

Để hàm số liên tục tại x 0

1

a

 

C ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Dạng 1: Đạo hàm theo định nghĩa

0

0 0

0

lim

x x

f x f x

f x

x x





 Đặt:   x x x0  x x0 x

0

0

lim

x

f x

x

 

  



Ví dụ 1: Cho hàm số f x  khả vi tại 1, biết rằng    

0

x

x



 Tính f  1

Giải:

0

2 lim

x

x





0

x



7f 1 2f 1 5f 1

  2

1

5

f 

Ví dụ 2: Cho hàm số  

1

x

e x

f x

x



 



Tính f 0

Giải:

Ta có:      

1

0

0

x

f







 

L

t

t

x e e

Dạng 2: Đạo hàm theo công thức

Ví dụ: Cho   sin

, 0

2

x

f x x  x 

Xác định f x

Ta có:   sinx sin lnx  x

f x x e

  sin ln  

sin ln

x x

cos ln

x

Dạng 3: Đạo hàm cấp cao

+   n   n   n

uv  u  v

+ Công thức Leibniz:       

n

uv C u v  Đạo hàm cấp cao cơ bản:

1   

2  2        

3

 

 

  1

1

n

n

n

n

  

4

 

  1

n

n

n

  

5   

2

x  x  

6   

2

x  x 

7   

ln 

8       

 

1 1 !

1

n

n x

x



Ví dụ: Tính  n  

y x với ysin3x

Ta có: 3 3 1

x x x

   3   1  

n

n

D CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

Dạng 1: Định lý Rolle

Nếu hàm số f x :

i) Liên tục trong khoảng đóng  a b;

ii) Có đạo hàm trong khoảng mở  a b;

iii) Thỏa mãn f a  f b 

  có ít nhất một điểm c a b; sao cho f c 0

Ví dụ: Cho 3 số thực a b c, , thỏa mãn a b c  0 CMR: 2

3ax  4bx 5c 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 1; 

Giải:

Xét hàm số   5 4 3

f x cx bx ax thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle trong  0;1 Do đó:

0 0;1 \ 0 5 0 4 0 3 0 0

2

Vậy phương trình 2

3ax  4bx 5c 0 có nghiệm  

0

1 1;

x  

Dạng 2 Định lý Lagrange

Nếu hàm số f x :

i) Liên tục trong khoảng đóng  a b;

ii) Có đạo hàm trong khoảng mở  a b;

thì tồn tại ít nhất một điểm c a b; sao cho f  c f b  f a 

b a



Ví dụ: Cho 0 a b CMR: 2 arccot arccot 2

Giải:

Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f x arccotx trong  a b; ta có:

1

b

f c

  với c a b; , do đó:



E KHAI TRIỂN MACLAURINT

1 Một số khai triển Maclaurint quan trọng

n

n

1



1



n

n

2 1

n

n







n

n

1

n

n



2 Ứng dụng

Ví dụ 1: Tìm khai triển Maclaurint của   2

2

x

f x e 

2

0

2 !

k k

e

k





Ví dụ 2:

2

4 0

2 lim

x

x x I

x



 

Giải: Khai triển Maclaurint của cos x tới bậc 4

2 4

cos 1

2 4!

x   

2 4 2

4 0

lim

x

I

x



    

 

4

4 0

4!

lim

x

x

x



Ví dụ 3: Xác định  10  

0

y với  2

sin

y x

5

3! 5!

x x   x

 

6 10

3! 5!

 

 

  10 10 10

2

0

10!

x

F TIỆM CẬN

Dạng 1: y f x 

Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận của đường cong 2 1

sin

y x

x

Giải: TXĐ: D  \ 0 

Ta có: 2 1 2

x

0

1

x x

x



 Đường cong không có TCĐ

Ta lại có: 2

1 sin 1

lim sin lim

1

x

x

x

 Đường cong không có TCN

Gọi yax b a  0 là TCX khi đó

1 sin

1

a

x

x

x

2 0

t

t t t



 Đường cong có TCX là yx

Dạng 2:

 

2 arctan

x t





  

Ta có: lim lim 2 arctan 1 0

a



Khi đó:

         y x là TCX phải

2 lim lim 2arctan

       y x là TCX trái

G TÍCH PHÂN

Dạng 1: Khai triển

Ví dụ:

arctan 1

1

dx



2

4

5

I  x x x dx x dx x dx x  x C

Dạng 2: Biến đổi biểu thức vi phân

tan

x

2

I x  x dx   x d  x   x C

Dạng 3: Đổi biến

2

x

x







2

x t t   

  

Ta có: dx4sin cost tdt

2 2

2sin

tan

t

2

2

x

x t t

2 arcsin 2

2

x

Dạng 4: Từng phần

I x xdxx d  x 2

2

cos 2 sin sin

2

Dạng 5: Hệ số bất định

2





Phân tích:

2

Đồng nhất thức ta giải được

3 7 5

A B C





  



 



I

   3ln x 1 7 ln x 2 5ln x 4 C    

7

ln

2

C x