Tài liệu tham khảo Toán học cấp 2

Đồ thị luôn cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt... Phương trình của d là đáp án nào sau đây.[r]

- Cách cho một hàm số: công thức, bảng, biểu đồ, đồ thị.

- Sự biến thiên của hàm số:

Cho hàm số f xác định trên D (khoảng, nửa khoảng, đoạn)

+ f được gọi là đồng biến hay tăng trên D nếu:

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

- Hàm số y=f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu:

Cho các số dương p, q và hàm số y=f(x) có đồ thị (G)

+ Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x)+q

+ Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x)-q

+ Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x+p)

+ Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x-p)



Chú ý: Tịnh tiến (G) lên trên (hoặc xuống dưới) q đơn vị rồi tịnh tiến sang trái (hoặc sang phải) p

đơn vị ta được đồ thị hàm số yf x p(  )q

P x y

P x y

x y

x y

x y x





 c

5( 1) 1

x y

5 2( 2) 1

x y

a a

Chú ý: Các hàm hữu tỉ thì phân chia tập xác định dựa vào các giá trị x làm cho mẫu thức bằng 0,

các hàm số bậc hai y ax 2bx c a ( 0) thì phân chia tập xác định qua giá trị 2

b x a



Bài tập minh họa:

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và lập bảng biến thiên của hàm số:

h y x k

11

y x

 giảm trên (1;) b y x x 2 tăng trên 

Bài 7: Lập bảng biến thiên của hàm số cho bởi đồ thị:

Bài 8: Với giá trị nào của m thì hàm số:

a.yf x( ) ( m1)x m 2 3 đồng biến trên 

b yf x( )x2(m1)x2 nghịch biến trên (1;2)

Bài 9: Cho hàm số y ax b x  1c x 2 luôn luôn tăng Chứng minh a>0

Bài 10: Cho hàm số f(x) tăng trên , g(x) giảm trên 

a Chứng minh hàm số h(x)=f(x)-g(x) tăng trên 

b Chứng minh nếu phương trình f(x)=g(x) có nghiệm x0 thì đó là nghiệm duy nhất

Bài 11: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số: yf x( )x2 x 3.

 Chú ý: - Hàm số y=f(x)=0 là hàm số vừa chẵn, vừa lẻ trên D tập đối xứng qua 0.

- Để chứng minh hàm số không chẵn ta chứng minh hoặc miền xác định D không đối xứng

qua 0, hoặc có x0D sao cho (f x0)f x( )0

- Để chứng minh hàm số không lẻ ta chứng minh hoặc miền xác định D không đối xứng

qua 0, hoặc có x0D sao cho (f  x0) f x( )0

BÀI TẬP MINH HỌA:

Bài 12: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a y x 4 4x22 b y2x33x c y x 48x d.y  x 3 x 3

e y2x5 2x 5 f y x  x g 2

21

x x y

x





h y x1 k.y3 x 2 3 x 2 l y5 2x 3 5 2x3

m  

21

11

x y x

DẠNG 4: BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Cho các số dương p, q và hàm số y=f(x) có đồ thị (G).

+ Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x)+q.

+ Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x)-q.

+ Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x+p).

+ Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị ta được đồ thị hàm số y=f(x-p).



Chú ý: Tịnh tiến (G) lên trên (hoặc xuống dưới) q đơn vị rồi tịnh tiến sang trái (hoặc sang phải) p

đơn vị ta được đồ thị hàm số yf x p(  )q

Đối xứng đồ thị (chứng minh như bài tập)

- Nếu lấy đối xứng qua trục Ox thì được đồ thị hàm số y= -f(x)

- Nếu lấy đối xứng qua trục Oy thì được đồ thị hàm số y= f(-x)

- Nếu lấy đối xứng qua gốc O thì được đồ thị hàm số y= -f(-x)

BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 16: Cho đồ thị (H) của hàm số 1

x y x



 ta được đồ thị hàm số nào khi:

a Tịnh tiến lên trên 2 đơn vị

b Tịnh tiến sang trái 3 đơn vị

Bài 17: Cho parabol (P): y x 21 Ta được đồ thị hàm số nào khi tịnh tiến:

a Lên trêm 3 đơn vị rồi sang phải 2 đơn vị

b Xuống dưới 2 đơn vị rồi sang trái 4 đơn vị

Bài 18: Tìm phép tịnh tiến biến đồ thị (d): y=f(x)=5x-3 thành (d’): y=5x+2 bằng 2 cách.

Bài 19: Tìm phép tịnh tiến biến đồ thị:

a (P):y x 2thành (P’): y x 2  6x10

b (H):

2 13

x y

x y x







 DẠNG 5: MỘT SỐ DẠNG KHÁC Bài 20: Cho hàm số

 Hãy xác định m sao cho:

a Đồ thị của hàm số không cắt trục tung

b Đồ thị của hàm số không cắt trục hoành

c Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

Bài 21: Gọi D(k) là đường thẳng có phương trình y=kx-k+1

a Chứng tỏ rằng khi k thay đổi, đường thẳng D(k) luôn đi qua một điểm cố định

b Tìm k để D(k) cắt (C):

4

y x



A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.Hàm số bậc nhất y ax b a  , ( 0)

- Tập xác định D , có hệ số góc a

- Sự biến thiên: - Khi a>0 hàm số đồng biến trên 

- Khi a<0 hàm số nghịch biến trên 

- Đồ thị của hàm số y ax b a  , ( 0) là một đường thẳng y=ax+b:

+ Không song song và không trùng với các trục tọa độ

+ Cắt trục tung tại điểm B(0;b) và cắt trục hoành tại điểm ( , 0)

b A a



Cho hai đường thẳng (d): y=ax+b và (d’): y=a’x+b’ Khi đó:

(d) song song với (d’)

''

(d) cắt (d’)  a a '.

(d) vuông góc với (d’)  a a '1

2 Hàm số yax b , (a0)

³

-( )

Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số yax b , (a0)ta vẽ hai đường thẳng y=ax+b và

y=-(ax+b) rồi xóa đi phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành

Bài tập minh họa:

 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Hàm số bậc nhất y ax b a  , ( 0)hoàn toàn xác định khi biết đường thẳng của nó:

- Đi qua 2 điểm phân biệt.

- Đi qua 1 điểm và có hệ số góc atan

Cho hai đường thẳng (d): y=ax+b và (d’): y=a’x+b’ Khi đó:

(d) song song với (d’)

''

BÀI TẬP MINH HỌA:

Bài 22: Lập phương trình đường thẳng:

a đi qua điểm A(1,2) và B(-1,3)

b Đi qua điểm A(-2,5) và có hệ số góc bằng -1,5

c Đi qua điểm A(4:-3) và song song với (d’):

213

d Đi qua gốc O và vuông góc với đường thẳng (d’):

113

BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 23: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

a y x 1 b y = 6-2x c

2 0

x khi x y

b Vẽ đồ thị hàm số.

c Biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x)=m

Bài 25: Vẽ đồ thị hàm số y x 3 và yx 2 Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa chúng

Bài 26: Vẽ đồ thị hàm số y x 1 2 x1 Lập bảng biến thiên và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 27: Cho hàm số

2 1 - 2 -1( ) 2 -1 1

a Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số

b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x)=2m.

c Tìm m để phương trình f(x)=m

i có nghiệm

ii có 2 nghiệm phân biệt

iii có 2 nghiêm cung dấu

iv có 3 nghiệm phân biệt

 DẠNG 3: MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC

- Để tìm giao điểm của 2 đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) ta lập phương trình hoành độ giao điểm

hoặc giải hệ phương trình

- Để xác định điểm cố định của họ đường cong f(x,m) ta biến đổi về dạng:

- Để tìm giá trị của m để 3 đường thẳng đồng quy ta tìm giao điểm của hai đường thẳng rồi thế

vào phương trình đương thẳng còn lại

BÀI TẬP MINH HỌA:

Bài 28: a Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y=5x+6 và y=x-10.

b Biện luận sự tương giao của hai đồ thị: y=mx+4, y=x-3m.

Bài 29: Tìm a để ba đường thẳng sau đồng quy:

a y=2x, y=-x-3, y=ax+5.

b y=2ax-8, y=5x-a, y=4x-5.

Bài 30: Tìm điểm cố định của họ đồ thị:

a y=4mx-3+m b mx+5(m-2)y+2m-1=0.

KIẾN THỨC CƠ BẢN:

- Hàm số bậc hai y ax 2bx c a ( 0)có tập xác định D 

- Đồ thị của hàm số bậc hai y ax 2bx c a ( 0) là một đường parabol có đỉnh là (2 ,4 )

b I

  

, có trục đối xứng là đường thẳng 2

b x a





- Parabol có bề lõm hướng lên trên nếu a>0, hướng xuống dưới nếu a<0.

- Sự biến thiên:

HÀM SỐ BẬC HAI

PHÂN DẠNG TOÁN:

 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI – PARABOL PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Parabol (P): yax2bx c (a 0) :

- (P) đi qua điểm A: y A f x( ) axA  A2bx Ac

- (P) có đỉnh (2 ,4 )

b I

  

nếu a<0 và (P) có điểm cực tiểu (2 ,4 )

b I

BÀI TẬP MINH HỌA:

Bài 31: Xác định parabol (P): y ax 2c biết:

a Đi qua điểm A(2;3) và có giá trị nhỏ nhất là -2.

b Đỉnh là I(0;3) và một trong hai giao điểm của (P) với trục hoành là A(2;0)

Bài 32: Xác định parabol (P): y ax 2bx1 biết rằng (P):

a Đi qua hai điểm M(1;2) và N(-1,3)

b Đi qua điểm A(2;1) và có trục đối xứng

32

x 

c Đi qua điểm B(-1;2), đỉnh có tung độ bằng

32



Bài 33: Xác định hàm số bậc hai (P):y x2bx c biết rằng (P):

a Có trục đối xứng là đường thẳng x=-1 và cắt trục tung tại điểm A(0,3).





- Xác định bề lõm và bảng biến thiên:

Parabol có bề lõm hướng lên trên nếu a>0, hướng xuống dưới nếu a<0

- Tìm các giao điểm đặc biệt: giao điểm với trục hoành, với trục tung.

- Vẽ Parabol (P).



Chú ý:

i Từ đồ thị ta có thể tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giải bất phương trình và biện

luận số nghiệm của phương trình.

ii. Sử dụng các phép tịnh tiến y=f(x+a)+b để suy đồ thị này ra đồ thị khác.

iii. Từ đồ thị (P): y=f(x) ta có thể suy ra đồ thị của hàm số:

- y=-f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số y=f(x) qua trục hoành.

-( ) ( ) 0( )

- y=f(-x) bằng cách lấy đối xứng qua trục tung.

- yf x( ) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục tung, và lấy đối cứng phần đồ thị đó qua trục tung

BÀI TẬP MINH HỌA:

Bài 34: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

42

a Vẽ (P)

b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

21

2 Lập phương trình tiếp tuyến với (P): y ax 2bx c a ( 0) tại điểm A x y( ;A A) ( ) P hoặc đi qua điểm A x y( ;A A).

- Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:

y-y y A k x x(  A) y k x x (  A)y A

- Lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) với (P).

- Cho điều kiện tiếp xúc: =0 để tìm ra k

3 Cho (P): y ax 2bx c a ( 0) có  b2 4ac

- Nếu >0 thì (P) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

- Nếu =0 thì (P) tiếp xúc với trục hoành.

- Nếu <0 thì (P) không cắt trục hoành.

BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 40: Tìm tọa độ giao điểm của:

Bài 41: Chứng minh đường thẳng:

a y=-x+3 cắt (P): y-x2 4x1 b y=2x-5 tiếp xúc với (P): y x 2 4x4

Bài 42: Cho hàm số: y x 2- 2x m -1 Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số:

a Không cắt trục Ox b Tiếp xúc với trục Ox.

c Cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt về bên phải gốc O.

Bài 43: Biện luận theo m số giao điểm của (d): y=2x+m với (P): y x 2x- 6

Bài 44: Cho (P): y x 2- 4x3 Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(4;1) biết rằng:

a d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

Bài 45: Lập phương trình tiếp tuyến với (P): y x 2x-1.

a Tại điểm A(-2;1)

b Đi qua điểm B(-1;-5)

Bài 46: Cho (P): y x 2- 3x2 Lập phương trình tiếp tuyến của (P) biết rằng:

a Tiếp tuyến đó tạo với tia Ox một góc bằng 45

b Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y=2x+1.

c Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng

123

Bài 47: Tìm phương trình tiếp tuyến chung của hai parabol ( ) :P y x 24x8 ( ') : và P y x 28x4

Bài 48: Xác định (P) biết (P) tiếp xúc với 3 đường thẳng y = x-5; y = -3x+3; y = 3x-12.

Bài 49: Chứng minh rằng các parabol y mx 2 (4m1)x4m1 (m 0) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định

Bài 50: Chứng minh rằng các đường thẳng y2mx m 24m2 luôn luôn tiếp xúc với một parabol cố định

Bài 51: Tìm m để đường thẳng d: y=x-1 cắt (P):y x 2mx1 tại 2 điểm P, Q sao cho PQ=3

DẠNG 4: MỘT SỐ DẠNG KHÁC.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Cho (P): y ax 2bx c a ( 0)

- Nếu a>0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 2 )

b a

  

, đồng biến trên khoảng ( 2 ; )

b a

b x a



- Nếu a<0 thì hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 2 )

b a

  

, nghịch biến trên khoảng ( 2 ; )

b a

Lúc đó hàm số đạt GTLN bằng 4a



 tại 2

b x a



- Dựa vào BBT hay đồ thị ta tìm được GTLN và GTNN.

BÀI TẬP MINH HỌA:

Bài 52: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

a y7x2- 3x10 b y2 -x2 x1

c y x 2 2x với 0 x 3 d yx25x 4 với 0 x 3

Bài 53: Cho hàm số y mx 22(m 2)x m 1 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đồ thị của hàm

số luôn đi qua 2 điểm cố định

Bài 54: Tìm m để hàm số:

a y x 22mx5 luôn đồng biến trên khoảng (1;)

b yx2 4mx6 luôn nghịch biến trên khoảng (2;)

Bài 55: Tìm giá trị của m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a yx22x m  5 trên [0;3] bằng 4

b y x 2 2mx3m1 trên [0;1] bằng 1

Phần 2: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y 3 3x:

, 1

x x x

Câu 9: Cho các hàm số sau y  x 1 x1 ;y x 2 2x,

m 

C

32

m 

D

32

mx y x

Câu 18: Hệ số góc của đường thẳng y3x 4 bằng:

m 

D

12

m 

C

38

m 

D

38

m 

Câu 25: Đồ thị hàm số y x 2  x cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương là:

A 1;0 B 1 C 0 và 1 D 0;0 và 1;0

Câu 26: Số giao điểm của đồ thị hàm số y4x2 x 5 với trục hoành là:

O

1

-4 2

I

Khi đó giá trị của b c, là :

A b  2, c  0 B b4,c1 C b4,c0 D b  2, c  2

Câu 34: Cho hàm số bậc hai yf x  có đồ thị là một Parabol như hình vẽ

X Y



Câu 36: Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

A y x 2 2x3 B yx22x C y2x2 4x3 D yx2 2x3

Câu 38: Cho hàm số y x 2 4x có đồ thị là hình vẽ nào sau đây?

X Y

O 1

I

-4

X Y

O 1

1 I

X Y

O

1

-4 2

O

1

-4 2

I

m

Tất cả các giá trị của m để đường thẳng d y m:  cắt  P tại hai điểm phân biệt là:

x x

A m 1 B m 13 C

113

m m

m 

B

2912

m 

C

53

m 

D

35

2 62

C y x 26x6 D y x 2  x 4

Câu 47: Cho hàm sô y x 2 4x2Chọn khẳng định đúng?

A.Hàm số giảm trên khoảng 2; B Hàm số giảm trên khoảng  ; 2

C Hàm số tăng trên khoảng 2; D Hàm số tăng trên khoảng  ; 2

Câu 48: Cho hàm số y x 2 2x có đồ thị (C) Tịnh tiến (C) sang trái 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số nào ?

A y x 2 2x1 B yx12 2x1 C yx12 2x1 D

2 2 1

Câu 49: Hàm số nào sau đây nghịch biến trong khoảng  ;1?

A yx22x B y x 2 2x C y2x 2 D y x 2

Câu 50: Hàm số nào sau đây có đồ thị trùngn với đồ thị hàm số y x  2

A y x  x2x2 x 2 B  

2 2

 222

x y x

x y x

x y x



C  D 0; Câu 54: Tập xác định của hàm số 3

21

x y x

x y x

A Hàm số đồng biến trên khoảng 3; 1  và 1;3

B Hàm số đồng biến trên khoảng 3;1 và 1; 4

C Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;1

Câu 60: Hàm số nào sau đây có tập xác định là ?

2 1

y x





2 3

2 1

y x

Câu 64: Cho hàm số 3

2 3 khi 21

Câu 66: Cho hàm số y x 1 có đồ thị là đường thẳng  Đường thẳng  tạo với hai trục tọa độ mộttam giác có diện tích bằng:

A

1

32

Câu 67: Cho hàm số y2x 3 có đồ thị là đường thẳng  Đường thẳng  tạo với hai trục tọa độ mộttam giác có diện tích bằng:

Câu 68: Tìm m để đồ thị hàm số ym1x3m 2 đi qua điểm A  2;2

A y2x1 B y2x7 C y2x2 D y2x 5

Câu 71: Cho hàm số y2x4có đồ thị là đường thẳng  Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Hàm số đồng biến trên  B  cắt trục hoành tại điểm A2;0

C  cắt trục tung tại điểm B0;4 D Hệ số góc của  bằng 2

Câu 72: Cho hàm số y ax b  có đồ thị là hình bên Giá trị của a và b là:

A a 2 và b 3 B

32

a 

và b 2

C a 3 và b 3 D

32

a 

và b 3Câu 73: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên 

y x

có đồ thị là hình nào trong bốn hình sau:

A Hình 1 B Hình 2 C Hình 3 D Hình 4

Câu 76: Hàm số nào có đồ thị như hình bên:

Câu 78: Cho hàm số y ax 2bx c a  0 có đồ thị (P) Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Hàm số đồng biến trên khoảng 2 ;

b a



C Hàm số nghịch biến trên khoảng

;2

b a

  

  D Đồ thị luôn cắt trục hoành

tại 2 điểm phân biệt

Câu 79: Cho hàm số y x 2 2x có đồ thị (P) Tọa độ đỉnh của (P) là:

y 

C x 3 D y 3Câu 81: Tọa độ giao điểm của  P y x:  2 4x với đường thẳng d y:  x 2là:

Câu 82: Biết đường thẳng d tiếp xúc với  P y: 2x2 5x3 Phương trình của d là đáp án nào sauđây?

Câu 89: Cho hàm số y ax 2bx c có đồ thị (P) như hình bên Khẳng định nào sau đây là khẳng

C Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1

D Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

Câu 90: Một chiếc cổng hình parabol dạng

212

có chiều rộng d 8 m Hãy tính chiều cao h của

cổng (xem hình minh họa bên cạnh)