Tài liệu tham khảo Toán học cấp 2

Bất đẳng thức đã được chứng minh..[r]

Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 – 2010)

a) 3 abc3 xyz  3(a+x)(b+y)(c+z) (1)

Lập phương 2 vế của (1) ta được :

abc + xyz + 3 (abc) xyz +3 abc(xyz)3 2 3 2 (a+x)(b+y)(c+z)

2 3

(ayz+xbz+ xyc) 3 abc(xyz) (4)

Cộng hai bất đẳng thức (3) và (4) ta được bất đẳng thức (2), do đó (1) được chứng minh

b) Áp dụng BĐT (1) với a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = 3 - 3, y = 1, z = 13 3

Ta có : abc = 3 + 33, xyz = 3-33, a+ x = 6, b + y = 2, c + z = 2

Từ đó : 33+ 33 33- 33 36.2.2 2 3 3 (đpcm)

Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ta có:

x  y z

Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)

Bất đẳng thức sau cùng đúng nên bất đẳng thức đầu đúng

Dấu bằng xảy ra khi x = y = 1.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

abc ac a ca a

ca b abc ca        =

2

M

Bài 4: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

Tìm GTNN của biểu thức P 1 xy, biết: x2013y20132x1006 1006y (1)

Ta có: x2013y20132x1006 1006y  x2013y20132 4x2012y2012

(2)Mặt khác: x2013y201324x2013 2013y

Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)

CMR:      

32

Vậy bất đẳng thức (*) luôn đúng với mọi giá trị dương của a, b, c

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Nên      

32

y xy

y y

Min P 

khi x1,y 2

Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)

Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn

x y z

164

Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho m2n2  (1) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu5thức:Q m n mn    (2).1

2

m n

Vậy Min Q = -2 khi m =-2, n =1 hoặc m =1, n = -2.

Bài 9: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)

a) Với

40

3

x

< <

, (1) Û 3x4- 4x3+ ³1 0 ( )2( 2 )

(2) đúng nên (1) đúng Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= 1

b) Cho a, b, c là ba số dương nhỏ hơn

Bài 10: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)

Bài 12: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)

Với a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiệna  b c ab bc ca   6abc0. Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức 2 2 2

Vậy minP 3 khi a  b c 1

Bài 13: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 – 2020)

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca  1 Chứng minh rằng

a b  b c  c a   Dấu “=” xảy ra khi nào?

Bất đẳng thức đã cho tương đương

+) Ta dễ dàng chứng minh đợc với ba số dơng x, y, z ta có

x + y + z  33√ xyz hay xyz≤ ( x+ y+z 3 )3 (*)

áp dụng (*) cho ba số dơng 3 - a; 3 - b; 3 - c ta đợc

( 3−a)(3−b)(3−c )≤ ( 3−a+3−b+3−c 3 )3=1.

 27 - 9(a + b + c) + 3(ab + bc + ca) - abc  1

 abc  3(ab + bc + ca) - 28

Do đó 3(a2 + b2 + c2) +2abc  3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) - 56

114

11

x y x y

1    

ca a

Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho ba số dương a b, và c thoả món abc 1 Chứng minh rằng:

Bài 18: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017)

ab a   bc b   ca c   dấu “=” có khi a=b=c=1

Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz  

a)P = 3x2 + 11y2 – 2xy – 2x + 6y – 1

Ta đưa về PT bậc 2 với ẩn x : 3x2 – 2x.(y + 1) + 11y2 + 6y – 1 – P = 0 (1)

Để tồn tại nghiệm x thì PT (1) phải có:   ' 32 y2  16 y   4 3 p  0

 

 4P = ( 3 -

b c a

) + ( 3 -

c a b

 ) + (3 -

a b c

 ) = 9 -

y  xz  y xz và 2

.2

 (vì a + b + c2 2 22 ab + bc + ca  , c > 0)

Từ hai trường hợp, ta có được: apq + bqr + crp  0

b)Ta có a, b > 0 và a.b = 1; mà a + b2 22ab2

Bài 27: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018– 2019)

Biến đổi biểu thức P và chú ý đến x y 1  ta được

Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x = y = z =

1

3

Bài 29: ( HSG TỈNH DAKLAK NĂM HỌC 2012– 2013)

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1b2 2b nên:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016– 2017)

Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009– 2010)

Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức sau:

Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2012– 2013)

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1b2 2b nên:

Tương tự ta có:

b 

Vậy: MinP 2 17 Đạt được khi a = 1 và

12

a

a a

Vậy GTNN của C là 7 khi a = 2; b = 1; c = 1

Bài 40: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014– 2015)

Vậy M3, dấu đẳng thức có khi a = b = c = 1.

Bài 42: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018– 2019)

8 ( 2)( 2 4)

268

x x x

Chứng minh bổ đề: Cho ,x y  và ,ab ta có: 0

Từ (1), (2), (3) và (4), ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x   y z 1

Bài 43: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016– 2017)

Với x là số dương, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Bài 44: ( HSG TỈNH HÒA BÌNH NĂM HỌC 2009– 2010)

, DÊu b»ng x¶y ra t¹i a=1; b=4, KL ……

Bài 45: ( HSG TỈNH HÒA BÌNH NĂM HỌC 2013– 2014)

y m m x m

y m m x m

2

12 365( )

125

t 

Khi đó min

365

x y

)

Bài 46: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG A NĂM HỌC 2010– 2011)

Giá trị lớn nhất của M là 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1

Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2010– 2011)

Tìmgiá trị nhỏ nhất của 2

4x+3 A

Vậy Amin  1 khi x = -2

Bài 48: ( HSG HUYỆN NGHĨA ĐÀN TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2011– 2012)

Bài 52: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho { a+2b+3c≥10 a, b,c>0 , chứng minh rằng : a+b +c + 4 a3 +

Sử dụng bất đăng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

2; c=2 )

Bài 53: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ac bc    3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 33.

Dấu “=” xảy ra khi a b c  1

Bài 54: ( THI VÀO LỚP 10 TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016– 2017)

P là biểu thức đối xứng nên ta có thể dự đoán minP = m khi a = b = c =

Bài 55: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012– 2013)

Ta có , , a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên:

Bài 56: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014– 2015)

Do a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nên ta có

Bài 57: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014– 2015)

Ta có: ( a  b )2  0 nên a b   2 ab với a, b dương

Nên 2 P  38  P  19 vậy minP = 19 khi x = 2, y = 4

Bài 58: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015– 2016)

Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng:

Bài toán được phát biểu lại

Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn:

3 2019

3 673332

 

2 2

a  b

ĐK: 9 –x20



Bài 61: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

=> √ 2x2+3 xy+2 y2 ≥ √ 2 7 (x + y) dấu “=” xảy ra khi x = y

Tương tự: √ 2 y2+ 3 yz+2 z2 ≥ √ 2 7 (y + z) dấu “=” xảy ra khi y = z

Kết luận: min

17P

4

, đạt đợc khi

 bx ay 2 0

(luôn đúng)Dấu “=” xảy ra 

x y z VT

bc+ab a+c +

Nên A≥x √3 x+ y √3 y+z √3z

Áp dụng BĐT Bunhia cho 2 dãy dãy 1 : 3√ x2;3√ y2; √3 z2

3

√x2.+3√y2+3√z2≤x2+y2+z2+6

Thay Vào (*) Ta có

A≥x √3 x+ y √3 y+z √3 z≥xy+ yz+xz

z y+x +1 ) =3 ( x xy +xz+ x2 +

y2

xy + yz+ y +

z2yz+ xz+z ) = B B≥ 3( x + y +z )

2

2( xy + yz+xz )+x + y +z ≥

3 (x + y +z )22( xy + yz+xz )+x2+ y2+ z2= 3( x+ y+ z )2

b+c b−c.

c +a c−a+

c +a c−a.

a+b a−b=−1

Khi đó ( a−b a+b +

b+c b−c +

c+a c−a )2≥0

⇔ ( a−b a+b )2+ ( b−c b+c )2+ ( c−a c+a )2≥−2 a+b

a−b.

b+c b−c+

b+c b−c.

c +a c−a+

c +a c−a.

a+b a−b=2

Mặt khác (b−c a +1)(c−a b +1)(a−b c +1)=(b−c a −1)(c−a b −1)(a−b c −1)

⇔

a b−c.

b c−a+

b c−a.

c a−b+

c a−b.

a b−c=−1

Khi đó ( b−c a +

b c−a +

c a−b )2≥0

⇔ ( b−c a )2+ ( c−a b )2+ ( a−b c )2≥−2 a

b−c.

b c−a+

b c−a.

c a−b+

c a−b.

a b−c=2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra

(a2+b2+c2) ((a−b)1 2+

1(b−c )2+

1(c−a )2)

=((a a−b )2+b22+

b2+c2(b−c )2+

c + a

c −a=0a

2

z  

   

 Suy ra 5x 12 5y 1 52 y 12 18x y z 9

Bài 69: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn

Bài 70: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 – 2016)

Trước hết ta chứng minh với a  0 thì  2  2  

1 (*)

a  b  a  b a Thật vậy:

2(2)  ( a  b )  ( a  b )   2 ( a   b 1)( a   b 2)  0 (do a   b 2)

Từ (1) và (2) suy ra M  1

Dấu ‘=’ xãy ra khi a b   1

Vậy giá trị lớn nhất của M bằng 1 khi a b   1

Bài 71: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019)

Biến đổi giả thiết của bài toán ta được

Do đó bất đẳng thức đã cho được chứng minh

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Tương tự ta có 3 BĐT và cộng chúng lại ta suy ra đpcm

Bài 73: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014)

 (1 + a)(1 + b) (1 + c) ≥ 0

 1 + a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ 0 (1)

Mặt khác: (1 + a + b + c)2 = (1 + a)2 + (b + c)2 + 2(1 + a)(b + c)

= 1 + a2 + b2 + c2 + 2a + 2b + 2c + 2ab + 2ab + 2bc

abc + a2 + b2 + c2 + 1 + 2a + 2b + 2c + 2ab + 2ab + 2bc ≥ 0

 abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0

Bài 74: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017 – 2018)

Vì a,b,c có vai trò như nhau và 1  a b c , ,  nên giả sử 2 ≥ a ≥b ≥ c ≥ 1 2Khi đó: (b-a)(b-c) ≤ 0

Dấu “=”xảy ra khi a = 2, b = c = 1 hoặc a = b = 2, c = 1 và các hoán vị của nó

Bài 75: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008 – 2009)

 Dấu = xóy ra khi a = b = c =

1

2 Vậy maxQ =

18

Bài 77: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016 – 2017)

Bài 78: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2005 – 2006)

Ta có: 21a+(3/a) =(3/a) + a/3 + 62a/3  2 √ 3 a .

a

3 + (62.3/3) = 64 (1) a 3 Dấu bằng xảy ra <=> (3/a) = a/3 và a = 3 <=> a = 3

Lại có: (21/b) + 3b =(21/b) + 7b/3 + 2b/3  2 √ 21

b .

7 b

3 + (2.3/3) = 16 (2) b 3 Dấu bằng xảy ra <=> (21/b) = 7b/3 và b = 3 <=> b = 3

Tơng tự, chứng minh đợc: 21a + (3/a)  64 với  a  3

(<=> (a-3)(21a-1)  0) Dấu bằng xảy ra <=> a = 3

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 79: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2013 – 2014)

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là

41

2 đạt được tại a = b =

1

2

Bài 80: ( HSG TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2013 – 2014)

Đặt x = 1 + a => y = 1- a => x5 + y5 = (1+a)5 + (1-a)5 = 10a4 + 20a2 + 2 ≥ 2 ( vì a4 ≥ 0; a2 ≥ 0 vớimọi a)

=> x5 + y5 ≥ 2 Dấu “=” xãy ra  a = 0  x = y = 1

Bài 81: ( HSG TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho đa thức P(x) = ax2 + bx+ c Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0

 b c a

Vì P(x) > 0 với mọi x thuộc R nên P(-1)>0

Bài 83: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2010 – 2011)

Bài 84: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014)



.Gọi Bo là một giá trị của B, khi đó, x, y để: o

1 2xyB

Với    

o o

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

2 2

212

1 11

suy ra điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi a b c ,  1 x y z.

Bài 88: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019)

40

271

y y

2 2

51

MaxP 

, đạt được tại

2.5

x y z

2 3

MaxP 

, đạt được tại

2.5

x y z

Bài 90: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 – 2018)

Theo điều đề bài ta có: 1- a > 0 ; 1- b > 0 ; 1- c > 0 Nên theo BĐT Cô-si, ta có:

Tương tự b3c32a3 4a b c (2); c3a32b34b c a (3)

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta có điều cần chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

3 3

2

( ) 2( ) 2

3 3

Từ (1),(2) suy ra điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi … a b c  3 2

2 3

Bài 94: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011)

Đặt

223

thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Bài 97: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2003 – 2004)

a) 5a2 + 5b2 + 8ab = 18  M = 18 – 4a2 – 4b2 – 8ab = 18 – 4(a + b)2 ≤ 18

Dấu “=” xảy ra  a = –b thay vào đẳng thức: 10a2 – 8a2 = 18  a2 = 9  a = ±3Vậy: max M = 18  (a ; b) = (3 ; –3) hoặc (–3 ; 3)

b) 5a2 + 5b2 + 8ab = 18  9(a2 + b2) = 18 + 4(a – b)2 ≥ 18  9M ≥ 18  M ≥ 2

Dấu “=” xảy ra  a = b thay vào đẳng thức: a = b = ±1Vậy: min M = 2  a = b = ±1

Bài 98: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2006 – 2007)