Đề cương ôn tập môn Toán

2.. Tìm tập xác định của các hàm số sau:.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mũ và lôgarit 6. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1.. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. 3.[r]

5 Nêu định nghĩa miền giá trị của hàm số

6 Tìm miền giá trị của hàm số

7*.Tìm miền giá trị của hàm số y=sin4x+sin3x cos x+sin2x cos x+sin x cos3x+cos4x .

8*.Tìm miền giá trị của hàm số y= sin x +cos x

* Cho hàm số y=f ( x) có tập xác định la khoảng (a;b).

+ Nếu f ' (x )≥0 ∀ x∈ ( a;b ) và dấu băng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến

trên (a;b)

+ Nếu f ' (x )≤0 ∀ x∈ ( a;b ) và dấu bằng chỉ xảy ra rại điểm hữu hạn thì hàm số nghịch

biến trên (a;b)

* Cách tìm khoảng đồng biến nghịch biến

Bước 1 Tìm các điểm giới hạn

Bước 2 Xác định dấu của f ' (x ) .

Bước 3 Lập bảng biến thiên suy ra khoảng đồng biến nghịch biến

2 Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số

a)

y= 3 x+1 x+1 Đs: Đồng biến trên ( −∞ ;1 ) và ( −1;−∞ )

b) y= √ x ( x−3 ) Đs: Đồng biến trên (0;1), nghịch biến trên (1;

3 Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số

a)

x2+ x+ 1

Đs: Đồng biến trên ( 2− √ 7;2+ √ 7 ) , nghịch biến trên (−∞ ;2− √ 7) , (2+ √ 7;+∞)

4 *Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

a) y=x+cos2x Đs: Đồng biến trên

Dạng 5 Ứng đụng của đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

5 Chưng minh các bất đẳng thức sau đây

x +3 đồng biến trên khoảng ( 1;+∞ ) Đs: −4≤m≤4

c) y=3sin x−4cos x−mx +1 đồng biến trên toàn trục số Đs: m ¿ −5

Dạng 6 Ứng dụng của đạo hàm để biện luận số nghiệm của phương trình

7 Tìm m để phương trình

a) x4−2 x2− m=0 có 4 nghiệm phân biệt. Đs: 0 < m < 1

b) − x3+3 x+1−m=0 có 3 nghiệm phân biệt. Đs – 1 < m < 3

8 Tìm m để dường thẳng y=2 x−m cắt đồ thị y=x3− x+2 tại 3 điểm phân biệt

Đs:-4 < m < 0

vấn đề 3: cực trị của hàm Số

1 Nêu định nghĩa điểm cực đại, cực tiểu của hàm số?

2 Nêu phơng pháp tìm điểm cực trị của hàm số?

3 Nêu phơng pháp 2 để tìm điểm cực trị của hàm số?

x −m luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m.

11 Tìm các điểm cực trị của các hàm số y = sin2x Đs: XCĐ =

x+ 1 (Cm) chứng minh rằng với m bất kỳ; đồ thị (Cm)

luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng √ 20 .

20 Tìm m để các hàm số sau có cực trị thoả mãn điều kiện cho trớc

c) y = - x3 + 3 (m+1)x2 - (3m + 7m-1) x + m2 - 1 đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1

 Định nghĩa: Cho họ đường cong ( Cm):y = f( x; m) phụ thuộc tham số m Điểm

gọi là điểm cố định của họ đường cong nếu

 Cách giải: Để tìm điểm cố định của họ đường cong ta có

y : )

Bước 1: Gọi điểm cố định là Suy ra

Bước 2: Sắp xếp theo phương trình ẩn m bậc giảm dần, chẳng hạn nếu là bậc 2thì có dạng

một đường thẳng cố định tại một điểm cố định Đs: (-1;-2), f’(-1) =1

Dạng 2 Tìm tâm đối xứng và trục đối xứng

4 Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số

)

; ( x0 y0

m) ; f(x

0 0

0

0

y

x C

B A

) 1 2

m x

mx y





2 m -2), : (-2 M (2;2),

1

1 )

2 (

m x m x y

3

1 m 1;

m (2;1), M (-1;-2), M

m x

I ( 1 ; 2 ),  3

o Tìm các nghiệm của y'=0 và các điểm làm cho y' không xác định.

o Xét dấu của y' suy ra chiều biến thiên của hàm số

X X Y

I ( 1 ;  1 ),   4

2

3 2

2 4

4 6 7

b) Từ đồ thị ( C) của hàm số y=x3+3 x2−4 biện luận số nghiệm của phương trình

y=x3+3 x2−4 =m theo tham số m

2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số y=x4−2 x2+2

b) Từ đồ thị ( C) của hàm số y=x4−2 x2+2 , biện luận số nghiệm của phương trình

x4−2 x+m =0 theo tham số m

Dạng 2 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm phân thức

3 a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số y=

3 x+3 x−2

b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua O và tiếp xúc với ( C)

c) Tìm tất cả các điểm trên ( C) có toạ độ là các số nguyên

4 a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số y=

x2−3 x +4

2 x−2

b) * Gọi M là điểm bất kỳ trên ( C) Tiếp tuyến của ( C) tại M cắt tiệm cận đứng tại A ,

tiệm cận xiên tại B Chứng minh rằng M là trung điểm của AB và tam giác IAB có diện tích

không đổi, với I là giao điểm của hai tiệm cận

b) Tìm m để đường tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A (−1; √ 2). Đs: m=2

a) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm M (−1;1)

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1

7 Cho hàm số

y= 3 x+2 x+2 có đồ thị ( C)

8 Cho hàm số

y= x

2

− x +7 2−x có đồ thị là ( C) Chọn mệnh đề sai.

a) Đồ thị ( C) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt.

b) Đồ thị ( C) có các điểm cực trị là (−1;3),(5;−9)

c) Đồ thị ( C) có hai tiệm cận là x=2, y=−x−1

d) Đồ thị ( C) có tâm đối xứng là I(2;−3)

9 Cho hàm số

y= 2 x−3 3−x có đồ thị là ( C) Chọn mệnh đề sai.

a) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ ;3) và (3;+∞) .

b) Đồ thị ( C) có tiệm cận là x=3 ; y=

2 3

c) Hàm số không có cực trị

d) Đồ thị ( C) có tâm đối xứng là I(3;−2)

10 Cho hàm số y=x3−3 x2+1 có đồ thị là ( C) Chọn mệnh đề sai

a) Đồ thị ( C) có các điểm cực trị là (0;1),(2;−3) .

b) Đồ thị ( C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

c) Đồ thị ( C) có tâm đối xứng là I(1;−2)

d) Hàm số trên có 3 khoảng đơn điệu

11 Cho hàm số y=x4−2 x2−1 có đồ thị là ( C) Chọn mệnh đề sai.

VẤN ĐỀ 9: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG CONG QUỸ TÍCH.

ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIA TRỊ TUYỆT ĐỐI.

Dạng 1.Vị trí tương đối hai đường cong

 Số giao điểm của hai đồ thị (C1): y = f (x) và (C2): y = g (x) cũng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: f (x) = g (x).

1 Cho đường cong (C) :

y= −2 x−4 x+1 và đường thẳng d m : y = 2x + m Tìm m để:

điểm đó có hoành độ dương Đs:

− 1

2 < m < 0

3 Cho hàm số (C m ) : y = –x3 + 3mx2 +3(1– m2)x + m3 –m2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (Cm) khi m =1.

b) Tìm k để phương trình –x3 + 3x2 + k3 − 3k2 = 0 có ba nghiệm phân biệt

4 Tìm m để hàm số y = −x4 +2mx2 −2m + 1 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt lập thành cấp số

cộng Xác định cấp số cộng ứng với mỗi m tìm được Đs:

a) Chứng minh rằng đường thẳng d : y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N.

Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN.

Hd: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là g(x) = x2 + (m+1)x + m−3 = 0 Phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt vì ∆ = (m− 3)2 + 16 > 0, g(−1) = −2 ≠ 0.

Phương trình này có hai nghiệm

6 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + có đồ thị (C) Gọi d là đường thẳng đi qua A( −1; −2) và có hệ số góc k.

a) Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N.

8 Cho hàm số y =

− 1

3 x3 + 3x có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = m(x – 3) và A(3:0) Tìm m để d cắt (C) tại ba điểm A, B, C Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng BC.

a) Khảo sỏt và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Từ đồ thị (C) hóy suy ra đồ thị

Vấn đề 8 Phơng trình tiếp tuyến

Dạng 1 Phơng trình tiếp tại một điểm.

* Chọn hàm số y = f (x) có đồ thị (C) và điểm M (x0; y0) thuộc (C) Khi đó phơng trình tiếp tuyến tại M có dạng y = f’ (x0)(x-x0) + y0

1 Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 2 có đồ thị (C) Viết phơng trình tiếp của (C) biết

a Tiếp điểm có hoành độ x0 = -1 Đs: y = -3x - 3

b Tiếp điểm có tung độ y0 = 2 Đs: y = 2, y = 9x – 7

Dạng 2 Phơng trình tiếp qua một điểm

 Để lập phơng trình tiếp tuyến của hàm số y = f(x) có đồ thị (C) đi qua điểm

A(x1;y1), ta có hai cách:

Cách 1:

Bớc 1: Gọi tiếp điểm là M(x0; f (x0))  Phơng trình tiếp tuyến tại M là

y = f’ (x0)(x=x0) + f (x0)

Bớc 2: Vì điểm tiếp tuyến đi qua điểm A (xA; yA) nên yA = f’(x0)(xA-x0) + f (x0)

Bớc 3: Từ đó tìm đợc x0 và suy ra đợc phơng trình tiếp tuyến

* Chú ý: Đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g (x) tiếp xúc nhau  hệ

Bớc 1: Gọi đờng thẳng qua điểm A là d: y = k (x-x1) +yA

Bớc 2: d là tiếp tuyến của (C)  hệ sau có nghiệm

Bớc 3: Thay (2) và (1)  x  k  Phơng trình tiếp tuyến.

2 Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3-3x+2, biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;4)

Đs: y=-x+2, y = -9x + 18

Dạng 3 Phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trớc

 Để lập phơng trình tiếp tuyến của hàm số y = f(x) có đồ thị (C) có hệ số góc k, ta có hai cách:

Bớc 3: Từ (2)  x Thay vào (1) suy ra b Từ đó viết đợc phơng trình tiếp tuyến.

Chú ý: Cho đờng thẳng : ax + by + c = 0, (a2 + b2  0) Khi đó

 Nếu d song song với  thì d có dạng d: ax + by + m = 0, (m  c)

 Nếu d vuông góc với  thì d có dạng d: bx = ay + m = 0

3 Cho hàm số

y 3 x−2 x−1 có đồ thị (C) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các tr-

ờng hợp:

a Tiếp tuyến song song với : x + y - 3 = 0 Đs: y = -x+6, y = -x+2

b Tiếp tuyến vuông góc với : 4x-y-7=0 Đs: y = -

Dạng 4 Hai đờng cong tiếp xúc nhau

4 tìm m để đồ thị hàm số y = x3 - x2+ 5 và đồ thị hàm số y = 2x2 + m tiếp xúc nhau Xác định toạ

độ của tiếp điểm Đs: m=1:A(2;9);m=5:B(0;5)

5 Tìm a, b để đồ thị hàm số

y= a+b x−1 đi qua điểm A(3;1) và tiếp xúc với đờng thẳng

6 Tìm m để hai đờng cong

x +1 và y = -x2 + a tiếp xúc nhau Đs: a = 2: M(0;2)

Bài tập nâng cao về tiếp tuyến.

8 Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số

y = x3 - 3x+2 Đs: Gọi A(0;a)  Oy  0<a<1

9 Tìm trên trục Ox các điểm từ đó kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y = -x + 3x + 2

b Tìm m để đờng thẳng d: y = m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho OA vuông góc với OB

Hớng dẫn: Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt Đs: m =

1± √ 5 2

12 Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y =

x+2

2 x+3 , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành,

trục tung lần lợt tại điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O

Hớng dẫn: Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm Đs: y = -x - 2

1 LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

1 Khụng dựng mỏy tớnh, hóy thực hiện cỏc phộp tớnh sau

+ a−4+3 a−1a

1 2

2a) a 2b) b √3−4 2c) (a - 5)2 2d) -9a2b 2e) - √ x( x−4)

7c) x

7 12

7d) ( b a )152

8a) 7 ± 5

√ 2=(1± √ 2)3

BÀI KIỂM TRA 1 LŨY THỪA

Rút gọn các biểu thức từ 1-9 sau đây:

1 2− √ 3 .

3 4

1 2

10 (1 điểm) Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, tức là nếu đến kì hạn

người đó không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp, kì hạn 1 năm với lãi suất7,56% một năm Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số tiền người đó thu được sau 5 năm là baonhiêu triệu đồng? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

2 LÔGARIT

Dạng 1 : Sử dụng định nghĩa để tính lôgarit

1 a) Nêu định nghĩa lôgarit

b) Cho 0 < a ≠ 1 , b > 0 Chứng minh rằng :

2 Sử dụng định nghĩa lôgarit tính các giá trị sau :

a) log 42

b)

1 4

log 2

c) 5

1 log

5

1 log 3

1 25

Dạng 3 : Sử dụng công thức đổi cơ số để tính lôgarit

13 Cho 0 < a ≠ 1, b > 0 Chứng minh rằng với mọi 0   c 1,

Từ đó hãy suy ra các công thức đổi cơ số sau:

: loga b log a b

1 loga log ab

b)

1 125 5

1 log 27 log 812

18 Các lôgarit sau đây âm hay dương?

d)

1 5

3 b) log0,13 2

và log 0,340,2

c)

3 4

2 log

5 và 52

3 log

log

a c

a

b b

c



logab  logac  b c  logab  logac  b c 

21 Tìm giá trị bằng số của các biểu thức

a) 4log 3 2 b) 27log 2 9 c) 9log 2 d) 4log 27 8

22 Cho 0 < a ≠ 1 Tìm giá trị bằng số của các biểu thức

ĐÁP SỐ VẤN ĐỀ 2 : LÔGARIT

2a) 2 2b)

1 2

14a) 15 14b) 3

1

1 2



15a) log 3433

15b)3

5 9

81 .

19a) lớn hơn 19b) bé hơn 19c) lớn hơn 19d) lớn hơn

BÀI KIỂM TRA 2.LÔGARIT

Thang điểm : 15 điểm

1 (1điểm) Trình bày trí nhớ các công thức mũ và lôgarit đã học

2 (3điểm) Tính các lôgarit sau đây:

5 1 log 3

125

4 (1điểm) Cho a và b là các số dương Tìm x biết rằng

3 và 32

3 log

 Hàm số lôgarit là hàm số có dạng y = loga x với điều kiện 0 < a ¿ 1 .

 Hàm số lôgarit y = loga x xác định khi x > 0

1 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y = log8 (x2 – 3x – 4 ); b) y = log √ (-x2 + 5x + 6); c) y = log

1 7

Đs: a) D = (– ∞ ;–1) ¿ ( 4; + ∞ ) ; b) D = (–1;6 ); c) D = (– ∞ ;–5) ¿ (4;+

∞ )

d) D = (–3; –2 √ 2 ) ¿ (2 √ 2 ;+ ∞ ); e) D = (3; + ∞ ); g) D = (0;64) ¿ (64;+

∞ )

Dạng 2 : Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

 Hàm số mũ là hàm số có dạng y = ax với điều kiện 0 < a ¿ 1 .

 Hàm số mũ y = ax và hàm số lôgarit y = loga x cùng đồng biến khi và chỉ khi a > 1, và cùng

nghịch biến khi và chỉ khi 0 < a < 1.

 Chú ý rằng loge x := ln x đọc là lốc-nê-pe của x, với hằng số e ¿ 2,718

2 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác

Đs: a) Đồng biến b) Nghịch biến c) Nghịch biến d) Đồng biến

Dạng 3 Tìm giới hạn của hàm số mũ và lôgarit

Dạng 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mũ và lôgarit

6 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:

 Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng a=b trong đó a>0, a ¿ 0

 Cách giải: nếu b ¿ 0 thì phương trình ax=b vô nghiệm, Nếu b>0 thì phương trình có nghiệm duy nhất

a) 32x+5 = 3x+2 + 2; HD Đặt t =3x >0 ĐS x = -2; b) 27x + 12x = 2.8x HD: Chia hai vế cho 27x Đáp số: x= 0

Dạng 4 Sử dụng phương pháp lôgarit hóa (lấy lôgarit hai vế)

 X ét pt ax =by trong đ ó a>0, a ¿ 1; b>0, b ¿ 1 Lấy lôgarit cơ số a hai vế của pt ta được x=y log a b

Dạng 5 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ

 Nếu a>1 thì ax > ay ⇔ x > y Nếu 0 < a < 1 thì ax>ay ⇔ x < y

5 Giải phương trình

a) 3x + 4x = 5x; ( ĐS: x = 2) b) x2 –(3 – 2x)x + 2(1 – 2x) =0 (HD: Coi là pt bậc 2 ẩn x Đáp số:x=0; x=2 )

x+17 x−3

5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT NÂNG CAO

A Các dạng toán về phương trình mũ

Dạng 1 Phương pháp biến đổi tương đương

1 Nêu cách giải các phương trình mũ dạng cơ bản sau

25 log 31

b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt trong Đáp số:

B Các dạng toán về phương trình lôgarit

Dạng 4 Phương pháp biến đổi tương đương

17 Nêu cách giải phương trình dạng loga f(x) = logag(x).

Giải các phương trình sau:

19 Đáp số: x=1

1 4

t 

21 Cho f(x) = xlog22 với 0 < x ≠ 1 Tính f’(x) và gbpt: f’(x) ≤ 0 Đáp số:

Dạng 5: Phương pháp đặt ẩn phụ

Giải các phương trình sau:

23 logx-1 = 4 = 1 + log2 (x-1) ĐS: 24 (x+1).(log3x)2+4x.log3 x - 16=0 ĐS:

25 log2 (2x +1).log2(2x+1+2)=6 Đáp số: x=log23

26 Cho phương trình

m ≤ 2

Dạng 6 Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất

Giải các phương trình sau:

HÌNH HỌC

VẤN ĐỀ 1.HỆ TOẠ ĐỘ,TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

1 Định nghĩa hệ toạ độ Đêcac vuông góc trong không gian ?

2 Nêu định nghĩa và các tính chẩt về toạ độ của vectơ trong không gian ?

3 Nêu định nghĩa và các tính chất về toạ độ của điểm trong không gian ?

4 Nêu phương pháp xét tính thẳng hàng của ba điểm A,B,C trong không

gian ?

Dạng 1 tìm toạ độ của vectơ

5 Viết toạ độ của các vectơ ⃗ a = −2⃗i+⃗j ; ⃗b=7⃗i−8⃗k ; ⃗ c=−9⃗k ;

8 Tìm tọa độ vectơ ⃗ x biết rằng

a) ⃗ a=( 0;−2;1), ⃗ a+⃗x=4 ⃗a ; b) ⃗a=(5; 4;−1), ⃗b=(2;−5;3),⃗a+2⃗x=⃗b

Dạng 2 Tích vô hướng của hai vectơ

9 Cho ba vectơ ⃗a=(1;−1;1), ⃗b(4 ;0;−1),⃗c(3;2;−1) Tìm tọa độ các vectơ

10.Tính góc giữa hai vectơ ⃗ a=( 4;3;1) và ⃗b=(−1;2;3)

Dạng 3 Tìm tọa độ của điểm

11.Cho điểm M (−1;2;−3).

a) Biểu diễn điểm M trong hệ tọa độ Oxyz.

b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa

độ.

c) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các trục tọa độ d) Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ

e) Tìm toạ độ của điểm đối xứng với điểm M qua mặt phẳng Oxy.

f) Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy.

12.Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ biết A(1;0;1), B(2;1;2), D (1;−1;1) , C’ ( 4;5;−5)

Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp

Dạng 4 Xét tính thẳng hàng của ba điểm

13 Xét tính thẳng hàng của hai bộ ba điểm sau đây:

a) A(1;3;1), B(0;1;2), C(0;0;1); b) A(1;1;1),B( −4 ;3;1 ),C( −9;5;1 ).

Dạng 5 Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k

14 Cho toạ độ hai điểm A( −1;2;3 ) và B( 2;−1;1 ) Tìm toạ độ điểm M sao

cho M