Gọi R và R’ lần lợt là bán kính đờng tròn ngoại tiếp các tam giác BAD và ABC.. C là một điểm bất kỳ thuộc nửa đờng tròn.. Chứng minh rằng đờng thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định.. a,
Trang 1Bài tập hình học
Phần I.
Bài 1 Cho hình thang cân ABCD (AD//BC) Gọi M và N tơng ứng là trung điểm của đáy BC và
AD Trên AB kéo dài về phía A lấy điểm P bất kỳ, PN cắt BD tại Q
Chứng minh rằng MN là phân giác của góc PMQ
Bài 2 Cho tam giác ABC có AB = 1,Aˆ = 105 0 ,Bˆ = 60 0 Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1
Từ E kẻ ED//AB (D ∈ AC)
Chứng minh rằng:
3
4 1 1
2
AC AD
Bài 3 Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a Gọi R và R’ lần lợt là bán kính đờng tròn ngoại tiếp
các tam giác BAD và ABC
Chứng minh rằng: 2 2 42
'
1 1
a R
R + =
Bài 4 Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ AC kẻ tia Cx //AB và tia Cy sao cho tia Cx
nằm ở phần trong góc Bcy Một đờng thẳng bất kỳ qua B cắt Cx, Cy lần lợt tại D và E Gọi F là giao điểm của AD và BC Chứng minh rằng EF luôn đi quan 1 điểm cố định
Bài 5 Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB C là một điểm bất kỳ thuộc nửa đờng tròn Trên tia
đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = 2.CA Nối BD cắt đờng tròn ở F Đờng thẳng vuông góc với BD tại D cắt tiếp tuyến tại A của nửa đờng tròn ở E
Chứng minh tam giác CED cân
Bài 6 Cho hình vuông ABCD Đờng tròn đờng kính CD và đờng tròn tâm A cắt nhau tại M (M
không trùng D)
Chứng minh rằng đờng thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định
Bài 7 Cho điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn (O; R) Đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn tại B
và C
Xác định vị trí của d để tổng AB + AC nhỏ nhất
Bài 8 Cho đờng thẳng d và (O, R) không giao nhau A là điểm chuyển động trên d Vẽ tiếp
tuyến AB, AE của đờng tròn (O) (B và E là các tiếp điểm)
a, Chứng minh rằng BE luôn đi qua 1 điểm cố định
b, C là một điểm trên đoạn OA sao cho AC =
4
1
OA Đờng thẳng vuông góc với OA vẽ
từ C cắt AB tại D Xác định vị trí của A sao cho AD.AB nhỏ nhất
Bài 9 Cho hình vuông ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O, bán kính R M là một điểm tùy ý trên
đ-ờng tròn
a, Chứng minh rằng MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 24R4
b, Chứng minh MA MB MC MD < 6R2
-Phạm Trung Bình – THCS Cao Xuân Huy – Diễn Châu
Trang 2Bài 10 Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên 2 cạnh AB và AD lần lợt lấy 2 điểm di động E và F
sao cho: AE + EF + FA = 2a
a, Chứng minh rằng đờng thẳng EF luôn tiếp xúc với 1 đờng tròn cố định
b, Tìm vị trí của EF sao cho SCEF lớn nhất
Bài 11 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đờng
tròn
Từ một điểm M bất kỳ trên nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ 2 với nửa đờng tròn cắt Ax, By lần
l-ợt tại C và D
a, Xác định vị trí của M để 3.AC + BD nhỏ nhất
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của S = SACM + SBDM.
-Phạm Trung Bình – THCS Cao Xuân Huy – Diễn Châu
Trang 3Một số bài toán về yếu tố cố định – Toán quỹ tích
Bài 1 Cho đờng tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn B là điểm chuyển động trên
đờng tròn Qua O dựng đờng thẳng vuông góc với AB, cắt AB tại M, cắt tiếp tuyến Bx tại D Chứng minh rằng khi B thay đổi trên đờng tròn thì D luôn thuộc một đờng cố định
Bài 2 Cho đờng tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn Cát tuyến d qua A cắt đờng
tròn (O) tại B và C Tiếp tuyến tại B và C của đờng tròn (O) cắt nhau tại D Tìm quỹ tích điểm D
Bài 3 Cho điểm A chuyển động trên cung lớn BC cố định của (O; R) Tìm tập hợp trọng tâm G
của tam giác ABC
Bài 4 Cho đờng tròn (O; R) và điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn Kẻ tiếp tuyến AB với (O).
Đờng thẳng d quay quanh A cắt (O) tại 2 điểm C và D Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác BCD
Bài 5 Cho tam giác ABC cân tại A cố định nội tiếp đờng tròn (O;R) Điểm M di động trên cạnh
BC Gọi D là tâm đờng tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại B, E là tâm đờng tròn đi qua M và tiếp xúc với AC tại C Gọi I là trung điểm của DE
Tìm quỹ tích điểm I
Bài 6 Cho đờng tròn (O), điểm A cố định trên đờng tròn Trên tiếp tuyến tại A lấy điểm B cố
định Gọi (O’) là đờng tròn tiếp xúc với AB tại B có bán kính thay đổi Gọi I là trung điểm của dây chung CD của hai đờng tròn trên
Chứng minh rằng điểm I luôn thuộc một đờng cố định
Bài 7 Cho đờng tròn tâm O cố định ngoại tiếp tam giác ABC, trong đó A cố định, cạnh BC thay
đổi thỏa mãn BH.CH = 3.AH2 (H là hình chiếu của A trên BC) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng M luôn thuộc một đờng cố định
-Phạm Trung Bình – THCS Cao Xuân Huy – Diễn Châu