Lấy ra từ S một tam giác, tính xác suất để mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho.. HẾT ĐỀ CHÍNH THỨC..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC THÁNG 4 TP.HCM LẦN 5 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2018 2019
MÔN TOÁN LỚP 11 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 ( 4 điểm)
Bài 2 ( 4 điểm)
Cho hàm số ( )f x có đồ thị là ( ) : C
2
1
1
hi khi
x
Một con kiến đang ở điểm M ( 2;1)( )C và nó chỉ có thể di chuyển trên ( )C Gọi N ( )C
là điểm có hoành độ lớn nhất mà kiến có thể tới được Tính quãng đường kiến di chuyển từ
M đến N
Bài 3 ( 3 điểm)
Với số thực a (0;1), xét phương trình 2 1 2
2
a x x x
Chứng minh rằng phương trình này có ít nhất hai nghiệm âm nhưng không có nghiệm dương nào
Bài 4 ( 6 điểm)
Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân ở A , SB 6a và
SB ABC Gọi D E là các điểm thuộc các đoạn , SA SC sao cho , SD 2DA,
a) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác BDE đến ( ABC )
b) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (BDE),(SBC )
Bài 5 ( 3 điểm)
Cho hình tứ diện đều ABCD Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu 3 điểm chia đều cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau Gọi S là tập hợp các tam giác có ba đỉnh lấy từ 18 điểm đã đánh dấu Lấy ra từ S một tam giác, tính xác suất để mặt phẳng chứa tam giác đó
song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho
HẾT
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 11
Bài 1 ( 4 điểm)
Giải
Bài 2 ( 4 điểm)
Cho hàm số ( )f x có đồ thị là ( ) : C
2
1
1
hi khi
x
Một con kiến đang ở điểmM ( 2;1)( )C và nó chỉ có thể di chuyển trên ( )C Gọi N ( )C
là điểm có hoành độ lớn nhất mà kiến có thể tới được Tính quãng đường kiến di chuyển từ
M đến N
Giải
Ta thấy kiến có thể di chuyển từ điểm
1; 2) ( )
(
A a a C đến B b b( 1; 2) ( C) (với
a ) khi hàm số ( )b f x liên tục trên [ , ]a b 1 1
Ta xét tính liên tục của hàm số ( )f x trên
Dễ thấy hàm số liên tục trên các khoảng
, 1), 1 1)
( ( , và (1, và )
( )
f x liên tục tại x 0 1
nên ( )f x không liên tục tại
x
Giả sử N có toạ độ ( ; ) a b Theo giả thiết, a là số lớn nhất sao cho ( ) f x liên tục trên [ 2, ] a
Từ các lập luận về tính liên tục ở trên, ta suy ra a Vậy (1; 0)1 N
Ta cần tính độ dài quãng đường kiến di chuyển từ M ( 2;1) đến N(1; 0)
Gọi K ( 1; 0)( )C thì độ dài đoạn thẳng MK là 12 ( 1)2 2;
Chu vi nửa đường tròn nối K và N là
Vậy độ dài quãng đường kiến đi từ M đến N là 2
Trang 3Bài 3 ( 3 điểm)
Với số thực a (0;1), xét phương trình 2 1 2
2
a x x x
Chứng minh rằng phương trình này có ít nhất hai nghiệm âm nhưng không có nghiệm dương nào
Giải
2
f x x a x x
a
f a
Vậy nên phương trình có nghiệm thuộc 1
; 0 2
và
1 1;
2
Tiếp theo, ta xét các trường hợp
2
x thì VP 1 VT nên phương trình vô nghiệm
0
2
x
, ta thấy 3 2
4
x x
Điều này cho thấy VT acos (x2 x 1) 0 VP
Do đó, phương trình luôn vô nghiệm trên (0; )
Bài 4 ( 6 điểm)
Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân ở A , SB 6a và
SB ABC Gọi D E là các điểm thuộc các đoạn , SA,SC sao cho SD 2DA,
a) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác BDE đến ( ABC )
b) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (BDE),(SBC )
Giải
a) Gọi M là trung điểm DE thì G BM và 2
3
BG BM Khi đó
Theo công thức tính đường trung bình của hình thang thì /( ) 1 5
(2 3 )
M ABC
a
Từ đó theo định lý Ta-lét, ta tính được /( ) 2 5 5
G ABC
Trang 4b) Gọi F là giao điểm của DE AC ,
FE là trung tuyến của tam giác SFC nên D là trọng tâm tam giác
SFC Do đó A là trung điểm FC
Suy ra tam giác BCF vuông cân tại B nên BF BC , mà
BF SB kéo theo BF (SBC)
Vì BF (BDE) nên (BDE)(SBC) Do đó, góc cần tìm là 90
Bài 5 ( 3 điểm)
Cho hình tứ diện đều ABCD Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu 3 điểm chia đều cạnh
tương ứng thành các phần bằng nhau Gọi S là tập hợp các tam giác có ba đỉnh lấy từ 18
điểm đã đánh dấu Lấy ra từ S một tam giác, tính xác suất để mặt phẳng chứa tam giác đó
song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho
Giải
Tổng số cách chọn ra 3 trong 18 điểm là C 183 816 Tuy nhiên, sẽ có các trường hợp ba
điểm thẳng hàng, đó là khi ta lấy ba điểm thuộc cùng một cạnh, tổng số cách là 6C33 6
Do đó không gian mẫu là S 816 6 810
Chú ý rằng nếu một đoạn thẳng có 2 đầu mút lấy trên 2
cạnh chéo nhau của tứ diện thì nó không thể song song với
bất kỳ cạnh nào của tứ diện Xét tam giác XYZ lấy từ tập
hợp S Ta thấy rằng để ( XYZ thỏa mãn thì một trong các )
cạnh của nó, giả sử là XY , song song với BC Ta có hai
trường hợp là X AB Y; AC hoặc X DB Y; DC:
(1) Nếu X AB Y, AC thì Z (ABC), chỉ còn 9
điểm có thể chọn Ta thấy có 3 cặp X Y thỏa mãn theo ,
định lý Talet vì có các đoạn tỷ lệ, và ứng với mỗi cặp như thế, trên các cạnh DA DB DC , ta , ,
phải loại bớt 3 điểm nữa (vì khi đó mặt phẳng (XYZ song song nhiều hơn 1 cạnh của tứ )
diện) Suy ra có 6 cách chọn điểm Z
Do đó, có tổng cộng 3 6 18 tam giác thỏa mãn
(2) Nếu X DB Y, DC thì tương tự, ta cũng có 18 tam giác thỏa mãn
Do tính bình đẳng của các cạnh nên tổng số tam giác thỏa mãn là 6 2 18216
Vậy xác suất của biến cố T cần tính là 216 4
810 15
N
G M
F
E
D S
C B
A
Y' X'
Y X
D
C B
A