Interaction des mecanismes tourbillonnaires en espace confine effet de la concite

Pour ce faire, les prises de pression d’un manomètre différentiel sont reliées à deux chambres annulaires débouchant dans les angles morts... Afin d’obtenir une relation permettant de pa

TH` ESEpour l’obtention du Grade deDOCTEUR DE L’UNIVERSIT ´E DE POITIERS(E.N.S.M.A et Facult´e des Sciences Fondamentales et Appliqu´ees)

(Diplˆome National - Arrˆet´e du 25 mars 2002)

´ecole doctorale science pour l’ing´enieurSecteur de recherche : ´energie, thermique, combustion

Pr´esent´ee par Chi Cong NGUYEN

*********************

EN ESPACE CONFIN ´E - EFFET DE LA CONICIT ´E

*********************

Directeurs de th`ese :Professeur Son DOAN-KIM Fr´ed´eric PLOURDE

MM Henri BOISSON, Directeur de Recherche CNRS,IMFT

Alex TAYLOR, Professeur `a IMPERIAL COLLEGE, LONDRES

Examinateurs

MM Jacques BOREE, Professeur `a l’ENSMA

Son DOAN-KIM, Professeur `a l’Universit´e de POITIERS

Jean-Fran¸cois GUERY, Responsable de projet Espace et D´efense, SME

Fr´ed´eric PLOURDE, Charg´e de Recherche CNRS, LET/ENSMA

Invit´eeMme Nghia LE THI MINH, Professeur `a l’´Ecole Polytechnique de HOCHIMINH Ville

AVANT PROPOS

Je tiens à saluer ici les personnes qui, de près ou de loin, ont contribué à la concrétisation de ce travail de thèse de doctorat Ces remerciements sont rédigés dans un moment de doux relâchement intellectuel J'ai laissé au hasard de ma mémoire, plus impressionnée par les événements récents, répétés, ou chargés d'émotions, le soin de retrouver ses personnes Dans un autre état d'esprit, ces remerciements auraient certainement été tout autres, et j'aurais peut-être oublier un des noms qui suivent C’est pourquoi, je remercie par avance ceux dont le nom n’apparaît pas dans cette page et qui m’ont aidé d’une manière ou d’une autre

La première personne que je tiens à remercier est Monsieur Son DOAN-KIM, mon directeur de recherche, qui a su m’apporter les conditions nécessaires à l’accomplissement de mes travaux, tout en y gardant un œil critique et avisé Il a eu cesse de m’encourager à être encore plus perspicace et engagé dans mes recherches Plus qu’un professeur, je crois avoir trouvé en lui le père qui m’a aidé aussi bien dans le travail scientifique que dans la vie personnelle

Je suis heureux de pouvoir adresser mes plus sincères remerciements à Monsieur Frédéric PLOURDE, chargée de recherche au CNRS, qui est co-directeur de recherche de ma thèse Je tiens à lui remercier pour ses conseils, ainsi que pour la disponibilité, la confiance et

la patience qui m’ont permis de mener à bien cette thèse Merci de m’avoir tenu la main jusqu’aux dernières lignes de ce mémoire Et pourtant, quelle présence indispensable Merci d’être là tous les jours

Je ne sais comment exprimer ma gratitude à ces deux personnes autrement qu’en leur promettant d’agir comme eux avec des étudiants dans ma situation, si un jour l’occasion m’en est donnée

Je tiens à exprimer ma profonde gratitude à Monsieur Jacques BORÉE, qui m'a fait l'honneur de présider le jury de thèse de doctorat, pour l'intérêt et le soutien chaleureux dont il

a toujours fait preuve

Je suis très reconnaissant envers Messieurs Henri BOISSON et Alex TAYLOR d'avoir accepté le rôle de rapporteur, d'autant que je dois reconnaître que je ne leur ai pas facilité la tâche Leurs commentaires et leurs questions, tant sur la forme que sur le fond, ont contribué à améliorer de manière significative ce document

Monsieur Jean-François GUERY m’a fait l’honneur de participer au jury de soutenance,

je le en remercie profondément

J’aimerais témoigner tout particulièrement mon sentiment et ma gratitude envers Madame LE Thi Minh Nghia, pour le soutien incommensurable, la préoccupation d’une mère qu’elle m’a apportée depuis j’étais étudiant au Vietnam jusqu’à maintenant

Je tiens aussi à mentionner le plaisir que j’ai eu à travailler au sein de l’ENSMA Un grand merci s’adresse à tous mes actuels et anciens compagnons et tout particulièrement Renato, Sébastien, Romain, Minh Vương, Hồng Minh, Phú Hùng, Damien … pour la bonne humeur, le soutien, et l’amitié échangée au quotidien mais surtout pour les nombreuses discussions que nous avons eu dans les domaines techniques ou scientifiques Je passe une dédicace spéciale à Romain de m’avoir très gentiment aidé à corriger mon mémoire de thèse

et de m’avoir conseillé pour ma soutenance

Les nombreuses données manipulées dans ce travail n’auraient pu être récoltées sans le concours de Renato, mon meilleur ami Je ne saurais oublier l’amitié que nous avons développée pendant ces années Un bonjour affectionné à toi et ta famille

J’aimerais exprimer toute ma reconnaissance à Jean-Louis TUHAULT et Catherine FUENTES pour tous les discussions et tout l’aide qu’ils m’ont apportées dans la réalisation

Je clos ces remerciements en dédiant cette thèse de doctorat à mes parents, mon grand frère Thành, ma petite copine – Ngọc Quỳnh et ses parents, Madame DOAN, Monsieur et Madame BUTHAUD, Monsieur Denys GAMBY et aux quelques amis que j'ai eu la chance d'avoir à mes côtés, qui m'ont soutenu tout au long de ces années de travail et m’ont encouragé aux moment très opportuns

Et pour finir je voudrais souhaiter bon courage à ceux qui vont soutenir bientôt : Renato, Xuân Dũng, Mạnh Hưng, Hoàng Dung, Hoài Nam, Hồng Minh…

à mes parents …

SOMMAIRE

NOMENCLATURE 1

INTRODUCTION 7

CHAPITRE 1 DISPOSITIF EXPERIMENTAL & TECHNIQUES DE MESURE 1.1 DISPOSITIF EXPERIMENTAL 17

1.1.1 Description du montage 17

1.1.2 Condition aux limites et injection pariétale 21

1.1.3 Banc expérimental 22

1.2 TECHNIQUES DE MESURES 22

1.2.1 Méthodologies 22

1.2.1.1 Débit 22

1.2.1.2 Pression 24

1.2.2 Anémomètre a fil chaud 24

1.2.2.1 Sonde à fil droit 25

1.2.2.2 Sonde à fils croisés en X 27

1.3 ACQUISITION DE DONNEES 29

1.3.1 Mise en forme des signaux 29

1.3.2 Système d’acquisition 30

1.3.3 Traitement du signal 31

1.3.3.1 Analyse spectrale 31

1.3.3.2 Corrélations 33

1.3.3.3 Moyenne de phase 34

CHAPITRE 2 MODELISATION NUMERIQUE 2.1 SIMULATION NUMERIQUE 41

2.1.1 Equations de conservation 41

2.1.2 Simulation des grandes échelles pour un écoulement compressible 43

2.1.2.1 Notion de séparation d’échelles 43

2.1.2.2 Equations de conservation filtrées 44

2.1.2.3 Fermeture de sous-maille 46

a/ Modèle de Smagorinsky 47

b/ Modèle de Yoshizawa 47

c/ Procédure dynamique 47

2.2 FILTRAGE DISCRET D’UN MAILLAGE NON-STRUCTURE 49

2.2.1 Problème de commutation d’un filtre 50

2.2.2 Filtrage commutatif 51

2.2.3 Construction d’un filtre discret complet 51

2.2.3.1 Procédure de sélection des filtres de base 52

2.2.3.2 Procédure de contrôle 55

2.3 RESOLUTION NUMERIQUE ET DESCRIPTION DES SIMULATIONS EFFECTUEES 57

2.3.1 Schéma numérique 57

2.3.1.1 Discrétisation spatiale 57

a/ Discrétisation de la partie Euler 58

b/ Discrétisation de la partie visqueuse 58

2.3.1.2 Intégration temporelle 59

2.3.2 Conditions aux limites 59

2.3.3 Parallèlisation 60

2.3.4 Configuration des simulations effectuées 60

CHAPITRE 3 DETECTION ET CARACTERISATION DES SOURCES D’INSTABILITES TOURBILLONNAIRES 3.1 PRESENTATION GENERALE DE L’ECOULEMENT 65

3.1.1 Ecoulement moyen 65

3.1.2 Champ fluctuant 66

3.2 MECANISME D’INSTABILITE 68

3.2.1 Identification des sources d’instabilité 69

3.2.1.1 Analyse spectrale 69

3.2.1.2 Corrélation spatio-temporelle 72

3.2.2 Rôle des structures de vorticité 77

3.2.2.1 Champs de vorticité 77

3.2.2.2 Mécanisme d’interaction 80

3.2.3 Conséquence du phénomène de couplage 82

CHAPITRE 4 INFLUENCE DE LA CONICITE

4.1 TENDANCE D’EVOLUTION DE L’ECOULEMENT 87

4.1.1 Rôle de l’inclinaison pariétale – Présentation générale 87

4.1.1.1 Champ moyen 87

4.1.1.2 Champ fluctuant 89

4.1.1.3 Conséquence globale 91

4.1.2 Altération des mécanismes tourbillonnaires 92

4.1.2.1 Comportement fréquentiel 92

4.1.2.2 Existence d’un angle critique 94

4.2 ANALYSE DES INTERACTIONS TOURBILLONNAIRES 96

4.2.1 Phase de réduction 96

4.2.2 Phase de croissance 105

CHAPITRE 5 ECOULEMENTS EN INTERACTION 5.1 MECANISME TOURBILLONNAIRE 113

5.2 INFLUENCE DU COUPLE DE REYNOLDS Reo,Rep 119

5.2.1 Interaction couche cisaillement/injection pariétale 120

5.2.2 Vers un comportement turbulent … 124

CONCLUSION 135

ANNEXES 141

ANNEXE A :PROPRIETE NECESSAIRE D’UN FILTRAGE COMMUTATIF D’ORDRE N 143

ANNEXE B :DETERMINATION LES COEFFICIENTS DU FILTRAGE D’INTERPOLATION 150

BIBLIOGRAPHIE 153

NOMENCLATURE

a vitesse du son (m/s)

C p chaleur spécifique massique à pression constante (J/kgK)

C v chaleur spécifique massique à volume constant (J/kgK)

C d coefficient du modèle Smagorinsky dynamique

C I , C S coefficient du modèle Smagorinsky, C S = C d

L longueur séparant l’obstacle de la tuyère (m)

m , m sp débits surfaciques à l’entrée et à la surface débitante (kg/m2.s)

M nombre de Mach moyen :

v

aS

m M

M M

L H

M ijk moment du filtrage discret

ijk

c

M moment du filtre cible

Pr nombre de Prandtl

Prt nombre de Prandtl turbulent

q j tenseur sous-maille d’énergie

R constante universelle des gaz parfaits

Rep nombre de Reynolds d’injection : Re ρ

μ

= inj v p

V H

R xy coefficient de corrélation :

) t ( y ) t ( x

) t ( y ) t ( x R

2 2

s xy spectre croisé des signaux x(t) et y(t)

T , T périodes τ− caractéristiques correspondant aux délais positif et négatif (s)

u i composantes de vitesse en coordonnées cartésiennes (m/s)

u, v composantes longitudinale et transversale de vitesse (m/s)

u’, v’ composantes longitudinale et transversale de vitesse fluctuante (m/s)

U composante longitudinale de vitesse adimensionnelle :

0

= u

U U

X, Y, Z coordonnées cartésiennes normées par H v

X T position longitudinale de la transition laminaire/turbulente

ρ masse volumique (kg/m3)

σij tenseur visqueux

τij tenseur des contraintes de sous-maille

ΔtCFL pas de temps déterminé par condition CFL (s)

( ) quantité filtrée par le filtre de Favre

( ) quantité filtrée par le filtre test

INTRODUCTION

L’avènement de la famille du lanceur Européen ARIANE s’est réalisé avec le développement du lanceur ARIANE 5 Ce dernier est considéré comme le plus performant et

le plus abouti techniquement permettant d’acheminer jusqu’à 10 tonnes de charge utile en orbite, contre seulement 4.8 tonnes pour la version la plus récente d’Ariane 4 Parmi ses principales caractéristiques, le lanceur Ariane 5 est équipé de deux Moteurs à Propergol Solide (MPS) de 30 m de haut, 3 m de diamètre et chargés de 230 tonnes de propergol solide (d’ó leur nom : MPS P230) [1] Ils sont ainsi composés de 3 blocs de propergol solide séparés par des « protections thermiques »

Souhaitant analyser et comprendre les instabilités potentielles de fonctionnement des MPS P230 en particulier et des boosters à propergol solide segmentés en général, des programmes de recherche mêlant à la fois travaux industriels et recherches fondamentales ont été développés Précisons d’ailleurs que le terme d’instabilité d’un moteur à propergol solide est très général puisqu’il peut résulter de plusieurs sources d’instabilités liées à un grand nombre de phénomènes physiques Par exemple, le comportement du propulseur peut être lié aussi bien à la combustion du propergol solide, qu’à la géométrie complexe voire à la nature diphasique des produits de combustion Dans ces conditions, ces instabilités peuvent se traduire par des fonctionnements oscillatoires, se manifestant notamment par l’apparition d’oscillations de pression aux basses fréquences [2] Ces types d’instabilités ont été observés dans le fonctionnement des lanceurs américains TITAN [3, 4, 5, 6] ou même d’Ariane 5 [7] Même si ces instabilités, plus ou moins prononcées, n’ont jamais menacé l’intégrité du moteur, elles n’en constituent pas moins une source de vibration gênante pour la charge utile

et ses équipements La réduction des instabilités, et de leurs conséquences, constitue donc un objectif majeur dans la conception des prochains moteurs à propergol solide

Il est possible de regrouper principalement deux types d’instabilités : 1- l’instabilité de combustion, liée à la réponse du propergol en combustion 2- l’instabilité ắrodynamique liée

au caractère instable de l’écoulement interne Soulignons néanmoins que pour des moteurs de taille significative, les instabilités propre à la combustion peuvent être négligées vis-à-vis instabilités ắrodynamiques En effet, l’instabilité ắrodynamique, liée à des paramètres géométriques du moteur, est particulièrement remarquée [8] et elle est supposée constituer la source principale d’instabilité au sein des propulseurs segmentés

Tout d’abord, un écoulement gazeux se développant au sein d’un propulseur simple peut être caractérisé par l’analyse de Taylor [9] ó l’écoulement est décrit analytiquement aussi bien sous la forme cylindrique que plane A partir de cet écoulement de base, les

analyses d’instabilité linéaire proposées par Culick [10] permettent de prévoir l’instabilité globale du propulseur, mais ne permettent pas d’expliquer l’origine des comportements de l’instabilité aérodynamique Plus récemment, des études théoriques [11, 12, 13] ont démontré l’existence du développement d’oscillations au sein des propulseurs induites par une instabilité naturelle de l’écoulement dans le canal Celle-ci se manifeste notamment par l’apparition d’oscillations le long de la paroi débitante à une certaine distance X * du fond avant, X * = x/Hv (X * ≈ 8) Les travaux numériques [14] ainsi que des visualisations expérimentales par fluorescence induite [15] ont également confirmé la présence d’un détachement tourbillonnaire au fond-arrière du canal, alors dénommé Vortex Shedding Pariétal (VSP) Par contre, ce détachement ne transite vers un écoulement turbulent que si la longueur

du propulseur est au moins X T ≈ 2X * L’allongement du propulseur, par l’intermédiaire du rapport L0/H v, est donc un paramètre à considérer

En ce qui concerne l’analyse d’un écoulement segmenté, la présence d’obstacles conduit

à la formation d’une couche de cisaillement associée à un profil de vitesse inflexionnel Ce profil de vitesse peut donner lieu à une instabilité hydrodynamique, conduisant alors au développement de structures tourbillonnaires dans le sillage de l’obstacle : il s’agit d’un mécanisme dénommé Vortex Shedding d’Obstacle ou encore VSO La fréquence d’instabilité des couches de cisaillement peut être décrite par les théories de stabilité linéaire, comme par exemple à partir des travaux de Michalke [16] L’existence de ce détachement tourbillonnaire

au sein d’un propulseur a bien été constatée par voie numérique ou expérimentale notamment

à partir de tests sur le banc d’essai des tirs LP3 ou LP6 [17] Sans la présence d’obstacle émergeant, la discontinuité que constitue la segmentation des blocs de propergol reste suffisamment significative pour donner également lieu à un autre type d’instabilité hydrodynamique En effet, le détachement des structures tourbillonnaires au niveau du fond-avant de chaque cavité peut devenir une source potentielle d’instabilité aérodynamique au sein du propulseur Les études concernant ce type d’instabilités ont été abordées à partir des configurations LP6 [18] ou à partir de montage gaz froid MICAT [19] Il est intéressant de souligner qu’une telle configuration amplifie de manière significative les niveaux d’oscillations

de la pression

L’ensemble des travaux dédiés à la caractérisation des structures tourbillonnaires s’effectuant au sein de l’écoulement a souligné le rôle source des tourbillons vis-à-vis de la production acoustique En effet, lorsque le développement des structures s’effectue dans un espace confiné, ce qui est le cas en propulsion solide, les structures sont convectées par

l’écoulement principal et s’impactent sur l’obstacle que constitue la tuyère intégrée, par exemple L’interaction entre les structures et les ondes de pression qu’elles ont générées lors

de leur impact permet de « boucler » le système, intervenant alors comme un phénomène d’auto-entretien En effet, un mécanisme de résonance peut intervenir lorsque les fréquences naturelles de détachement des structures tourbillonnaires sont proches d’un mode acoustique,

et le phénomène d’auto-entretien s’en trouve renforcé

L’influence de la géométrie sur l’organisation des structures tourbillonnaires est, bien sûr, un objectif des travaux récents visant alors à réduire les instabilités au sein des propulseurs Le rôle de la hauteur de la protection thermique, sa forme ainsi que la hauteur de

la veine, correspondant aux différents instants de la vie du propulseur, constitue autant de paramètres importants [20] Afin de réduire les oscillations de pression, il est également possible d’imaginer des contrôles, qu’ils soient actifs [21, 22] ou passifs [23, 24]

Pour des raisons techniques, la surface des blocs de propergol offre généralement une certaine inclinaison vis-à-vis de l’axe du propulseur A notre connaissance, les études concernant ces effets n’ont été que rarement effectuées à ce jour Sous l’impulsion de Sams et

al [25], une méthode asymptotique a été utilisée afin de mieux comprendre les effets possibles de la présence d’un angle de conicité Une configuration d’un canal plan à injection pariétale est alors considérée Cette étude montre que le paramètre d’allongement de la partie

sans conicité du canal, L0/h, et l’angle α de la partie de conicité sont deux paramètres déterminants modulant plus ou moins l’amplitude de la vorticité moyenne le long de paroi débitante Par contre, l’étude n’aborde pas l’influence de la conicité sur l’organisation des écoulements moyens ainsi que l’évolution de la distribution de vorticité moyenne le long de la paroi débitante De plus, la configuration est très simple avec un canal sans obstacle Les analyses ne donnent donc pas d’information sur le rôle d’une quelconque inclinaison en présence d’une segmentation Une approche plus globale serait donc plus intéressante

Il est également important de souligner que peu de travaux numériques s’attachent à décrire l’organisation instationnaire tridimensionnelle des structures tourbillonnaires se développant au sein des propulseurs [26] Un certain nombre de travaux s’intéressant à la caractérisation bidimensionnelle des écoulements dans les moteurs a été néanmoins été réalisé [15, 19, 27, 28] Ces travaux restent néanmoins des approches laminaire ou turbulent généralement par méthode RANS

Soulignons également que les possibles interactions entre différentes sources tourbillonnaires n’ont pas encore à ce jour été totalement analysées et qu’une telle approche reste délicate à effectuer sur des propulseurs L’utilisation d’outils numériques ainsi que de montages de simulation gaz froid devrait permettre une telle étude Afin d’analyser les conditions de formation du VSP au sein du montage MICAT, une modification des conditions aux limites de l’injection pariétale a été proposée Sachant que la présence VSO – VSP génère

le développement d’oscillations de pression alors que leur contribution n’est pas identique, les approches spectrales et la détermination des corrélations devraient nous permettre d’appréhender

à nouveau ces mécanismes d’interaction L’influence de la géométrie interne du moteur s’est avérée des plus importantes sur les niveaux d’oscillations recueillis A notre connaissance, l’analyse des influences de la conicité sur les instabilités d’un écoulement segmenté n’a jamais été réalisée Dans le cadre ce travail, nous avons cherché à apporter des réponses des plus exhaustives sur les effets possibles de la conicité vis-à-vis des mécanismes d’instabilité Finalement, au cours de ce travail, nous avons développé une version LES, dite dynamique,

du code CPS Nous avons appliqué cette nouvelle version à la simulation de l’écoulement MICAT et une approche simplifiée nous a permis d’étudier les écoulements en interaction, l’objectif étant notamment d’analyser l’influence des conditions dynamiques sur la nature plus

ou moins tridimensionnelle de l’écoulement interne

Le présent document s’articule alors autour de cinq chapitres :

Le premier s’attache à décrire le montage expérimental, ainsi que les techniques de mesures employées Les méthodes de traitement des signaux utilisées sont plus particulièrement détaillées

L’ensemble des moyens de simulation numérique appliqué et développé pour caractériser l’écoulement au sein du montage de simulation fait l’objet du second chapitre

La caractérisation de l’écoulement en présence des conditions d’injection particulières permet, dans le troisième chapitre, d’appréhender les mécanismes déterminants Les analyses statistique et instationnaire soulignent les liens entre les différents champs instationnaires de l’écoulement

Le quatrième chapitre est consacré plus particulièrement à la caractérisation de l’influence de la conicité de la paroi débitante sur l’organisation des structures tourbillonnaires Une sensibilité des mécanismes à la géométrie identifie les déséquilibres entre les sources d’instabilité

Enfin, le dernier chapitre présente une étude numérique portant sur les interactions instationnaires entre les champs de vorticité L’influence d’un déséquilibre du rapport de quantité de mouvement entre l’écoulement principal et l’injection pariétale permet d’appréhender la sensibilité des mécanismes d’interactions et de souligner l’organisation plus

ou moins tridimensionnelle de l’écoulement résultant

CHAPITRE 1 DISPOSITIF EXPERIMENTAL & TECHNIQUES

DE MESURE

Souhaitant caractériser l’influence de l’angle de conicité sur les mécanismes de couplage aéroacoustique en milieu confiné, une modification du montage MICAT s’est révélée nécessaire Les investigations ont nécessité de plus l’utilisation de moyens de mesure adaptés aux fluctuations à caractériser ainsi qu’un traitement spécifique des signaux Dans

un premier temps, le montage d’investigation et le banc expérimental sont présentés

1.1 D ISPOSITIF EXPERIMENTAL

1.1.1 DESCRIPTION DU MONTAGE

Le montage d’investigation MICAT a fait l’objet de plusieurs études antérieures [19, 29, 30] Il a été conçu pour reproduire différents instants de l’écoulement interne d’un propulseur segmenté à propergol solide, le temps de séjour de l’écoulement étant négligeable devant le temps caractéristique de variation géométrique liée à la consommation du propergol Ainsi, la géométrie interne correspond à celle d’un propulseur P230 d’Ariane 5 à l’échelle 1/40ème en

ne reproduisant seulement qu’une tranche bidimensionnelle Les gaz de combustion sont simulés par l’injection d’air à température ambiante au travers de parois poreuses et une similitude en Mach et Strouhal assure la reproduction des mécanismes aérothermiques du propulseur [19, 31]

La maquette MICAT est constituée d’un cadre en acier rectangulaire sur lequel viennent

se monter deux hublots latéraux et un hublot supérieur (Figure 1.1) Le fond-avant est fermé par un quatrième hublot et la sortie de la veine est équipée d’une tuyère intégrée dont la hauteur est réglable jusqu’à une ouverture de 14 mm A la base du cadre sont placées les trois boîtes représentant les blocs de propergol, que nous appellerons par la suite blocs d’injection L’intérieur de la veine est équipé d’un support en acier sur lequel reposent les trois blocs d’injection, alimentés par le système d’alimentation d’air

Figure 1.1 : Schéma principal du montage

Figure 1.2 : Vue générale de la veine d’essai

La Figure 1.2 offre une vue générale de la veine d’essai ; on y retrouve le cadre en acier, les différents hublots à l’extérieur, les trois blocs d’injection à l’intérieur ainsi que le système d’alimentation d’air à la base Afin de simuler les effets de conicité, plusieurs blocs d’injection ont été fabriqués offrant un angle variant de 0° à -2° L’injection d’air s’effectue par l’intermédiaire de parois poreuses équipant les blocs d’injection Les dimensions caractéristiques de la veine d’essai sont indiquées sur la Figure 1.3 La veine d’étude est de 623mm × 50mm × 36mm et les obstacles, représentant les protections thermiques, sont positionnés sur la face avant de chaque cavité Sachant que le premier bloc est non débitant, l’obstacle positionné entre le premier et le second bloc n’altère pas le développement de l’écoulement En conséquence, dans un souci de simplification, seul l’obstacle entre le 2ème et

3ème bloc sera pris en compte Cet obstacle dépasse de la paroi poreuse de 9 mm, réduisant ainsi la section de passage de 25 % au sommet du segment La hauteur de l’obstacle a été dimensionnée en supposant que la protection thermique n’avait pas été altérée au cours du tir, i.e la protection thermique est alors supposée inerte La conicité est représentée par un angle d’inclinaison α de la surface débitante par rapport à l’horizontale Sachant que la configuration α = 0° est prise comme référence, les angles négatif et positif correspondent respectivement à l’ouverture et la fermeture de la veine d’essai Le système d’axes est également présenté sur la Figure 1.3 L’origine du repère est située à la base de l’obstacle et l’ensemble des investigations a été réalisé dans le plan médian (X, Y)

Figure 1.3 : Géométrie de la veine d’essai et dimensions caractéristiques

L’alimentation en air de la maquette est assurée par des tubes polyamides provenant de deux tuyaux centraux, fixés latéralement de part et d’autre du socle L’arrivée de chaque tube

est équipée d’un col afin de régler et de contrôler le débit entrant Par l’intermédiaire d’un injecteur cylindrique, l’air est conduit dans une préchambre composée d’alvéoles (Figure 1.4)

La surface des injecteurs est proportionnelle à celle des alvéoles, et est équipée d’un distributeur grillagé afin de répartir uniformément le débit dans chacune d’entre elles Ces alvéoles sont séparées par des plaques d’aluminium montées dans des rainures, assurant une répartition uniforme du fluide dans le montage Une plaque et un tamis grillagés sont également utilisés afin d’assurer le développement de l’écoulement à l’intérieur des blocs Dans le deuxième bloc, la paroi poreuse est disposée traditionnellement dans la partie supérieure du bloc et sur la face frontale avale Il est recouvert en surface d’un tamis métallique, au travers duquel s’effectue l’apport de masse fluide dans la veine [19] En revanche, le troisième bloc est structuré de manière différente, la paroi poreuse étant fixée directement au niveau de la position supérieure du bloc sans tamis métallique Ceci devrait nous permettre d’instrumenter le canal au plus près de la paroi poreuse, en vue notamment de suivre le développement des structures pariétales (cf § 1.1.2) Cet ensemble permet de réaliser une injection de fluide à la fois verticale et uniforme, simulant ainsi l’écoulement des gaz brûlés

bloc débitant tamis grillagé plaque grillagée arrivée d’air séparateur

alvéoles tamis métallique

paroi poreuse

bloc débitant tamis grillagé bloc débitant arrivée d’air

tamis grillagé plaque grillagée arrivée d’air séparateur

alvéoles tamis métallique

paroi poreuse

alvéoles tamis métallique

paroi poreuse

Figure 1.4 : Alimentation interne des blocs d’injection

Avant de décrire les techniques de mesures expérimentales, il est nécessaire de rappeler

le type de paroi poreuse utilisée En effet, l’utilisation sans tamis métallique et en présence d’un angle de conicité au niveau du troisième bloc va, sans doute, modifier le développement

de l’écoulement interne Il apparaît donc indispensable de connaître et de maîtriser les modifications de ces conditions d’injection pariétales Le paragraphe suivant s’attache à les analyser

1.1.2 CONDITION AUX LIMITES ET INJECTION PARIETALE

Les travaux antérieurs consacrés à l’investigation du développement de l’écoulement interne d’un moteur à propergol solide [32, 33, 34, 35] ont montré effectivement le rôle prépondérant de la paroi poreuse Elle permet, premièrement, de réaliser un écoulement d’injection pariétale simulant la génération des gaz de combustion Deuxièmement, comme une sorte de « barrière » aux ondes sonores, elle doit permettre d’isoler la veine des bruits amont de la plaque et d’assurer une isolation acoustique dans la veine d’essai

La condition aux limites dépend évidemment du matériel poreux installé Poisson [36] a étudié deux types de matériaux poreux, constitués soit de copeaux inox, soit de billes en bronze Le premier est obtenu par une méthode de frittage de poudres dont la forme est plus

ou moins aléatoire Il a alors été démontré qu’une plaque en inox n’induit pas des conditions aux limites « propres » On assiste plutôt à la génération de macro-jets en aval de la plaque d’injection, les jets coalescents plus ou moins les uns avec les autres En revanche, l’utilisation de plaque en bronze (ou Poral) permet de générer une condition quasi-homogène

et perpendiculaire de l’injection pariétale En effet, l’écoulement injecté au travers d’une plaque de Poral se caractérise par la génération d’une multitude de micro-jets qui coalescent fortement les uns aux autres Mais ceux-ci peuvent engendrer des variations spatiales de la vitesse d’injection, dénommées également pseudo-turbulence La classe Poral bronze, dont l’épaisseur est de 2 mm offre un niveau de filtrage de 98 % (pour les particules de 0.7 μm de diamètre) et a été utilisée comme paroi débitante Des mesures de caractérisations de ces plaques ont souligné l’importance des taux de turbulence observés en aval du Poral, avec des niveaux de turbulence variant de 20 à 30 % Souhaitant contrôler ces niveaux, la plupart des travaux a été réalisée en ajoutant un tamis métallique

Ces informations sur les conditions aux limites sont capitales pour la modélisation numérique, présentés dans le chapitre suivant (cf Chapitre 2)

1.1.3 BANC EXPERIMENTAL

L’ensemble de la maquette est placée sur un banc expérimental spécifique L’alimentation en air est réalisée par l’intermédiaire d’un compresseur à vis, équipé d’une cuve tampon d’une capacité de 3 m3 Ce compresseur est capable de fournir un débit pouvant atteindre 900 m3/h (≈ 300 g/s) dans les conditions normales sous une pression maintenue à

13 bars dans la cuve tampon Une conduite souple amène l’air jusqu’au tube d’alimentation générale, et le redistribue dans les différents blocs d’injection Plusieurs filtres (air, huile, eau ) et détendeurs sont placés entre la cuve et la maquette afin d’assurer une bonne qualité

chambres annulaires orifice

Figure 1.5 : Schéma du principe du diaphragme

chute de pression au passage du diaphragme, celle-ci étant directement reliée à la valeur du débit masse de l’écoulement Pour ce faire, les prises de pression d’un manomètre différentiel sont reliées à deux chambres annulaires débouchant dans les angles morts L’utilisation du

manomètre de type EIRELEC MP350 0-7 bars permet alors d’accéder à la mesure des débits

désirés

Afin d’obtenir une relation permettant de passer de la mesure de la chute de pression au

débit massique, le théorème de Bernoulli est appliqué entre la section en amont du

diaphragme et la section la plus faible du système :

2 2

avec V0 la vitesse moyenne du fluide dans la conduite en amont de l’appareil ó règne la

pression statique P0, V1 la vitesse moyenne de la veine fluide en sa section la plus étranglée de

pression statique P1, et ρ0 la masse volumique de l’air dans la conduite En désignant par A0 et

A1 les sections de conduite et du diaphragme, la conservation du débit massique entre ces

deux sections considérées permet d’estimer le débit massique à partir de la relation suivante :

Néanmoins, il est bien évident que cette relation n’est que théorique et ne tient pas

compte des diverses pertes au niveau du diaphragme D’une part, il existe des corrections à

apporter en raison des pertes par frottement et par tourbillon, de la contraction du jet, de

l’inégale répartition des vitesses et du fait que les pressions mesurées dans les chambres

annulaires ne correspondent pas exactement aux pressions P0 et P1 dans le fluide Afin de

tenir compte de l’ensemble de ces phénomènes, un coefficient de débit ε est introduit D’autre

part, d’autres corrections (rugosité, acuité d’arête…) doivent être prises en compte Celles-ci

sont rassemblées dans un facteur global de correction η = η1.η2.η3, η1 tenant compte des

effets de viscosité, η2 de l’influence de la rugosité et de l’effet d’échelle, et η3 de la

non-acuité de l’arête du diaphragme Dans ces conditions, l’expression du débit massique est

corrigée de la façon suivante :

Une norme permet d’obtenir les valeurs du coefficient ε et du facteur η [37] Ainsi, ε a été

estimé à 0.603, et η à 1.008 Finalement, en prenant en compte l’ensemble de ces valeurs et

de leurs erreurs associées, ainsi que les erreurs sur la mesure de pression différentielle,

l’erreur moyenne quadratique globale dans la détermination du débit massique a été estimée à

2 %

1.2.1.2 Pression

Deux types de capteur de pression ont été utilisés dans le montage Afin d’accéder à la pression moyenne, des manomètres classiques, 0-5 bars, dont la précision est de 10 mbar, ont été utilisés Monté sur la paroi du hublot supérieur à côté du fond-avant, le manomètre permet

de contrôler la pression moyenne dans la veine

Le second type de capteur, un capteur piézo-électrique à quartz, permet d’accéder à la composante fluctuante de la pression Les niveaux des fluctuations de pression restent relativement faibles dans notre étude, de l’ordre du millibar, dans un environnement sous pression de l’ordre du bar Dans ces conditions, un capteur KISTLER 7261, d’un diamètre utile de 33 mm, a été utilisé Celui-ci peut fonctionner dans la gamme 0-10 bars, avec une précision estimée à 0.015 mbar En raison de la large gamme de sensibilité possible et de sa faible dérive dans le temps, ce capteur a également été utilisé pour la mesure de la pression moyenne dans la chambre La fréquence propre du capteur étant de 20 kHz, elle se situe bien au-delà des phénomènes qui nous intéressent de l’ordre de quelques kHz Les mesures de pression sont alors réalisées en paroi, la membrane du capteur étant toujours affleurante avec

la veine Le fonctionnement du capteur à quartz nécessite une excitation externe assurée par

un amplificateur de charge (de type KISTLER 5011) Ce dernier délivre une impulsion à la membrane en quartz, qui en retour lui restitue les informations de la pression fluctuante Le signal de charge fourni par le capteur est alors transformé en une tension de sortie directement proportionnelle à la pression La valeur maximale de la tension de sortie de l’amplificateur de charge est de 10 V En condition normale d’utilisation, une échelle de l’ordre du mbar/V est appliquée pour les mesures de fluctuations tandis que pour les mesures moyennes, un coefficient égal à 0.5 bar/V est appliqué

1.2.2 ANEMOMETRE A FIL CHAUD

Afin de mesurer les champs dynamiques moyen et fluctuant et d’accéder aux composantes instantanées des fluctuations de la vitesse, l’anémométrie à fil chaud est un outil important dans la conduite de nos essais Elle consiste à déterminer la vitesse instantanée en

un point de l’écoulement en considérant le transfert de chaleur entre un fil fin chauffé électriquement et cet écoulement Dans le cas de l’anémométrie à température constante utilisée (CTA), le fil est placé sur une branche d’un pont de Wheastone, la température étant maintenue constante par un système d’anémomètre de type Streamline 90 CN10/C10 DANTEC Cette anémométrie permet d’obtenir une bande passante de 400 kHz

En général, la tension e(t) délivrée par l’anémomètre est reliée à la valeur instantanée de

la composante de vitesse normale au fil u r(t), correspondant à la vitesse de refroidissement,

par la loi de KING [38]:

Les coefficients A0, B0 et n sont alors déterminés par un étalonnage à une condition de

référence (la température de T0 et la pression de P0) La mesure de la vitesse étant basée sur

l’évaluation d’un transfert de chaleur par l’intermédiaire du nombre de Nusselt, la tension

délivrée par l’anémomètre n’est pas indépendante de la température de l’écoulement

Cependant, pour l’ensemble des utilisations dans le cadre de cette étude, les anémomètres ont

été utilisés avec un fort coefficient de surchauffe, de manière à minimiser l’influence de la

température de l’écoulement sur la réponse des fils En outre, les sondes à fil chaud ont été

étalonnées pour une température proche de celle de l’écoulement étudié L’effet de la

différence entre la pression, P v, dans la veine d’essai et celle de l’étalonnage, P0, est mise à

jour à l’aide de la modification le coefficient B0 qui est proportionnel à la masse volumique

avec une puissance de n Celui-ci est donc proportionnel à la pression de la même manière

que la masse volumique En désignant B1 le coefficient corrigé par la pression de la veine, il

s’écrit :

0

n v

Il existe plusieurs types de sonde Chaque sonde à fil chaud est constituée d’un ou

plusieurs fils, reliées à une ou plusieurs voies de l’anémomètre et disposés de manière à

permettre la détermination de une ou plusieurs composantes de la vitesse de l’écoulement

L’élément sensible, un fil de 5 µm de diamètre soudé sur deux broches rigides, est constitué

de tungstène recouvert d’une fine couche de platine pour éviter son oxydation

Deux types de sondes à fil chaud ont été utilisés, des sondes croisées et des sondes

droites Leur principe de fonctionnement est bien entendu similaire, et seules les procédures

d’étalonnage et de dépouillement sont différentes

1.2.2.1 Sonde à fil droit

Dans le cas d’un écoulement de convection forcée, la vitesse longitudinale moyenne u

est beaucoup plus grande que les autres composantes moyennes de la vitesse Pour un fil placé

perpendiculairement à l’axe longitudinal x et orienté suivant z (cf Figure 1.6), ce type de

sonde donne accès essentiellement à la composante u de la vitesse En effet, compte-tenu des

ordres de grandeur des composantes moyennes de vitesse, le carré du module de la vitesse de

refroidissement peut s’écrire :

A l’aide d’une soufflerie d’étalonnage, dont le principe est de générer un écoulement à

une vitesse donnée, les coefficients de la loi (1.4) vont être déterminés Un exemple de courbe

d’étalonnage est donné Figure 1.7, qui représente l’évolution du logarithme de la différence

2 2

0

(e −e ) en fonction du logarithme du module de la vitesse moyenne u connue par la courbe

d’étalonnage de la soufflerie, la valeur 1 2

e =A étant la tension délivrée par l’anémomètre en absence d’écoulement Dans cette procédure d’étalonnage, 37 niveaux de vitesse ont été

utilisés, la gamme de vitesse s’étalant de 4 à 58 m/s

En utilisant la loi donnée par l’équation (1.4), on peut obtenir l’expression de la vitesse

moyenne à l’aide de la détermination des coefficients B0 et n à partir d’une régression linéaire

sur l’ensemble des points de la courbe d’étalonnage et d’une correction ensuite par l’équation

(1.5) :

1 2

0 1

En admettant une hypothèse de « petites fluctuations », la dérivée logarithmique de cette

équation permet d’approcher les fluctuations de vitesse u′ par :

2 0

Il devient donc possible d’accéder à une estimation de la vitesse moyenne et de la

vitesse fluctuante en un point de l’écoulement par une simple mesure des composantes

moyennes e et fluctuante e′ de la tension délivrée par l’anémomètre

1.2.2.2 Sonde à fils croisés en X

Ce deuxième type de sonde est également un outil important permettant d’accéder

simultanément aux deux composantes de la vitesse dans le plan défini par les fils [39] La

Figure 1.8 offre une vue d’une sonde coudée dont chacun des fils est sensible aux

composantes de vitesse comprises dans le plan normal à sa direction (u ri)

Considérant une sonde ó chacun des fils est fixé à +45° et −45° relativement à la

direction x, les composantes u et v de la vitesse pourront être déduites par simple projection

x y

z

x y

Figure 1.8 : Schéma d’une sonde à fils croisés en X

Dans la condition de référence, les vitesses de refroidissement de chacun des fils sont

alors reliées aux tensions anémométriques par une loi de la forme :

2

0 ( ) 0 ( ) n i

L’indice i désigne l’un ou l’autre des fils et α est l’angle de l’écoulement avec la

direction de l’axe de la sonde Les coefficients A 0i(α), B 0i(α) et n i sont déterminés par

étalonnage A la différence des sondes droites, l’étalonnage des sondes croisées nécessite la

prise en compte de la direction α de l’écoulement moyen relativement à l’axe de la sonde La

soufflerie d’étalonnage est donc équipée d’un système mécanique permettant d’effectuer des

rotations des sondes autour de la direction principale de l’écoulement généré par la soufflerie

Un asservissement pour le contrôle des rotations et des vitesses de jet, assisté par ordinateur, a

permis une complète automatisation de la procédure d’étalonnage 30 niveaux de vitesse et 17

positions relatives α de la sonde sont nécessaires afin de qualifier les deux composantes de

vitesse La Figure 1.9 offre un exemple d’une nappe d’étalonnage d’une sonde à fils croisés,

prenant en compte une direction du vecteur vitesse comprise entre −40° et 40° et une gamme

de vitesse de 3 à 55 m/s

En raison de la complexité des lois d’étalonnage imposées pour ce type de sondes,

l’utilisation d’une approche numérique est nécessaire En effet, les coefficients intervenant

dans les lois d’étalonnage retenues ne peuvent pas être déterminés par des méthodes de

régression classiques comme l’étalonnage d’une sonde droite présenté précédemment Les

coefficients A 0i(α) et B 0i(α) ont donc été approximés par des polynômes d’ordre 5 en fonction

de l’angle α, et une approche d’optimisation spécifique a été entreprise par voie numérique

Ainsi, pour un couple donné (e1, e2), un programme d’interpolation adapté permet d’obtenir les valeurs instantanées de la norme de la vitesse de l’écoulement et de l’angle du vecteur vitesse avec la direction de l’axe

1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8

1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8

1.3.1 MISE EN FORME DES SIGNAUX

Dans un premier temps, il est nécessaire de réaliser un échantillonnage représentatif des

signaux En effet, la tension instantanée e(t) délivrée par les anémomètres à fil chaud possède

une valeur moyenne importante devant l’amplitude des fluctuations alors que les convertisseurs analogique-numérique utilisés ont une résolution en tension fixe Il est possible d’améliorer la précision de la mesure en traitant séparément les tensions moyennes des fluctuations Cette séparation est effectuée par l’intermédiaire d’un ensemble de filtres passe-bas et de filtres à fréquence de coupure programmable Le système d’amplificateur Kemo permet un filtrage variant de 0.01 Hz à 100 kHz Typiquement, les signaux fluctuants sont amplifiés et filtrés au dessus de 2000 Hz pour une fréquence d’échantillonnage généralement choisie à 10 kHz, permettant ainsi de s’affranchir des effets de repliement

1.3.2 SYSTEME D’ACQUISITION

Un des paramètres contrôlant le mécanisme d’instabilité est la vitesse moyenne de l’écoulement interne dans la veine d’essai La variation de cette vitesse est obtenue grâce à une variation de la hauteur de col de la tuyère qui est mobile Cette dernière, fixée à un moteur pas à pas, permet d’accéder à la hauteur de la tuyère D’autre part, un thermocouple placé dans le tube d’alimentation générale permet d’accéder à la mesure de la température moyenne de l’écoulement Le système d’acquisition de données, présenté schématiquement Figure 1.10, permet d’effectuer simultanément la conversion analogique numérique de l’ensemble des signaux à une fréquence maximale de 200 kHz sur toutes les voies La carte d’acquisition est une carte National Instruments 6023E 12 bits comportant un échantillonneur bloqueur SC-2040 permettant d’acquérir des signaux à une fréquence maximale de 27 kHz sur chaque voie Un système de déplacement de moteurs pas à pas, sur lequel les sondes sont

fixées, est également utilisé Il permet d’effectuer une série de mesures dans la direction Y, et,

de piloter les sondes d’une section à l’autre de la veine d’essai Cet ensemble, acquisition et moteurs, est entièrement piloté par un ordinateur à l’aide du logiciel Labview Les signaux, une fois numérisés, sont enregistrés et entièrement traités de façon numérique L’ensemble des outils de traitement du signal utilisés dans cette étude est détaillé dans le paragraphe suivant

sonde à fils croisés

p

1

e e1,, 2

sonde à fils croisés

p

1

e1

e e e11,,, 2

e,2e

,

p

,

p p

2

e2e

Figure 1.10 : Système de mesure

1.3.3 TRAITEMENT DU SIGNAL

Les signaux, après échantillonnage, sont traités et exploités afin d’accéder aux

informations instationnaires de l’écoulement Différents types de traitements sont alors

exécutés, et la principale source d’information provient des composantes spectrales des

fluctuations de pression et de vitesse En outre, les liens physiques entre les différents

phénomènes physiques sont identifiés par une estimation des corrélations spatio-temporelles

entre les signaux fluctuants de même nature ou bien de nature différente

1.3.3.1 Analyse spectrale

Afin d’accéder au domaine fréquentiel contenu dans les différents signaux recueillis,

une analyse spectrale est effectuée au moyen de la transformation de Fourier Si x(t) est la

partie fluctuante d’un signal temporel stationnaire en moyenne, la transformée de Fourier

associée X ( f ) est donnée par :

2( ) ( ) j ft

−∞

ó f est la fréquence Cependant, cette intégrale n’est généralement pas convergente En outre,

cette définition suppose de connaỵtre l’historique du signal sur un temps infini Toutefois,

pour un signal enregistré sur un intervalle de temps fini T, une estimation de la transformée de

Fourier est donnée par :

2 0

( , ) T ( ) j ft

qui existe donc quelle que soit la nature du signal considéré Parallèlement, le signal x(t) est

enregistré à un intervalle de temps constant Δt, c’est à dire échantillonné à la fréquence

d’acquisition f e = 1/Δt, sur une durée totale T = NΔt, ó N est le nombre de points acquis

Cela introduit automatiquement une fréquence de coupure f c = 1/2 Δt, appelée fréquence de

Nyquist, car le calcul de la transformation de Fourier d’un signal échantillonné considère les

données d’entrées comme périodiques de période T En outre, les informations sur les

phénomènes dont la période est supérieure à T étant inconnues, la résolution en fréquence Δf

est donnée par :

Dans ces conditions, les spectres croisés entre deux signaux x(t) et y(t), de transformées

de Fourier respectives X ( f , T ) et Y ( f , T ) et les autospectres sont obtenus à partir de la

densité spectrale :

*1

ó X * ( f , T ) désigne le complexe conjugué de X ( f , T )

En pratique, le calcul des densités spectrales (1.15) et (1.16) est effectué sur des

partitions des signaux x(t) et y(t) et ensuite moyennées En considérant n p partitions des

signaux de durée identique T, pour une durée totale n p T, la densité spectrale est estimée par :

* 1

N correspondant cette fois au nombre de points contenus dans chaque partition

Cependant, il est important de préciser que la définition de la transformée de Fourier sur

une durée limitée introduit une erreur sur l’estimation des spectres En effet, la définition

donnée par l’équation (1.13) peut être interprétée comme la transformée de Fourier d’un

signal infini ˆ( )x t multiplié par une fenêtre rectangulaire w(t) définie par :

1 0( )

Il s’en suit que la transformation de Fourier de x(t) représente le produit de convolution

des transformées de Fourier de w(t) et ˆ( ) x t , ce qui peut introduire des erreurs significatives

dans l’estimation du spectre, comme des effets de bord non négligeables sous la forme de

lobes secondaires déformant les spectres Afin de limiter cet effet en pratique, une fenêtre de

pondération temporelle est utilisée représentant l’effet de troncature des échantillons Dans les

applications courantes, il existe de nombreuses fenêtres, et une des plus utilisées est une

fenêtre de type cosinus, appelée fenêtre de pondération de Hanning donnée par :

C’est donc cette fenêtre qui a été utilisée pour l’ensemble des spectres présentés dans ce

travail Chaque partition du signal est multipliée par la fenêtre de pondération et la densité

spectrale est calculée par une transformée de Fourier rapide (FFT) à l’aide de l’algorithme de

Cooley-Tukey [40], qui impose un nombre de points N dans chacune des partitions à la

puissance 2 Finalement, le spectre croisé se compose d’un spectre en amplitude s xy( )f et

d’un spectre de phase θxy (f) :

( )( ) ( ) j xy f

xy xy

Pour une fréquence d’échantillonnage de 10 kHz, le nombre de points par partition est

pris égal à 4096, ce qui, d’après l’équation (1.18), permet d’obtenir un pas en fréquence de

2.44 Hz Le nombre de points total d’un enregistrement est généralement de 204800 points,

l’acquisition s’effectue donc sur 20.5 secondes, et le nombre de moyennes effectuées est de

50 En outre, afin d’améliorer la résolution des spectres, des transformées de Fourier sont

également effectuées sur des partitions supplémentaires prenant en compte des points

appartenant à deux partitions consécutives, permettant ainsi d’augmenter le nombre de

moyennes

Enfin, pour la majorité des spectres présentés dans les chapitres qui suivent, la densité

spectrale a été normée par l’énergie totale du signal, ce qui s’exprime par S x (f) :

0

( )( )

Une corrélation permet de mesurer le degré de dépendance linéaire entre deux signaux

fluctuants x(t) et y(t) de nature quelconque Ces derniers sont recueillis en deux positions

différentes dans un écoulement séparées par un vecteur rG, et la corrélation introduit un délai

de retard τ entre la grandeur x(t) prise à l’instant t et la grandeur y(t) prise à l’instant t + τ

Pour des signaux stationnaires en moyenne, les corrélations sont indépendantes du temps t, la

fonction de corrélation spatio-temporelle est alors définie par :

Si la corrélation est fonction uniquement du délai τ, i.e., ˆr r xy( , )G τ =rˆxy( )τ , on parlera de

corrélation temporelle, alors que si aucun décalage temporel n’est pris en compte, i.e.,

ˆ ( , ) ˆ ( )

r rG τ =r rG , on parlera de corrélation spatiale ó seul l’écartement séparant les positions

des points de l’écoulement intervient En outre, dans le cas ó les signaux enregistrés sont

identiques, c’est à dire x(t) = y(t) et donc provenant d’un seul et même point, il s’agit alors

d’une fonction d’autocorrélation :

ˆ ( , )

ˆ (0) ˆ (0)( ) ( )

xy xy

GG

(1.26)

ó ˆ ( , )R r xy G τ est appelé coefficient de corrélation Celui-ci peut être utilisé pour estimer le

degré de dépendance linéaire entre deux variables x(t) et y(t) sur une échelle comprise entre -1

et 1 Pour des signaux enregistrés sur une période T, une estimation de ˆ ( , ) r r xy G τ et du

coefficient ˆ ( , )R r xy G τ est donnée par :

( , )

(0) (0)

xy xy

(1.28)

Enfin, il est parfois difficile d’extraire parmi une corrélation temporelle le délai τ

correspondant au niveau maximum atteint Une enveloppe du signal a donc été calculée [41],

par l’intermédiaire de la transformation de Hilbert Rxy( )τ du coefficient de corrélation R xy (τ),

obtenue grâce au produit de convolution suivant :

( )( ) ( )*1/

xy xy

L’enveloppe du signal A(τ) est alors par définition évaluée par la relation :

( 2 2 )1 2( ) xy( ) xy( )

1.3.3.3 Moyenne de phase

Afin d’analyser la dynamique des écoulements instationnaires périodiques, la technique

de moyenne de phase a été utilisée [42] ; cette dernière permet d’accéder aux quantités

statistiques dépendantes du temps dans une période T0 de l’écoulement périodique considéré

En effet, chaque quantité physique g( x,t) de l’écoulement instationnaire peut être

décomposée en deux composantes : une valeur moyenne temporelle ( )g x et ses fluctuations

avec N le nombre du cycle du signal considéré

Pour un écoulement périodique, ces fluctuations sont considérées comme des signaux

aléatoires ergodiques périodiques Donc, elles peuvent être également décomposées en une

partie périodique ( , )g x τ et une partie aléatoire g x t′′( , )

0'( , ) ( , ) ( , ) avec

ó la partie périodique est déterminée par moyenne de phase et sa valeur à chaque phase

s’écrit alors :

0 0

En pratique, il est nécessaire de référencer chaque signal dont l’acquisition s’opère en

plusieurs points Une analyse conditionnelle à partir d’un signal de référence synchronisé est

réalisée Les signaux à moyenner sont donc tout d’abord divisés en portions délimitées par les

maxima du signal de référence comme le montre la Figure 1.11 Ces portions sont ensuite

superposées par normalisation de leur intervalle de temps et une période unique est ainsi

obtenue Cette période est alors divisée en un certain nombre de classes temporelles dans

lesquelles sont stockées ces signaux instationnaires Nous avons décidé de choisir les

fluctuations de la pression à fond-avant comme la référence

Une des applications de l’analyse par moyenne de phase est de construire les champs de

vorticité dans une tranche périodique à une section de x0 de la veine essai En effet, à partir de

deux composantes de vitesse u(x0,y,t ) et v(x0,y,t) obtenues d’une sonde à fils croisés, les

valeurs moyennes de phase u x y( , ,0 τ) et v x y( , ,0 τ) sont déterminées A partir de

l’hypothèse de Taylor, la composante de vorticité suivant z à une phase donnée s’écrit :

(ms) (m/s)

-10

-5

0 5 10

t (ms) p' (mbar)

(ms) (m/s)

-10

-5

0 5 10

t (ms) p' (mbar)

v

a Signal de réference

τ

c Signal moyenné

Figure 1.11 : Schéma de moyenne de phase

A partir de l’analyse de moyenne de phase, il est possible d’accéder aux variations

temporelles du champ de vorticité (cf Equation 1.36) Un exemple de reconstitution de ces

champs est donné Figure 3.11 Une série de mesures a été effectuée avec une résolution de

0.5 mm dans la direction Y et un nombre de classes temporelles de 80 et une fréquence

250 Hz, soit une période correspondante à 4 ms Donc, une résolution temporelle de 0.05 ms a

été effectuée dans cette moyenne de phase En supposant que, à cette section, une vitesse

longitudinale moyenne est de l’ordre de 20 m/s, l’hypothèse de Taylor permet d’exprimer une

résolution équivalente en X de l’ordre du 1 mm Sachant que, la vitesse de convection longitudinale domine par rapport à la vitesse verticale, le rapport entre la résolution en X et en

Y peut alors être considéré comme suffisant pour capter expérimentalement les structures

tourbillonnaires

CHAPITRE 2 MODELISATION NUMERIQUE