CMR trung điểm I của MN chạy trên 1 đường tròn cố định khi cát tuyến MN di động.. Tìm vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích của tam giác CHD lớn nhất.. Đường trung trực của đường
Trang 1CÁC ĐỀ THI HSG THÀNH PHỐ VŨNG TÀU Bài 1: Cho ∆ ABC ( A = 90 µ 0 ) M là 1 điểm trên cạnh huyền BC Hạ MP ⊥AB, MQ ⊥ AC
1/ Xác định vị trí của M để độ dài PQ nhỏ nhất
2/ Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác APMQ lớn nhất (1992- 1993) vòng 1
Bài 2: C/m rằng 1 đường thẳng và 1 đường tròn không có quá 2 điểm chung (1992- 1993).vòng 1.
Bài 3: a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác vuông (c là cạnh huyền) C/m rằng a3 + b3 < c3
Bài 4: Trong 1 đường tròn (O) cho 1 điểm A ≠điểm O Tìm trên đ/tròn 1 điểm M sao cho ·AMO lớn nhất (Vòng 2)
Bài 5: Cho (O), đường kính AB cố định Một góc vuông xAy quay quanh A cắt (O) tại M và N Trên tia đối
của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA Trên tia đối của tia NA lấy điểm F sao cho NF = NA
1/ C/m: MN là đ/kính của đ/tròn (O)
2/ C/m E, B, F thẳng hàng
3/ Xác định vị trí của góc xAy để EF là tiếp tuyến của đ/tròn đã cho (93- 94)
Bài 6: Cho (O) , đường kính cố định AB = 2R và 1 cát tuyến MN quay xung quanh trung điểm H của OB.
1/ CMR trung điểm I của MN chạy trên 1 đường tròn cố định khi cát tuyến MN di động
2/ Hạ AA’⊥MN, BI cắt AA’ tại D C/m tứ giác DMBN là hình bình hành
Bài 7: Trong 1 hình tròn bán kính bằng 1, đặt 2 tam giác có diện tích lớn hơn 1 CMR khi đó 2 tam giác phải
có vô số điểm chung (94- 95)
Bài 8: Qua 1 điểm P ở miền trong của ∆ ABC kẻ 3 đường thẳng song song với các cạnh của nó Các đ/t này chia tam giác ra thành 6 phần, trong đó có 3 tam giác với các diện tích S1, S2, S3 Gọi diện tích ∆ ABC là S
S = S + S + S
Bài 9: Cho (O) và 2 bán kính OA và OB vuông góc với nhau Gọi M và N là 2 điểm trên cung nhỏ AB sao
cho AM = BN và C là giao điểm của 2 đường thẳngAM và BN CM rằng AB⊥ CD (95 – 96)
Bài 10: Cho nửa đ/tròn (O) bán kính R, đường kính AB cố định, M là 1 điểm di động trên nửa đ/tròn (M
không trùng với A và B) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB Gọi C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên MA và MB
1/ C/m:
3 MH MD.MC =
2R 2/ Tìm vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích của tam giác CHD lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó (96- 97)
Bài 11: Cho (O; R) cố định Từ 1 điểm M ở ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB Đường trung trực của đường
kính BC cắt đường thẳng AC tại E
1/ C/m ME = R
2/ Tìm tập hợp của điểm M sao cho tam giác AMB luôn luôn đều
Bài 12: Cho 3 đường tròn tâm A, B, C tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với đ/t (d) lần lượt tại A1, B1, C1.Gọi bán kính của 3 đ/tròn tâm A, B, C theo thứ tự là a, b, c C/m: 1 1 1
= +
Trang 2Bài 13: ∆ ABC có diện tích là S trung tuyến AE, CF, BM cắt nhau tại O.
a/ Nêu cách dựng 1 tam giác có 3 cạnh bằng 3 trung tuyến của ∆ ABC
b/ Tính diện tích của tam giác này theo diện tích S của ∆ ABC
Bài 14: Cho ∆ ABC đều nội tiếp đ/tròn tâm O Một điểm M chạy trên cung nhỏ AB CMR tổng các khoảng cách từ điểm M đến điểm A và B không lớn hơn đường kính của đ/tròn tâm O (98- 99)
Bài 15: Cho (O) và 1 điểm A cố định trên đường tròn đó Dựng tiếp tuyến xAy với đ/tròn Từ 1 điểm M trên
xAy vẽ tiếp tuyến MB với (O) (B là tiếp điểm)
Tìm quỹ tích trực tâm H của ∆MAB khi M di động trên xAy
Bài 16: CMR nếu các đường phân giác trong của 3 góc A, B, C cắt đ/tròn ngoại tiếp ∆ ABC tại các điểm A1,
B1, C1 theo thứ tự đó thì: AA1 + BB1 + CC1 > AB + BC + CA (1999- 2000)
Bài 17: Cho hai (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Một góc vuông xAy quay quanh A, hai tia Ax, Ay cắt hai (O) và (O’) theo thứ tự tại P và Q Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn PQ
Bài 18: Ở miền trong của 1 hình vuông cạnh 1 dm người ta đặt tuỳ ý 2001 điểm CMR có thể vẽ 1 hình tròn
bán kính 1cm chứa ít nhất 21 điểm nói trên (2000- 2001)
Bài 19: Cho 2 điểm A, B cố định trên (O) Các điểm C, D chạy trên đ/tròn sao cho AD //BC và C, D ở cùng
phía với dây AB Gọi M là giao điểm của AC, BD Các tiếp tuyến với đ/tròn tại A và D cắt nhau tại I
CM: 1/ Ba điểm M, O, I thẳng hàng
2/ Bốn điểm A, B, M, O cùng thuộc 1 đ/tròn., từ đó suy ra bán kính đ/tròn ngoại tiếp ∆ MDC là hằng số
Bài 20: Gọi R, r lần lượt là bán kính các đ/tròn ngoại tiếp, nội tiếp 1 tam giác CMR: R 2r ≥
( 2001- 2002)
Bài 21: Cho một tứ giác lồi ABCD Xét một điểm M di động trên đường thẳng AB sao cho M không trùng
với A và với B Gọi N là giao điểm thứ hai khác M của đ/tròn(MAC) và đ/tròn(MBD) CMR:
1/ Điểm N di động trên 1 đròn cố định
2/ Đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định (Đề thi HSG quốc gia 2005- 2006)
Bài 22: Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn Xét 1 điểm M di động trên đường thẳng CD sao cho M
không trùng với C và với D Gọi N là giao điểm thứ 2 khác M của đường tròn (BCM) và đường tròn (DAM) Chứng minh rằng:
a) Điểm N di động trên 1 đường tròn cố định?
b) Đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định? (Đề thi HSG quốc gia 2005-2006)
Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại B với AB=2BC Lấy điểm D thuộc cạnh AC sao cho BC=CD, điểm E
thuộc cạnh AD sao cho AD=AE Chứng minh rằng AD2 = AB.BE (T6/349)
Trang 3Bài 24: Trong mặt phẳng cho 2 đường thẳng V1, V2 cắt nhau tại O Điểm M thay đổi không thuộc V1,
2
V sao cho OM=R không đổi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên V1, V2 Tìm tập hợp tâm đường tròn nội tiếp tam giác MHK (T7/349)
Bài 25: Giả sử M là 1 điểm nằm trong tam giác nhọn ABC thõa mãn điều kiện · MBA MCA = · Gọi K, L theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ M tới AB, AC Chứng minh rằng 2 điểm K, L cách đều trung điểm của cạnh BC và trung tuyến xuất phát từ M của tam giác MKL luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi bên trong tam giác ABC (T6/350)
Bài 26: Cho tam giác ABC vuông ở A và đường cao AH Một đường tròn đi qua B và C cắt AB và AC lần
lượt ở M và N Vẽ hình chữ nhật AMDC Chứng minh rằng HN vuông góc với HD (T7/350)
Bài 27: Cho góc vuông xAy Trên Ax, Ay lấy lần lượt các điểm B, C sao cho AB = AC = a và M là 1 điểm
nằm giữa B và C Gọi (O1) là đ/tròn tâm O1 đi qua M tiếp xúc với Ax tại B, (O2) là đ/tròn tâm O2 đi qua M tiếp xúc với Ay tại C, (O1) cắt (O2) tại N khác M
1 C/m hệ thức MB2 + MC2 = 2MA2
2 CMR đ/t O1N là 1 tiếp tuyến của (O2)
3 Gọi D là giao điểm của đ/t BO1 và CO2, c/m 5 điểm A, B, N, D, C cùng nằm trên 1 đ/tròn
4 Tìm vị trí của M để độ dài đoạn thẳng O1O2 ngắn nhất
Bài 28: Cho ∆ ABC có BC = a, AC = b, AB = c thoả mãn b + c = 2a CMR tâm O của đ/tròn nội tiếp ∆ ABC chia đường phân giác AD theo tỉ số AO
= 2.
OD ( 2005- 2006).
Bài 29: Cho ∆ ABC P là điểm nằm trên đường thẳng BC Trên tai đối của tia AP lấy điểm D sao cho
2
BC
AD = Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của DB và DC Chứng minh rằng đường tròn đường kính
EF luôn đi qua 1 điểm cố định khi P di động trên đường thẳng BC (T6/348)
Bài 30: Cho ∆ ABC có AB = AC = a, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm A, bán kính R với R<a Từ B, C lần lượt kẻ các tiếp tuyến BM, CN (M, N là các tiếp điểm) với đường tròn trên sao cho chúng không đối xứng với nhau qua AH Gọi giao điểm của các đường thẳng BM và CN là I
a) Tìm tập hợp điểm I khi R thay đổi
b) Chứng minh rằng IB IC = a2 − d2 với AI=d (T7/348)
Bài 31: Cho tứ giác ABCD Lấy các điểm M, P theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho AM CP
AB = CD Tìm tập hợp trung điểm I của MP khi M, P di động trên AB, AC (T6/347)
Bài 32: Tam giác ABC có BAC · = 1350, AM và BN là các đường cao Đường thẳng MN cắt đường trung trực của AC tại P Gọi D và E theo thứ tự là trung điểm của NP và BC Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác vuông cân (T7/347)
Bài 33: Cho tam giác ABC có ·ABC tù Đặt x BAC = · và y BCA = · Chứng minh rằng sin(x+y) = sinx.cosy +siny.cosx (T6/346)
Bài 34: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB không song song với CD và 2 đường
chéo cắt nhau tại I Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD Chứng minh rằng nếu NI vuông góc với AB thì MI vuông góc với AD (T7/346)
Trang 4Bài 35: Trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt lấy hai điểm E, D sao cho AE CD
EB = DA Gọi giao điểm của BD và CE là M Xác định vị trí của E, D sao cho diện tích của tam giác BMC đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo diện tích của tam giác ABC (T6/345)
Bài 36: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) Tia phân giác của góc BAC cắt đường tròn (O)
tại A và D Đường tròn tâm D bán kính DB cắt đường thẳng AB tại B và Q, cắt đường thẳng AC tại C và
P Chứng minh rằng AO vuông góc với PQ (T7/345)
Bài 37: Cho X là một điểm nằm trên cạnh AB của hình bình hành ABCD Đường thẳng qua X song song
với AD, cắt AC tại M và cắt BD tại N XD cắt AC tại P và XC cắt BD tại Q Chứng minh rằng
1 3
MP NQ
AC + BD ≥ Đẳng thức xảy ra khi nào? (T6/344)
Bài 38: Cho tam giác ABC với các đường cao AM, BN và nội tiếp đường tròn (O) D là một điểm nằm
trên đường tròn đó mà khác A, B và DA không song song với BN Các đường thẳng DA và BN cắt nhau tại Q Các đường thẳng DB và AM cắt nhau tại P Chứng minh rằng khi D di động trên đường tròn (O) thì trung điểm của đoạn PQ luôn nằm trên 1 đường thẳng cố định (T7/344)
Bài 39: Cho tam giác ABC với BC = a, AB = AC = b (a > b) Đường phân giác BD có độ dài bằng cạnh
bên Chứng minh rằng:
1 a a b 1
b b a
+ − =
÷ ÷
Bài 40: Cho tam giác ABC với các đường phân giác AA ,1 BB CC1, 1 Biết rằng · 0
1 1 1
A B C = 90 Tính số đo góc ABC (T7/343)
Bài 41: Cho tam giác ABC cân tại A với BAC 80 · = 0 Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho MAC 20 · = 0
và MCA 30 · = 0 Tính góc MBC (T6/342)
Bài 42: Cho đường tròn (O), hai dây cung CA, CB không đi qua tâm O và BA BC ≠ Đường thẳng qua
điểm A vuông góc với đường thẳng OB cắt đường thẳng CB tại điểm N Gọi M là trung điểm của AN Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) lần nữa tại D Gọi OE là đường kính của đường tròn đi qua các điểm B, D, O Chứng minh rằng ba điểm A, C, E thẳng hàng (T7/342)
