Đường thẳng DM cắt (O) tại điểm thứ hai là K. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB; AC lần lượt tại E; D.. Gọi F là giao điểm AB và MN; G là giao điểm EO và MN. Kẻ các đường [r]
Trang 1A NỘI DUNG TỰ HỌC TOÁN 9
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 GÓC Ở TÂM
2 GÓC NỘI TIẾP
HỆ QUẢ: TRONG MỘT ĐƯỜNG TRÒN
1) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
2) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn những cung bằng nhau thì chúng bằng nhau
3) Góc nội tiếp 90 có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung 4) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
3 GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
m n
O
A
B
m O
A
C B
Định lí: Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn
AOBSd AmB
Định lí: Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn
1 2
ABC Sd AmC
Định lí: Số đo góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn
1 2
BAx Sd AmB
x m
y
O
A B
Trang 24 GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN
5 GÓC CÓ ĐỈNH BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
6 TỨ GIÁC NỘI TIẾP
CÁC CÁCH CHỨNG MINH MỘT
TỨ GIÁC LÀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP
1) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 là tứ giác nội tiếp
2) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện thì
tứ giác đó nội tiếp
m
O D
B
C
E
O A
B
C D
Định lí: Số đo góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
Trang 33) Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một đỉnh (đỉnh đó ta xác định được) là tứ giác nội tiếp
4) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc thì tứ giác đó nội tiếp
7 CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN (CHU VI ĐƯỜNG TRÒN)
C 2 R hoặc C d (d 2R)
8 CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI CUNG TRÒN:
Trên đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung n0 được tính theo công thức:
10 CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH QUẠT TRÒN
Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n0 được tính theo công thức:
Trang 4II BÀI TẬP:
Bài 1: Cho (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho MO = 2R Từ M kẻ
tiếp tuyến MA với (O) Tia OM cắt đường tròn tại B
a) Tính số đo góc AOB và số đo cung AB nhỏ
b) Kẻ tiếp tuyến MC với (O) ( C là tiếp điểm ) Chứng minh: OM vuông góc với AC
c) Gọi H là giao điểm của AC và OB Chứng minh: HA.HC = HB.HM và OABC là hình thoi
Bài 2: Cho (O;R) và một điểm K nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến KE với (O)
Tia OK cắt đường tròn tại F Cho biết OK = R 2
a) Tính số đo cung nhỏ EF
b) Đường thẳng qua E vuông góc OK và cắt (O) tại điểm thứ hai là M Chứng minh: KM là tiếp tuyến của (O)
Bài 3: Cho (O;R) và dây cung BC =R
a) Tính số đo góc BOC và suy ra số đo cung nhỏ BC, số đo cung lớn BC b) Kẻ tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại A và đường kính BOD Chứng minh: OA//CD
Bài 4: Cho (O;R) và hai dây cung AB, AC tùy ý ( O nằm trong góc BAC)
Kẻ đường kính AD
a) Chứng minh: BADBCD và BD vuông góc AB
b) Lấy E thuộc (O) sao cho điểm D là điểm chính giữa cung nhỏ BE Chứng minh: CA là tia phân giác BCE
Bài 5: Cho (O;R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn.Kẻ SA là tiếp tuyến của
đường tròn ( A thuộc (O)) và AK là đường kính SK cắt (O) tại điểm thứ hai là I
Trang 5Bài 7: Cho (O;R), đường kính BC Từ một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho ABC
nhọn và các đường thẳng AB, AC cắt (O) lần lượt tại E và D Gọi H là giao điểm BD,
CE, AH cắt nhau tại K
a) Chứng minh: BD, CE lần lượt là các đường cao của ABC
b) Chứng minh: AD AC = AE.AB = AH.AK
c) Giả sử BAC 60 Chứng minh: DOE đều và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác trên
d) Tiếp tuyến của (O) cắt AK tại I Chứng minh O, I, D, E, K cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm của đường tròn trên
Bài 8: Cho (O;R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến SA với (O) ( A
là tiếp điểm ) và cát tuyến SCD (SD > SC)
TC TF TO và TC là tiếp tuyến của (O)
Bài 9: Cho (O), đường kính AB = 2R Trên đường thẳng AB ở ngoài (O) lấy điểm D
Kẻ DC là tiếp tuyến tại C của đường tròn M là điểm chính giữa cung AB ( M khác phía C đối với AB) CM cắt AB tại E
a) Chứng minh: 2
.
b) Chứng minh: OM ABvà DCEcân
c) Gọi H là hình chiếu của C trên AD Đường thẳng DM cắt (O) tại điểm thứ hai
là K Chứng minh: CB là phân giác của DCH và OE.CH = HE.R
d) Chứng minh: HKDM
Bài 10: Cho ABC có ba góc nhọn và AB<AC Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB; AC lần lượt tại E; D
a) Chứng minh: AD.AC = AE.AB
b) Gọi H là giao điểm của BD và CE; K là giao điểm của AH và BC Chứng minh: AH BC
c) Từ A kẻ tiếp tuyến AN đến (O) với N là các tiếp điểm ( N nằm cùng phía với Cđối với AH) Chứng minh: 4 điểm A, K, O, N cùng thuộc một đường tròn d) Chứng minh: AN2 AH AK. và ANH AKN
Bài 11: Trên (O) lấy 3 điểm A, B, C Gọi M, N, P theo thứ tự là điểm chính giữa các
cung AB, BC, CA BP cắt AN tại I; MN cắt AB tại E
a) Chứng minh: BNIcân
Trang 6b) Chứng minh: AE BN = BE AN
Bài 13: Cho (O;R) và điểm S ở ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến SA, SB và cát
tuyến SMN đến (O) ( M nằm giữa S và N) Phân giác MANcắt dây MN tại D và cắt (O) tại E Gọi F là giao điểm AB và MN; G là giao điểm EO và MN
a) Chứng minh:
2
b) Chứng minh:
2
c) Chứng minh: SD = SA
Bài 14: Cho MEKcó 3 góc nhọn Kẻ các đường cao MH, KB,EA cắt nhau tại I
Chứng minh: Tứ giác MBIA, EBIH,KAIH, EBAK, MEHA, MBHK nội tiếp Xác định tâm và bán kính của các đường tròn ngoại tiếp tứ giác trên
Bài 15: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R) có đường cao BE và CF cắt nhau tại H
a)Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp và OA vuông góc EF
b)Kẻ đường kính AD của (O),BC cắt HD tại I.Chứng minh OI vuông góc BC
Bài 16: Cho ABCcó 3 góc nhọn Kẻ các đường cao BD, CE của ABC
a) Chứng minh: Tứ giác BECD nội tiếp Xác định tâm O của đường tròn đó
b) Chứng minh: Tứ giác ADHE nội tiếp
c) Gọi H là giao điểm của BD và CE Kẻ HK vuông góc BC tại K Chứng minh:
a) Chứng minh: Tứ giác CEHD , ACDF nội tiếp
b) Chứng minh: DA là phân giác của EDF
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC Vẽ (O)
d) Chứng minh: FDEFOE từ đó suy ra tứ giác DFEO nội tiếp
Trang 7Bài 18: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) Vẽ các tiếp tuyến AB ; AC với
đường tròn (O) tại B và C
a) CM : Tứ giác ABOC nội tiếp được đường tròn
b) Vẽ cát tuyến ADE với đường tròn (O) ( cát tuyến ADE không qua tâm O ; D
nằm giữa A và E ) CM : AB2 = AD.AE = OA2 – R2
c) Gọi H là giao điểm của BC và OA CM : Tứ giác HDEO nội tiếp
Bài 19: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Vẽ hai đường
cao BE và CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp được đường tròn Xác định tâm và bán kính của đường tròn này
b) Gọi K và Q lần lượt là giao điểm của BE và CF với đường tròn (O) Chứng minh EF song song KQ
Bài 20: Cho đường tròn (O;R) Từ điểm M ở ngoài (O), kẻ hai tiếp tuyến MB và MC
với (O) (B và C là hai tiếp điểm)
a/ Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp
b/ Vẽ cát tuyến MKN không qua tâm O Chứng minh: MB2 = MK MN
c/ Trên (O) lấy điểm A thuộc cung lớn BC sao cho AB song song với KN AC
cắt KN tại I Chứng minh I là trung điểm của KN
Bài 21: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O;R) vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến
ACD
a/ CMR :AB2 = AC AD
b/ Vẽ tiếp tuyến AE với đường tròn (O) , E là tiếp điểm CMR : tứ giác ABOE
nội tiếp (K) , xác định K
c/ Gọi I là trung điểm CD CMR : I thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOE
Bài 22: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB = 2R Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm M sao
cho OM > 2R Kẻ dây AC của (O) vuông góc với OM tại H MB cắt đường tròn (O) và AC
a) Tính độ dài cung 60o
của một đường tròn có bán kính 2dm
b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 650mm
Trang 8Bài 2: Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước Khi bơm căng, bánh xe sau có đường kính là 1,672m và bánh xe trước có đường kính là 88cm Hỏi khi bánh xe sau lăn được 10 vòng thì bánh xe trước lăn được mấy vòng?
Bài 3: Bánh xe của một ròng rọc có chu vi là 540mm Dây cua-roa bao bánh xe theo
cung AB có độ dài 200mm Tính góc AOB
Bài 4: Vĩ độ của Hà Nội là 20 o
01' Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài khoảng
40 000km Tính độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo
Bài 6: Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 69, 70, 71 (đơn vị độ dài:
cm)
Bài 7: Tính diện tích phần tô màu trên hình sau (theo kich thước đã cho trên hình)
Trang 9
- Chọn ẩn, tìm đơn vị và điều kiện cho ẩn;
- Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập hệ phương trình
* Bước 2: Giải hệ phương trình
* Bước 3: Đối chiếu với điều kiện để trả lời
II BÀI TẬP
Bài 1 Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đường dài 156km,
sau 3 giờ thì hai xe gặp nhau Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km Tính vận tốc xe đạp và ô tô
Hướng dẫn Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h), vận tốc của ô tô là y (km/h)
156 3
3
y
x x
y
y x
Vậy vận tốc xe đạp là 12 (km/h), vận tốc của ô tô là 40 (km/h)
Bài 2 Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với
vận tốc 35 km/h thì sẽ đến chậm 2 giờ so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định Tính quãng đường AB và thời gian dự định
đi từ A đến B
Hướng dẫn Gọi quãng đường AB là x(km), thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là y
(giờ) (x > 0 ; y > 1)
Trang 102 35
y
x x
y
y x
Vậy quãng đường AB là 350(km), thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là 8 (giờ)
Bài 3 Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau
Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô
đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3km/h
Hướng dẫn Gọi vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là x(km/h), vận tốc ca nô đi ngược
) 3 ( 3
5 ) 3 ( 3 5
9 ) 3 ( 3
y
x y
x
y x
Vậy vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là 27(km/h), vận tốc ca nô đi ngược dòng là 24 (km/h)
Bài 4 Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m Tính diện
tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi
Hướng dẫn Gọi chiều rộng của thửa ruộng là x (m), chiều dài của thửa ruộng là y
(m) (x > 0, y > 0) Hệ phương trình :
45
15 60
2
y x
x y
Diện tích của thửa ruộng là : 900 m 2
Bài 5: Tìm hai số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó bằng 11, nếu đổi
chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì nó tăng thêm 27 đơn vị
Hướng dẫn Gọi số tự nhiên có hai chữ số là ab ( 0 a 9 , 0 b 9 ) Hệ phương trình :
7 27
Trang 11Vậy số cần tìm là 47
III BAI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1 Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đã định nếu vận tốc tăng thêm
20 km/h thì thời gian giảm đi 1 giờ, nếu vận tốc giảm bớt đi 10 km/h thì thời gian tăng lên 1 giờ Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô
Bài 2 Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc , đi
ngược chiều nhau và gặp nhau tại một địa điểm cách A 2 km Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sễ gặp nhau ở chính giữa quãng đường Tính vận tốc của mỗi người
Bài 3 Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km và một đoạn xuống dốc dài
5km Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút, từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc
và xuống dốc lúc đi và lúc về như nhau) Tính vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống dốc
Bài 4 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị
là 3 đơn vị Nếu đổi hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì nó giảm 27 đơn
vị
Bài 5 Cho một hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì
diện tích tăng 500 m 2 Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m 2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu
Bài 6 Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngược
chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B
Bài 7 Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h Khi đi từ B về A người ấy đi
đường khác dài hơn 6 km, với vận tốc 12km/h nên thời gian ít hơn thời gian khi đi là
20 phút Tính quãng đường AB?
Bài 8 Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngược chiều nhau
và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca
nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nước) và vận tốc dòng nước là 3 km/h
Trang 12Bài 9 Hai thùng đựng dầu: Thùng thứ nhất có 120 lít, thùng thứ hai có 90 lít Sau khi
lấy ra ở thùng thứ nhất một lượng dầu gấp ba lượng dầu lấy ra ở thùng thứ hai, thì lượng dầu còn lại trong thùng thứ hai gấp đôi lượng dầu còn lại trong thùng thứ nhất Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu ở mỗi thùng?
Bài 10 Hai trường A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng
tuyển Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trường A đạt 80%, trường B đạt 90% Hỏi mỗi trường có bao nhiêu HS lớp 9 dự thi vào lớp 10
Bài 11 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể
Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ Tính thời gian
để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể
Bài 12 Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ Nếu tổ một làm
trong 5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì được 30% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu
Bài 13 Một thửa ruộng có chu vi 200m nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng
đi 5m thì diện tích giảm đi 75 2
m Tính diện tích thửa ruộng đó
Bài 14 Một phòng họp có 360 ghế được xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế
ngồi bằng nhau Nhưng do số người đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải kê thêm 1 ghế mới đủ chỗ Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu
-
Trang 13TUẦN 4
ÔN TẬP CHƯƠNG III : HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Bài 1 Giải các hệ phương trình sau
Trang 14Bài 4 Tổng kết năm học 2016 – 2017, lớp 9a2 đạt danh hiệu lớp xuất sắc của trường vì chỉ có học sinh tiên tiến và học sinh giỏi Tìm số học sinh giỏi lớp 9a 2 biết rằng số học giỏi hơn số học sinh khá là 28 em và tổng số học sinh của lớp 9a2 là 36 em ?
Bài 5 Bác Năm mua một thùng trái cây cân nặng 16kg gồm hai loại là táo và xoài, táo
giá 50 ngàn đồng/kg , xoài giá 70 ngàn đồng/kg Hỏi Bác Năm mua bao nhiêu kg táo và xoài mỗi loại biết rằng giá tiền của thùng trái cây là 900 ngàn đồng
Trang 15Bài 6 Mẹ hơn Lan 24 tuổi 2 năm nữa tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Lan Hỏi hiện giờ Lan bao
nhiêu tuổi ?
Bài 7 Có hai thùng dầu, thùng thứ nhất đựng ít hơn thùng thứ hai 24 lít dầu và 5 lần
thùng thứ nhất bằng 3 lần thứ hai Hỏi mỗi thùng đựng bao nhiêu lít dầu?
Bài 8 Một người mua tám cái bánh và bốn chai nước, tổng số tiền phải trả là 128 nghìn
đồng Biết rằng giá mỗi cái bánh gấp 1,5 lần giá một chai nước Tính giá mỗi cái bánh
Bài 9 Nam đem 72.000 đồng vào nhà sách mua hết bút và vở Mỗi cây bút giá 6.000 đồng,
mỗi quyển vở giá 12.000 đồng Nam mua được số bút gấp đôi số vở Tìm số bút và vở mà Nam đã mua
Bài 10 Có hai kho thóc, biết rằng số thóc ở kho I gấp đôi số thóc ở kho II Nếu chuyển 30
tạ thóc từ kho I sang kho II thì số thóc còn lại ở kho I bằng 8
7 số thóc ở kho II Tính số thóc ở mỗi kho lúc đầu
TUẦN 5 & TUẦN 6
Trang 16II Đồ thị hàm số y = ax 2 (a ≠
Là một đường cong Parabol
Đi qua gốc tọa độ (nhận O làm đỉnh)
Nhận trục tung làm trục đối xứng
Nằm phía trên trục hoành và có đỉnh O là điểm thấp nhất (nếu a > 0)
Nằm phía dưới trục hoành và có đỉnh O là điểm cao nhất (nếu a < 0)
Lưu ý: khi vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
- Bảng giá trị: tính tọa độ ít nhất 5 điểm, trong đó có tọa độ của điểm thấp nhất (a > 0)
hoặc điểm cao nhất (a < 0)
- Vẽ đồ thị và nhận xét: đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0) là một đường cong parabol
Ví dụ
a) Xác định hàm số y = ax2 , biết đồ thị của nó đi qua điểm A(2; 1) Vẽ đồ thị vừa tìm
được
b) Các điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số: M(–8; –16) và N(–6;9)
c) Xác định tọa độ các điểm R, Q thuộc đồ thị hàm số biết điểm R có hoành độ là 2,
Trang 17b) điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số: M(–8; –16) và N(–6;9)
Trang 18x x
Trang 19Ví dụ: Giải các phương trình sau:
x 3
+ Nếu 0 thì pt có 2 nghiệm phân biệt:
+ nếu 0 thì pt vô nghiệm
Công thức nghiệm thu gọn
