Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân và ứng dụng

Ta sẽ thiết lập sự tồntại đa tạp ổn định, không ổn định, đa tạp tâm ổn định và đa tạp tâm không ổn định khi phần tuyến tính của phương trình 1 có nhị phân mũ hoặc tamphân mũ trên nửa đườ

là một toán tử phi tuyến Một trong những hướng nghiên cứu quan trọngcủa vấn đề xem xét dáng điệu tiệm cận nghiệm cho phương trình (1) là tìmđiều kiện của phương trình này để nó có đa tạp tích phân (ổn định, không

ổn định, tâm) Như ta đã biết điều kiện phổ biến nhất cho sự tồn tại này lànhị phân mũ (hoặc tam phân mũ) của phần tuyến tính dx

dt = A(t)x(t) và tínhLipschitz đều của f (t, x) với hằng số Lipschitz đủ nhỏ Ta sẽ thiết lập sự tồntại đa tạp ổn định, không ổn định, đa tạp tâm ổn định và đa tạp tâm không

ổn định khi phần tuyến tính của phương trình (1) có nhị phân mũ (hoặc tamphân mũ) trên nửa đường thẳng hoặc cả đường thẳng, trong đó hàm f (t, x)thỏa mãn điều kiện tổng quát hơn như sau:

kf (t, x) − f (t, y)k ≤ ϕ(t)kx − yk,với ϕ là một hàm thực dương thuộc không gian hàm chấp nhận được Nhưvậy với việc sử dụng không gian hàm chấp nhận được ta xây dựng được những

đa tạp bất biến cho phương trình (1) trong trường hợp phần tuyến tính cónhị phân mũ (hoặc tam phân mũ) mà không sử dụng đến điều kiện Lipschitznhỏ của f (t, x) Thay vào đó là điều kiện đủ nhỏ của sup

t≥0

Rt+1

t ϕ(τ )dτ (Định

lí 1.3.8) Và do đó ta thu được sự tồn tại của đa tạp bất biến ổn định, không

ổn định (tâm ổn định, tâm không ổn định) cho trường hợp phần tuyến tính

có nhị phân mũ (tam phân mũ) dưới điều kiện tổng quát hơn của f (t, x)

1

Trong [2], I.D Chueshov đã xét phương trình

du

dt + Au = B(u, t), t > s, u|t=s = u0, s ∈ R,với A là toán tử dương có phổ rời rạc và B(., ) là toán tử phi tuyến liên tục

từ D(Aθ) × R vào không gian Hilbert H (0 ≤ θ < 1 ) thỏa mãn điều kiện

kB(u, t)k ≤ M (1 + kAθuk)và

kB(u1, t) − B(u2, t)k ≤ M (1 + kAθ(u1 − u2)k),với mọi u, u1, u2 thuộc D(Aθ) (M là một hằng số dương nào đó) Với điềukiện khe hở phổ và sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Perron, tác giả đãchứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính của phương trình này và đồng thờichỉ ra tính hút cấp mũ của nó (Định lí 3.1, [2])

Vận dụng kết quả trong [7] và phương pháp hàm Lyapunov-Perron tương

tự như trong [2], chúng tôi chứng minh được tính hút cấp mũ của đa tạpkhông ổn định và đa tạp tâm không ổn định trong trường hợp phần tuyếntính có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ còn phần phi tuyến thỏa mãn một

số điều kiện nào đó (Định lí 2.1.1 và Định lí 2.2.1) Tiếp đó chúng tôi có đưa

ra ví dụ minh họa cho kết quả mới này

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1: Đa tạp bất biến trong không gian hàm: Trong chươngnày, chúng tôi trình bày các kiến thức về họ tiến hóa, họ tiến hóa có nhị phân

mũ, tam phân mũ, không gian hàm chấp nhận được và các tính chất của nó,

sự tồn tại của đa tạp ổn định, không ổn định, tâm ổn định và tâm không ổnđịnh (những kết quả trong [7])

Chương 2: Tính hút của đa tạp không ổn định: Trong chương nàychúng tôi chứng minh tính hút cấp mũ của đa tạp không ổn định và đa tạptâm không ổn định, đồng thời chúng tôi cũng cho ví dụ để minh họa cho kếtquả mới này

2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: TOÁN TIN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :

PGS.TS NGUYỄN THIỆU HUY

Hà Nội, tháng 9 – Năm 2011

Mục lục

1.1 Họ tiến hóa 6

1.1.1 Khái niệm họ tiến hóa 6

1.1.2 Họ tiến hóa có tam phân mũ 8

1.2 Không gian hàm và tính chấp nhận được 10

1.2.1 Không gian hàm chấp nhận được 11

1.2.2 Tính chất của không gian hàm chấp nhận được 12

1.2.3 Hàm ϕ−Lipschitz 16

1.3 Nhị phân mũ và đa tạp ổn định trên R+ 17

1.3.1 Đa tạp ổn định địa phương trên R+ 17

1.3.2 Đa tạp bất biến ổn định trên R+ 20

1.4 Tam phân mũ và đa tạp tâm ổn định trên R+ 22

1.5 Đa tạp không ổn định trên R 30

1.5.1 Đa tạp không ổn định địa phương trên R 30

1.5.2 Đa tạp bất biến không ổn định trên R 36

1.6 Đa tạp tâm không ổn định trên R 41

2 Tính hút của đa tạp không ổn định 43 2.1 Tính hút của đa tạp bất biến không ổn định 43

2.2 Tính hút của đa tạp tâm không ổn định 49

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáoPGS.TS Nguyễn Thiệu Huy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tớiThầy bởi những kiến thức chuyên ngành mà Thầy đã truyền đạt, sự nhiệttình và tận tâm chỉ bảo trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài!

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán Tin ứng dụng, Viện Đào tạoSau Đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuậnlợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu Đồng thời, tác giảxin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô và đồng nghiệp đã trao đổicùng tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quý báu để giúp cho luận vănđược hoàn thiện hơn

Tác giả vô cùng biết ơn gia đình, bạn bè và người thân đã động viên,

cổ vũ và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoànthành luận văn này

Lời mở đầu

Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng

dx

dt = A(t)x(t) + f (t, x(t)), t ∈ J, (1)trong đó J là một khoảng con của R; A(t) là một toán tử tuyến tính (có thểkhông bị chặn) trên không gian Banach X, x(t) ∈ X và f (., ) : J × X → X

là một toán tử phi tuyến Một trong những hướng nghiên cứu quan trọngcủa vấn đề xem xét dáng điệu tiệm cận nghiệm cho phương trình (1) là tìmđiều kiện của phương trình này để nó có đa tạp tích phân (ổn định, không

ổn định, tâm) Như ta đã biết điều kiện phổ biến nhất cho sự tồn tại đa tạptích phân của phương trình (1) là nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ) củaphần tuyến tính dx

dt = A(t)x(t) và tính Lipschitz đều của f (t, x) với hằng

số Lipschitz đủ nhỏ Ta sẽ thiết lập sự tồn tại đa tạp ổn định, không ổnđịnh, đa tạp tâm ổn định và đa tạp tâm không ổn định khi phần tuyến tínhcủa phương trình (1) có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ) trên nửa đườngthẳng hoặc cả đường thẳng, trong đó hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện tổngquát hơn như sau:

kf (t, x) − f (t, y)k ≤ ϕ(t)kx − yk,với ϕ là một hàm thực dương thuộc không gian hàm chấp nhận được Tronghầu hết các chứng minh chúng ta sẽ làm chi tiết cho trường hợp nhị phân

mũ, trường hợp tam phân mũ sẽ được chuyển từ trường hợp nhị phân mũbằng quá trình đổi tỉ xích (rescaling) Trong quá trình chứng minh ta cũng

sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và đặc trưng hóa nhị phân mũ củaphương trình tiến hóa trong không gian hàm chấp nhận được xác định trên

R+ (hoặc R) để xây dựng cấu trúc nghiệm của phương trình (1) ở dạng đủtốt

Như vậy với việc sử dụng không gian hàm chấp nhận được ta xây dựngđược những đa tạp bất biến cho phương trình (1) trong trường hợp phần

tuyến tính có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ) mà không sử dụng đếnđiều kiện Lipschitz nhỏ của f (t, x) Thay vào đó là điều kiện đủ nhỏ củasup

t≥0

Rt+1

t ϕ(τ )dτ (Định lí 1.3.8) Và do đó ta thu được sự tồn tại của đa tạpbất biến ổn định, không ổn định (tâm ổn định, tâm không ổn định) chotrường hợp phần tuyến tính có nhị phân mũ (tam phân mũ) dưới điều kiệntổng quát hơn của f (t, x)

Trong [2], I.D Chueshov đã xét phương trình

du

dt + Au = B(u, t), t > s, u|t=s = u0, s ∈ R,với A là toán tử dương có phổ rời rạc và B(., ) là toán tử phi tuyến liêntục từ D(Aθ) × R vào không gian Hilbert H (0 ≤ θ < 1 ) thỏa mãn điềukiện

kB(u, t)k ≤ M (1 + kAθuk)và

kB(u1, t) − B(u2, t)k ≤ M (1 + kAθ(u1 − u2)k),với mọi u, u1, u2 thuộc D(Aθ) (M là một hằng số dương nào đó) Với điềukiện khe hở phổ và sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Perron, tác giả

đã chứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính của phương trình này và đồngthời chỉ ra tính hút cấp mũ của nó (Định lí 3.1, [2])

Vận dụng kết quả trong [7] và phương pháp hàm Lyapunov-Perron tương

tự như trong [2], chúng tôi chứng minh được tính hút cấp mũ của đa tạpkhông ổn định và đa tạp tâm không ổn định trong trường hợp phần tuyếntính có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ còn phần phi tuyến thỏa mãn một

số điều kiện nào đó (Định lí 2.1.1 và Định lí 2.2.1) Tiếp đó chúng tôi cóđưa ra ví dụ minh họa cho kết quả mới này

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1: Đa tạp bất biến trong không gian hàm: Trong chươngnày, chúng tôi trình bày các kiến thức về họ tiến hóa, họ tiến hóa có nhịphân mũ, tam phân mũ, không gian hàm chấp nhận được và các tính chấtcủa nó, sự tồn tại của đa tạp ổn định, không ổn định, tâm ổn định và tâmkhông ổn định (những kết quả trong [7])

Chương 2: Tính hút của đa tạp không ổn định: Trong chương nàychúng tôi chứng minh tính hút cấp mũ của đa tạp không ổn định và đa tạptâm không ổn định, đồng thời chúng tôi cũng cho ví dụ để minh họa.Mặc dù đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và cũng rất cố gắng, song dothời gian có hạn, kiến thức tích lũy chưa nhiều nên bản luận văn không

tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong sẽ nhận được các ý kiến đónggóp của Quý Thầy cô và các bạn đồng nghiệp để bản luận văn được hoànchỉnh hơn.

Hà Nội, ngày 07 tháng 8 năm 2011Học viên : Phạm Thị Hoài

Chương 1

Đa tạp bất biến trong không gian

hàm

1.1.1 Khái niệm họ tiến hóa

Định nghĩa 1.1.1 Kí hiệu J là R hoặc R+, một họ các toán tử (U (t, s))t≥s,t,s∈Jtrên không gian Banach X được gọi là một họ tiến hóa (liên tục mạnh, bịchặn mũ) trên J nếu:

(i) U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với mọi t ≥ r ≥ s, t, r, s ∈ J,(ii) Ánh xạ (t, s) 7→ U (t, s)x liên tục trên J × J với mọi x ∈ X,

(iii) kU (t, s)xk ≤ Keω(t−s)kxk với mọi t ≥ s, t, s ∈ J và x ∈ X, trong đó

K, ω là các hằng số nào đó

Khái niệm họ tiến hóa được phát triển một cách tự nhiên từ lí thuyết

về phương trình tiến hóa được đặt chỉnh Nghĩa là, nếu bài toán Cauchy

(trong đó, A(t) là toán tử tuyến tính trên không gian Banach X, nói chungA(t) không bị chặn với t ∈ J) được đặt chỉnh thì tồn tại một họ tiến hóa(liên tục mạnh, bị chặn mũ) (U (t, s))t≥s,t,s∈J sao cho nghiệm của bài toántrên được cho bởi u(t) = U (t, s)u(s) Để biết chi tiết hơn về khái niệm họtiến hóa, các tính chất, các ứng dụng và những vấn đề liên quan đến họ tiếnhóa, bạn đọc có thể xem thêm trong A Pazy[10] hay R Nagel, G Nikel [9].Dưới đây là một số ví dụ minh họa họ tiến hóa:

Ví dụ 1.1.2 (i) Xét phương trình vi phân thường dx

dt = A(t)x, với x ∈

Rn, ánh xạ tuyến tính A : [0, +∞) → Rn×n là liên tục Khi đó tồntại duy nhất họ hai tham số các ma trận Cauchy không suy biến(X(t, s))t,s≥0, với X(t, s) := X(t)X−1(s), X(t) là một ma trận cơ bảnnào đó Họ các ma trận Cauchy này là một họ tiến hóa

(ii) Hàm u đi từ R vào tập các toán tử khả nghịch, bị chặn đều trên X.Toán tử u−1(τ ) = [u(τ )]−1 bị chặn và liên tục mạnh Khi đó toán tử

U (θ, τ ) = u(θ)u(τ )−1 xác định một họ tiến hóa trên X

(iii) Cho (A, D(A)) là toán tử tuyến tính trên X Lấy ω ∈ R, M ≥ 1, khi

đó các khẳng định sau tương đương

(a) (A, D(A)) sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 thỏa mãn

1.1.2 Họ tiến hóa có tam phân mũ

Định nghĩa 1.1.3 Kí hiệu J là R hoặc R+, một họ tiến hóa {U (t, s)}t≥s,t,s∈Jtrên J được gọi là có tam phân mũ trên J nếu tồn tại ba họ các phép chiếu(Pj(t))t∈J,j=1,2,3, các hằng số dương N, α, β, với α < β sao cho các điều kiệnsau được thỏa mãn:

(i) supt∈JkPj(t)k < +∞, j = 1, 2, 3,

(ii) P1(t) + P2(t) + P3(t) = Id với mọi t ∈ J, và Pj(t)Pi(t) = 0 với mọi

j 6= i,

(iii) Pj(t)U (t, s) = U (t, s)Pj(s), với mọi t ≥ s ≥ 0, j = 1, 2, 3,

(iv) U (t, s)|ImPj(s) là đồng phôi từ ImPj(s) lên ImPj(t) với mọi t ≥ s, t, s ∈

J và j = 2, 3 theo thứ tự; ta cũng kí hiệu U (s, t)| là ánh xạ ngược của

Ví dụ 1.1.4 Xét phương trình tiến hóa:

dx(t)

Trong đó A là toán tử quạt thỏa mãn tập phổ của A là σ(A) được phânhoạch thành ba tập rời rạc: {λ ∈ σ(A), Reλ < 0}, {λ ∈ σ(A), Reλ > 0} và

{λ ∈ σ(A), Reλ = 0} sao cho σ(A) ∩ iR chỉ gồm hữu hạn điểm Khi đó

A sẽ là phần tử sinh của nửa nhóm giải tích (T (t))t≥0 Do đó ta xác địnhđược họ tiến hóa U (t, s) := T (t − s) với mọi t ≥ s ≥ 0 Đây là một họ tiếnhóa có tam phân mũ, để thấy điều này ta chỉ cần chọn được một họ cácánh xạ chiếu thích hợp thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa trên.Thật vậy, áp dụng định lí ánh xạ phổ cho nửa nhóm giải tích ta có, vớimỗi t0 cố định, phổ của toán tử T (t0) được phân ra thành các tập rời rạc

σ1, σ2, σ3 với σ1 ⊂ {|z| < 1}, σ2 ⊂ {|z| > 1}, σ3 ⊂ {|z| = 1} và σ3 chỉ

có hữu hạn phần tử Tiếp theo chúng ta sẽ chọn P1 = P1(t0), P2 = P2(t0),

P3 = P3(t0) là các phép chiếu Riesz tương ứng với các tập phổ σ1, σ2, σ3

Rõ ràng P1, P2, P3 giao hoán với T (t) với mọi t ≥ 0

Hiển nhiên P1 + P2 + P3 = I và PiPj = 0 với i 6= j, và tồn tại các hằng

số dương M, δ sao cho kT (t)P1k ≤ M e−δt với mọi t ≥ 0 Hơn nữa, nếu đặt

Q := P2+ P3 = I − P1 và xét nửa nhóm liên tục mạnh (TQ(t))t≥0 trên khônggian ImQ với TQ(t) := T (t)Q Vì σ2∪ σ3 = σ(TQ(t)) nên (TQ(t))t≥0 có thể

mở rộng thành một nhóm (TQ(t))t∈R trên ImQ Từ lí thuyết nửa nhóm tasuy ra tồn tại các hằng số dương K, α, γ (α được chọn đủ nhỏ để α < γ)sao cho:

kTQ(−t)P2k ≤ Ke−γt, ∀t ≥ 0,

kTQ(t)P3k ≤ Keα|t|, ∀t ∈ R

Từ các lập luận trên ta đi đến kết luận rằng: Họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 cótam phân mũ với họ ánh xạ chiếu Pj, j = 1, 2, 3 và các hằng số N, α, β đượcxác định như sau:

β := min{δ, γ},

N := max{K, M }

1.2 Không gian hàm và tính chấp nhận được

Trong giải tích hàm và các lĩnh vực liên quan của toán học thì khônggian véctơ tôpô lồi địa phương là một lớp không gian đặc biệt quan trọng.Chúng có thể được định nghĩa như các không gian véctơ với tôpô đượcsinh bởi một họ tùy ý các tập con lồi cân và hấp thụ hoặc sinh bởi một

họ các nửa chuẩn Theo cách xây dựng thứ hai này, ta nhắc lại dưới đâymột không gian hàm cụ thể bởi nó đóng một vai trò cơ bản trong suốt quátrình nghiên cứu tính chất tiệm cận của phương trình tiến hóa Kí hiệu B

là đại số Borel, λ là độ đo Lebesgue trên R+ Tập các hàm đo được Borelnhận giá trị thực và xác định trên R+ (hầu khắp nơi theo độ đo λ), khảtích trên mọi khoảng compact J ⊆ R+ sẽ trở thành không gian véctơ tôpôlồi địa phương với tôpô hội tụ theo nghĩa trung bình trên mọi khoảng J

đó Không gian này được kí hiệu là L1,loc(R+)

L1,loc(R+) = {f : R+ → R (λ − h.k.n)|f đo được Borel,

f khả tích trên mọi khoảng compact J ⊂ R}

Tập các nửa chuẩn xác định tôpô của L1,loc(R+) được cho bởi

Cho V là một không gian định chuẩn (với chuẩn k.kV) và W là mộtkhông gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff Khi đó ta nói: V mạnhhơn W và kí hiệu là V ,→ W nếu hai điều kiện sau thỏa mãn:

(i) V ⊆ W ,

(ii) Ánh xạ đồng nhất từ V vào W là liên tục

Điều kiện (ii) tương đương với: nếu π là một nửa chuẩn liên tục của Wthì tồn tại một số βπ sao cho π(x) ≤ βπkxkV với mọi x ∈ V Đặc biệt nếu

W cũng là không gian định chuẩn (với chuẩn k.kW) thì quan hệ V ,→ Wtương đương với V ⊆ W và tồn tại số α > 0 sao cho kxkW ≤ αkxkV vớimọi x ∈ V

1.2.1 Không gian hàm chấp nhận được

Trong mục này ta nhắc lại khái niệm không gian hàm Banach và tínhchấp nhận được Ta cũng đưa ra một số ví dụ cụ thể để minh họa cho cáckhái niệm này

Định nghĩa 1.2.1 Không gian véctơ E của các hàm đo được Borel nhậngiá trị thực và xác định trên R+ (λ − h.k.n) được gọi là không gian hàmBanach (trên (R+, B, λ)) nếu:

(1) E là dàn Banach với chuẩn k.kE tương ứng, tức là (E, k.kE) là khônggian Banach; và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm đo được Borel nhận giá trị thựcsao cho |ψ(.)| ≤ |ϕ(.)| (λ − h.k.n) thì ψ ∈ E và kψkE ≤ kϕkE,

(2) Hàm đặc trưng χA thuộc E với mọi A (có độ đo hữu hạn) thuộc B;supt≥0kχ[t,t+1]k < +∞, inft≥0kχ[t,t+1]k > 0,

(3) E ,→ L1,loc(R+)

Với không gian hàm Banach E, ta nhận thấy rằng điều kiện (3) có thểdiễn đạt lại như sau: với mỗi khoảng compact J ⊂ R+ tồn tại một số βJ ≥ 0sao cho

(1) Tồn tại một hằng số M sao cho mọi khoảng compact [a, b] ⊂ R+ tađều có

Z b a

|ϕ(t)|dt ≤ M (b − a)

kχ[a,b]kE kϕkE với mọi ϕ ∈ E, (1.2)(2) Với ϕ ∈ E hàm Λ1ϕ(t) xác định bởi Λ1ϕ(t) := Rtt+1ϕ(τ )dτ thuộc E,(3) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+, trong đó

|f (τ )|dτ < +∞



với kf kM = supt≥0Rtt+1|f (τ )|dτ là các không gian hàm Banach chấp nhậnđược Hơn nữa, nếu E là không gian hàm Banach thì E ,→ M(R+) Thậtvậy, đặt β = inft≥0kχ[t,t+1]kE > 0 Theo định nghĩa của E ta có

Z t+1 t

|f (τ )|dτ ≤ M

β kf kE với mọi t ≥ 0 và f ∈ E (1.3)

Do đó, f ∈ M(R+) và kf kM ≤ Mβ kf kE Bởi vậy, E ,→ M(R+)

1.2.2 Tính chất của không gian hàm chấp nhận được

Bổ đề dưới đây cho ta tiêu chuẩn kiểm tra một hàm liệu có thuộc khônggian hàm Banach E hay không?

Bổ đề 1.2.4 Cho không gian hàm Banach E, ϕ và ψ là các hàm thực

đo được Borel trên R+ sao cho hai hàm trùng nhau bên ngoài một đoạncompact và bị chặn cốt yếu trong đoạn này Khi đó ϕ ∈ E khi và chỉ khi

(c) Với mọi b > 0, f (t) = eb t ∈ E./

Chứng minh Với a ∈ R đặt a+ = max{0, a}, ta có

Λ1T1+ϕ(t) =

Z t (t−1) +ϕ(s)ds,

Do T1+Λ1ϕ ∈ E nên theo Bổ đề 1.2.4 suy ra Λ1T1+ϕ ∈ E Mặt khác ta có

Vì E là không gian hàm Banach nên Λσϕ ∈ E và ta có

kΛ00σϕkE ≤ N2

1 − e−σkΛ1ϕkE (1.6)Với ϕ ∈ M(R+) suy ra Λ0σ và Λ00σ bị chặn Áp dụng với E = L∞, từ (1.5)

và (1.6) suy ra bất đẳng thức (1.4)

(b) Lấy χ[0,1] ∈ E, đặt

v(t) =

Z t 0

Theo (a) ta có v(t) ∈ E Vì vậy, theo Bổ đề 2.2 suy ra ψ ∈ E

(c) Giả sử tồn tại b > 0 sao cho f (t) = eb t ∈ E Theo (2) ta có

(1) Trong Định nghĩa 1.2.2 toán tử dịch chuyển Tτ+ và Tτ− với τ ∈ R+ sẽđược thay bằng Tτ+ và Tτ− xác định với τ ∈ I như sau:

Λ00σϕ(t) =

Z t

−∞

e−σ|s−t|ϕ(s)ds

Trong Mệnh đề 1.2.5 (b) và (c) hàm ψ(t) = e−αt ( t ≥ 0, và với số

α > 0 cố định) được thay bởi ψ(t) = e−α|t| ( t ∈ I, và với số α > 0 cốđịnh); và hàm f (t) = ebt với t ≥ 0 và hằng số b > 0 cố định sẽ đượcthay bằng hàm f (t) = eb|t| với t ∈ I và b > 0

Trong các phần tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng những khái niệm này Ta

kí hiệu không gian hàm chấp nhận được của các hàm xác định trên tập I

là EI Nếu I = R+ ta sẽ dùng E thay cho ER+ Với một hàm ϕ xác địnhtrên toàn bộ đường thẳng ta kí hiệu hạn chế của ϕ trên I là ϕ|I Rõ ràngnếu ϕ ∈ ER thì ϕ|I ∈ EI

Khi không gian pha có chiều vô hạn, thay vì phương trình (1), đối vớimột họ tiến hóa (U (t, s))t≥s,t,s∈J (J = R+ hoặc R) ta sẽ xét phương trìnhtích phân sau:

u(t) = U (t, s)u(s) +

Z t s

thì hàm u thỏa mãn (1.7) với một hàm f cho trước, được gọi là nghiệm đủtốt của bài toán không thuần nhất:

Để hiểu rõ hơn về nghiệm đủ tốt và nghiệm cổ điển của phương trìnhtiến hóa, bạn đọc có thể tham khảo trong [10]

1.2.3 Hàm ϕ−Lipschitz

Để chỉ ra được sự tồn tại của đa tạp tích phân cho phương trình (1.7),bên cạnh tính nhị phân mũ (hay tam phân mũ) của họ tiến hóa chúng tacần thêm tính ϕ−Lipschitz của phần không tuyến tính f Trong định nghĩasau ta hiểu J là R+ hoặc R, và EJ kí hiệu là không gian hàm Banach trên

J, khi J = R+ ta sẽ viết E thay cho ER+

Định nghĩa 1.2.6 (Hàm ϕ−Lipschitz địa phương) Cho ϕ là một hàmdương thuộc EJ, và Bρ là hình cầu bán kính ρ trong X (Bρ := {x ∈ X :kxk ≤ ρ}) Hàm f : J × Bρ → X được gọi là ϕ−Lipschitz địa phương lớp(M, ϕ, ρ) với các hằng số dương M, ρ nếu f thỏa mãn:

(i) kf (t, x)k ≤ M ϕ(t) với t ∈ J h.k.n, và x ∈ Bρ,

(ii) kf (t, x1) − f (t, x2)k ≤ ϕ(t)kx1 − x2k với t ∈ J h.k.n, và x1, x2 ∈ Bρ.Chú ý: Nếu f (t, 0) = 0 thì từ điều kiện (ii) trong định nghĩa trên tathấy f thuộc vào lớp (ρ, ϕ, ρ)

Định nghĩa 1.2.7 (Hàm ϕ−Lipschitz ) Cho ϕ là một hàm dương thuộc

EJ, Hàm f : J × Bρ → X được gọi là ϕ−Lipschitz nếu f thỏa mãn:

(i) f (t, 0) = 0 với t ∈ J h.k.n,

(ii) kf (t, x1) − f (t, x2)k ≤ ϕ(t)kx1 − x2k với t ∈ J h.k.n, và x1, x2 ∈ X

Trong phần này chúng ta sẽ nhắc lại những kết quả trong [6] Khi J = R+,đối với họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 ta sẽ viết lại phương trình tích phân (1.7)như sau:

u(t) = U (t, s)u(s) +

Z t s

U (t, ξ)f (ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s ≥ 0 h.k.n (1.8)

1.3.1 Đa tạp ổn định địa phương trên R+

Trong suốt phần này ta giả sử rằng họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân

mũ trên R+, và phần phi tuyến f là ϕ−Lipschitz địa phương lớp (M, ϕ, ρ)như trong Định nghĩa 1.2.6

Đầu tiên chúng ta đưa ra khái niệm về đa tạp ổn định địa phương chonghiệm của phương trình (1.8)

Định nghĩa 1.3.1 Một tập S ⊂ R+ × X được gọi là đa tạp ổn định địaphương cho nghiệm của phương trình (1.8) nếu với mọi t ∈ R+ không gianpha X được biểu diễn thành tổng trực tiếp X = X0(t) ⊕ X1(t) sao cho:

inf

t∈R +

Sn(X0(t), X1(t)) := inf

t∈R +inf{kx0+x1k : xi ∈ Xi(t), kxik = 1, i = 0, 1} > 0

và tồn tại các hằng số dương ρ, ρ0, ρ1 và một họ các ánh xạ Lipschitz liêntục:

gt : Bρ0 ∩ X0(t) → Bρ1 ∩ X1(t), t ∈ R+,với các hằng số Lipschitz không phụ thuộc vào t thỏa mãn:

(i) S = {(t, x + gt(x)) ∈ R+× (X0(t) ⊕ X1(t))|t ∈ R+, x ∈ Bρ0∩ X0(t)} và

ta kí hiệu St := {x + gt(x) : (t, x + gt(x)) ∈ S},

(ii) St đồng phôi với Bρ0∩ X0(t) := {x ∈ X0(t) : kxk ≤ ρ0} với mọi t ≥ 0,(iii) với mỗi x0 ∈ St0 tương ứng với một và chỉ một nghiệm u(t) củaphương trình (1.8) trên [t0, +∞) thỏa mãn điều kiện u(t0) = x0 vàesssupt≥t0ku(t)k ≤ ρ

Giả sử (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ phép chiếu tương ứng

kG(t, τ )k ≤ (1 + H)N e−β|t−τ |, với mọi t 6= τ ≥ 0 (1.10)

Bổ đề sau được lấy từ [6] cho ta dạng nghiệm bị chặn của phương trình(1.8)

Bổ đề 1.3.2 Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ phépchiếu tương ứng (P (t))t≥0 và các hằng số nhị phân N, β > 0 Giả sử ϕ làmột hàm dương thuộc E Cho f : R+× Bρ → X thuộc lớp (M, ϕ, ρ) với cáchằng số dương M, ρ Gọi u(t) là nghiệm của phương trình (1.8) sao choesssupt≥t0ku(t)k ≤ ρ với mỗi t0 ≥ 0 Khi đó với t ≥ t0, u(t) có thể đượcviết dưới dạng

u(t) = U (t, t0)v0+

Z +∞

t 0G(t, τ )f (τ, u(τ ))dτ, với mỗi v0 ∈ X0(t0) = P (t0)X,

(1.11)trong đó G(t, τ ) là hàm Green được xác định bởi công thức (1.9)

Sau đây là nội dung của Định lí 3.7 trong [6]:

Định lí 1.3.3 Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ phépchiếu tương ứng (P (t))t≥0 và các hằng số nhị phân N, β > 0 Đặt

k := (1 + H)N

1 − e−β (N1kΛ1T1+ϕk∞ + N2kΛ1ϕk∞) (1.12)Khi đó, với mọi số dương ρ và M ta có: Nếu f thuộc lớp (M, ϕ, ρ) với mộthàm dương ϕ ∈ E thỏa mãn k < min{1,2Mρ } thì có tương ứng: mỗi phần tử

v0 ∈ B ρ

2N ∩ X0(t0) với một và chỉ một nghiệm u(t) của phương trình (1.8)trên [t0, +∞) thỏa mãn điều kiện P (t0)u(t0) = v0 và esssupt≥t0ku(t)k ≤ ρ.Hơn nữa, ước lượng sau cũng được thỏa cho hai nghiệm u1(t), u2(t) bất kìtương ứng với v1, v2 ∈ B ρ

2N ∩ X0(t0):

ku1(t) − u2(t)k ≤ Cµe−µ(t−t0 )kv1 − v2k, với t ≥ t0, (1.13)trong đó µ là hằng số dương thỏa mãn

0 < µ < β + ln 1 − k(1 − e−β)
, và Cµ = N

1 − 1−ek(1−e−(β−µ)−β)

Kết quả đầu tiên trong [6] về sự tồn tại đa tạp địa phương chính là Định

lí 3.8 (xem [6]) như sau:

Định lí 1.3.4 Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ phépchiếu tương ứng (P (t))t≥0 và các hằng số nhị phân N, β > 0 Khi đó, vớimọi số dương ρ và M ta có: Nếu f thuộc lớp (M, ϕ, ρ) với một hàm dương

ϕ ∈ E thỏa mãn k < min{N +11 ,2Mρ } (số k được xác định bởi (1.12)) thì tồntại đa tạp ổn định địa phương S cho nghiệm của phương trình (1.8) Hơnnữa, hai nghiệm u1(t), u2(t) bất kì trên S hút nhau cấp mũ theo nghĩa, tồntại một hằng số dương µ và Cµ không phụ thuộc vào t0 ≥ 0 sao cho

ku1(t) − u2(t)k ≤ Cµe−µ(t−t0 )kP (t0)u1(t0) − P (t0)u2(t0)k, với t ≥ t0 (1.14)Bạn đọc quan tâm đến chứng minh của hai định lí này có thể tham khảotrong [6]

1.3.2 Đa tạp bất biến ổn định trên R+

Trong mục này ta sẽ nhắc lại những kết quả về sự tồn tại đa tạp bấtbiến ổn định trong [6] với điều kiện họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân

mũ và hàm phi tuyến f là ϕ−Lipschitz như trong Định nghĩa 1.2.7 Nhưngtrước hết chúng ta sẽ tìm hiểu khái niệm về đa tạp bất biến ổn định chonghiệm của phương trình (1.8)

Định nghĩa 1.3.5 Một tập S ⊂ R+ × X được gọi là đa tạp bất biến ổnđịnh cho nghiệm của phương trình (1.8) nếu với mọi t ∈ R+ không gianpha X được biểu diễn thành tổng trực tiếp X = X0(t) ⊕ X1(t) sao cho:

inf

t∈R +

Sn(X0(t), X1(t)) := inf

t∈R +inf{kx0+x1k : xi ∈ Xi(t), kxik = 1, i = 0, 1} > 0

và tồn tại một họ các ánh xạ Lipschitz liên tục:

gt : X0(t) → X1(t), t ∈ R+,với các hằng số Lipschitz không phụ thuộc vào t thỏa mãn:

(i) S = {(t, x + gt(x)) ∈ R+× (X0(t) ⊕ X1(t))|t ∈ R+, x ∈ X0(t)} và ta kíhiệu St := {x + gt(x) : (t, x + gt(x)) ∈ S},

(ii) St đồng phôi với X0(t) với mọi t ≥ 0,

(iii) với mỗi x0 ∈ St0 tương ứng với một và chỉ một nghiệm x(t) củaphương trình (1.8) trên [t0, +∞) thỏa mãn điều kiện x(t0) = x0 vàesssupt≥t0kx(t)k < +∞,

(iv) S bất biến đối với phương trình (1.8) theo nghĩa, nếu x(.) là một nghiệmcủa phương trình (1.8) thỏa mãn x(t0) ∈ St0 và esssupt≥t0kx(t)k < +∞thì x(s) ∈ Ss với mọi s ≥ t0

Chú ý rằng nếu ta đồng nhất X0(t) ⊕ X1(t) với X0(t) × X1(t) thì ta cóthể hiểu là St = graph(gt), ở đó graph(gt) là kí hiệu đồ thị của hàm gt

Bổ đề 1.3.6 ([6], Bổ đề 4.4) Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân

mũ với họ phép chiếu tương ứng (P (t))t≥0 và các hằng số nhị phân N, β > 0.Giả sử rằng ϕ là hàm dương thuộc E Cho f : R+×X → X là ϕ−Lipschitz.Khi đó, với t ≥ t0 ta có thể viết lại nghiệm x(t) của phương trình (1.8) dướidạng:

x(t) = U (t, t0)v0 +

Z +∞

t 0G(t, τ )f (τ, x(τ ))dτ (1.15)với v0 ∈ X0(t) = P (t0)X, trong đó G(t, τ ) là hàm Green được xác định bởicông thức (1.9)

Chú ý: Phương trình (1.15) được gọi là phương trình Lyapunov-Perron.Bằng tính toán trực tiếp ta thấy rằng chiều ngược lại của Bổ đề 1.3.6 cũngđúng

Định lí 1.3.7 ([6], Định lí 4.6) Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân

mũ với họ phép chiếu tương ứng (P (t))t≥0 và các hằng số nhị phân N, β > 0.Giả sử rằng ϕ là hàm dương thuộc E Cho f : R+× X → X là ϕ−Lipschitz