CÁC PHÉP TOÁN số PHỨC BT muc do 3

Tính giá trị của biểu thức Pz1z2.. Gọi m là một giá trị của 0 m để có đúng một số phức thoả mãn bài toán.. Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT  3 phải có nghiệm a duy nhấ

Câu 1. Cho số phức z a bi a b   ,   thỏa mãn z 2 5i 5 và z z  82 Tính giá trị của biểu

thức P a b 

Lời giải

 

5 43

1

2

b a

 





Thay  1 vào  2 ta được 2

9

29

b

b







 



Vì b   nên b9 a1 Do đó P a b  8

Câu 2. Cho M là tập hợp các số phức z thỏa 2z i  2 iz Gọi z1, z2 là hai số phức thuộc tập hợp

M sao cho z1 z2 1 Tính giá trị của biểu thức Pz1z2

2

Lời giải

Đặt z x yi  với x , y  

Ta có: 2z i  2 iz  2x2y1i  2 y xi  x2y2 1

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức là đường tròn O;1

z z  z  z  z  z  P   P

Câu 3. Cho số phức z thoả mãn1 i

z



là số thực và z 2 m với m   Gọi m là một giá trị của 0 m

để có đúng một số phức thoả mãn bài toán Khi đó:

A 0

1 0;

2

m   

1

;1 2

m   

3

; 2 2

m   

  D 0

3 1;

2

m   

 

Lời giải

Giả sử z a bi  , a b   , 

Đặt: w 1 i

z



a bi



     

i

w là số thực nên: a b  1

Mặt khác: a 2bi m a 22b2 m2  2

Thay 1 vào 2 được: a 22a2 m2  2a2 4a 4 m2 0  3

Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT  3 phải có nghiệm a duy nhất.

0



    4 2 4   m20  m2 2 3

1;

2 2

   

  (Vì m là mô-đun)

Trình bày lại

Giả sử z a bi  ,vì z 0 nên a2b2 0  *

Đặt: w 1 i

z



a bi



1

     

i

w là số thực nên: a b  1 Kết hợp  * suy ra a b 0

Mặt khác: a 2bi m a 22b2 m2  2 (Vì m là mô-đun nên m 0)

Thay 1 vào 2 được: a 22a2 m2  g a  2a2 4a 4 m2 0  3

Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT  3 phải có nghiệm a 0 duy nhất

Có các khả năng sau :

KN1 : PT  3 có nghiệm kép a 0

ĐK:

 

2

2

2

m

m



KN2: PT 3 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm a 0

ĐK:

 

2

2

2

m

m



Từ đó suy ra 0

3

2 1;

2

 

Câu 4. Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m S có đúng một số phức thỏa mãn

6

z m  và

4

z

z  là số thuần ảo Tính tổng của các phần tử của tập S.

Lời giải Cách 1:

Gọi z x iy  với ,x y   ta có    

 

 

 

2



là số thuần ảo khi x x  4y2  0 x 22y2 4

Mà z m  6 x m 2y2 36

Ta được hệ phương trình

 

 

2

2

2

36

36

4 2

m x

m

m





  

 Ycbt

2 2 36

4 2

m m



2 36

4 2

m m



 hoặc

2 36

4 2

m m



 10

m

  hoặc m 2 hoặc m 6

Vậy tổng là 10 2 6 6 8   

Cách 2:

Để có một số phức thỏa mãn ycbt thì hpt  

 

36







có đúng một nghiệm

Nghĩa là hai đường tròn   C1 : x m 2y2 36 và C2 : x 22y2 4 tiếp xúc nhau Xét  C có tâm1 I12;0 bán kính R  ,1 2 C có tâm2 I m2 ;0 bán kính R 2 6

Cần có: 1 2 1 2





2 4

2 6

m m

 

  m  6;6;10; 2  Vậy tổng là 10 2 6 6 8    sss

Câu 5. Cho z là số phức có mô-đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn 1 1 1

zwz w Mô đun của số phức w là:

Lời giải.

Ta có 1 1 1

2

2

2

2

i

  z 2017

2

2

2

i

  z 2017

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn z 4 1 i z  4 3 z i Môđun của số phức z bằng

Lời giải

Giả sử z a bi a b   ,  

Ta có: z 4 1 i z  4 3 z i  z1 3 i 4 4 i 1 i z

a bi 1 3i 4 4i 1 i a2 b2

         a 3b 43a b 4i a2b2  a2b i2



 





 

 



2



 

 



2

b





  



 

 

8 5 2 6 5

b

















 

 





 





2 0

b a





 





Vậy z  2

Câu 7. Cho số phức z a bi  a b, ,a0 thỏa z z 12 z z z 13 10 i Tính S a b 

A S 17 B S 5 C S 7 D S 17

Lời giải

Ta có:

 

z z z  z z   i  a2b212 a2b2 2bi13 10 i

b

 





2 25 12 2 25 13 5

b

 



2 2

25 13

25 1 5

a

b





   





 12

5

a b





 





12 5

a b





 





, vì a 0 Vậy S a b  7

Câu 8. Cho A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z , 0 z khác 0 và thỏa mãn đẳng1

thức 2 2

0  1  0 1

z z z z Hỏi ba điểm O , A, B tạo thành tam giác gì ( O là gốc tọa độ)? Chọn

phương án đúng và đầy đủ nhất

A Đều B Cân tại O C Vuông tại O D Vuông cân tại O

Lời giải

Do z1 0 nên chia 2 vế của đẳng thức cho z12, ta được:

2

1

 

Đặt z1 OA a 0 1 3 1

 OBz   i z a.

 ABz  z    i z a

Vậy OAB đều.

Câu 9. Cho số phức z 0 thỏa mãn 3 1 2

1

z i



3

w iz có môđun bằng

2 . D 13.

Lời giải

Gọi z a bi a b   ,   Suy ra z a bi 

Ta có 3 1 2   3 1   2 2

a2 b2 2a b i a2 b2 4b a 0



 



2 0, 0 0

, 5





45 9

   (Vì z 0)

Câu 10. Tìm số phức z thỏa mãn z 2 3 i z  1 9i

A z 2 i B z 2 i C z 2 i D 2 i

Lời giải

Giả sử z a bi  a b   Ta có:, 

2 3  1 9

z  i z  i  a bi  2 3 i a bi     1 9i  a 3b  3a3b i  1 9i



 



2 1

a b





 



Vậy z 2 i

Câu 11. Cho hai số phức z , 1 z thỏa mãn 2 z  , 1 1 z  và 2 2 z1z2 3 Giá trị của z1 z2 là

Lời giải

Giả sử z1a1b i1, a b1, 1 , z2 a2b i2 , a b2, 2 

Theo bài ra ta có:

1

2

1 2

1 2 3

z

z









2 2

1 4

9







1 2 1 2

1 4





Khi đó, ta có:

 2  2

z  z  a  a  b b  a12b12  a22b22 2a a1 22b b1 2 1

Vậy z1 z2 1

Câu 12. Cho số phức z biết 2

1

i

i

  

 Phần ảo của số phức 2

z là

A 5

5

2

2i



Lời giải

Ta có 2

1

i

i

  



 

   

1 2

i



  

1 1 2

2 2

2 2i

Câu 13. Suy ra 5 1

2 2

6 2

   Vậy phần ảo của số phức z2 là 5

2.Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện 2 2

Lời giải

Đặt z a bi  a b   , 

Ta có 2 2

z z z a bi 2 a2b2 a bi  2abi b 2 b2 a bi

2ab b





 



2

0 1 2

b a

 



 

 





 + b 0 a0 z0

2 2

   Vậy có 3 số phức thỏa ycbt

Câu 14 . Cho hai số phức z z thoả mãn 1, 2 z1 2, z2  3 Gọi M N là các điểm biểu diễn cho , z và1

2

1 4 2

Lời giải

Ta có

 2

Gọi P là điểm biểu diễn của số phức 2iz 2

Khi đó ta có

z  iz z  iz OM OP OM OP     

  

Do MON   nên áp dụng định lí cosin ta tính được 30 MN 1 Khi đó OMP có MN đồng thời là đường cao và đường trung tuyến, suy ra OMP cân tại M  PM OM 2

Áp dụng định lí đường trung tuyến cho OMN ta có:

Vậy S 2PM OI 2.2 7 4 7

Câu 15. Cho số phức z a bi  a b, ,a0 thỏa mãn z 1 2i 5 và z z  10 Tính P a b 

Lời giải

Từ giả thiết z 1 2i 5 và z z  10 ta có hệ phương trình  2  2

10

a b







10



 



 



3 1

a b





 





3

a b











(loại) Vậy P 4.

Câu 16. Cho số phức z a bi  a b, ,a0 thỏa mãn z 1 2i 5 và z z  10 Tính P a b 

Lời giải

Từ giả thiết z 1 2i 5 và z z  10 ta có hệ phương trình  2  2

10







10



 



 



3 1

a b





 





3

a b











(loại) Vậy P  4

Câu 17. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2 3 i 5 và z2 là số thuần ảo.

Lời giải

- Gọi z a bi a b  , ,  , suy ra z2 a2 b2 2abi Ta có hệ: 2 2 2 3 5

0







 2  2

0



 



a b

     

 

 

 



     









 



2

2

2 2 12 0 (1)

2 10 12 0 (2)

a b

 







 

 

 



Phương trình (1) có 2 nghiệm và (2) có 2 nghiệm nên hệ có 4 nghiệm Suy ra có 4 số phức

Câu 18. Cho số phức z a bi  , a b   thỏa mãn ,  z 1 1

z i





 và z 3i 1

z i





 Tính P a b 

A P 7 B P 1 C P 1 D P 2

Lời giải

Ta có z 1 1

z i





  z1 z i  a 1 bi  a b1i  2a 2b0(1)

3 1

z i





  z 3i  z i  ab 3i  a b1i  b1 (2)

Từ (1) và (2) ta có 1

1

a b









 Vậy P 2

Câu 19. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: 1 3

2

z z

z    , gọi số phức z a b  i là

số phức có môđun nhỏ nhất Tính S 2a b

Lời giải

Ta có 1 3

2

z z

z     a1bi  a 3  a12b2 a32 b2 4a 8

Do đó 2 2 2

z a b a24a8 a12 4 4 min z  khi và chỉ khi 2 z  1 4i Suy ra S 2a b 2

Câu 20 [HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018] Cho số phức z 0 thỏa mãn 3 1 2

1

z i



Số phức 13

3

w iz có môđun bằng

2 . D 13.

Lời giải

Gọi z a bi a b   ,   Suy ra z a bi 

Ta có 3 1 2   3 1   2 2



 



, 5





45 9

Câu 21. Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z z  4 i2i5 i z

Lời giải

Ta có

 4  2 5 

z z  i  i  i z z z  5i 4 z  z  2i Lấy môđun 2 vế phương trình trên ta được

z z    z  z  Đặt tz , t 0 ta được

 52 1  4 2  22  1  3 9 2 4 0

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt t 0 vậy có 3 số phức z thoả mãn.

Câu 22. Tìm số phứcz thỏa mãn iz2z 1 8i

A z 7 7i B z 2 5i C z 5 2i D z 1 2i

Lời giải

Giả sử z a bi a b   , ,i2 1

Câu 23. Cho z z là các số phức thỏa mãn 1, 2 z1 z2 1 và z1 2z2  6 Tính giá trị của biểu thức

1 2 2

Lời giải

CÁCH 1:

Chọn z  1 1

Ta có hệ phương trình:

2

2

1

15

4

x

z

y









z   i

2

z   i

2

CÁCH 2:

 

z  z   z  z   z  z  z z z z 

 1 2

1

c os ,

4

z z

 

2

1

4

P  z z  z  z  z z z z     

Vậy P 2

Câu 24. Cho số phức z a bi a b R   ,   thỏa mãn z  7 i z 2i 0 và z  Tính 3 P a b 

2

2.

Lời giải

 

 

1 2







 

       thế vào (2)

 2 2

2

1

2

b

b











 TH1: b 4 a 3 z  5 3 (loại)

b  a  z   (nhận)

1 2

P a b  

Câu 25. Cho số phức z thỏa điều kiện z 2 z và z 3 z 1 4i là số thực Tìm phần ảo của z

A Imz 2 B Imz 1 C Imz 2 D Imz 1

Lời giải

Đặt z x yi  ,x y R 

 2 2

z 3 z 1 4i x yi  3 x yi  1 4i là số thực  x y   3 0 y2

Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn 1i z 2z 3 2i Tính môđun của z

4

2

2

8

Lời giải

Giả sử z a bi a b  , ,  

Khi đó 1i z 2z 3 2i  1i a bi   2a bi   3 2i  3a b   a b i   3 2i

2

a b

a b

 



 

 



5 2 9 2

a b







 

 



5 9

2 2

Suy ra 106

2

Câu 27. Số phức z 1 i  1i2 1i2018 có phần ảo bằng

Lời giải

1  1 2 1 2018

z i  i   i

   

 

1 i 21009 i 21009 1 21009 1i

z

 có phần ảo bằng 210091

Câu 28. Cho z z là hai số phức thỏa mãn 21, 2 z i  2 iz , biết z1 z2 1 Tính giá trị biểu thức

1 2

2

2

P  D P  2

Lời giải

Đặt z x yi 

Ta có:

2z i  2 iz  2x  2y1  2 y x  3x 3y  3 0  x y 

Gọi M N, lần lượt là điểm biểu diễn của z z 1, 2

 M N, thuộc đường tròn tâm O, bán kính R 1 và MN 1  OMN đều

Gọi I là trung điểm của MN

1 2

3

2

z z OI

Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để số phức 2

2

z





 có phần thực dương

2

m m

 



 

 C 2m2 D m  2

Lời giải

2 2

z







2

4

m





2

i



Vì z có phần thực dương 2 2

4 0

2

m m

m





      

Câu 30. Cho z 3 i

x i





 Tổng phần thực và phần ảo của z là

A 2 4

2

x 

2

x 

1

x x



1

x x





Lời giải

3

i x i

z

Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức z là: 32 1 2 3 42 2

Câu 31. Cho số phức z a bi  ( ,a b R )thỏa mãn điều kiện 2 3 i z 4i z  1 3 i2.Tính z

Lời giải

Ta có:

2 3    4    1 3 2 (6 4 ) ( 2 2 ) 8 6

29

z

Câu 32. Gọi T là tổng phần thực, phần ảo của số phức w i 2i23i3 2018 i2018 Tính giá trị của

T.

A T 0 B T 1 C T 2 D T 2

Lời giải

1 2 32 20182017

Xét

2018 2019

 2018   2019 

2

'( ) 1 2 3 2018

( 1)

x



2

2019 1 ( 1)

1 2 3 2018 ( )

( 1)

i

 2020( 1) 2

1010 1009 2

i



1010 1009 1

Câu 33. Cho hai số phức z z1, 2 thoả mãn: z 1 2 3, z 2 3 2 Hãy tính giá trị biểu thức

Lời giải

Đặt z1 a bi z, 2  c di a b c d , , ,  

Theo đề:

1

2

18

3 2

z





 Vậy

Câu 34. Cho z1 a bi và z2  c di là 2 số phức thỏa mãn z  và 12 4 z c d1 (  ) 10 Gọi M là giá

trị lớn nhất của biểu thức T ac bd cd  Hãy chọn khẳng định đúng về M.

A M (11;15). B M (15;17). C M (11;12) D Đáp án khác.

Lời giải

1

4z a  b 2abi  (a  b ) 4a b a b  a b 4

1

10z c d(  ) a b c d(  ) 2( c d ) c d  5

Chọn a0,b2,c1,d 4 thì T    0 8 4 4  Loại A, B, C  Đáp án D.

BẢNG ĐÁP ÁN