Dynamic analysis of plate on viscoelastic foundation subject to moving load using 2 d moving element method

VNU-TÓM TẮT ĐỀ TÀI Trong đề tài này, phương pháp phần tử chuyển động MEM Moving Element Method được phát triển để phân tích ứng xử động của kết cấu tấm Mindlin trên nền đàn nhớt dưới tác

(VNU-TÓM TẮT ĐỀ TÀI

Trong đề tài này, phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) được phát triển để phân tích ứng xử động của kết cấu tấm Mindlin trên nền đàn nhớt dưới tác dụng của tải trọng động Ý tưởng mới của Đề tài nhằm phát triển phương pháp MEM, trong đó các phần tử tấm sẽ được xem như di chuyển và tải trọng có thể được xem là đứng yên so với tấm Điều này hoàn toàn ngược lại với phương pháp phần tử hữu hạn FEM truyền thống và thể hiện chính xác hơn ứng xử kết cấu tấm bằng phương pháp phần tử chuyển động MEM Cách thiết lập các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận cản cho hệ kết cấu tấm dày sẽ được trình bày trong Đề tài Các kết quả phân tích số được triển khai nhằm tìm hiểu ảnh hưởng của những yếu tố quan trọng đến ứng xử của kết cấu tấm, ví dụ độ lớn và vận tốc của tải trọng, bề dày tấm, độ cứng và hệ số cản của đất nền…

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

ACKNOWLEDGEMENTS i

TÓM TẮT ĐỀ TÀI ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ vi

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU viii

DANH MỤC KÝ HIỆU VIẾT TẮT x

DANH MỤC KÝ HIỆU VIẾT TẮT x

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1

1.1 Giới thiệu 1

1.2 Tình hình nghiên cứu 3

1.2.1 Các công trình nghiên cứu ngoài nước 3

1.2.2 Các công trình nghiên cứu trong nước 7

1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu 8

1.4 Cấu trúc Đề tài 8

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 10

2.1 Lý thuyết tấm Mindlin 10

2.1.1 Giới thiệu tổng quát 10

2.1.2 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị 12

2.1.3 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa ứng suất – biến dạng 14

2.1.4 Phương trình năng lượng của tấm 16

2.2 Phần tử đẳng tham số 17

2.2.1 Khái niệm phần tử đẳng tham số 17

2.2.2 Hệ tọa độ địa phương phần tử đẳng tham số Q 9 17

2.2.3 Phép tích phân số - Phép cầu phương Gauss 20

2.3 Thiết lập công thức ma trận kết cấu tấm Mindlin trên nền đàn nhớt sử

dụng phần tử chuyển động MEM 21

2.4 Qui tải tập trung thành tải trọng tác động tại bốn bánh xe 26

2.5 Phát triển phần tử MEM trong phân tích động lực học tấm Mindlin trên nền Pasternak 28

2.6 Phương trình cân bằng của kết cấu 31

2.7 Giải pháp thực hiện 32

2.8 Phương pháp Newmark 34

2.9 Thuật toán sử dụng trong Đề tài 36

2.9.1 Thông số đầu vào 36

2.9.2 Giải bài toán theo dạng chuyển vị 37

2.9.3 Giải bài toán theo dạng gia tốc 37

2.9.4 Độ ổn định và hội tụ của phương pháp Newmark 38

2.10 Lưu đồ tính toán 39

CHƯƠNG 3 KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ 40

3.1 Kiểm chứng chương trình Matlab 42

3.1.1 Bài toán 1: Phân tích ứng xử của tấm Mindlin khi chịu tác dụng của tải trọng tĩnh 42

3.1.2 Bài toán 2: Phân tích dao động tự do của tấm Mindlin 46

3.2 Phân tích động lực học tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tác động của tải trọng di động 54

3.2.1 Bài toán 3: Khảo sát sự hội tụ của bài toán 54

3.2.2 Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động khi hệ số độ cứng nền kf thay đổi 56

3.2.3 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động khi hệ số độ cản nền cf thay đổi 57

3.2.4 Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động khi vận tốc lực di chuyển V thay đổi 59

3.2.5 Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động khi chiều dày tấm h thay đổi 61

3.2.6 Bài toán 8: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền đàn

nhớt chịu tải trọng di động khi module đàn hồi của tấm E thay đổi 63

3.2.7 Bài toán 9: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động khi giá trị lực di chuyển P thay đổi 65

3.2.8 Bài toán 10: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền đàn nhớt khi tải trọng xe được quy về một tải tập trung tại trọng tâm xe và bốn tải tập trung tại bốn bánh xe 66

3.2.9 Bài toán 11: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền Pasternak chịu tải trọng di động 69

3.3 Kết quả công bố 72

CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN 73

TÀI LIỆU THAM KHẢO 75

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Ứng dụng của tấm Mindlin trong Runway 1

Hình 1.2 Ứng dụng của tấm Mindlin trong Highway 2

Hình 1.3 Mô hình tải trọng di động và phần tử tấm cố định (FEM) 3

Hình 1.4 Mô hình tải trọng cố định và phần tử tấm chuyển động (MEM) 3

Hình 2.1 Mô hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Kirchhoff 11

Hình 2.2 Mô hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Mindlin 12

Hình 2.3 Mô hình tấm Mindlin trên nền đàn nhớt 13

Hình 2.4 Quy ước chiều dương của chuyển vị w và hai chuyển vị xoay βx, βy của tấm Mindlin trên nền đàn nhớt 13

Hình 2.5 Phần tử tứ giác Q9 trong hệ tọa độ địa phương 18

Hình 2.6 Phần tử tứ giác Q 9 trong hệ tọa độ tự nhiên 18

Hình 2.7 Mặt cắt dọc phân bố tải trọng của xe xuống bốn bánh xe 27

Hình 2.8 Mặt cắt cắt ngang phân bố tải trọng của xe xuống bốn bánh xe 28

Hình 2.9 Mô hình tấm Mindlin trên nền Pasternak 29

Hình 2.10 Biến dạng của tấm Mindlin trên nền Pasternak 30

Hình 2.11 Lưu đồ tính toán 39

Hình 3.1 Mô hình tấm Mindlin trên nền đàn hồi 42

Hình 3.2 Sự hội tụ của chuyển vị tại vị trí đặt lực trên tấm 43

Hình 3.3 Chuyển vị tại vị trí đặt lực (a) dọc trục x, (b) dọc trục y 45

Hình 3.4 Chuyển vị tại vị trí đặt lực của tấm đặt trên nền đàn hồi và tấm không đặt trên nền đàn hồi 46

Hình 3.5 Sự hội tụ của tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của mode dao động thứ nhất của tấm 47

Hình 3.6 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của sáu mode dao động đầu tiên của tấm 48

Hình 3.7 Quan hệ giữa tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của sáu mode dao động đầu tiên và tỉ số chiều dày/chiều dài (h/L) của tấm 50

Hình 3.8 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên ứng với sáu mode dao

động đầu tiên của tấm (h/L=0.01) 51

Hình 3.9 Hình dạng sáu mode dao động đầu tiên của tấm Mindlin 53

Hình 3.10 Sự hội tụ của chuyển vị theo các bước thời gian 54

Hình 3.11 So sánh chuyển vị của hai phương pháp FEM và MEM 55

Hình 3.12 So sánh chuyển vị ứng với nền có hệ số độ cứng k f thay đổi 56

Hình 3.13 Khảo sát chuyển vị theo thời gian ứng với các giá trị kf thay đổi 57

Hình 3.14 So sánh chuyển vị ứng với nền có hệ số độ cản c f thay đổi 58

Hình 3.15 Khảo sát chuyển vị theo thời gian ứng với các giá trị cf thay đổi 59

Hình 3.16 So sánh chuyển vị ứng với vận tốc lực di chuyển V thay đổi 60

Hình 3.17 Khảo sát chuyển vị theo thời gian ứng với các giá trị V thay đổi 61

Hình 3.18 So sánh chuyển vị ứng chiều dày tấm h thay đổi 62

Hình 3.19 Khảo sát chuyển vị lớn nhất ứng với các giá trị h thay đổi 63

Hình 3.20 So sánh chuyển vị ứng module đàn hồi của tấm E thay đổi 64

Hình 3.21 So sánh chuyển vị ứng với giá trị lực di chuyển P thay đổi 65

Hình 3.22 Khảo sát chuyển vị lớn nhất ứng với các giá trị P thay đổi 66

Hình 3.23 Trường chuyển vị của tấm khi tải được quy thành một tải tập trung 67

Hình 3.24 Trường chuyển vị của tấm khi tải được quy thành bốn tải tập trung 67

Hình 3.25 Chuyển vị của tấm khi tải trọng được quy thành một tải tập trung tại trọng tâm xe và bốn tải tập trung tại bốn bánh xe 68

Hình 3.26 Chuyển vị của tấm chịu tải trọng di động trên nền đàn nhớt và nền Pasternak 69

Hình 3.27 Phối cảnh 3D chuyển vị của tấm trên nền Pasternak 70

Hình 3.28 Chuyển vị của tấm với các hệ số k w và k g của nền Pasternak thay đổi 71

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1 Tọa độ và trọng số trong phép phương cầu Gauss 20

Bảng 2.2 Thông số tấm Mindlin 36

Bảng 2.3 Thông số nền đàn nhớt 36

Bảng 2.4 Thông số xe 37

Bảng 3.1 Thông số tấm Mindlin 40

Bảng 3.2 Thông số tải trọng 40

Bảng 3.3 Thông số nền đàn nhớt 41

Bảng 3.4 Sự hội tụ của chuyển vị w (x10-6 m) tại vị trí đặt lực ứng với các hệ số kf 43

Bảng 3.5 Sai số (%) chuyển vị của các phương pháp với lưới chia phần tử 60x60 so với lời giải giải tích 44

Bảng 3.6 Sự hội tụ của tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên  của mode dao động thứ nhất 48

Bảng 3.7 Bảng so sánh tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của sáu mode đầu tiên của tấm biên 49

Bảng 3.8 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên ứng với sáu mode dao động đầu tiên của tấm ứng với (L/B=1) 50

Bảng 3.9 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên ứng với sáu mode dao động đầu tiên của tấm (h/L=0.01) 52

Bảng 3.10 Sai số (%) của phương pháp MEM so với lời giải giải tích của sáu mode động đầu tiên ứng với các tỉ số L/B thay đổi 52

Bảng 3.11 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số độ cứng nền k f thay đổi 57

Bảng 3.12 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số độ cản nền cf thay đổi 58

Bảng 3.13 So sánh chuyển vị của tấm khi vận tốc lực di chuyển V thay đổi 60

Bảng 3.14 So sánh chuyển vị của tấm khi chiều dày tấm h thay đổi 62

Bảng 3.15 So sánh chuyển vị của tấm khi module đàn hồi của tấm E thay đổi 64

Bảng 3.16 So sánh chuyển vị của tấm khi giá trị lực di chuyển P thay đổi 65

DANH MỤC KÝ HIỆU VIẾT TẮT

FEM-9 Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần tử 9 nút

DOF Bậc tự do (Degree of Freedom)

BEM Phương pháp phần tử biên (Boundary Element Method) FTM Phương pháp biến đổi Fourier (Fourier Transform Method) HHT Hilber, Hughes và Taylor

Ký hiệu

L Chiều dài tấm theo phương x

B Chiều dài tấm theo phương y

E Module đàn hồi của vật liệu

G Module chống cắt đàn hồi của vật liệu

 Hệ số poisson của vật liệu

 Trọng lượng riêng của vật liệu tấm

đàn hồi kf và hệ số cản nhớt cf (Hình 1.3)

Hình 1.1 Ứng dụng của tấm Mindlin trong Runway

Hình 1.2 Ứng dụng của tấm Mindlin trong Highway Đối với việc thiết kế đường ôtô hay đường băng máy bay thì việc xác định ứng

xử động của chúng khi chịu tải trọng chuyển động mang ý nghĩa quan trọng Tải trọng chuyển động có thể là lực phân bố trên một đơn vị diện tích hữu hạn hay lực tập trung, vận tốc di chuyển có thể là hằng số hay thay đổi Áo đường thường được

mô hình như là dầm hay tấm đàn hồi đặt trên nền đất Nền đất thường được mô hình như các lò xo Winkler, nền đồng nhất hay nhiều lớp Bài toán tấm chịu tải trọng chuyển động thường được giải quyết trong điều kiện ứng xử của vật liệu tấm là đàn hồi tuyến tính và rất hiếm giả thiết là vật liệu đàn dẻo

Hầu hết các nghiên cứu trước đây đều sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống (Finite Element Method) được thể hiện trong Hình 1.3 với tải trọng chuyển động trên tấm nên gặp khó khăn khi tải di động tiến đến gần biên của miền hữu hạn phần tử và di chuyển vượt ra ngoài biên, ngoài ra phương pháp này yêu cầu phải luôn cập nhật vị trí của véctơ tải trọng Do đó để giải quyết bài toán tấm dài vô hạn sẽ tốn nhiều chi phí tính toán và mất khá nhiều thời gian

Trong Đề tài này, bài toán tấm dài vô hạn sẽ được giải quyết nhanh hơn và ít tốn kém hơn bằng phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) được thể hiện trong Hình 1.4 Phương pháp này có những thuận lợi sau: tải di động

sẽ không bao giờ đến biên vì phần tử được đề xuất luôn chuyển động Điểm thuận lợi thứ hai là tải di động sẽ không phải di chuyển từ phần tử này đến phần tử khác,

do đó tránh được việc cập nhật véctơ tải trọng Điểm thuận lợi thứ ba là phương pháp này cho phép phần tử hữu hạn có kích thước không bằng nhau và điều này có thể hữu ích khi các tải tác dụng tại các điểm tùy ý Nghiên cứu này cho thấy MEM

là phương pháp thích hợp để phân tích các bài toán động lực học cho kết cấu tấm dài vô hạn trên nền đàn nhớt

Hình 1.3 Mô hình tải trọng di động và phần tử tấm cố định (FEM)

Hình 1.4 Mô hình tải trọng cố định và phần tử tấm chuyển động (MEM)

1.2 Tình hình nghiên cứu

Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, nhiều phương pháp số được thiết lập

để tính toán và phân tích ứng xử động của kết cấu tấm trên nền đàn nhớt chịu tác động của tải trọng di động

1.2.1 Các công trình nghiên cứu ngoài nước

Bài toán lực di động tác dụng lên kết cấu là một trong những bài toán động lực học đầu tiên cho hệ thống mặt đường Bằng phương pháp biến đổi Fourier (Fourier

Tải trọng cố định Phần tử di động

Transform Method - FTM) và một hệ thống phối hợp di chuyển, Mathews (1958) [1], (1959) [2] đã giải quyết vấn đề động lực của một tải tùy ý di chuyển dọc theo một dầm có chiều dài vô hạn tựa trên một nền đàn hồi FTM, thực chất là một phương pháp miền tần số, đã được thông qua bởi các nhà nghiên cứu khác Jezequel (1981) [3] xét một dầm Euler-Bernoulli dài vô hạn tựa trên nền đàn hồi chịu một lực tập trung di chuyển với vận tốc không đổi, có tính đến độ cứng xoay theo phương ngang Hệ thống phối hợp di chuyển đã được sử dụng bằng phương pháp chuyển đổi Galilean Phương pháp biến đổi Fourier cũng được sử dụng để giải quyết vấn

đề Công việc tương tự bằng cách sử dụng FTM đã được thực hiện bởi Trochanis và cộng sự (1987) [4], Ono và Yamada (1989) [5] Đến đây, cần chú ý rằng phương pháp FTM có thể cho lời giải chính xác nhưng trở nên bế tắc khi giải quyết bài toán phức tạp, hệ thống nhiều bậc tự do, hoặc lực di động có liên quan đến việc tăng tốc hoặc giảm tốc

Vào đầu những năm 1974, bằng phương pháp chồng chất Timoshenko (1974) [6] đã giải phương trình vi phân tổng quát trong miền thời gian cho một dầm đơn giản chịu tác dụng của tải di động Warburton (1976) [7] đã khảo sát cùng một vấn

đề và thấy rằng khuếch đại động lớn nhất trong độ võng xảy ra cho một vận tốc cụ thể của tải di chuyển Cai và cộng sự (1988) [8] cũng sử dụng phương pháp chồng chất để giải quyết vấn đề của tải di chuyển trên một dầm đồng nhất vô hạn trên con lăn hỗ trợ tuần hoàn

Chen và Huang (2000) [9] đã xét một tải không đổi di chuyển với vận tốc cố định dọc theo một dầm Timoshenko dài vô hạn trên nền đàn nhớt Phương trình tổng quát cho một dầm vô hạn được thiết lập trong lúc phối hợp di chuyển Các ma trận độ cứng động lực cho các dầm bán vô hạn thu được trong lúc số bước sóng phức tạp và các hình dạng chuyển vị phức tạp Các công trình nghiên cứu nêu trên đều xét dầm liên tục và sử dụng phương pháp giải tích để giải phương trình vi phân tổng quát Phương pháp này không phù hợp hoặc gặp bế tắc khi áp dụng cho bài toán hệ chuyển động có nhiều bậc tự do chứ không phải là một lực di chuyển Do

đó việc sử dụng phương pháp này để phân tích động học cho bài toán là khá hạn chế

Bài toán phân tích ứng xử của tấm cũng được nghiên cứu từ rất sớm Michael và Edward (1988) [10] thực hiện phân tích dao động của tấm chịu tải trọng chuyển động dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn Sau đó Michael và Edward (1988) [11] giải quyết bài toán trên sử dụng phương pháp SIM (Structural Impedence Method) Sau đó Gbadeyan và Oni (1995) [12] thực hiện phân tích động của dầm và tấm chữ nhật chịu tác động của tải trọng chuyển động dựa trên phương pháp Struble’s hiệu chỉnh Bài toán này giải quyết cho các trường hợp dầm và tấm có điều kiện biên bất kỳ, và số lượng vật chuyển động cũng bất kỳ Tiếp tục với công trình nghiên cứu của mình, Gbadeyan và Dada (2006) [13] thực hiện phân tích phản ứng động của tấm chữ nhật Mindlin chịu vật thể chuyển động có khối lượng phân

bố đều Trong bài báo này các tác giả tập trung vào các yếu tố khác biệt trong trường hợp tấm dày, dùng lý thuyết Mindlin có kể đến biến dạng trượt, thực hiện so sánh với lý thuyết tấm Kirchhoff

Kim (2004) [14] đã thực hiện phân tích phản ứng động của tấm trên nền đàn nhớt Winkler chịu tải trọng động sử dụng phương pháp Fourier transform theo thời gian và không gian, đồng thời cũng đã khảo sát mức độ gồ ghề của mặt đường đến dao động của vật chuyển động Tiếp theo đó các công trình nghiên cứu về tấm trên nền đàn hồi dần được phát triển Kim và Rosset (1988) [15] đã nghiên cứu đến trạng thái ứng xử của một tấm vô hạn trên nền đàn hồi chịu tải trọng chuyển động điều hòa không đổi Sun (2003) [16] đã xây dựng lời giải giải tích cho tấm Kirchhoff trên nền đàn nhớt chịu tải điều hòa bằng chuỗi Fourier Fryba (1999) [17] nghiên cứu dao động riêng của một tấm dài vô hạn hoặc hữu hạn cho nhiều điều kiện biên khác nhau Huang và Thambiratnam (2001) [18] đã sử dụng phương pháp dải hữu hạn để phân tích ứng xử của kết cấu tấm cố định trên nền đàn hồi Javad (2013) [19]

sử dụng phương pháp EEM (Eigenfunction Expansion Method) để nghiên cứu sự

ổn định và ứng xử động lực học của tấm Mindlin chịu tác động của tải trọng di động Cheng (1986) [20] đã tiến hành phân tích ứng xử động của tấm trên nền đàn hồi chịu tải trọng di động bằng phương pháp biến phân Sun (2005) [21] cũng thực hiện công việc tương tự nhưng với tải trọng điều hòa di động bằng cách sử dụng hàm số động Green

Trong thực tế, phương pháp phần tử hữu hạn FEM đã được sử dụng khá rộng rãi

để giải quyết nhiều bài toán phức tạp Yoshida và Weaver (1971) [22] đã dùng phương pháp FEM để phân tích dầm và tấm tựa đơn chịu tải trọng chuyển động và khối lượng chuyển động Trong nghiên cứu này khối lượng chuyển động được mô hình hóa để phân tích sự tương tác giữa mặt đường và xe chuyển động Wu và cộng

sự (1987) [23] đã nghiên cứu phản ứng động của kết cấu tấm với các yếu tố ảnh hưởng như chiều dài tấm, vận tốc và gia tốc ban đầu của tải trọng di chuyển Để nghiên cứu các ứng dụng thực tế, Pan và cộng sự (1994) [24] đã nghiên cứu phản ứng động của đường băng dưới tác dụng của tải trọng máy bay cất cánh cũng như

hạ cánh Phát triển tiếp hướng nghiên cứu của mình, Pan và Atluri (1995) [25] đã cải tiến hướng phát triển phản ứng động của đường băng bằng cách sử dung phương pháp kết hợp FEM/BEM (Boundary Element Method) Mở rộng hướng nghiên cứu kết cấu tấm trên nền đàn hồi, Thompson (1963) [26] đã tiến hành nghiên cứu phản ứng động của tấm mỏng chịu tải đi chuyển dọc trục bằng cách mô hình mặt đường như một tấm dài vô hạn Zaman (1991) [27] đã dùng phần tử FEM bốn nút để phân tích phản ứng động của kết cấu tấm dày trên nền đàn nhớt chịu tải di động có xét đến biến dạng cắt cũng như uốn của tấm Li và cộng sự (2013) [28] nghiên cứu phản ứng động của kết cấu tấm trên nền đàn nhớt chịu ảnh hưởng của vận tốc biến đổi khác nhau và ảnh hưởng của vận tốc và gia tốc ban đầu đến chuyển vị theo thời gian Vấn đề phân tích dao động tự nhiên sử dụng FEM cũng được quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu Gupta (2009) [29] đã phân tích dao động tự nhiên của tấm chữ nhật trên nền đàn nhớt với sự thay đổi chiều dày tấm Phương pháp phần tử hữu hạn đưa ra lời giải số bằng cách rời rạc hóa phần tử tấm thành các phần tử hữu hạn

Ma trận phần tử được tính toán dựa trên một số giả thiết về các hàm dạng chuyển vị

và được kết hợp để tạo thành ma trận tổng thể kết cấu Các phương pháp tính lặp từng bước thời gian như phương pháp Newmark và phương pháp Wilson thường được sử dụng để giải quyết các phương trình dao động

Để khắc phục những khó khăn khi giải quyết bài toán chịu tải di động, Koh và cộng sự (2003) [30] đã đề xuất sử dụng phương pháp MEM trong việc khảo sát ứng

xử động của tàu cao tốc Nghiên cứu này đã cho thấy MEM là phương pháp thích

hợp nhất để phân tích bài toán động học cho các kết cấu chịu tải trọng động Sau khi được ứng dụng thì phương pháp MEM càng cho thấy sự hữu dụng và ngày càng được phát triển Tiếp tục hướng nghiên cứu của mình, Koh và cộng sự (2005) [31]

đã khảo sát đến ứng xử động của nền bán không gian đàn hồi bằng phương pháp MEM Sau khi được phát triển, phương pháp MEM đã được sự quan tâm của rất nhiều nhà nghiên cứu Ang và cộng sự đã sử dụng MEM để khảo sát đến dao động của đường trong khoảng thời gian tăng tốc và giảm tốc [32] và hiện tượng nảy bánh

xe của tàu cao tốc [33] Thi và cộng sự (2013) [34] đã phân tích động lực học của tàu cao tốc trên nền hai thông số Nghiên cứu này sử dụng phương pháp MEM trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc Lei và Wang (2013) [35] đã đề xuất một cách tiếp cận mới tên là phần tử khung chuyển động cho đường ray, dựa trên phần

tử xe và phần tử nền để đánh giá ứng xử động của tàu và hệ thống nền ba lớp Gần đây nhất, Xu và cộng sự (2009) [36] sử dụng phương pháp MEM để phân tích dao động ngẫu nhiên của tấm Kirchhoff trên nền Kelvin chịu tải trọng di động sử dụng phần tử tứ giác

1.2.2 Các công trình nghiên cứu trong nước

Một số Đề tài cao học ngành xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp tại trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh cũng đã giải quyết một số bài toán tải trọng chuyển động đối với dầm và tấm

Cường (2011) [37] đã phân tích dao động của tấm trên nền đàn nhớt xét đến khối lượng của vật chuyển động Nghiên cứu này đã lựa chọn được mô hình cụ thể

để mô phỏng cho bài toán thực tế, biến dạng trượt của tấm đã được xét đến theo lý thuyết tấm Mindlin nhưng sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn Duy (2013) [38] phân tích ứng xử động tàu cao tốc có xét đến độ cong thanh ray và tương tác đất nền Tiếp nối nghiên cứu này, Anh (2013) [39] đã phân tích động lực học tàu cao tốc có xét đến độ nảy bánh xe và tương tác với đất nền Hải và cộng sự (2013) [40] phân tích ứng xử tàu cao tốc có xét đến độ cong thanh ray và tương tác với đất nền

sử dụng phương pháp phần tử chuyển động Nghiên cứu này sử dụng phương pháp MEM trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc

Với tính ứng dụng rộng rãi của mô hình kết cấu tấm trên nền đàn nhớt, vì thế đã

có rất nhiều nghiên cứu về ứng xử động của kết cấu tấm Tuy nhiên các nghiên cứu

từ trước đến nay chủ yếu dùng các phương pháp giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Để khắc phục những nhược điểm của các phương pháp truyền thống, phương pháp phần tử chuyển động (MEM) được đề xuất và ứng dụng Nhưng các nghiên cứu trước đây về phương pháp MEM chỉ mới được ứng dụng để phân tích động lực học tàu cao tốc, bài toán về dầm chịu tải trọng động Trên thế giới và trong nước chưa có bất cứ nghiên cứu nào về kết cấu tấm dày sử dụng phương pháp MEM Do đó, Đề tài sẽ trình bày nghiên cứu này nhằm khắc phục những hạn chế của các phương pháp trước đó trong lĩnh vực phân tích động lực học

và góp phần đưa ra kết quả chính xác so với thực tế Từ đó rút ra các kết luận quan trọng và đề xuất các giải pháp áp dụng trong mô hình thực tế

1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu

Mục tiêu chính của Đề tài nhằm phân tích động lực tấm Mindlin dài vô hạn trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần tử tấm chuyển động MEM Trong đó phương pháp MEM được phát triển nhằm giải quyết tốt hơn và khắc phục các điểm hạn chế của các phương pháp truyền thống Các vấn đề nghiên cứu cụ thể trong phạm vi Đề tài này bao gồm:

 Thiết lập các ma trận khối lượng, độ cứng, cản cho các phần tử tấm dày Mindlin sử dụng phương pháp MEM

 Phát triển thuật toán lập trình tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để giải hệ phương trình động của bài toán

 Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của Đề tài với các kết quả các nghiên cứu của tác giả khác

 Thành lập và thực hiện các ví dụ số để khảo sát sự ảnh hưởng của các đại lượng khác nhau đến ứng xử động của bài toán, từ đó rút ra các kết luận

1.4 Cấu trúc Đề tài

Nội dung trong Đề tài được trình bày như sau:

Chương 1: Giới thiệu tổng quan về tấm chịu tải trọng động, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài

Chương 2: Trình bày các công thức phần tử hữu hạn để phân tích động lực tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần tử chuyển động Chương 3: Trình bày các kết quả phân tích số được tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để giải hệ phương trình động của bài toán

Chương 4: Đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong Đề tài và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài

Phụ lục: một số đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số trong Chương 3

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này trình bày các công thức cơ bản của tấm chịu uốn và thiết lập công thức

để phân tích động lực tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần tử chuyển động Phương pháp tích phân Newmark để giải bài toán động lực học theo miền thời gian được sử dụng trong Đề tài

2.1 Lý thuyết tấm Mindlin

2.1.1 Giới thiệu tổng quát

Theo bản chất của trạng thái ứng suất thì tấm có thể được phân làm ba loại sau [41]:

 Tấm dày (Tấm Reissner-Mindlin): là tấm mà trạng thái ứng suất ba trục được triển khai và được định nghĩa bởi bộ phương trình vi phân đầy đủ của lý thuyết đàn hồi ba chiều Tấm dày có tỉ lệ giữa chiều dày với kích thước cạnh ngắn 1

4

max

h

w 

Lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff là lý thuyết tấm đơn giản nhất được

sử dụng rộng rãi để phân tích tấm Tính đơn giản được thể hiện bằng các giả thiết được cho trong [42] như sau:

 Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm vẫn còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình (mặt phẳng chia đôi chiều cao tấm) khi biến dạng và

độ dài của chúng là không đổi Hệ quả của giả thiết này là ta đã bỏ qua các thành phần biến dạng cắt ngang (yz xz  ) 0

 Khi tấm chịu uốn mặt trung bình không chịu kéo, nén hay trượt

 Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm

Tuy nhiên, khi tỉ số h

B (Blà kích thước nhỏ nhất của mặt trung bình tấm) không đủ nhỏ thì sự bỏ qua các biến dạng này sẽ dẫn đến kết quả không chính xác

Hình 2.1 Mô hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Kirchhoff

E Reissner (1945) [43] công bố lý thuyết tấm chính xác hơn bằng cách kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt trong tấm đàn hồi chịu uốn Lý thuyết Reissner không yêu cầu hệ số hiệu chỉnh cắt bởi vì được thành lập bằng cách giả định sự phân bố ứng suất tiếp theo quy luật parabol qua chiều dày tấm Sau đó R.D Mindlin (1951) [44] đã đưa ra lý thuyết có kể đến ảnh hưởng của quán tính xoay và biến dạng trượt trong dao động của tấm đàn hồi đẳng hướng và hoàn toàn tương thích với lý thuyết của Reissner Lý thuyết Mindlin cho phép các pháp tuyến chịu các góc xoay bằng hằng số xoay quanh mặt phẳng trung bình trong suốt quá trình biến dạng Tuy nhiên, sự nới lỏng về giả thiết pháp tuyến này lại vi phạm yêu cầu về tĩnh học,

đó là ứng suất tiếp phải bằng 0 tại biên tự do của tấm Để khắc phục sai sót đó, người ta đưa ra hệ số hiệu chỉnh cắt Lý thuyết tấm có kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang được gọi là lý thuyết tấm Reissner-Mindlin Lý thuyết này đã mở

Mặt trung bình

rộng lĩnh vực ứng dụng của lý thuyết tấm vào trường hợp tấm dày và tấm trung bình Tóm tắt lý thuyết tấm Mindlin được cho trong [44]:

 Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm trước biến dạng sẽ vẫn

là thẳng nhưng không nhất thiết là vẫn vuông góc với mặt trung bình khi biến dạng

 Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung bình không bị kéo và nén

 Bỏ qua ứng suất pháp  z

Theo mô hình Reissner-Mindlin, các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình vẫn thẳng trong quá trình biến dạng nhưng không còn vuông góc với mặt trung gian nữa, và các góc vuông này bị thay đổi một lượng đúng bằng biến dạng trượt trung bình gây ra bởi lực cắt Như vậy góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm hai phần, phần thứ nhất do độ võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt trung bình, phần thứ hai là do biến dạng trượt trung bình gây ra

Hình 2.2 Mô hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Mindlin

2.1.2 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị

Xét tấm Mindin được đặt trên nền đàn nhớt với chiều dàiL, chiều rộng B, chiều

dày h và có các đặc trưng vật liệu như module đàn hồi E, trọng lượng riêng , hệ

số Poison  được thể hình trong Hình 2.3 Trong đó, thành phần đàn hồi và thành phần đàn nhớt của nền được mô hình bởi các lò xo và các cản nhớt đặt trên bề mặt tấm, lần lượt được đặc trưng bởi các hệ số k và f c f

Mặt trung bình

Hình 2.3 Mô hình tấm Mindlin trên nền đàn nhớt Với giả thiết tấm Mindlin chịu biến dạng uốn bởi các lực vuông góc với mặt

phẳng tấm, hệ trục tọa độ Oxyz được chọn sao cho mặt phẳng tọa độ Oxy trùng

với mặt trung bình  R2và trục z vuông góc với mặt phẳng tấm Tấm dựa trên

các giả thiết Mindlin, với w là độ võng tấm,  x, y lần lượt là các góc xoay của

pháp tuyến của mặt trung hòa quanh trục Oy và Ox của hệ tọa độ địa phương với qui ước chiều dương cho ở Hình 2.4,  là mặt trung hòa của tấm Các thành phần

u , v và w tương ứng là chuyển vị theo phương x , y và z; w là chuyển vị tại 0

mặt trung hòa (giả thiết biến dạng màng: 0 0

x,u

P z

β y

Véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong tấm Mindlin được tạo bởi:

2.1.3 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa ứng suất – biến dạng

Biến dạng của tấm bao gồm biến dạng uốn và biến dạng cắt Các thành phần biến dạng này được cho bởi các công thức sau:

Biến dạng uốn của tấm:

0 00

b

x y

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng: Ứng suất của tấm lần lượt là ứng suất uốn

và ứng suất cắt, có mối liên hệ với biến dạng uốn và biến dạng cắt theo định luật Hooke như sau:

Ứng suất uốn của tấm:

σb   x y xyT Dε D κ  z b (2.15)với

  là hệ số hiệu chỉnh cắt, G là module đàn hồi trượt

2.1.4 Phương trình năng lượng của tấm

Năng lượng biến dạng đàn hồi của tấm Mindlin được cho bởi công thức sau:

3 2

b

Eh v

2.2.1 Khái niệm phần tử đẳng tham số

Trong phương pháp phần tử hữu hạn khi miền khảo sát là đường cong hoặc có biên

là các đường cong hay mặt cong, nếu ta chỉ sử dụng phần tử một chiều thẳng, các phần tử hai chiều dạng tam giác, tứ giác hay các phần tử ba chiều dạng khối, mặt thì không đủ đảm bảo độ chính xác của kết quả Điều này dẫn đến việc cần phải xây dựng và phát triển các phần tử có dạng hình học bất kỳ với các biên là các đường cong hay mặt cong Các phần tử này được gọi là các phần tử có biên cong hay là phần tử đẳng tham số (izoparametric element)

Khái niệm phần tử đẳng tham số dựa trên cơ sở phép biến đổi một phần tử được gọi là phần tử chuẩn (master element) trong hệ tọa độ tự nhiên O thành phần tử thực tương ứng có dạng tùy ý trong tọa độ vuông góc Oxy

Quá tình phát triển phần tử hữu hạn cho tấm được các nhà khoa học trên thế giới triển khai khá rộng rãi Trong Đề tài này, tác giả sử dụng phần tử tấm tứ giác 9 nút (Quadrilateral nine-node element - Q9) thuộc loại đẳng tham số (isoparametric element) có các hàm nội suy song tuyến tính (bilinear interpolation fucntion) để mô hình hóa bài toán khảo sát

2.2.2 Hệ tọa độ địa phương phần tử đẳng tham số Q 9

Rời rạc hóa miền bài toán  thành N e phần tử tứ giác chín nút Q9 sao cho

Hình 2.5 Phần tử tứ giác Q9 trong hệ tọa độ địa phương

Vì liên quan đến các phép tính tích phân sau này, để cho việc chuẩn hóa các tọa

độ tiện lợi hơn nên ta đặt sao cho cạnh 1-2 có   1, cạnh 3-4 có   1, cạnh 1-4

có    1, cạnh 2-3 có   1

3(1,1) 4(-1,1)

5(0,-1)

6(1,0)

7(0,1)

9(0,0) 8(-1,0)

Hình 2.6 Phần tử tứ giác Q 9 trong hệ tọa độ tự nhiên Dạng hình học của phần tử được cho bởi tổ hợp tuyến tính:

9

1

i i i



với x y i, i là tọa độ của nút thứ ii 1 9 trong hệ tọa độ tổng thể  x y,

Ba đại lượng chuyển vị độc lập của phần tử được nội suy theo các chuyển vị nút tương ứng như sau:

ξ

η

1

i i i

1 2

2 2 9

2.2.3 Phép tích phân số - Phép cầu phương Gauss

Mặt dù một số tích phân có dạng trong công thức (2.30) có thể giải được bằng giải tích, nhưng việc áp dụng đối với các hàm phức tạp tỏ ra rất khó khăn Đặc biệt khi ,

  biến thiên theo đường cong Trong thực tế công thức (2.30) được tính bằng phương pháp số, sử dụng phép cầu phương Gauss trên toàn miền phần tử Các qui tắc cầu phương trong mặt phẳng đều có dạng sau:

1 1

trong đó  i, jlà tọa độ điểm nằm trong phần tử, w w i, j là các trọng số tương ứng,

n là số điểm Gauss sử dụng trong phép cầu phương

Phép cầu phương Gauss với n điểm Gauss sẽ cho kết quả chính xác nếu hàm

 , 

f   là một đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 2n1

Bảng 2.1 Tọa độ và trọng số trong phép phương cầu Gauss

2.3 Thiết lập công thức ma trận kết cấu tấm Mindlin trên nền đàn nhớt sử

dụng phần tử chuyển động MEM

Để thiết lập phương trình ứng xử của bài toán tấm trên nền đàn nhớt, Đề tài sử dụng nguyên lý công ảo được phát biểu như sau: nếu một vật thể biến dạng được cân bằng thì công nội ảo bằng với công ngoại ảo đối với bất kỳ chuyển vị khả dĩ động Công nội ảo của kết cấu tấm được cho bởi:

,

, ,

, , ,

0

0 0 ,

00

với b p x y , 0 0T là véctơ tải trọng

 Công ảo gây ra do lực quán tính

3 3

Đề tài nghiên cứu bài toán tấm chịu tải trọng di động Giả sử tải trọng di động

theo phương x với vận tốc không đổi V như trong Hình 1.4 Bằng cách sử dụng phương pháp MEM, phương trình động học được chuyển sang một hệ tọa độ

 r s gắn liền với tải trọng di động Trong đó, trục , r di chuyển cùng vận tốc với tải trọng di động Mối quan hệ giữa hai trục tọa độ được xác định như sau:

r x Vt r

V t

Sử dụng đạo hàm riêng phần đối với các biến, đạo hàm của ,w  x, ytheo , ,r s t

lần lượt được xác định bởi:

Tại thời điểm bất kỳ t, miền bài toán được khảo sát trong hệ tọa độ cố định

 x y là ,   0Vt L Vt   0 B hay   Vt L Vt   0 B Tuy nhiên, trong hệ tọa độ chuyển động  r s , miền này là ,  0 L  0 B, trong đó ,L B

là kích thước tấm

Toán tử L trong công thức (2.7) và toán tử b L trong công thức (2.13) trong hệ s

tọa độ chuyển động được viết lại

0 0

0 00

b

r s

Thay công thức (2.60) và (2.61) vào (2.54) và (2.59), phương trình công nội và công ngoại ảo được viết lại:

, , ,

0

0 0 ,

00

Áp dụng phương pháp Galerkin và sử dụng các hàm dạng chuyển vị N, các

véctơ lực, ma trận khối lượng, cản và độ cứng của phần tử tấm lần lượt được xác định như sau:

với  ,r là đạo hàm theo r và  ,rr là đạo hàm cấp hai theo r

Như vậy cuối cùng phương trình tổng quát chuyển động của các phần tử tấm Mindlin được viết như sau:

( )t  ( )t  ( )t  ( )t

với ( )u t là véctơ chuyển vị theo thời gian của phần tử tấm

Vậy phương trình tổng quát của mô hình phần tử tấm chuyển động có dạng như sau:

trong đó z là véc tơ chuyển vị tổng thể; M, C và K là các ma trận khối lượng tổng thể, cản tổng thể và độ cứng tổng thể; P là véc tơ tải tổng thể

2.4 Qui tải tập trung thành tải trọng tác động tại bốn bánh xe

Trong một số tài liệu, tải của xe trên tấm được xem như tải tập trung đặt tại trọng tâm của xe nhưng trên thực tế tải trọng của xe sẽ được phân phối tại bốn bánh xe

Do đó để so sánh ứng xử của tấm với hai mô hình tải tập trung tại trọng tâm và tải trọng phân bố tại 4 bánh xe, tải của xe sẽ được tính chính xác hơn bằng cách qui về tải tập trung đặt tại bốn bánh xe Hình 2.7 minh họa mô hình đơn giản của một chiếc

xe bốn bánh di chuyển trên tấm

Hình 2.7 Mặt cắt dọc phân bố tải trọng của xe xuống bốn bánh xe

Dùng hình học để phân tích, tải trọng tập trung ở hai bánh xe trước và hai bánh

xe sau có thể được xác định bằng hai phương trình sau:

Ngoài ra trong Hình 2.8, mô tả lực tác dụng cho hai bánh sau, tải trọng tập trung

có thể được xác định bởi hai phương trình:

Hình 2.8 Mặt cắt cắt ngang phân bố tải trọng của xe xuống bốn bánh xe Bằng cách thay thế (2.72) và (2.73) vào (2.71), ta đựơc tải trọng tập trung tại bốn bánh xe trong trường hợp tổng quát được xác định như sau:

1 1

1 1

Để phân tích ứng xử phức tạp của nền, nhiều mô hình đã được đề xuất để áp dụng

Mô hình đơn giản nhất là mô hình nền đàn hồi một thông số Winkler, mô hình được giả thuyết rằng nền là một hệ thống các phần tử rời rạc được ghép nối với nhau bởi các lò xo độc lập Trong mô hình này, ứng xử của nền được giả sử rằng chuyển vị thẳng của nền sẽ biến dạng tuyến tính tại từng điểm Tuy nhiên mô hình nền Winkler có nhiều thiếu sót do sự hoạt động độc lập của các lò xo Bởi vì các lò xo này được giả thuyết độc lập và không được kết nối với nhau nên không có các tác

động qua lại giữa các lò xo này Khi tải trọng tác dụng lên nền không liên tục, sự không liên tục này sẽ ảnh hưởng lên nền bởi tác động qua lại giữa các lò xo vì thế nền Winkler đã bỏ qua biến dạng cắt của nền

Để khắc phục những hạn chế của nền Winkler thì nền hai thông số Pasternak được đề xuất Nền Pasternak là một trong những mô hình nền đơn giản hai thông số được sử dụng rộng rãi Mô hình nền này có thể được mô tả như một hệ thống các lò

xo được ghép nối với nhau có thể truyền lực cắt lên bề mặt nền Do có sự kết nối của các lò xo nên sự liên tục của nền vẫn được bảo đảm

Xét tấm Mindin được đặt trên nền đàn nhớt với chiều dàiL, chiều rộng B, chiều

dày h và có các đặc trưng vật liệu như module đàn hồi E, trọng lượng riêng , hệ

số Poison  được thể hình trong Hình 2.9 Trong đó, nền Pasternak được đặc trưng bởi hai thông số: hệ số module đàn hồi (spring modulus) k và module cắt (shear w

modulus) k g

Hình 2.9 Mô hình tấm Mindlin trên nền Pasternak Chính vì sự làm việc của các hệ thống lò xo được ghép nối với nhau trong mô hình nền Pasternak mà có sự làm truyền lực cắt theo phương ngang của các lò xo nên trong quá trình biến dạng của nền thì vẫn đảm bảo tính liên tục khi lực tác động trên nền là không liên tục Mô hình tấm Mindlin trên nền Pasternak sau khi bị biến dạng được thể hiện trong Hình 2.10