GIẢI TÍCH 2 đại học BÁCH KHOA hà nội

1.2 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số.. 631.3 Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi.. 67 2.1 Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC

BÙI XUÂN DIỆU

Bài Giảng

(lưu hành nội bộ)

TRƯỜNG

Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và lời giải

Hà Nội- 2009

M ỤC LỤC

Mục lục 1

Chương 1 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học 5

1 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng 5

1.1 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong tại một điểm 5 1.2 Độ cong của đường cong 6

1.3 Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một tham số 7

2 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 10

2.1 Hàm véctơ 10

2.2 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng tham số 10 2.3 Phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong 11

2.4 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng giao của hai mặt Chương 2 Tích phân bội 15

1 Tích phân kép 15

1.1 Định nghĩa 15

1.2 Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes 16

1.3 Phép đổi biến số trong tích phân kép 24

2 Tích phân bội ba 35

2.1 Định nghĩa và tính chất 35

2.2 Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descartes 35

2.3 Phương pháp đổi biến số trong tích phân bội ba 38

3 Các ứng dụng của tích phân bội 50

3.1 Tính diện tích hình phẳng 50

3.2 Tính thể tích vật thể 55

3.3 Tính diện tích mặt cong 62

Chương 3 Tích phân phụ thuộc tham số 63

1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số 63

1.1 Giới thiệu 63

1.2 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số 63

1.3 Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi 66

2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 67

2.1 Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 67

2.2 Bài tập 68

3 Tích phân Euler 75

3.1 Hàm Gamma 75

3.2 Hàm Beta 75

3.3 Bài tập 76

Chương 4 Tích phân đường 79

1 Tích phân đường loại I 79

1.1 Định nghĩa 79

1.2 Các công thức tính tích phân đường loại I 80

1.3 Bài tập 80

2 Tích phân đường loại II 82

2.1 Định nghĩa 82

2.2 Các công thức tính tích phân đường loại II 82

2.3 Công thức Green 85

2.4 Ứng dụng của tích phân đường loại II 91

2.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân 92 Chương 5 Tích phân mặt 95

1 Tích phân mặt loại I 95

1.1 Định nghĩa 95

1.2 Các công thức tính tích phân mặt loại I 95

1.3 Bài tập 95

2 Tích phân mặt loại II 98

2.1 Định hướng mặt cong 98

2.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II 98

2.3 Các công thức tính tích phân mặt loại II 98

2.4 Công thức Ostrogradsky, Stokes 102

2.5 Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại II 105

Chương 6 Lý thuyết trường 107

1 Trường vô hướng 107

1.1 Định nghĩa 107

1.2 Đạo hàm theo hướng 107

1.3 Gradient 108

1.4 Bài tập 109

2 Trường véctơ 111

2.1 Định nghĩa 111

2.2 Thông lượng, dive, trường ống 111

2.3 Hoàn lưu, véctơ xoáy 111

2.4 Trường thế - hàm thế vị 112

2.5 Bài tập 112

• Một điểm không phải là điểm chính quy được gọi là điểm kì dị.

2 Các công thức

• Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong xác định bởi phươngtrình tại điểm chính quy:

Chú ý: Trường hợp đặc biệt, đường cong cho bởi phương trình y = f(x)

2 Các công thức tính độ cong của đường cong tại một điểm

x0 y0

x00 y00

1.3 Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một tham số

2 Quy tắc tìm hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham số

Định lý 1.1. Cho họ đường cong F(x, y, c) = 0 phụ thuộc một tham số c Nếu họđường cong trên không có điểm kì dị thì hình bao của nó được xác định bằng cáchkhửctừ hệ phương trình 





F(x, y, c) = 0

3 Nếu họ đường cong đã cho có điểm kì dị thì hệ phương trình (1) bao gồm hình bao

Bài tập 1.1 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong:

Lời giải – Tại M1(−1, 1),

d x2

3 +y23 = a23 tại M(8, 1)

Lời giải – Phương trình tiếp tuyến x+2y−10=0

– Phương trình pháp tuyến 2x−y−15=0

Bài tập 1.2 Tính độ cong của:

x0 y0

x00 y00

,

p03(t) p1(t)

q03(t) q1(t)

,

... x2< /small>

3 +y2< /sup>3 = a2< /sup>3 tại M(8, 1)

Lời giải< /i> – Phương trình tiếp tuyến x+2y−10=0

–... →r(t