Diện tích hình phẳng(Sưu tầm)

( )

b

a

1)Diện tích hình thang cong

Cho f là hàm số liên tục trên [a;b] và f(x) ≥ 0 thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị , đường thẳng x= a, x=b và y =0 cho bởi công thức:

b

a

dientich.gsp

Nếu f liên tục trên [a;b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị y=f(x); đường thẳng x = a ; x = b ; y = 0

Cho bởi công thức:

2)Diện tích hình phẳng

( ) (2)

b

a

Hãy dựa vào 1) giải thích công thức 2

Chú ý: Nếu f không đổi dấu trên [c; d] thì

f x dx = f x dx

Nếu f(x) = 0 có các nghiệm x1,x2,x3, ,xk: a<x1<x2<x3< <xk< b Thì:

1

1

i

x x

i

+

−

=

dientich.gsp

Ví dụ 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y =cosx trên đoạn [- π , π ] và trục hoành.

/ 2

osx 2 osx

2 osx 2 osx 4

π

π

−

Ví dụ 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y =x 3 -4x trên đoạn [-1, 2] và trục hoành.

Giải

= ∫ − = ∫ − + ∫ −

3)Diện tích hình phẳng giới hạn bỏi các đường :

y=f(x) ,y=g(x), x=a,x=b f ,g liên tục trên [a; b]

( ) ( ) (3)

b a

S = ∫ f x − g x dx

Hãy dựa vào công thức 1) diễn giải công thức 3)

Trường hợp1: f(x)≥ g(x) ≥0

Trường hợp 2: f(x)≥ g(x)

Trường hợp 3: f(x), g(x) tuỳ ý

dientich.gsp

Chú ý : Để tính S ta làm như sau:

1) Giải phương trình f(x)=g(x): tìm nghiệm x 1 ,x 2 ,x 3 , ,x k :

a<x 1 <x 2 <x 3 < <x k < b

2)

1

1

i

x

i

+

−

=

= ∫ − + ∑ ∫ − + ∫ −

Ví dụ 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y =x 3 -3x

và đồ thị y = x

Giải: * Phương trình x 3 -3x = x cho ta x = -2, x = 0, x = 2

2 0 2

−

Ví dụ 4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi El íp :

Bai day\dientich.gsp

Ta xem Elip là hợp bởi hai đồ thị :

b

a

2 2

2 -x

a a

b

−

Y=0 ⇔ x =a,x =-a

a=b thì ta có hình tròn

2 -x

a

S = ∫ a dx = π a

Bài tập:

1) Bài tập sách giáo khoa

2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường:

y2= x+1 và đường thẳng:y = x-1

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = x3-3x+2 , tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là 2

và trục tung

4)Cho (P) y = x2-2x+2 d là đường thẳng đi qua (1;3)

có hệ số góc k M(0;-2)

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường (P) và d theo k , tìm k để diện tích lớn nhất b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường (P) ,hai tiếp tuyến đi qua M của (P)