Hình thang ABCD: AB//CD Cạnh đáy: AB, CD Cạnh bên: AD, BC Đường cao: AH Tính chất: trong một hình thang, góc kề một cạnh bên thì bù nhau.. Nhận xét: + Nếu một hình thang có hai cạnh bên
Trang 1Chủ đề 2: Hình thang
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1 Hình thang
Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song
Hình thang ABCD: AB//CD
Cạnh đáy: AB, CD
Cạnh bên: AD, BC
Đường cao: AH
Tính chất: trong một hình thang, góc kề một cạnh bên thì bù nhau
Nhận xét:
+ Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau
+ Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau
2 Hình thang vuông
Định nghĩa: Hình thang vuông là hình thang có một cạnh bên vuông góc với hai đáy
3 Dấu hiện nhận biết hình thang, hình thang vuông
+ Một tứ giác có hai cạnh song song là hình thang
+ Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1: Tính các góc của một hình thang
Trang 2Hướng dẫn giải
ABCD là hình thang, AB//CD + A+ =D 1800(Hai góc kề cạnh bên bù nhau)
20
A− =D Suy ra: 0
100
80
D=
180
B+ =C (Hai góc kề cạnh bên bù nhau); B=2C
Suy ra: 0
60
120
B=
Hướng dẫn giải:
ABCD hình thang, AB//CD
0
0 0 0
0 0 0
180
180 130 50
180 70 110
D
B
Dạng 2: Chứng minh một tứ giác là hình thang, hình thang vuông
Hướng dẫn giải
Xét ∆ABC:AB=BC (giả thuyêt) Suy ra: ∆ABC cân tại B
Bài tập mẫu 3: Cho tứ giác ABCD, AB=BC và AC là tia phân giác của góc A
Chứng minh ABCD là hình thang
Bài tập mẫu 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Tính số đo
Bài tập mẫu 1: Cho hình thang ABCD có (AB//CD) có 0
20
A− =D và B=2C
Tính các góc của hình thang?
Trang 3Từ đây suy ra: BAC=BCA
BAC=CAD (AD phân giác )
Suy ra: BCA=CAD
Suy ra: BC//AD
Vậy tứ giác ABCD là hình thang
Hướng dẫn giải
a Chứng minh ∆AMBcân:
Ta có 1
2
AM = BC M thuộc cạnh BC
Suy ra:M là trung điểm của cạnh BC
2
BC
Suy ra: ∆AMB cân tại M
b Chứng minh tứ giác MNAClà hình thang vuông:
Trong ∆AMB : AN = NB (giả thiết)
Suy ra: MN ⊥AB
AC ⊥AB (∆ABCvuông tại A)
//
MN AC
90
CAN =
Bài tập mẫu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm M thuộc cạnh BC sao
2
AM = BC, N là trung điểm cạnh AB Chứng minh:
a ∆AMBcân b Tứ giác MNAC là hình thang vuông
Trang 4Suy ra: tứ giác MNAClà hình thang vuông
Hướng dẫn giải:
Tứ giác ABCD là hình thang ( vì BDC BDA= )
Tứ giác EFGH là hình thang vuông ( 0
EF 90
H = và 0
EF 90
G = )
Hướng dẫn giải
* Tìm cách giải : Để chứng minh một cạnh đáy nào đó nhỏ hơn 4cm ta có thể xét
tổng của hai cạnh đáy rồi chứng minh tổng này nhỏ hơn 8cm Khi đó tồn tại một đáy có độ dài nhỏ hơn 4cm
* Trình bày lời giải
Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC
Bài tập mẫu 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD), các tia phân giác của góc
A, góc D cắt nhau tại M thuộc cạnh BC Cho biết AD = 7cm, chứng minh
rằng một trong hai đáy của hình thang có độ dài nhỏ hơn 4cm
Bài tập mẫu 5: Cho tứ giác ABCD và EFGH trên giấy kẻ ô vuông (hình vẽ)
Quan sát rồi đoán nhận xem các tứ giác đó là hình gì, sau đó dùng thước
và eke để kiểm tra lại dự đoán đó
Trang 5Ta có AB // CD nên A 2 = N (so le trong)
Mặt khác, A 1 = A 2 nên A 1 = N ⇒ ∆DAN cân tại D Vì vậy: DA = DN (1)
D
C
M
N
1 2
2
1
Xét ∆DAN có D 1 = D 2 Nên DM đồng thời là đường trung tuyến:
MA = MN
Nên: ∆ABM = ∆NCM (g.c.g)
Do đó: AB = CN
Ta có : DC + AB = DC + CN = DN = DA = 7cm Vậy AB + CD < 8cm
Vậy một trong hai đáy AB, CD phải có độ dài nhỏ hơn 4cm
Hướng dẫn giải
a Phân tích: Giả sử ta đã dựng được hình thang ABCD thoả mãn đề bài
D
C E
Vẽ AE // BC (E ∈ CD)
AED= =C 40 , EC = AB = 2cm
và DE = DC – EC = 5 – 2 = 3cm
- ∆ADE dựng được ngay (g.c.g)
- Điểm C thoả mãn hai điều kiện:
C nằm trên tia DE và C cách D là 5cm
- Điểm B thoả mãn hai điều kiện: B nằm trên tia Ax // DE (hai tia Ax và DE cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AD) và B cách A là 2cm
Bài tập mẫu 7: Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết: AB = 2cm, CD =
5cm, o
C=40 ; o
D = 70
Trang 6b Cách dựng
- Dựng ∆ADE sao cho DE = 3cm; o
D=70 ; o
E = 40
- Dựng tia Ax // DE (hai tia Ax và DE cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AD)
- Trên tia Ax đặt AB = 2cm
- Trên tia DE đặt DC = 5cm
- Nối BC ta được hình thang ABCD phải dựng
c Chứng minh
Theo cách dựng tứ giác ABCD có AB // CD nên nó là hình thang
Xét hình thang ABCE có CE = 5 – 3 = 2(cm);
AB = 2cm nên AB = CE do đó AE // BC o
BCD AED 40
Như vậy hình thang ABCD có AB = 2cm; CD = 5cm; o
D = 70 và o
C = 40
d Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình
Hướng dẫn giải
a) Phân tích: Giả sử ta đã dựng được tam giác ABC thoả mãn đề bài
Trên tia AC ta lấy điểm D sao cho AD = AB
Khi đó DC = AC – AD = AC – AB = 2cm
∆ABD cân, o
ADB 55
BDC 125
- ∆DBC xác định được (CD = 2cm; o
D=125 ; CB = 5cm)
- Điểm A thoả mãn hai điều kiện:
A nằm trên tia CD và A nằm trên đường trung trực của BD
Bài tập mẫu 8: Dựng tam giác ABC, biết o
A=70 , BC = 5cm và AC – AB = 2cm
Trang 7b) Cách dựng:
- Dựng ∆DBC sao cho o
D=125 ; DC = 2cm và CB = 5cm
- Dựng đường trung trực của BD cắt tia CD tại A
- Nối AB ta được ∆ABC phải dựng
c) Chứng minh
D A
2
Ta có: ∆ABC thoả mãn đề bài vì theo cách dựng, điểm A nằm trên đường trung trực của BD nên AD = AB
Do đó AC – AB = AC – AD = DC = 2cm;
ADB = 180 − 125 = 55
BAC 180 2.55 70
d) Biện luận : Bài toán có một nghiệm hình
Nhận xét: Đề bài có cho đoạn thẳng 2cm nhưng trên hình vẽ chưa có đoạn thẳng
nào như vậy Ta đã làm xuất hiện đoạn thẳng DC = 2cm bằng cách trên AC ta đặt
AD = AB Khi đó DC chính là hiệu AC – AB
E
A
2
Cũng có thể làm xuất hiện đoạn thẳng 2cm bằng cách trên tia AB ta đặt AE = AC
Khi đó BE = AE – AB = AC – AB = 2cm
∆AEC cân, có o
E 180 70 : 2 55
∆BEC xác định được
Khi đó điểm A thoả mãn hai điều kiện:
A nằm trên tia EB và A nằm trên đường trung trực của EC
Trang 8TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8 MỚI NHẤT-2019
Bộ phận bán hàng: 0918.972.605
Đặt mua tại: https://xuctu.com/
Email: sach.toan.online@gmail.com
Trang 9C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD), AB<CD, AD=BC=AB, 0
30
BDC= Tính các góc của hình thang
Hướng dẫn giải
ABCD hình thang, AB//CD ⇒ ABD=BDC (so le trong)
Do đó : 0
30
ABD=
Mặt khác: AB=AD (giả thiết)
ABD
⇒∆ cân tại A
30
ADB= ABD=
DAB= − ADB+ABD = − = ⇒ADB+BDC=
Từ B, kẻ BE//AD Suy ra: AD = BE và AB = DE
Mà: AB < DC nên điểm E nằm giữa hai điểm C và D
Mặt khác: BC=AD (giả thiết) Suy ra: BC=BE⇒∆BEC cân tại B ⇒BCD=BEC
Ta có: BEC= ADC(đồng vị) Do đó: 0
60
BCD=
180
180 180 60 120
ABC= −BCD= − =
Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH Từ H kẻ
,
HD⊥ AC HE⊥AB Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng HB, HC Chứng minh tứ giác DEMN là hình thang vuông
Trang 10Chứng minh DEMN là hình thang vuông
Ta có: HE⊥ AB (giả thiết) ⇒∆BEH vuông tại E
BM =MH (giả thiết)
Suy ra: EM là trung tuyến thuộc cạnh huyền Nên: EM=MH
EMH
⇒∆ cân tại M
Do đó: MEH MHE= (1) Xét tứ giác ABCD có: HEA= 90(HE⊥AB)
0( )
90
0 90
EAC= (∆ABC vuông tại A)
Suy ra: 0
90
EHD=
Xét hai tam giác vuông AEH và DHE
AE = DH và EH cạnh chung ⇒∆AEH = ∆DHE(cạnh góc vuông)
Suy ra: DEH = AHE (2)
Từ (1) và (2), cộng vế theo vế: MEH +DEH =MHE+AHE
90
Tương tự, ta chứng minh được: ND⊥ED
Suy ra: ME//ND và 0
90
MED= Do đó: Tứ giác DEMN là hình thang vuông
Trang 11Bài tập 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Hai đường phân giác của góc A và
B cắt nhau tại điểm K thuộc đáy CD Chứng minh AD+BC=DC
Hướng dẫn giải
ABCD là hình thang, AB//CD
DKA=KAB CKB=KBA(so le trong)
DAK =KAB (AK phân giác A)
CBK =KBA(BK phân giác B)
Suy ra: DKA DAK
CKB KBA
=
Do đó: ∆ADKcân tại D⇒DA=DK
Từ: ∆BCKcân tại C⇒BC=CK
Do đó: DC=DK+KC =AD=BC Vậy DC= AD+BC
Bài tập 4: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D Cho biết AD = 20, AC = 52 và
BC = 29 Tính độ dài AB
Hướng dẫn giải
D
C H
20
?
29 52
Vẽ BH ⊥ CD ta được AB = DH; BH =
AD = 20
Xét ∆BHC vuông tại H có
HC2 = BC2 – BH2 = 292 – 202 = 441 Nên : HC = 21
Trang 12Xét ∆ADC vuông tại D có CD2 = AC2 – AD2 = 522 – 202 = 2304
Do đó: CD = 48
Do đó DH = CD – HC = 48 – 21 = 27 ⇒ AB = 27
Nhận xét: Bài này đã vẽ thêm đường cao BH của hình thang Đó là một cách vẽ
hình phụ thường dùng khi giải toán về hình thang
Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD Các tia phân giác của góc A, góc D cắt nhau tại M
Các tia phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại N Cho biết o
AMD=90 , chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD là hình thang; b) NB ⊥ NC
Hướng dẫn giải
D
C
M
N
1 2
1
2
1
1
a Xét ∆MAD có o
M = 90
o
1 1
A D 90
90 2
+
o
A D 180
⇒ + = ⇒ AB // CD
Vậy tứ giác ABCD là hình thang
ABC + BCD = 180 (hai góc kề với một cạnh bên)
Từ đây suy ra ABC BCD o
90 2
+ = hay nói cách khác : o
1 1
B + C = 90
1 1
N=180 − B +C =180 −90 =90 Vậy NB ⊥ NC
Bài tập 6: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D Gọi M là trung điểm của AD
Cho biết MB ⊥ MC a Chứng minh rằng BC = AB + CD;
b Vẽ MH ⊥ BC Chứng minh rằng tứ giác MBHD là hình thang
Trang 13Hướng dẫn giải
a Gọi E là giao điểm của tia BM với tia CD
Dễ thấy : ∆ABM = ∆DEM (g.c.g) ⇒ AB = DE và MB = ME
D
C
M
H
1 2
E
∆CBE có CM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên là tam giác cân Nên CB = CE
Suy ra: CB = CD + DE
Do đó: CB = CD + AB (vì AB = DE)
b ∆CBE cân tại C, CM ⊥ BM (1)
1 2
⇒ = ⇒ MH = MD (tính chất điểm nằm trên tia phân giác)
∆HCM = ∆DCM (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ CH = CD ⇒ ∆CHD cân
⇒ CM ⊥ DH (2)
Từ (1) và (2) suy ra BM // DH do đó tứ giác MBHD là hình thang
Bài tập 7: Chứng minh rằng trong một hình thang vuông, hiệu các bình phương
của hai đường chéo bằng hiệu các bình phương của hai đáy
Hướng dẫn giải
D
C
Xét hình thang ABCD vuông tại A và D Giả sử
AB ≤ CD Áp dụng định lí Py-ta-go ta có
AC2 = AD2 + DC2; BD2 = AD2 + AB2 Suy ra: AC2 – BD2 = (AD2 + DC2) – (AD2 + AB2)
Do đó AC2 – BD2 = CD2 – AB2
Trang 14TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8 MỚI NHẤT-2019
Bộ phận bán hàng: 0918.972.605
Đặt mua tại: https://xuctu.com/
Email: sach.toan.online@gmail.com