HH8 chuong 1 chu de 2 hinh thang

Hình thang ABCD: AB//CD Cạnh đáy: AB, CD Cạnh bên: AD, BC Đường cao: AH Tính chất: trong một hình thang, góc kề một cạnh bên thì bù nhau.. Nhận xét: + Nếu một hình thang có hai cạnh bên

Chủ đề 2: Hình thang

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Hình thang

Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song

Hình thang ABCD: AB//CD

Cạnh đáy: AB, CD

Cạnh bên: AD, BC

Đường cao: AH

Tính chất: trong một hình thang, góc kề một cạnh bên thì bù nhau

Nhận xét:

+ Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau

+ Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau

2 Hình thang vuông

Định nghĩa: Hình thang vuông là hình thang có một cạnh bên vuông góc với hai đáy

3 Dấu hiện nhận biết hình thang, hình thang vuông

+ Một tứ giác có hai cạnh song song là hình thang

+ Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng 1: Tính các góc của một hình thang

Hướng dẫn giải

ABCD là hình thang, AB//CD + A+ =D 1800(Hai góc kề cạnh bên bù nhau)

20

A− =D Suy ra: 0

100

80

D=

180

B+ =C (Hai góc kề cạnh bên bù nhau); B=2C

Suy ra: 0

60

120

B=

Hướng dẫn giải:

ABCD hình thang, AB//CD

0

0 0 0

0 0 0

180

180 130 50

180 70 110

D

B

Dạng 2: Chứng minh một tứ giác là hình thang, hình thang vuông

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABC:AB=BC (giả thuyêt) Suy ra: ∆ABC cân tại B

Bài tập mẫu 3: Cho tứ giác ABCD, AB=BC và AC là tia phân giác của góc A

Chứng minh ABCD là hình thang

Bài tập mẫu 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Tính số đo

Bài tập mẫu 1: Cho hình thang ABCD có (AB//CD) có 0

20

A− =D và B=2C

Tính các góc của hình thang?

Từ đây suy ra: BAC=BCA

BAC=CAD (AD phân giác )

Suy ra: BCA=CAD

Suy ra: BC//AD

Vậy tứ giác ABCD là hình thang

Hướng dẫn giải

a Chứng minh ∆AMBcân:

Ta có 1

2

AM = BC M thuộc cạnh BC

Suy ra:M là trung điểm của cạnh BC

2

BC

Suy ra: ∆AMB cân tại M

b Chứng minh tứ giác MNAClà hình thang vuông:

Trong ∆AMB : AN = NB (giả thiết)

Suy ra: MN ⊥AB

AC ⊥AB (∆ABCvuông tại A)

//

MN AC

90

CAN =

Bài tập mẫu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm M thuộc cạnh BC sao

2

AM = BC, N là trung điểm cạnh AB Chứng minh:

a ∆AMBcân b Tứ giác MNAC là hình thang vuông

Suy ra: tứ giác MNAClà hình thang vuông

Hướng dẫn giải:

Tứ giác ABCD là hình thang ( vì BDC BDA= )

Tứ giác EFGH là hình thang vuông ( 0

EF 90

H = và 0

EF 90

G = )

Hướng dẫn giải

* Tìm cách giải : Để chứng minh một cạnh đáy nào đó nhỏ hơn 4cm ta có thể xét

tổng của hai cạnh đáy rồi chứng minh tổng này nhỏ hơn 8cm Khi đó tồn tại một đáy có độ dài nhỏ hơn 4cm

* Trình bày lời giải

Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC

Bài tập mẫu 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD), các tia phân giác của góc

A, góc D cắt nhau tại M thuộc cạnh BC Cho biết AD = 7cm, chứng minh

rằng một trong hai đáy của hình thang có độ dài nhỏ hơn 4cm

Bài tập mẫu 5: Cho tứ giác ABCD và EFGH trên giấy kẻ ô vuông (hình vẽ)

Quan sát rồi đoán nhận xem các tứ giác đó là hình gì, sau đó dùng thước

và eke để kiểm tra lại dự đoán đó

Ta có AB // CD nên A 2 = N (so le trong)

Mặt khác, A 1 = A 2 nên A 1 = N ⇒ ∆DAN cân tại D Vì vậy: DA = DN (1)

D

C

M

N

1 2

2

1

Xét ∆DAN có D 1 = D 2 Nên DM đồng thời là đường trung tuyến:

MA = MN

Nên: ∆ABM = ∆NCM (g.c.g)

Do đó: AB = CN

Ta có : DC + AB = DC + CN = DN = DA = 7cm Vậy AB + CD < 8cm

Vậy một trong hai đáy AB, CD phải có độ dài nhỏ hơn 4cm

Hướng dẫn giải

a Phân tích: Giả sử ta đã dựng được hình thang ABCD thoả mãn đề bài

D

C E

Vẽ AE // BC (E ∈ CD)

AED= =C 40 , EC = AB = 2cm

và DE = DC – EC = 5 – 2 = 3cm

- ∆ADE dựng được ngay (g.c.g)

- Điểm C thoả mãn hai điều kiện:

C nằm trên tia DE và C cách D là 5cm

- Điểm B thoả mãn hai điều kiện: B nằm trên tia Ax // DE (hai tia Ax và DE cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AD) và B cách A là 2cm

Bài tập mẫu 7: Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết: AB = 2cm, CD =

5cm, o

C=40 ; o

D = 70

b Cách dựng

- Dựng ∆ADE sao cho DE = 3cm; o

D=70 ; o

E = 40

- Dựng tia Ax // DE (hai tia Ax và DE cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AD)

- Trên tia Ax đặt AB = 2cm

- Trên tia DE đặt DC = 5cm

- Nối BC ta được hình thang ABCD phải dựng

c Chứng minh

Theo cách dựng tứ giác ABCD có AB // CD nên nó là hình thang

Xét hình thang ABCE có CE = 5 – 3 = 2(cm);

AB = 2cm nên AB = CE do đó AE // BC o

BCD AED 40

Như vậy hình thang ABCD có AB = 2cm; CD = 5cm; o

D = 70 và o

C = 40

d Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình

Hướng dẫn giải

a) Phân tích: Giả sử ta đã dựng được tam giác ABC thoả mãn đề bài

Trên tia AC ta lấy điểm D sao cho AD = AB

Khi đó DC = AC – AD = AC – AB = 2cm

∆ABD cân, o

ADB 55

BDC 125

- ∆DBC xác định được (CD = 2cm; o

D=125 ; CB = 5cm)

- Điểm A thoả mãn hai điều kiện:

A nằm trên tia CD và A nằm trên đường trung trực của BD

Bài tập mẫu 8: Dựng tam giác ABC, biết o

A=70 , BC = 5cm và AC – AB = 2cm

b) Cách dựng:

- Dựng ∆DBC sao cho o

D=125 ; DC = 2cm và CB = 5cm

- Dựng đường trung trực của BD cắt tia CD tại A

- Nối AB ta được ∆ABC phải dựng

c) Chứng minh

D A

2

Ta có: ∆ABC thoả mãn đề bài vì theo cách dựng, điểm A nằm trên đường trung trực của BD nên AD = AB

Do đó AC – AB = AC – AD = DC = 2cm;

ADB = 180 − 125 = 55

BAC 180 2.55 70

d) Biện luận : Bài toán có một nghiệm hình

Nhận xét: Đề bài có cho đoạn thẳng 2cm nhưng trên hình vẽ chưa có đoạn thẳng

nào như vậy Ta đã làm xuất hiện đoạn thẳng DC = 2cm bằng cách trên AC ta đặt

AD = AB Khi đó DC chính là hiệu AC – AB

E

A

2

Cũng có thể làm xuất hiện đoạn thẳng 2cm bằng cách trên tia AB ta đặt AE = AC

Khi đó BE = AE – AB = AC – AB = 2cm

∆AEC cân, có o

E 180 70 : 2 55

∆BEC xác định được

Khi đó điểm A thoả mãn hai điều kiện:

A nằm trên tia EB và A nằm trên đường trung trực của EC

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8 MỚI NHẤT-2019

Bộ phận bán hàng: 0918.972.605

Đặt mua tại: https://xuctu.com/

Email: sach.toan.online@gmail.com

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD), AB<CD, AD=BC=AB, 0

30

BDC= Tính các góc của hình thang

Hướng dẫn giải

ABCD hình thang, AB//CD ⇒ ABD=BDC (so le trong)

Do đó : 0

30

ABD=

Mặt khác: AB=AD (giả thiết)

ABD

⇒∆ cân tại A

30

ADB= ABD=

DAB= − ADB+ABD = − = ⇒ADB+BDC=

Từ B, kẻ BE//AD Suy ra: AD = BE và AB = DE

Mà: AB < DC nên điểm E nằm giữa hai điểm C và D

Mặt khác: BC=AD (giả thiết) Suy ra: BC=BE⇒∆BEC cân tại B ⇒BCD=BEC

Ta có: BEC= ADC(đồng vị) Do đó: 0

60

BCD=

180

180 180 60 120

ABC= −BCD= − =

Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH Từ H kẻ

,

HD⊥ AC HE⊥AB Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng HB, HC Chứng minh tứ giác DEMN là hình thang vuông

Chứng minh DEMN là hình thang vuông

Ta có: HE⊥ AB (giả thiết) ⇒∆BEH vuông tại E

BM =MH (giả thiết)

Suy ra: EM là trung tuyến thuộc cạnh huyền Nên: EM=MH

EMH

⇒∆ cân tại M

Do đó: MEH MHE= (1) Xét tứ giác ABCD có: HEA= 90(HE⊥AB)

0( )

90

0 90

EAC= (∆ABC vuông tại A)

Suy ra: 0

90

EHD=

Xét hai tam giác vuông AEH và DHE

AE = DH và EH cạnh chung ⇒∆AEH = ∆DHE(cạnh góc vuông)

Suy ra: DEH = AHE (2)

Từ (1) và (2), cộng vế theo vế: MEH +DEH =MHE+AHE

90

Tương tự, ta chứng minh được: ND⊥ED

Suy ra: ME//ND và 0

90

MED= Do đó: Tứ giác DEMN là hình thang vuông

Bài tập 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Hai đường phân giác của góc A và

B cắt nhau tại điểm K thuộc đáy CD Chứng minh AD+BC=DC

Hướng dẫn giải

ABCD là hình thang, AB//CD

DKA=KAB CKB=KBA(so le trong)

DAK =KAB (AK phân giác A)

CBK =KBA(BK phân giác B)

Suy ra: DKA DAK

CKB KBA





=

 Do đó: ∆ADKcân tại D⇒DA=DK

Từ: ∆BCKcân tại C⇒BC=CK

Do đó: DC=DK+KC =AD=BC Vậy DC= AD+BC

Bài tập 4: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D Cho biết AD = 20, AC = 52 và

BC = 29 Tính độ dài AB

Hướng dẫn giải

D

C H

20

?

29 52

Vẽ BH ⊥ CD ta được AB = DH; BH =

AD = 20

Xét ∆BHC vuông tại H có

HC2 = BC2 – BH2 = 292 – 202 = 441 Nên : HC = 21

Xét ∆ADC vuông tại D có CD2 = AC2 – AD2 = 522 – 202 = 2304

Do đó: CD = 48

Do đó DH = CD – HC = 48 – 21 = 27 ⇒ AB = 27

Nhận xét: Bài này đã vẽ thêm đường cao BH của hình thang Đó là một cách vẽ

hình phụ thường dùng khi giải toán về hình thang

Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD Các tia phân giác của góc A, góc D cắt nhau tại M

Các tia phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại N Cho biết o

AMD=90 , chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD là hình thang; b) NB ⊥ NC

Hướng dẫn giải

D

C

M

N

1 2

1

2

1

1

a Xét ∆MAD có o

M = 90

o

1 1

A D 90

90 2

+

o

A D 180

⇒ + = ⇒ AB // CD

Vậy tứ giác ABCD là hình thang

ABC + BCD = 180 (hai góc kề với một cạnh bên)

Từ đây suy ra ABC BCD o

90 2

+ = hay nói cách khác : o

1 1

B + C = 90

1 1

N=180 − B +C =180 −90 =90 Vậy NB ⊥ NC

Bài tập 6: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D Gọi M là trung điểm của AD

Cho biết MB ⊥ MC a Chứng minh rằng BC = AB + CD;

b Vẽ MH ⊥ BC Chứng minh rằng tứ giác MBHD là hình thang

Hướng dẫn giải

a Gọi E là giao điểm của tia BM với tia CD

Dễ thấy : ∆ABM = ∆DEM (g.c.g) ⇒ AB = DE và MB = ME

D

C

M

H

1 2

E

∆CBE có CM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên là tam giác cân Nên CB = CE

Suy ra: CB = CD + DE

Do đó: CB = CD + AB (vì AB = DE)

b ∆CBE cân tại C, CM ⊥ BM (1)

1 2

⇒ = ⇒ MH = MD (tính chất điểm nằm trên tia phân giác)

∆HCM = ∆DCM (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ CH = CD ⇒ ∆CHD cân

⇒ CM ⊥ DH (2)

Từ (1) và (2) suy ra BM // DH do đó tứ giác MBHD là hình thang

Bài tập 7: Chứng minh rằng trong một hình thang vuông, hiệu các bình phương

của hai đường chéo bằng hiệu các bình phương của hai đáy

Hướng dẫn giải

D

C

Xét hình thang ABCD vuông tại A và D Giả sử

AB ≤ CD Áp dụng định lí Py-ta-go ta có

AC2 = AD2 + DC2; BD2 = AD2 + AB2 Suy ra: AC2 – BD2 = (AD2 + DC2) – (AD2 + AB2)

Do đó AC2 – BD2 = CD2 – AB2

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8 MỚI NHẤT-2019

Bộ phận bán hàng: 0918.972.605

Đặt mua tại: https://xuctu.com/

Email: sach.toan.online@gmail.com