Chuyên đề so sánh hai lũy thừa

Các dạng cơ bản và phương pháp giải các bài toán so sánh hai luỹ thừa: Trước tiên học sinh cần nắm chắc được các tính chất của hai luỹ thừa có cùng cơ số và hai luỹ thừa có cùng số mũ..

V.3 Các dạng cơ bản và phương pháp giải các bài toán so sánh hai luỹ thừa:

Trước tiên học sinh cần nắm chắc được các tính chất của hai luỹ thừa có cùng cơ số và hai luỹ thừa có cùng số mũ Làm các bài tập đơn giản với sự hướng dẫn của giáo viên Sau đó làm các bài tập nâng cao và bài tập đòi hỏi

sự tư duy của học sinh

Xuất phát từ kiến thức trên người ta phát triển thành yêu cầu giải các bài toán so sánh hai luỹ thừa.Trong phạm vi kiến thức lớp 6 chúng ta cần hướng dẫn cho học sinh quan tâm tới 5 dạng bài toán so sánh hai luỹ thừa, bao gồm:

Dạng 1: Áp dụng định nghĩa về luỹ thừa

Dạng 2: Đưa về hai luỹ thừa có cùng cơ số

Dạng 3: Đưa về hai luỹ thừa có cùng số mũ

Dạng 4: Dùng luỹ thừa trung gian để so sánh

Dạng 5: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân

Để học sinh tiếp cận và nắm vững các phương pháp giải ta cần hướng dẫn học sinh theo thứ tự cụ thể như sau:

Dạng 1: Áp dụng định nghĩa về luỹ thừa:

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính giá trị của từng luỹ thừa

Bước 2: So sánh các giá trị vừa tính được

Bước 3: Kết luận

Ví dụ 1: So sánh hai số sau:

a) 34 và 43;

b) 35 và 53;

c) 55 và 3.45;

d) 210 và 3.73

Những sai lầm thường mắc ở học sinh là:

a) Học sinh: Ta có 34 = 3.4 = 12

43 = 4.3 = 12 suy ra 34 = 43

Giáo viên hướng dẫn học sinh giải:

a) Ta có 34 = 3.3.3.3= 81; 43 = 4.4.4 = 64

Vì 81 > 64 nên 34 > 43

b) Ta có: 35 = 243; 53 = 125

vì 243 > 125 nên 35 > 53 c) Ta có: 55 = 3125; 3.45 = 3072

Vì 3125 > 3072 nên 55 > 3.45

d) Ta có: 210 = 1024 ; 3.73 = 1029

Vì 1029 > 1024 nên 210 < 3.73

Chú ý: Phương pháp này chỉ áp dụng cho hai luỹ thừa có cơ số và số mũ

nhỏ có thể tính giá trị của hai luỹ thừa một cách dễ dàng

Bài tập củng cố:

So sánh hai số sau:

a) 42 và 24

b) 73 và 37

c) 63 và 5.34

d) 25 và 33

e) 53 và 27

f) 29 và 54

Dạng 2: Đưa về hai luỹ thừa có cùng cơ số:

Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa hai cơ số về dạng luỹ thừa có cùng cơ số, sau đó áp dụng tính chất lũy thừa của luỹ thừa để đưa về dạng luỹ thừa có cùng cơ số

Bước 2: So sánh hai số mũ của hai luỹ thừa có cùng cơ số, số mũ nào lớn hơn thì luỹ thừa đó lớn hơn

Bước 3 Kết luận

Ví dụ 2: So sánh hai số sau:

a) 450 và 830

b) 940 và 381

c) 2100 và 10249

d) 12580 và 25118

e) 6255 và 1257

Những sai lầm học sinh thường mắc:

a) Ta có 450 = 4.50 = 200

830 = 8.30 = 240

Vì 200 < 240 nên 450 < 830 Học sinh thường lấy cơ số nhân với số mũ sau đó so sánh các tích vừa tìm được, đây là một sai lầm thường mắc phải của học sinh khi chưa được học chuyên đề

Giáo viên hướng dẫn học sinh cách làm:

a)Cách giải: Ta thấy ở ví dụ 2.a các cơ số 4 và 8 tuy có khác nhau nhưng đều đưa được về luỹ thừa của 2

Giải:

Ta có:  50

4  2  2 ;  30

8  2  2

Vì 100 > 90 nên 2100 > 290  450 > 830

b) Cách giải: Ta thấy ở ví dụ 2.b các cơ số 9 và 3 tuy có khác nhau nhưng đều đưa được về luỹ thừa của 3

Giải :

Ta có: 40  2 40 80 81

9  3 3 ;3

Vì 81 > 80 nên 380 < 381  940 < 381

c) Giào viên đặt câu hỏi:

? 1024 có thể đưa về dạng luỹ thừa với cơ số là 2 không

Học sinh: 1024 = 210

Giải:

1024  2 2 ; 2

Vì 100 > 90 nên 2100  290 2100 10249

d) Giáo viên cho học sinh nhận xét các cơ số của hai luỹ thừa

Học sinh: 125 = 53; 25 = 52

Giải:

125  5 5 ; 25  5 5

Vì 240 > 236 nên 5240 5236 12580  25118

625  5 5 ;125  5 5

Vì 20 < 35 nên 520 535 6255 125 7

Chú ý: Phương pháp này giúp học sinh nhận biết được ngay trường hợp

nào có thể đưa được về cùng cơ số ( nhận xét các cơ số ví dụ 125 = 53

; 25 = 52) học sinh không bị nhầm lẫn so với trước khi học phương pháp này

Bài tập áp dụng:

So sánh hai số sau:

a) 81125 và 27130 b) 3105 và 953 c) 4975 và 34325 d) 121111 và 11223 e) 6480 và 2479 f) 85 và 3.47 g) 2711 và 818

Dạng 3: Đưa về hai luỹ thừa có cùng số mũ:

Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa hai luỹ thừa đã cho về dạng hai luỹ thừa có cùng số mũ

Bước 2: So sánh hai cơ số

Bước 3: Kết luận

Ví dụ 3: So sánh hai số sau:

a) 3230 và 975

b) 2500 và 5200

c) 21050 và 5450

d) 3500 và 7300

e) 540 và 62010

f) 3600 và 5400

g) 730 và 440

h) 202303 và 303202

i) 199010 + 1990 và 199110

j) 32n và 23n ( n  N )

Giáo viên hướng dẫn học sinh cách phân tích đề bài:

Nhận xét 1: Nếu các cơ số có thể nâng lên luỹ thừa như ở ví dụ 3.a ta thấy

32 = 25 còn 9 = 32 từ đó áp dụng tính chất luỹ thừa của luỹ thừa để đưa về cùng

số mũ

Nhận xét 2: Nếu các cơ số không thể nâng lên luỹ thừa thì ta xét quan hệ giữa các số mũ xem chúng có thể phân tích thành tích của hai thừa số trong đó

có một thừa số giống nhau sau đó áp dụng tính chất luỹ thừa của luỹ thừa để đưa về hai luỹ thừa có cùng số mũ

a) Cách giải: Ta thấy hai cơ số 32 và 9 đều đưa được về dạng hai luỹ thừa

có cơ số lần lượt là 2 và 3 sau đó áp dụng tính chất của luỹ thừa của luỹ thừa để đưa hai số đã cho về dạng hai luỹ thừa có cùng số mũ

Giải:

Ta có:  30

32  2  2 ;  75

75 2 150

9  3  3

Vì 3 > 2 nên 3150 > 2150  3230 < 975

b) Cách giải: Ta thấy các số mũ 500 và 200 đều chia hết cho 100 nên ta tìm cách đưa hai số 2500 và 5200 về hai luỹ thừa có số mũ là 100

Giải:

 100

2  2  32 ;  100

5  5  25

Vì 32 > 25 nên 32100 > 25100 2500 > 5200

c) Cách giải: Ta thấy các số mũ 1050 và 450 đều chia hết cho 150 nên ta tìm các đưa hai số 21050 và 5450 về dạng hai luỹ thừa có số mũ là 150

Giải:

Ta có: 1050  7 150 150

2  2  128 ; 450  3 150 150

5  5  125

Vì 128 > 125 nên 128150 > 125150 21050 > 5450

d) Ta có: 500  5 100 100 300  3 100 100

3  3  243 ;7  7  343

Vì 243 < 343 nên 243100 < 343100  3500 < 7300 e) Ta có 40  4 10 10 10

5  5  625 ;620

Vì 625 > 620 nên 540 > 62010 h) Cách giải: Ta thấy các số mũ 303 và 202 đều chia hết cho 101 nên ta tìm cách đưa hai số 202303 và 303202 về dạng hai luỹ thừa có cùng số mũ là 101 nhưng khi đó hai cơ số là 2023 và 3032 nếu tính ra thì có giá trị rất lớn Do đó để cho đơn giản ta nên so sánh hai số 2023 và 3032 từ đó rút ra kết luận

Giải:

Ta có: 303  3 101

202  202 ; 202  2 101

303  303

Mà

3

202  2 101  8.101.101  808.101

3032  3 1012 2  9.1012

 2023  3032  202303  303202

i) Cách giải: Nhận thấy 199010 + 19909 và 19919 không đưa được về dạng

có cùng số mũ ngay được, trong trường hợp này ta phải áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để đưa 199010 + 19909 về dạng một tích

Giải:

Ta có 199010 19909  1990 (1990 1) 1990 19919   9

Mà 199110  1991 19919 vì 1991 1991 1990 19919  9

1990 1990 1991

j) Sai lầm của học sinh thường mắc:

3 n  3 n  9 ; 2n n  2 n  8n

Vì 9 > 8 nên 9n   8n 32n  2 3n Như vậy trong trường hợp này học sinh đã không xét trường hợp n = 0 Khi đó 32n  23n vì 30 = 20 = 1

Giải:

Trường hợp 1: Với n = 0 thì 32n  23n vì 30  20  1

Trưòng hợp 2: Với n > 0

3 n  3 n  9 ; 2n n  2 n  8n

Vì 9 > 8 nên 9n   8n 32n  2 3n

Chú ý: Qua ví dụ 2 và ví dụ 3 ta thấy khi so sánh hai luỹ thừa ta thường

biến đổi các luỹ thừa về dạng có cùng số mũ hoặc có cùng cơ số bằng cách vận dụng linh hoạt các tính chất (x.y)m = xm.ym và (xm)n = xm.n theo cả hai chiều

Bài tập áp dụng:

So sánh hai số sau:

a) 333444 và 444333 b) 1030 và 2100 c) 9920 và 999910 d) 263 và 528 e) 2100 và 375 f) 375 và 550 g) 324680 và 237020

Hướng dẫn phần g: Đưa 324680

= (32)12340; 237020 = (23)12340 h) 52n và 25n ( n  N )

Dạng 4: Dùng luỹ thừa trung gian để so sánh:

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm ra số trung gian

Bước 2: Áp dụng tính chất bắc cầu a>b , b >c thì a > c

Bước 3: Kết luận

Ví dụ 4: So sánh hai số:

a) 637 và 1612

b) 1714 và 3111

c) 267 và 521

d) 111979 và 371320

e) 10750 và 7375

f) 291 và 535

g) 1340 và 2161

h) 5217 và 11972

i) 5300 và 3453

Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài:

- Nhận thấy các cơ số trong ví dụ 4 đều không nâng lên luỹ thừa được

- Các số mũ trong ví dụ 4 đa số không đưa về dạng tích của hai thừa số trong đó có một thừa số giống nhau

- Đối với các bài toán này ta có thể áp dụng phương pháp 4

Giải:

a) Nhận xét: 63 < 64   7

63  64  2  2

Mà 12  4 12 48

2  2  63  16 b) Ta có: 1714  1614  2 ;3156 11  3211 255

vì 255  256  1714  3111 c) Ta có 67 63  3 21 21

8  5  2  5 d) Ta có: 1979 1980  3 660 660

11  11  11  1331

1320  2 660 660

37  37  1369

Vì 1331660  1369660  111979  371320

e) Ta có: 50 50  50 100 150

107  108  4.27  2 3 ;

75 75  75 225 150

73  72  8.9  2 3

Vì 2225  2100  2 3225 150  2 3100 150  10750 hay 7375  10750

Trong ví dụ này học sinh thường làm theo cách sau:

107  107  11449  25

73  73  389017

Vì 389017 11449   38901725  1144925  7375  10750 Như vậy trong cách làm này học sinh phải tính toán với số rất lớn nên dễ bị nhầm lẫn so với cách dùng số trung gian như tôi đã trình bày

f) Ta có: 91 90  5 18 18

2  2  2  32 ;

35 36  2 18 18

5  5  5  25

Vì 3218  2518  291 535

g) Cách giải: Ta thấy hai số mũ 40 và 160 không có quan hệ gì với nhau nhưng 40 và 160 thì 160 = 4.40 Từ đó ta có thể tìm ra số trung gian là 2160

Giải:

161 160 4 40

16  13  2  13 h) Cách giải: Ta thấy hai số mũ 217 và 72 không có quan hệ gì với nhau nhưng 216 và 72 thì 216 = 3.72 Từ đó ta có thể tìm ra số trung gian là 5216 Giải:

125  119  5  119

i) Ta có: 300  2 150 150

5  5  25 ; 453 450  3 150 150

3  3  3  27

Vì 27150  25150  3353  5300

Bài tập áp dụng:

So sánh hai số sau:

a) 12723 và 51318 b) 5299 và 3501 c) 9920 và 999910 d) 323 và 515 e) 334 và 520 f) 715 và 1720 g) 19920 và 200315

Dạng 5: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân:

Phương pháp: Áp dụng tính chất nếu a > b thì a c > b.c ( với c>0)

Ví dụ 5: So sánh hai số sau:

a) 1031 và 2100

b) 545 và 2102

c) 5255 và 2579

d) 21995 và 5863

e) 21999 và 7714

f) 230 + 330 + 430 và 3.2410

g) 544 và 2112

h) 323 và 515

Giáo viên: Đối với các luỹ thừa không đưa được về cùng cơ số hay số mũ, không tìm ra được số trung gian thì ta áp dụng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của phép nhân