Đội bĩng bàn của trường A thi đấu với đội bĩng bàn của trường Ư, mỗi đấu thủ của trường này thi đấu với mọi đấu thủ của trường kia I trận.. Biết rằng tổng SỐ trận đấu bằng 4 lần tổng
Trang 1DE THI VAO LỚP 10
TRUONG THPT CHUYEN
LAM SON, THANH HOA
NAM HOC 2007-2008
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1 (1,5 điểm)
(3xy=2(x+ y) Giải hệ phương trình 4 5yz=6(y+z)
4zx=3(z+x)
Câu 2 (2 điểm) Đội bĩng bàn của trường A
thi đấu với đội bĩng bàn của trường Ư, mỗi
đấu thủ của trường này thi đấu với mọi đấu
thủ của trường kia I trận Biết rằng tổng SỐ
trận đấu bằng 4 lần tổng số cầu thủ của cả hai
đội và số cầu thủ của trường Ư là số lẻ Tìm số
cầu thủ của mỗi đội
Câu 3 (3 điểm) Cho hai điểm A và 8 cố định
trên đường trịn (Ø) C là điểm chính giữa
cung 4B, M⁄ là điểm chuyển động trên dây
AB Tia CM cắt đường trịn (Ø) tại điểm thứ
hai là Ð Chứng minh rằng
L) AC? =CM.CD
2) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AJ2M thuộc một đường thăng cố định
3) Goi R, va R, lần lượt là bán kính đường
trịn ngoại tiếp các tam giác ADM và BDM
Chứng minh #, + &; là hằng số
Câu 4 (2 điểm) Trên mặt phẳng toạ dé Oxy,
cho ba điểm A(0 : 3), B(4; 0), C [5:2] cùng
với Ĩ tạo thành tứ giác lồi AOBC Viết phương trình đường thẳng (đ) đi qua A và chia
tứ giác ÀBC thành hai phần cĩ diện tích
bằng nhau
Cau 5 (1,5 đ/m) Chứng minh rằng néu a, b,
c là các số nguyên khác 0 thoả mãn
đ na thì tích be là lập phương của bea
một số nguyên
PHAM NGỌC QUANG (Sở GD - ĐT Thanh Hố) giới thiệu
4 | Toan6789.wordpress.com
Trang 2LI GIAI DE THI VAO LOP 10 TRUGNG THPT CHUYEN LAM SON, THANH HOA
Năm học 2007 - 2008
(Dé thi da dang trén THTT s6 371, thang 5 nam 2008)
Câu 1 s Nếu x = Ö thì x = y=z= 0 là một
nghiệm của hệ phương trình
e Néu x # O thi khi do y, z khac 0, hệ phương
trình đã cho tương đương với
xty 3 |1 ,1 3
xy 2 x y 2
yee 5 1 1 5 1 11
=— <© +—+—=— Suyra —+—+—=—
yz 6 y z 6 , z 6
z+x 4 1 | 4
zx 3 zx 3
Từ đó te ` 1-1, 1-1,
y 2 z 3
Vậy HPT có hai nghiệm (x; y; z) là (0; 0; 0);
(1:2; 3)
Câu 2 Gọi x và y theo thứ tự là số cầu thủ của
đội A và đội 8 (x, y 6 Ñ°, y lẻ Số trận đấu là
xy = 4(x + y) © (x— 4)(y — 4) = l6
Suy ra x — 4 và y — 4 là các ước số của 16 Do
y lẻ nên y — 4 = 1, hay y = 5 Từ đó tìm được
x=20
Vậy số cầu thủ của đội 4 là 20 và số cầu thủ
của đội Ö là 5
Cau 3 (h 1)
1) Ta c6 AACM
«ma ADCA (vì
CAM = CDA va
ACD
Suy ra
AC _CM
DC CA
hay AC? =CM.CD
2) Vẽ đường kính
chung)
Hình I
CE Vi CAM =CDA nên AC là tiếp tuyến tại
A cla đường ngoai tiép AADM Do AC L AE,
nên tâm đường tròn ngoại tiếp AA2M nằm
trên đường thẳng cố định AE
3) Tương tự phần 2, tâm đường tròn ngoại tiếp
ABDM thuộc đường thẳng 8E Gọi Ó,, Ó; lần
lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam
gidc ADM va BDM Ké O,H L AB O,K L AB
Khi đó H va K lần lượt là trung diém cha AM
va MB Suy ra R, = O,A va R;, = O2B
Ké O,N L CE thi O,N =HI= Al - AH
= | (aB- AM) = 1 BM = KB 2 2
VayAENO, = AO,KB => R, = O,B = O,E, suy
ra R, + R, = AE (hang sé )
Câu 4 Nối A với Ö, tir C kẻ đường thắng song song với AB cat truc hoành tại £ Gọi 7 là trung diém cia OE (h 2) Ta thay Syo, = Says
Sean = Seay DEN Sap = Saygee Tit 46 Al chinh là
đường thẳng (¿Z) đi qua A và chia tứ giác
AOBC thành hai phần có diện tích bằng nhau
¥
Hình 2
Ta viết phương trình đường thẳng đi qua A, Ö
Đường thang nay c6 dang: y = ax + b, vine di
qua A(O ; 3) nén b = 3, di qua B(4 ; 0), tir dé
tinh duge a = 3 Đường thẳng di qua
4
c[s 1 và song song với 4B nên phương trình có dạng y = -x +n Thay toa dé C vào
“4 9 ^ F2 ^ < +
ta CÓ 7 = 3" Đường thăng này cat truc Ox tai
E(6 ; 0) Vậy trung điểm 7 của OE cé toa do
!(3 ; 0) Điều này chứng tỏ 7 nằm giữa O và B
Đường thẳng (¿) đi qua A và 7 có phương
trình là y = —x + 3
Câu 5 Dat x = a y=
thiết suy ra x` + y`+ zÌ— 3xyz =0
C om ee
,2 = — Ti gia
a
© (vx+ y+z)( + yŸ + z? — xy — yz — zv) =0
e Nếu vÌ + yỀ + z — xy — yz — zx = O thì
(c—y)*+(y—z)}+(z—x)=O<©x=y=z
=a=b=c Do đó đbc = đ` là lập phương của một số nguyên
e Nếu x + y+z =0 thì e+ ND + ff =0
5 c a
Nhân hai vế lần lượt với a*/b2c¢ va bac? ta
duoc at/abe + ab+ ŸÍa?b2c? =0 và Var2bc? + babe + bc =0
“Trừ theo vế hai hệ thức trên, ta được
(œ —b)3labc = b(c — a)
Nếu a = b thì z=Ð=c=>=x=y=z=l (không thỏa mãn v + y + z =0) Vậy ø #b
b(c—a}) 3
Do đó abc = ( p } là lập phương số hữu
a-—
u Nhung do a, b, c là các số nguyên nên khi
dé abc 1a lap phuong cla s6 nguyén
PHAM NGOC QUANG (Sở GD - ĐT Thanh Hoá) giới thiện
2 | Toan6789.wordpress.com