chuyên đề bất đẳng thức và cực trị hình học

Trong tất cả các cuộc thi học sinh giỏi toán: thi tự luận, thi Giải toán trên máy tính cầm tay, thi Violympic toán trên mạng, …thì các bài toán cực trị và bất đẳng thức hình học luôn làm

====== *** ======

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC

NGƯỜI THỰC HIỆN: BÙI THỊ HOA

TÀI LIỆU THAM KHẢO

- SGK - SBT- SGV- toán lớp 7; 8; 9 tập 1, tập 2 hiện hành

- Sách nâng cao và phát triển toán từ lớp 7; 8; 9 tập 1, tập 2 của Vũ Hữu Bình

- Vẽ thêm đường phụ để giải các bài toán hình học các lớp 7, 8, 9 của Nguyễn ĐứcTấn

- Tạp chí toán tuổi thơ dành cho THCS, tạp chí THTT

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Chắc các bạn sẽ nói rằng : “ Bất đẳng thức và cực trị hình học “ chỉ là một trongnhững chủ đề về chứng minh hình học và đã có rất nhiều sách tham khảo cũng như cáctài liệu mà các bạn đã viết và nghiên cứu về chủ đề này Vậy tôi viết riêng về chủ đề này

có nên chăng ?

Trong tất cả các cuộc thi học sinh giỏi toán: thi tự luận, thi Giải toán trên máy tính cầm tay, thi Violympic toán trên mạng, …thì các bài toán cực trị và bất đẳng thức hình học luôn làm đau đầu các em học sinh, quý thầy cô dạy toán và các bậc phụ huynh yêu môn toán Các bài toán cực trị và bất đẳng thức hình học luôn đa dạng và hội tụ rất nhiềukiến thức, kỹ năng và phương pháp giải toán sơ cấp Và đây cũng là chủ đề hay được đề cập đến trong các đề thi vào các trường phổ thông chuyên Vì vậy từ niềm đam mê, yêu thích bộ môn Hình học tôi mạnh dạn sưu tầm các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học để làm tài liệu nghiên cứu cho bản thân cũng như để bồi dưỡng học sinh giỏi

II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Học sinh lớp 7A1, 7A3, 9A3 năm học 2015- 2016, học sinh lớp 9A2 năm học2016- 2017 trường THCS Nguyễn Tất Thành – Huyện Cư’Mgar – Đăk Lăk

- Sách giáo khoa, sách giáo viên và các loại sách tham khảo khác

III NHIỆM VỤ-MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

1.Nhiệm vụ

- Tìm hiểu thực trạng chất lượng của học sinh và cơ sở vật chất trước khi thực hiện đề tài

- Nghiên cứu cơ sở lý luận của quá trình dạy học

- Rút kinh nghiệm từ thực tiễn, đề xuất các giải pháp giúp cho việc nâng cao chất lượnggiáo dục có hiệu quả hơn

2 Mục đích:

Phục vụ công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khối 9, đồng thời tạo nguồn cho các lớptrên, một phần nâng cao chất lượng đại trà, giúp các em học tập tích cực hứng thú , làmcho việc giải các bài toán hình học trở nên nhẹ nhàng, thêm yêu thích bộ môn

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

-Phương pháp điều tra

-Phương pháp thống kê

-Phương pháp tham khảo các tài liệu

-Phương pháp thực nghiệm sư phạm : Cung cấp kiến thức cho học sinh qua mỗi bài học,thực hiện các tiết dạy chuyên đề

-Đánh giá kết quả của học sinh qua các tiết giảng dạy thực nghiệm, qua bài tập củng cố

và bài tập ở nhà

-Phương pháp so sánh: Dùng biện pháp so sánh với các lớp có sử dụng phương pháp ,phương tiện trực quan khác

-Phương pháp phân tích, tổng hợp: Rút kinh nghiệm hiệu quả sử dụng của giáo viên cóthuận lợi và khó khăn gì

-Đánh giá thái độ học tập, sự hứng thú học tập của học sinh sau mỗi bài học

B NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI.

“Bất đẳng thức hình học” được làm quen từ lớp 7, lên lớp 8 ngoài bất đẳng thức

thì học sinh được làm quen với “cực trị hình học” “Bất đẳng thức và cực trị hình

học” là một mảng rất khó trong phân môn Hình học , để giải nó cần phải vận dụng nhiều

kiến thức và kĩ năng tổng hợp vì thế đối với học sinh lại rèn luyện được khả năng tư duysáng tạo, đòi hỏi mức độ tư duy lôgic cao Ở mỗi khối lớp thì sẽ có thêm nhiều công cụ ,phương pháp giải khác nhau, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức một cách chắcchắn thì mới làm được

Khi dạy học về “Bất đẳng thức và cực trị hình học” thì việc tổ chức cho các em

nắm bắt và vận dụng kiến thức thường rất quan trọng Người thầy phải tự mình đầu tưnghiên cứu kiến thức tìm ra phương pháp rồi mới hướng dẫn các em học tập một cáchchủ động Việc cung cấp cho các em những công cụ và thuật toán để giải bài tập theohướng cụ thể, mở rộng rồi tổng quát hóa để cho các em có kĩ năng rồi sau đó mới tư duysáng tạo Nhưng có những bài toán phải sử dụng nhiều các phương pháp tổng hợp mớigiải được bài toán Như vậy, mỗi học sinh phải tự mình chủ động và sáng tạo đòi hỏi sựkiên trì , bền bỉ, cẩn thận, quyết tâm và có kế hoạch Quá trình học toán cũng chính làquá trình rèn luyện rèn luyện phẩm chất đạo đức , rèn luyện con người

II THỰC TRẠNG

1.Các kết quả thống kê :

Về kết quả học tập bộ môn toán của học sinh năm học 2014 – 2015; 2015- 2016 :

2 Ưu điểm của việc dạy chuyên đề “Bất đẳng thức và cực trị hình học”:

Vì chuyên đề “Bất đẳng thức và cực trị hình học” hội tụ rất nhiều kiến thức, kỹ

năng và phương pháp giải toán nên học sinh được củng cố và khắc sâu kiến thức toán rất

nhiều Việc dạy chuyên đề “Bất đẳng thức và cực trị hình học” cũng để giáo viên mở

rộng thêm kiến thức, sáng tạo hơn trong cách dạy qua đó giúp các em nâng cao kiến thức, phát huy tư duy học toán, hình thành những phẩm chất của con người sáng tạo

3 Khó khăn của việc dạy chuyên đề “Bất đẳng thức và cực trị hình học”:

Vì chuyên đề “Bất đẳng thức và cực trị hình học” là một trong những chủ đề

rất khó trong chương trình phổ thông cơ sở nên chủ yếu bồi dưỡng cho học sinh giỏi là chính còn về đại trà thường chỉ làm những bài toán bất đẳng thức và cực trị đơn giản để các em nắm được trình tự các bước giải mà không phải tư duy nhiều, ngoài ra việc tìm tòi lời giải cho một bài toán cực trị mất nhiều thời gian dẫn đến các em nản chí

III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

1.LÍ THUYẾT

1.1.Các bất đẳng thức về góc

a) Trong một tam giác thì góc tù là góc lớn nhất

b) Trong một tam giác thì góc ngoài lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó

1.2 Các bất dẳng thức về đoạn thẳng.

a) Cho ba điểm A, B, C ta luôn có: AB + BC AC

Dấu “=” xảy ra khi ba điểm A, B, C thẳng hàng

b) Bất Đẳng thức tam giác: trong một tam giác ta luôn có: AB AC BC AB AC c) Trong một tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất

d) Nếu từ một điểm không thuộc đường thẳng ta kẻ các đường vuông góc và đường xiên thì:

- Đường vuông góc là đoạn thẳng ngắn nhất

- Hai đường xiên bằng nhau thì có hình chiếu bằng nhau và ngược lại

- Trong hai đường xiên không bằng nhau thì đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại

e) Liên hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm đường tròn

Trong một đường tròn thì:

- Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

- Trong hai dây không bằng nhau dây nào cách xa tâm hơn thì nhỏ hơn và ngược lại

Ta cũng có:

- Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau trương hai cung bằng nhau

- Dây nào trương cung lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại

1.3 Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.

a) Trong một tam giác thì:

- Đối diện với góc lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại

- Cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất

b) Trong hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau và có góc xen giữa không bằng nhau thì:

- Đối diện với góc lớn hơn ta có cạnh thứ ba lớn hơn

- Đối diện với cạnh thứ ba lớn hơn ta có góc xen giữa lớn hơn

*Chú ý:

Ngoài các kiến thức hình học cơ bản trên, ta cũng thường sử dụng các bất đẳng thức đại số quen thuộc:

a)Bất đẳng thức Cô-Si: a0,b 0 a b 2 ab

b) Với hai số không âm:

- Nếu tổng của chúng không đổi thì tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi hai số ấy bằng nhau

- Nếu tích của chúng không đổi thì tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi hai số ấy bằng nhau

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP

Để giải các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học thường dùng các phương pháp sau:

- Vận dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc

- Vận dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc

- Vận dụng bất đẳng thức trong tam giác và đường tròn tìm cực trị

Vẽ tia đối của tia MA, trên tia này lấy điểm D sao cho MD = MA

Xét  MAB và  MDC có: MA = MD, BMA = DMC (đối đỉnh)

BM = MC (M là trung điểm cạnh BC)

Do đó  MAB =  MDC (c.g.c)

Suy ra AB = DC, BAM = MDC

Xét  ADC có:

ADC CAD  (BAM > CAM (giả thiết); BAM = MDC )

 AC > DC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)

Ta có DC < AC, AB = DC Suy ra AB < AC.

Bài 2: Cho tam giác ABC, AB > AC, vẽ BD  AC, CE  AB (D  AC, E  AB) Chứng minh rằng AB – AC > BD – CE

Do đó  GAF =  EAC (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra FG = CE Do vậy GF = CE = HD

Ta có FH  BD nên FB > BH (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

Suy ra AB – AC > BD – HD Hay AB – AC > BD – CE

Bài 3: Cho tam giác ABV cân tại A, trên cạnh AB lấy diển D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE Chứng minh rằng: BC < DE.

Trên cạnh BC lấy D sao cho BD = AB

Trên cạnh AC lấy E sao cho AE = AH, BD = AB

  BAD cân tại B  BAD = BDA

Mà BAD + DAE = 90

, BDA + HAD = 90Nên HAD = DAE

HAD =  EAD (c.g.c)  AHD AED

DE  AC  DC > EC

Do đó AH + AC = AH + BD + DC > AE + AB + EC = AB + AE + EC = AB + AC

B là điểm trên tia Ax, C là điểm trên tia Ay (B, C khác A)

B DBC

= 18Xét  ABE (ABE = 90

) và  FBE (FBE = 90

) có:

BE (chung), ABE = FBE

Do đó  ABE =  FBE (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AE = FE, ABE = FBE = 72

DFE có EFD = 180

- 2.72 = 36 mà EFD = 90

nên FDE = 90

- 36 = 54Xét  DFE có FED < FDE  FD < FE Ta có FD < FE, AE = FE  FD < AE

Mà EBC ECB = 36   EBC cân đỉnh E  EB = EC

Ta có BF < EB (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

Mà EB = EC nên BF < EC Do đó BD = BF + FD < EC + AE = AC

Bài 7: Cho tam giác ABC có BC là cạnh lớn nhất, BM là đường trung tuyến Điểm

.

GIẢI:

Trên tia đối của tia MD lấy E sao cho ME = MB

MAE =  MCB (c.g.c)  AE = BC

MEA MBCLại có BC > AB nên AE > AB

ABE có AE > AB  ABM MEA

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

Xét  MAB và  MDC có: MA = MD, AMB DMC (đối đỉnh)

Vẽ đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng

MC cắt đường thẳng BC tại D, cắt MC tại H

Xét  CAH có CH vừa là đường cao ( CH  AD),

vừa là đường phân giác (gt)

CAH cân tại C  CA = CD, HA = HD

 MA = MD (Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Vẽ BH, DK lần lượt là các đường cao của tam giác ABC, DAC

Do đó SABCD = SABC + SDAC

Vẽ HD // AC, HE // AB (D AB, E AC)

Ta có HD // AC, BH  AC (vì H là trực tâm  ABC)

Qua D vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB ở K

Ta có AD là đường phân giác trong của tam giác ABC

Nên

AC CD

AB DB và CE là đường phân giác trong của

tam giác ABC nên

 K không trùng E Do vậy DE cắt AC, gọi M là giao điểm của DE và AC

Ta có ADE > DAM (ADE là góc ngoài của tam giác DAM)

DAM = EAD (gt) Do đó ADE > EAD

Xét  ADE có ADE > EAD  AE > DE (1)

Mặt khác DCE = ECA (gt), mà ECA > CED ( ECA là góc ngoài của  CEM),

Do đó DCE > CED Xét  DCE có DCE > CED  DE > CD (2)

Vẽ AE là đường phân giác của tam giác ADB

Ta có ADB > ACB = ABC nên AB > AD.

ABD có AE là đường phân giác

ABM =  ACD (c.g.c)  BAM CAD  Vậy CAD <

S S

12



.

GIẢI:

Gọi K là trung điểm cạnh BC

Xét  ABC vuông tại A, AK là đường trung tuyến

S S

12



Bài 6 Cho tam giác OBC cân tại O Hai đường thẳng m và m’ lần lượt qua B và C song song với nhau và không cắt tam giác OBC Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng OC và m, D là giao điểm của hai đường thẳng MO và m’ Xác định vị trí của

 = 1 

21

21

OH

 AB.CD  4OH2 (vì OE  OH)

Dấu “=” xảy ra  AB = CD và E  H

 m  BC và m’  BCCách 2: Từ (1), (2) ta có:

2

Dấu “=” xảy ra  BE = EC, E  H  m  BC; m’  BC

Bài 7 Tam giác ABC có diện tích S các điểm D, E, F theo thứ tự nằm trên các cạnh

AB, BC, CA sao cho AD = k.AB; BE = k.BC; CF = k CA.

a) Tính diện tích tam giác DEF theo S và k.

CB

CB ABC

Bài 8 Chứng minh rằng trong các tam giác vuông có chiều cao ứng với cạnh huyền không đổi, tam giác vuông cân có chi vi nhỏ nhất.

Giải

Tr ư ng THCS Nguy n T t Thành GV th c hi n: Bùi Th Hoa ất đẳng thức và cực trị hình học ực trị hình học ện: Bùi Thị Hoa ị hình học 13

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung

Tuyến AM Chu vi tam giác ABC bằng

Do đó P = AB + BC + AC2AH 2AH 2 2 AH(1 2)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2AH(1 2) H M  tam giác ABCvuông cân tại A

Bài 9 Cho tam giác vuông ABC vuông ở A AB = 4,1 cm; AC = 3,2 cm M là điểm thay đổi trên cạnh BC; gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và

AC Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác HMK.

GIẢI

Tứ giác AHMK có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật

nên tam giác MHK vuông ở M

Diện tích tam giác MHK là S= 2

A

C

M H

K

 MI.AE  MA.AE và MJ.ED  ED.DM

 2SMAE  AM.CM và 2SMED  BM.DM

Do đó AM.CM + BM.DM  SABCD (không đổi)

Dấu “=” xảy ra  I  A, J D

Bài 12 Cho tam giác ABC, M là điểm cạnh BC

Chứng minh rằng: MA.BC < MC.AB + MB.AC

BC  MA.BC < MC.AB + MB.AC

Bài 13 Cho tam giác ABC, M là một điểm nằm trong tam giác (có thể ở trên cạnh).

GIẢI:

Xét 2 trường hợp

a)  ABC không có góc tù AM cắt BC tại D

Vẽ BH  AD, CK  AD (H, K  AD)

Ta có MA.BC = MA(BD + DC)  MA(BH + CK)

= MA.BH +MA.CK = 2SMAB + 2SMACChứng minh tương tự ta có

MB.CA  2SMAB + 2SMBC.

MC.AB  2SMAC + 2SMBC

Do đó ta có: MA.BC + MB.CA + MC.AB  4SABC

Dấu “=” xảy ra  M là trực tâm của  ABC

b)  ABC có một góc tù, giả sử A > 90

Vẽ AB’  AC và AB’ = AB

M  A và M nằm trong  AB’C (nếu không ta

vẽ AC’  AB AC’ = AC và giải tương tự)

ABB AB B (AB =AB’)  MB > MB’

Mà CBB 'CB B '  CB > CB’

Do đó MA.BC + MB.CA + MC.AB

> MA.B’C + MB’.CA + MC.AB’

Theo a) ta có:

MA.B’C + MB’.CA + MC.AB’ 4SAB’C = 2AB’.AC

Do đó MA.BC + MB.CA + MC.AB > 2AB.AC > 4SABC

Tóm lại: MA.BC + MB.CA + MC.AB 4SABC

Dấu “=” xảy ra   ABC không có góc tù và M là trực tâm của  ABC

) Từ một điểm M trong tam giác vẽ MI  BC,

MJ CA, MK  AB (I  BC, J  CA, K  AB) Xác định vị trí của điểm M sao

GIẢI:

Vẽ đường cao AH của  ABC

Tứ giác AJMK là hình chữ nhật (vì A = K = J = 90

Do đó “=” xảy ra  M nằm giữa A và I  M là trung điểm AH  I  H

Bài 15 Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm K, L, M sao cho tam giác KLM vuông cân tại K Xác định vị trí của K, L, M

để diện tích tam giác KLM đạt giá trị nhỏ nhất.

GIẢI:

Kẻ LH  AB (H  AB)

Xét  HLK và  AKM có: H  A 90

HLK AKM (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

Và LK = MK (  KLM vuông cân tại K)

Oz lấy điểm M sao cho OM = 67cm Một đường thẳng thay đổi luôn đi qua điểm M

và cắt 2 tia Ox, Oy tương ứng tại A, B Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ABO.

M D

E

O C

GIẢI

Ta chứng minh SOAB nhỏ nhất khi và chỉ khi MA = MB

Xét đường thẳng A’MB’ khác đường thẳng AMB

kẻ AN // Oy (N ¿ A’B’)

⇒ ANBB’ là hình bình hành

⇒ SOAB = SOANB’ < SOA’B’

Khi M là trung điểm của AB dựng hình bình hành OACB

a) Chứng minh các tam giác ADC và BCE đồng dạng.

b) Giả sử OA = R và C là trung điểm OA Tính diện tích nhỏ nhất của tứ giác ABED.

9090

Tr ư ng THCS Nguy n T t Thành GV th c hi n: Bùi Th Hoa ất đẳng thức và cực trị hình học ực trị hình học ện: Bùi Thị Hoa ị hình học 18

Bài 3 Cho tam giác ABC không đều, ngoại tiếp đường tròn (I) và nội tiếp đường

GIẢI:

Gọi D và E lần lượt là giao điểm của AI với BC và đường tròn (O) (E khác A)

Xét  ABC có AD là đường phân giác 

CAI ECB , ACI ICD

 CIE ECI    ECI cân tại E  EC = EI

Xét  ABD và  AEC có BAD EAC  , ABD AEC

GIẢI:

Vẽ đường kính AM của đường tròn (O) và đường