b Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d.. Câu 46đ: a Cho một điểm P ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA với đường tròn.. Các đường thẳng PC và PD lần lượt cắt đường t
Trang 1PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1(4đ): Chứng minh rằng: M = a4 + 6a3 + 11a2 + 30a
Chia hết cho 24 với mọi số nguyên a
Câu 2(4đ): a) Giải phương trình 2x 1 x x2 2
b) Giả sử hệ phương trình
1
4 3 12
1
3 10 5
x y z
x y z
có nghiệm x y z; ;
Chứng tỏ x y z không đổi
Câu 3(4đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số yx có đồ thị là (G) Trên
đồ thị (G) lấy hai điểm A, B có hoành độ lần lượt là 1 và 3
a) Vẽ đồ thị (G) và viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d.
Câu 4(6đ): a) Cho một điểm P ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA với đường tròn Từ
trung điểm B của đoạn PA kẻ cát tuyến BCD (C nằm giữa B và D) Các đường thẳng PC và
PD lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và F Chứng minh DCE = DPE + CAF và tam giác PBC đồng dạng với tam giác DBP.
b) Cho tam giác ABC thỏa điều kiện BC > CA > AB Trong tam giác ABC lấy điểm O
tùy ý Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm O trên các đường thẳng BC, CA,
AB Chứng minh rằng:
OI + OJ + OK < BC
Câu 5(2đ): Giải hệ phương trình: x + y + z = 12
2x + 2y - 2xy + z = 1
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Trang 2PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Câu 1 Ta có: M = a4 + 6a3 + 11a2 + 30a = a4 + 6a3 + 11a2 + 6a + 24a
= a(a3 + 6a2 + 11a + 6) + 24a = a(a + 1)(a2 + 5a + 6) + 24a
= a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 24a
Vì: a là số nguyên => a; (a + 1); (a + 2); (a + 3) là 4 số nguyên liên tiếp
=> a(a + 1)(a + 2)(a + 3) chia hết cho 4! = 24 và 24a chia hết cho 24 với mọi số
nguyên a nên M chia hết cho 24 với mọi số nguyên a
1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ
1,0đ
Suy ra: x 2 0, x x 1 0 x 1;x 4 0,5đ
b) HPT 103x 43y z6 12 (1)30(2)
x y z
Trừ (2) cho (1) ta được: 7x y z 18 1,0đ
7
PT đường thẳng AB: 1 3
Hạ OH vuông góc với AB 1 2 12 12
OH OA OB
KL: Khoảng cách cần tìm là 3 5
Câu 4
a) F
E
C
B
O A
P
D
0,5đ
sđ DCE = 1
2sđ DE, sđ DPE = 1
2sđ(DE - CF), sđ CAF = 1
Dođó sđ(DPE + CAF) =1
2sđ(DE - CF + CF) = 1
Trang 3Ta có: BA2 = BC BD BC BA
Do đó: BC BP;
b)
L M
Y
E
F K
I
J
B
A
C
O
L Y
M
X
F
E D
J
I
K A
C B
0,5đ
Vẽ các tia AO, BO, CO lần l;ượt cắt BC, CA, AB tại D, E, F ta có:
Qua O vẽ các đường thẳng song song với AB và AC lần lượt cắt BC tại các
điểm X và Y Qua X vẽ đường thẳng song song với CF cắt AB tại M; qua Y vẽ
đường thẳng song song với BE cắt AC tại L Ta có các kết quả sau:
0,5đ
(2) OE = YL ( OELY là hình bình hành); OF = XM 0,25đ (3) OXY ABC OX < OY < XY mà 2OD < OX+OY OD < XY 0,25đ (4) MBX FBC MX < BX (vì FBC cũng có cạnh BC lớn nhất) 0,25đ (5) LYC EBC YL < YC (vì EBC cũng có cạnh BC lớn nhất) 0,25đ
Từ 5 kết quả suy luận trên ta được:
OI + OJ + OK OD + OE + OF < XY + YC + XM = BC 0,5đ
Câu 5 Ta có hệ phương trình :
2x+2y-2xy+z =1 2xy = z +2(x+y)-1
x + y = 1 - z2 2
2xy = z - 2z + 1 = (1- z)
2xy = (x + y) 2
x + y = 02 2 x = y = 0 z = 1
Vậy hệ phương trình chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất: (x ;y ;z) = (0 ;0; 1)
0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ
MA TR N ẬN ĐỀ ĐỀ
Trang 4Nội dung – Chủ đề
Mức độ
Tổng
Thông hiểu Vận dụng
thấp
Vận dụng cao
Số học
C1 4
1 4 Đại số
C2a,C3a
4
C3b 2
C2b,C5
4
5 10 Hình học
C4a 3
C4b
3
2 6 Tổng
2
4
3
9
3
7
8 20
Người ra đề: Nguyễn Thái Hòa.
Đơn vị: Trường THCS Phúc Thịnh.