ĐỀ THI HSG THÁNG 2 năm 2020

Do không còn phù hợp bác muốn thay thế để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên 4 cây.. Tính xác suất để trong 4 cây bác Nam chặt không có hai cây nào gần nhau.. 2 Trong mặt phẳng với

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHANH

HÓA TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO

Tháng 2

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT

NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 180 phút)

Câu 1( 4,0 điểm)

1) Cho hàm số y x 2 4x3có đồ thị là (P1) và hàm số y x 22x3có đồ thị là (P2) Giả sử đường thẳng (d): y = m cắt (P1) tại hai điểm phân biệt A, B và cắt (P2) tại hai điểm C, D Tìm m để

2

AB CD

2) Giải bất phương trình

2 2

1

x x



Câu 2( 4,0 điểm)

1) Giải phương trình 4cos3 cos 2cos 4 4cos tan tan 2 0

2

x

2) Giải hệ phương trình 2    







Câu 3( 4,0 điểm)

1) Cho các số thực dương x y z, , Chứng minh rằng

5

2) Cho dãy số  u xác định như sau n

1

1 1

2 3

n n

n

u

n u

u











 





Tính tổng của 2019 số hạng

đầu tiên của dãy số u n

Câu 4( 4,0 điểm)

1) Xung quanh bờ ao của gia đình bác Nam trồng 20 cây chuối Do không còn phù hợp bác muốn thay

thế để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên 4 cây Tính xác suất để trong 4 cây bác Nam chặt không

có hai cây nào gần nhau

2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và

nội tiếp đường tròn tâm I Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng

AC, H là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng BI Các đường thẳng AC và

KH lần lượt có phương trình là x+ + =y 1 0 và x+2y- 1=0 Biết điểm B thuộc

đường thẳng y - 5=0và điểm I thuộc đường thẳng x + = Tìm tọa độ điểm C.1 0

Câu 5( 4,0 điểm)

1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB =3a và AD =a 3 Cạnh bên

2

SA = a và SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên các cạnh SB và SD Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (AHK)

2 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA OB OC đôi một vuông góc với nhau tại , , O Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC và ) P là điểm bất kỳ trong tam giác ABC Chứng minh rằng PA22 PB22 PC22 2 PH22

OA +OB +OC = +OH

HẾT

Hướng dẫn Câu 1 :

1.

ĐS: m = 5

2 Giải bất phương trình

2 2

1

x x



+ Điều kiện x 0

+ Ta có

2

x  x  x    

nên 1 2 x2  x 1 0

Do đó bất phương trình  1 2 x 2 x2 3x  1 1 2 x2  x1

 x x2  x 1 x23x1 + Nếu x  thì bất phương trình trở thành 0 1 1 (vô lý)

+ Nếu x  thì bất phương trình 0 1 x 1 1 x 1 3

+ Đặt x 1 t

x

  với t  , bất phương trình trở thành 12  t1 t3

13

4

+ Với 13

4

x

+ Vậy bất phương trình có nghiệm là 13 105 13 105

Câu 2

1

+ Điều kiện cos2 0 cos 1

cos 0 cos 0

x x















+ Phương trình tương đương với

sin sin 2

cos cos 2

x x

x x

Cho hàm số y x 2 4x3có đồ thị là (P1) và hàm số y x 22x3có đồ thị là (P2) Giả sử đường thẳng (d): y = m cắt (P1) tại hai điểm phân biệt A, B và cắt (P2) tại hai điểm C, D Tìm m để

2

AB CD

Xét 2 phương trình: x2 4x 3 m (1) và 0 x22x 3 m (2)0

ĐK: 1

2

1 0

2

2 0

m

m m

   





   



( ) 4 2[( ) 4 ] 16 - 4(3 - m)=2[4 - 4(3 - m)] m = 5

 

sin sin cos cos

cos cos 2

x x



1

cos

x

2

2 cos 2 cosx x cosx 2 cos 2x 1 0

2 cos 2x 1 cos  x 1 0

1 cos 2

2 cos 1

x

x















3

2

x k









 











+ So sánh với điều kiện ta được 3  

2

k

x k























ĐKXĐ:

2

2







Từ PT đầu của hệ và kết hợp với điều kiện xác định suy ra x7,y0

Do đó (1) 9y2 2y3 y x   3x4 xy 4x0

   

2

4

0

xy x

xy x





   

2

0

y x

xy x

 xy

+ Thế vào (2), ta được: 7x225x19  x2 2x 35 7 x2

 3x211x 22 7 x2 x5 x 7 

 3x2 5x144x5 7 x5 x2 5x14 

Đặt a x2  5x14 ;b x5a0,b0 Khi đó phương trình trở thành

3a24b2 7ab a b  3a4b

Với a b  x 3 2 7 (thỏa mãn) và x  3 2 7 (loại)

18

a b x  (thỏa mãn) và 61 11137

18

x  (loại) Kết luận: Hệ có 2 nghiệm của hệ là:

3 2 7;3 2 7   và 61 11137 61; 11137

Câu 3

1 Cho các số thực dương x y z, , Chứng minh rằng

5

Hướng dẫn

+ Đặt

P

và 1x2 a, 1y2 b, 1z2 c với a b c , , 1

+ Ta có 1y3  1y 1 y y 2

+ Theo cô-si    2 2 2

2

y

2

3 2 1

2

y

+ Suy ra

3 2

1

b c



+ Hoàn toàn tương tự ta cũng có

2

c a



3

a b



+ Cộng các bất đẳng thức      1 , 2 , 3 theo vế ta được

P

P

ab ca bc ab ca bc

2

5

a b c

P

ab bc ca

 

ab bc ca

P

ab bc ca

+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y z 2

Câu 4.

1 + ( ) 4 4845

20 



n

Trường hợp 1: Cả 4 cây được chặt ở gần nhau có 20 cách

+ Trường hợp 2: Trong 4 được chặt có đúng 3 cây gần nhau

- Chặt 3 cây gần nhau có 20 cách

- Mỗi 3 cây gần nhau có 15 cây không gần 3 cây đó Vậy trường hợp này có:

20 X 15 = 300 cách

Trường hợp 3: Trong 4 cây được chặt có đúng 2 cây gần nhau:

- Chặt đúng 2 cây ở gần nhau có 20 cách

- Với mỗi 2 cây gần nhau có 16 cây không ở gần hai cây này Trong 16 cây lại có 15 cặp cây gần nhau Chọn hai cây không gần nhau trong 16 cây có: 2 15 105

16  

C

Vậy trường hợp này có: 20.105 = 2100 cách + Trường hợp 4: Trong 4 cây được chặt có đúng hai cặp cây gần nhau

- Chọn một cặp cây gần nhau có 20 cách

- Mỗi cách chọn một cặp cây gần nhau lại có 15 cặp cây gần nhau được chọn từ 16 cây Vậy trường hợp

2

15

20

 cách Vậy n(A)4845 (203002100150)2275

Suy ra:

969

455 4845

2275 )

P

Câu 5.

1.A

2.

Đặt OA a OB b OC c                ,                , 

Ta có OM x a yb zc x y z   ,   1

AM OM OA  x a yb zc   AM  x a y b z c

Suy ra

Tương tự

Cộng lại ta được

Suy ra

2 2 2 2 2 2

x a y b z c x y z

Xét tứ diện OABC, gọi H là hình chiếu của O trên (ABC), ta có

, x a y b z c OM

Suy ra

OA  OB  OC OH 