156 câu số phức(VD VDC)

Do các phép toán cộng và nhân số phức phụ thuộc vào vị trí tương đối của các điểm biểu diễn nên ta z z + =... Kí hiệu A B, là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm phức của

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 1 Các phép toán trên tập số phức

2 3

Câu 2 [2D4-1.1-3] Cho hai số phức z= +1 ai a( ∈¡ )

và z′ = +1 i Tìm điều kiện của a để zz′ là một số ảo.

Lời giải Đáp án C

zz′ = +ai + = + + − = − + +i i ai a a a i Theo yêu cầu bài toán : 1− = ⇔ =a 0 a 1.

Câu 3 [2D4-1.1-3] Cho số phức z m= 2−3m+ +3 (m−2)i , với m R∈ Tính giá trị của biểu thức

z w z

2 2

Trang 2

Vậy phần ảo của số phức z là ( )2 2

21

Ta cú z.( )− = − + − + −i i i2 i3 i2017+i2018 = − +(z 1) i2018

2018 2018

Do

1 1

1 2

2 2

1

z z

ỡùù = ùù ù

= = ắắ đớ

ùù = ùù ùợ

Vỡ w w= nờn w là số thực hay phần ảo của w bằng 0

Cõu 7 [2D4-1.2-3]Cho số phức z x yi= + (x y, ∈Ă ) Khi đú phần thực a và phần ảo b của số phức

2

z i iz

x y a

y y x b

x y a

y y x b

x y a

y y x b

x y a

y y x b

Trang 4

Câu 12 [2D4-1.4-3]Cho hai số phức z , 1 z thỏa 2 z1 = z2 =1, z1+z2 = 3 Tính z1−z2 .

Lời giải Đáp án B

z

z có điểm biểu diễn là hai điểm chung của hai đường tròn tâm O( )0;0

,R1=1 và đường tròn tâm I(−1;0) , R2 = 3

Lời giải Đáp án A

Cách 2 Giả sửz được biểu diễn bởi điểm 1 M trong mặt phẳng 1 Oxy.

Giả sửz được biểu diễn bởi điểm 2 M trong mặt phẳng 2 Oxy.

Gọi I là trung điểm của M M 1 2

Ta có 1= z1 = z2 = −z1 z2 ⇒OM1 =OM2 =M M1 2 =1 , suy ra ∆OM M1 2 đều có cạnh bằng 1.

Trang 5

= + là số thực Tính giá trị

của biểu thức 2

1

z P

z

= +

A

1.5

P =

B

1 2

P =

1.3

P =

Trang 6

+ +

Câu 17 [2D4-1.4-3] Cho hai số phức z z1 , 2 thỏa mãn z1 ¹ 0, z2 ¹ 0, z1 +z2 ¹ 0 và 1 2 1 2

1 1 2.

z +z =z +z Tính giá trị

biểu thức

1 2

z P z

=

2 3

P =

C

3 2

P =

D

2 2

P =

Lời giải Đáp án D

z t

z

=, ta được phương trình t= +(t 1 1 2) ( + t)

ê= ê ê

-Câu 18 [2D4-1.4-3] Cho số phức z= +1 i, môđun số phức

2 0

22

z z z

+

=+ bằng

w =

B

2 82.9

w =

C

82.8

w =

D

3 82.5

w =

Trang 7

−

=+Nhấn q c a 1 p Q z R Q 1+q22Q z)=

Kết quả:

DẠNG 5 Phương trình bậc nhất theo z (và liên hợp của z)

Câu 20 [2D4-1.5-3]Cho số phức z a bi= + , trong đó ,a b∈¡ thỏa mãn (3 4− i z z) + = +4 i Tính S a b= +

A

23

S =

23

S= −

Trang 8

S =

C

2 3.3

S=

D

3.3

S =

Trang 9

Trang 10

P =

19

K =

33

K =

 Gọi z x yi = + với x y , ∈ ¡ Khi đó:

w

z

=+

bằng bao nhiêu?

Trang 11

A

12

2 101

c

c c

Do z1+ + =z2 z3 0 và z1 = z2 = z3 =1nên các điểm biểu diễn của z , 1 z , 2 z trên mặt phẳng tọa độ3

Oxy là A B C, , đều thuộc đường tròn đơn vị và ABC tạo thành tam giác đều

Trang 12

Do các phép toán cộng và nhân số phức phụ thuộc vào vị trí tương đối của các điểm biểu diễn nên ta

z z

+ =

Tính giá trị của biểu thức

2017 2017

Trang 13

2 2 3

2

2+ 3

24 12

2

2− 3

26 12

2

2− 3

26 12

2

2+ 3

Trang 14

32

a=

Câu 40 [2D4-1.6-3] Cho số phức 1 ( 2 )

i m z

Trang 15

z +z = OM ONuuuur uuur+ ≤ OMuuuur+ONuuur = z + z

Suy ra phương án C sai

Ta có

2

10

z z z

i z

Trang 16

CHUYÊN ĐỀ 2 Phương trình bậc hai hệ số thực

DẠNG 1 Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai

Câu 45 [2D4-2.1-3]Tìm hai số phức z , 1 z biết tổng của chúng là 2 −2 và tích của chúng bẳng 5 (số phức z 1

có phần ảo âm)

A z1= − +1 2 ; i z2= − −1 2i B z1= −1 2 ; i z2 = +1 2i

C z1= − −1 2 ; i z2 = − +1 2i. D z1= +1 2 ; i z2= −1 2i.

Mà z có phần ảo âm nên 1 z1= − −1 2 , i z2 = − +1 2 i

Câu 46 [2D4-2.1-3] Gọi z ,z là các nghiệm phức của phương trình 1 2 z2− + =4z 5 0 Tính giá trị biểu thức

Trang 17

Câu 47 [2D4-2.1-3] Gọi z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 2

2 2 0

z − z+ = Tính z12017+z22017.

A 21009 B −21009i. C 21009i D −21009.

Giải phương trình z2−2z+ =2 0ta được z1= +1 ,i z2 = −1 i.

DẠNG 3 Tìm nghiệm phức của phương trình bậc cao

Câu 48 [2D4-2.3-2]Số nghiệm của phương trình z4+2z2− =3 0 trên tập hợp số phức là

Giải PT z4+2z2− =3 0 ⇔

2

13

z z

Câu 50 [2D4-2.3-2]Cho số phức z thỏa mãn z3+4z=0 Khi đó,

A z∈{ }1;2 . B z ∈{ }0 . C z ∈{ }0; 2 . D z ∈{ }0;1 .

Trang 18

Phương trình

2

222

11

22

12

z z z

Nhận xét: tổng 4 số hạng liên tiếp −i4m+2 +i4m+3−i4m+4+i4m+5 = − − + =1 i 1 i 0 nên z= − +1 i

Câu 53 [2D4-2.3-2] Gọi S là tập hợp các nghiệm của phương trình z4+ − =z2 6 0 trên tập số phức Tìm S

 =

⇒  = −



z z

23

1 8 8

z= +i = − i Phần thực của z là 8

Trang 19

Câu 56 [2D4-2.3-2]Số phức z nào sau đây không là nghiệm của phương trình z4+ − =z2 6 0 ?

 Bấm r, thay lần lượt các đáp án Đáp án nào hiển thị kết quả khác 0 thì ta chọn đáp án đó

Câu 57 [2D4-2.3-2] Cho hai số phức z1 = - 4 3i+ -(1 i)3 và z2 = + 7 i Phần thực của số phức w= 2z z1 2 bằng:

1 4 3 1 3 3 4 3 1 3 3 2 5

z = - i+ - i+ i - i = - i+ - i- + = -i i

.Suy ra z z1 2 = +(2 5 7i) ( + = +i) 9 37i¾¾ ®z z1 2 = - 9 37 i

Gọi z = +x yi

Trang 20

Vậy tổng các bình phương môđun của 6 nghiệm là 3 6 9.+ =

Câu 62 [2D4-2.3-3] Gọi z z z z là các nghiệm phức của phương trình 1, , , 2 3 4

4

112

17

m

i z

i

æ + ÷ ö ç

= ç çè - ÷÷ø với m nguyên dương Có bao nhiêu giá trị m Î [1;50] để z là sốthuần ảo?

Trang 21

Mà đoạn [1;50] có 25 giá trị nguyên lẻ.

Câu 64 [2D4-2.4-3] Trong £, cho phương trình z3+az2+ + =bz c 0 ( , ,a b c∈¡ có nghiệm là ) 1 và 2 i−

z =

B

1.8

z =

C

1.4

z =

D z =4.

2

z z

Trang 22

Do z1= −2 i là một nghiệm phức của phương trình z2+ + =bz c 0 ( ,b c∈¡ nên ) z2 = +2 i và

Câu 68 [2D4-2.4-3] Cho hai số thực b và c c( >0 ) Kí hiệu A B, là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn

hai nghiệm phức của phương trình z2+2bz c+ =0. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm điều kiện của b

và c để tam giác OAB là tam giác vuông.

A c=2 b2 B b2 =c C b c= D b2 =2 c

Theo định lí Viet, ta có

1 2

2

z

i z+ =

− và 2 1?

z i z

− =+

22

Vậy có 1 số phức thỏa điều kiện đề bài

Câu 70 [2D4-2.4-3]Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: z i− = 2 và z là số thuần ảo:2

Trang 23

A.3. B.1. C 4. D.2.

2 2

Vậy có 4 số phức thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 71 [2D4-2.4-4] Cho phương trình 4z4+mz2+ =4 0 trong tập số phức và m là tham số thực Gọi

Đặt t=z2, phương trình trở thành 4t2+mt+ =4 0 có hai nghiệm t t1 , 2

Câu 72 [2D4-3.1-3] Cho số phức z thỏa mãn z+ + − =2 z 2 8 Trong mặt phẳng phức tập hợp những điểm

M biểu diễn cho số phức z là?

Gọi M x y( );

, F1( 2;0)− , F2(2;0) Ta có z+ + − = ⇔2 z 2 8 x2+ +(y 2)2 + x2+ −(y 2)2 =8

Trang 24

Câu 73 [2D4-3.1-3] Kí hiệu z1, z2 là các nghiệm của phức của phương trình z2−4z+ =5 0 và ,A B lần lượt

là các điểm biểu diễn của z z Tính 1, 2 cos AOB·

Phương trình z2−4z+ =5 0 có hai nghiệm phức là:

1 2

22

OA OB cos AOB

OA OB

−

uuuruuuruuur uuur

Câu 74 [2D4-3.1-3] Cho ba số phức z1= − +1 2i, z2 = −( ) (1 i 1 2+ i) và 3

2 63

i z

S =

56

S =

12

S =

22

S =

=

được biểu diễn bởi

một trong bốn điểm P , Q , R , S như hình vẽ bên Hỏi điểm biểu diễn của w là điểm nào?

Trang 25

A S B Q C P D R

Cách 1: (Trắc nghiệm)

Ta có: z a bi= + theo hình vẽ có a=1, 0< <b 1nên ta chọn

112

+ + + có phần thực dương bé hơn 1, phần ảo âm lớn hơn 1− nên

ta chọn điểm Q là điểm biểu diễn số phức w

Câu 76 [2D4-3.1-4] Cho z có điểm biểu diễn là M và w=2z a bi+ + (a b, ∈¡ )

có điểm biểu diễn là N

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a>0, b>0. B a<0, b<0. C a>0, b<0. D a<0, b>0.

DẠNG 2 Tập hợp điểm biểu diễn là đường thẳng

Câu 77 [2D4-3.2-3] Cho các số phức z thỏa mãn z- 1 2= Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

Trang 26

3 3 1 3 1 2.2 4

w- + i = + i z- = =

144424443

DẠNG 3 Tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn, hình tròn

Câu 78 [2D4-3.3-3] Cho số phức z thỏa mãn z− =1 2;w= +(1 3 )i z+2 Tập hợp điểm biểu diễn của số

phức w là đường tròn, tính bán kính đường tròn đó

Do đó, tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn có bán kính bằng 4.

Câu 79 [2D4-3.3-3] Cho số phức z có z =4 Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn

Theo giả thiết ta có : w 3i z− = ⇒ w 3i− = z Do đó : w 3− =i 4.

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức w là đường tròn có bán kính bằng 4

Câu 80 [2D4-3.3-3] Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng phức thoả mãn điều kiện

⇒ Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường thẳng x+2y− =2 0.

Câu 81 [2D4-3.3-3] Tập hợp các số phức w= +( )1 i z+1 với z là số phức thỏa mãn z− ≤1 1 là hình tròn

Tính diện tích hình tròn đó

Lời giải.

Đáp án B

Trang 27

Câu 82 [2D4-3.3-3] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z =3. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số

phức w= − + −3 2i (2 i z) là một đường tròn Hãy tính bán kính của đường tròn đó.

Vậy R=3 5.

Câu 83 [2D4-3.3-3] Cho số phức z thỏa mãn z =1 Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức

w (3 4 )= − i z− +1 2i là đường tròn tâm I , bán kính R Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường

tròn đó

A I(−1; 2 ;) R= 5. B I(1; 2 ;− ) R=5. C I( )1; 2 ;R=5 D I(−1; 2 ;) R=5.

Ta có

1 2(3 4 ) 1 2

Vậy tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn tâm I(−1; 2), bán kính R=5.

Câu 84 [2D4-3.3-3] Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z m+ − +1 3i =4

Tìm tất cả các số

thực m sao cho tập hợp các điểm M là đường tròn tiếp xúc với trục Oy

A m=5. B m= −3. C m=5;m= −3. D m= −5;m=3.

Đặt z= +x yi ,(x y, ∈¡ ) Khi đó

Trang 28

52

Do (z+1) (z−2i) là một số thuần ảo nên có phần thực bằng 0 hay x2+ +y2 2y x+ =0

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn 1 2 ( )2 5

Câu 87 [2D4-3.3-3] Cho các số phức z thỏa mãn z− =1 3. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số

phức w với (3 2− i w iz) = +2 là một đường tròn Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của đường trònđó

Trang 29

Câu 90 [2D4-3.3-3] Cho số phức z thỏa mãn z− +3 4i =2và w=2z+ −1 i Trong mặt phẳng phức, tập hợp

điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I , bán kính R là

A I(7; 9 ,− ) R=4. B I(7; 9 ,− ) R=16. C I(−7;9 ,) R=4. D I(−7;9 ,) R=16.

Trang 30

w− + i

⇔ = ⇔ − +w 7 9i =4

.Giả sử w x yi x y R= + ( , ∈ ) và M là điểm biểu diễn cho w trong mặt phẳng phức⇒M x y( );

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(7; 9− ), bán kính R=4.

Câu 91 [2D4-3.3-4] Cho các số phức z thỏa mãn z=m2+2m+5, với m là tham số thực Biết rằng tập hợp

các điểm biểu diễn các số phức w= -(3 4i z) - 2i là một đường tròn Bán kính nhỏ nhất của đườngtròn đó bằng:

Trang 31

Câu 93 [2D4-3.4-3] Cho số phức z x yi x y= + , ,( ∈¡ ) thỏa điều kiện nào của

,

x y sau đây để tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình vành khăn nằm

giữa hai đường tròn ( ) ( )C1 , C2

nên ta chọn 1≤x2+y2 ≤4.

Câu 94 [2D4-3.4-3] Cho số phức z= +a bi, với a và b là hai số thực Để điểm biểu diễn của z trong mặt

phẳng tọa độ Oxy nằm hẳn bên trong hình tròn tâm O bán kính R=2 như hình bên thì điều kiệncần và đủ của a và b là

y

22

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phần bên trong hình tròn tâm O bán kính R=2 có dạng: x2+y2<4

mà điểm biểu diễn của z a bi= + là M a b( );

nằm bên trong đường tròn nên a2+ <b2 4.

DẠNG 5 Tập hợp điểm biểu diễn là một cônic

Câu 95 [2D4-3.5-4]Xét số phức z thỏa mãn 2 z− +1 3z i− ≤2 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Giả sử z x yi= + có điểm biểu diễn là M x y( );

.1

z− có điểm biểu diễnA x( −1;y) z i− có điểm biểu diễn B x y( ; −1).

Trang 32

Câu 96 [2D4-3.6-3]Xác định tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z sao cho

( )2 2

Câu 97 [2D4-3.6-3] Cho các số phức z z z1 , , 2 3 có biểu diễn trên mặt phẳng phức là ba đỉnh của tam giác đều

có phương trình đường tròn ngoại tiếp là (x+2017)2+ -(y 2018)2=1. Tổng phần thực và phần ảo của

số phức w z= + + 1 z2 z3 bằng:

Đường tròn đã cho có tâm I biểu diễn số phức z=- 2017 2018+ i

Gọi A B C, , lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z z z1 , , 2 3

Ta có OA OB OCuur uur uuur+ + =3OGuuur=3OIuur (do tam giác ABC đều nên Gº I )

y x

= −



 =



Trang 33

Vậy ta có 4 số phức thỏa mãn điều kiện trên

Câu 99 [2D4-3.6-3] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , tìm tập hợp T các điểm biểu diễn của các số

phức z thỏa z =10 và phần ảo của z bằng 6

Câu 101 [2D4-3.6-3]Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ:

Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức w= i

Trang 34

 điểm biểu diễn số phức w nằm ở góc phần tư thứ hai.

Câu 102 [2D4-3.6-3] Gọi M là điểm biểu diễn số phức 2

1

z z w

có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là điểm M

nằm trên đường thẳng 3x- 4y+ = Mệnh đề nào sau đây sai?5 0

A Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng 3x+4y+ = 5 0

çè ø là điểm biểu diễn số phức zmà có mô đun nhỏ nhất.

C z+z có điểm biểu diễn trên 0x.

D zcó mô đun nhỏ nhất bằng

1

2.

Mô đun của số phức z là độ dài đoạn OM suy ra zcó mô đun nhỏ nhất khi

( , ) 3.0 4.0 5 1

9 16

OM ^ Ûd z =OM =d O d = - + =

+Vậy mệnh đề D sai

Trang 35

Diện tích hình phẳng cần tìm là

2 2

Vậy hai đường tròn tiếp xúc trong tại M , hay chỉ có một số phức z

Nhận xét Bài toán không quá khó nhưng cách suy luận rất hay

Câu 105 [2D4-3.6-3]Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức ztrong mặt phẳng tọa độ 0xysao cho

2z z− ≤3

, và số phức z có phần ảo không âm Tính diện tích hình H

34

π

32

π

Trang 36

Đặt z x yi x y= + ( , ∈¡ )⇒ = −z x yi

z− = ⇔ x− +y = ⇔x +y − x= .Lại có (2+i z) ( )− = +2 (2 i x yi) ( − − =2) 2x−2yi− + + − =4 xi y 2i 2x y+ − + −4 (x 2y−2)i

có phần ảo bằng 2− nên x−2y= ⇔ =0 x 2y ( )2 Thay ( )2

 Vậy có 2 số phức thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 108 [2D4-3.6-4] Cho z z là hai số phức khác 1, 2 0 thỏa z12−2z z1 2+2z22 =0 Biết z z có điểm biểu 1, 2

diễn lần lượt là M , N Tính góc ·OMN

( ) ( )

Trang 37

P N

z i z

Đặt z x yi x y= + ( , ∈¡ )



22

Câu 110 [2D4-3.6-4] Cho hai số phức z z1 , 2 thỏa mãn z =1 3, z =2 2 được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần

lượt là các điểm M N, Biết góc tạo bởi giữa hai vectơ OMuuur và ONuuur bằng 300 Tính giá trị của biểu thức

1 2

A =

D

1 13

A =

Dựng hình bình hành OMPN trong mặt phẳng phức, khi đó

( )( )

Theo giả thiết, ta có

a b

ìï + = ïí

Trang 38

CHUYÊN ĐỀ 4 Max-Min của môđun số phức

DẠNG 1 Max-Min của môđun

Câu 111 [2D4-4.1-2]Cho số phức z = m( −1) (+ m−2 ) (i m R∈ ) Giá trị nào của m để z ≤ 5

A − ≤ ≤3 m 0. B 0≤ ≤m 3. C

30

m m

Câu 114 [2D4-4.1-3]Cho số phức z thỏa mãn z+ + − =3i z 3i 10 Gọi M , 1 M lần lượt là điểm biểu diễn2

số phức z có môđun lớn nhất và nhỏ nhất Gọi M là trung điểm của M M , 1 2 M a b( );

Trang 39

Khi đó ( )∗ ⇔MF MF1+ 2 = >10 F F1 2=6 nên tập hợp các điểm E là đường elip ( )E

có hai tiêu điểm

và min z =OA OA= ′=4 khi z= ±4 có điểm biểu diễn là M2(±4;0).

Tọa độ trung điểm của M M là 1 2

52;

y

1-

z z

Trang 40

Dựa vào dấu đẳng thức xảy ra ta chỉ cần tiến hành giải phương trình

Ta biết, OM lớn nhất hoặc nhỏ nhất khi M là giao điểm của đường tròn của đường thẳng OI

Ta có phương trình OI là

43

y= − x

Do đó điểm tọa độ M thỏa mãn hệ thức:

44

Cách 1:

Trang 41

Quy tắc tính đối với bài toán tổng quát như sau

Cho số phức z thỏa mãn z z− =1 r Tìm GTLN, GTNN của P= −z z2

Bước 1: Tính a= −z1 z2

Bước 2: GTLN của P a r= + , GTNN của P a r= −

Áp dụng đối với bài này ta có r =1;z1= −2 2 ,i z2 = ⇒ = −0 a z1 z2 =2 2

Câu 120 [2D4-4.1-3] Cho số phức z thỏa mãn z− − =2 3i 1 Tìm giá trị lớn nhất của z

Đặt z x yi= + , ,(x y∈¡ )

Định dạng
Số trang	59
Dung lượng	4,31 MB