Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấpSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

MỤC LỤC

1 ĐẶT VẤN ĐỀ 3

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN 4

3 HIỆU QUẢ MANG LẠI 22

4 ĐÁNH GIÁ PHẠM VI ẢNH HƯỞNG 22

5 TÀI LIỆU THAM KHẢO 23

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ

DẠNG TOÁN SƠ CẤP

Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Nam

Tổ: Toán Trường: THPT Lạng Giang số 3

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1 Lí do chọn sáng kiến kinh nghiệm

Chủ đề véc tơ và tọa độ là một nội dung cơ bản của chương trình toán THPT

Nó là sự kế thừa và phát triển của bộ môn Hình học thuần túy mà học sinh đã học ởcấp 2, một cách nhìn nhận khác về các nội dung hình học Với hệ tọa độ Đề cácvuông góc, người làm toán có cơ hội phát triển tư duy khái quát hóa và giải quyếtcác bài toán một cách dễ dàng hơn

Trong chương trình Toán THPT cũng như các đề thi Học sinh giỏi, đề thiĐại học và Cao đẳng có rất nhiều bài toán mà nếu làm trực tiếp theo dạng toán đóthì học sinh rất mơ hồ và lúng túng không biết giải như thế nào, hoặc biết cách giảinhưng lời giải thực sự dài và khó khăn Nhưng nếu khéo léo vận dụng kiến thứcvéc tơ và tọa độ thì lại có được một lời giải ngắn gọn và rất dễ hiểu

Chính vì vậy tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm này với mong muốngiúp học sinh hiểu sâu hơn về kĩ thuật giải toán này và được rèn kĩ năng nhiều hơn,vận dụng vào giải toán thành thạo hơn Đó là lí do tôi chọn đề tài sáng kiến kinhnghiệm : “ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT

SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP ”

1.2 Tính mới, tính sáng tạo của sáng kiến

SKKN chủ đề “ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP ” đã được công bố và áp dụng trước đây ở một

số trường THPT Tuy nhiên tôi nhận thấy các SKKN đó còn chưa đầy đủ các dạng toán áp dụng, chưa phân loại và đưa ra được phương pháp đặc trưng cho từng dạng bài tập Vì vậy ở SKKN này, tôi cố gắng thực hiện được một số điều sau:

+ Làm rõ được phương pháp giải toán bằng kiến thức véc tơ và tọa độ

+ Tổng hợp được nhiều dạng toán áp dụng như : chứng minh Bất đẳng thức; tìm Gía trị lớn nhất và Gía trị nhỏ nhất; giải Phương trình, Bất phương trình và Hệ phương trình ,

+ Làm rõ những kiến thức được vận dụng trong quá trình làm toán

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp + Phân loại và đưa ra được phương pháp đặc trưng cho từng dạng bài tập + Tập hợp và hệ thống các dạng toán vận dụng kiến thức véc tơ và tọa độ để giải, phân loại thành các dạng khác nhau từ dễ đến khó để phù hợp với đối tượng

học sinh tại trường THPT Lạng Giang số 3.

Trong mỗi dạng có phương pháp, các bài toán cụ thể nhằm dẫn dắt học sinh trong quá học tập, tạo ra tinh thần học tập hứng thú cho học sinh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN

2.1 Thực trạng tình hình về vấn đề:

Trong chương trình Toán THPT có rất nhiều bài toán về Bất đẳng thức, Giátrị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất của hàm số, Phương trình-bất phương trình-hệ phươngtrình, mà nếu làm trực tiếp theo cách giải của dạng toán đó thì sẽ rất khó khăn,hoặc biết cách giải nhưng lời giải thực sự dài và phức tạp Nhưng nếu khéo léo vậndụng kiến thức véc tơ và tọa độ thì lại có được một lời giải dễ dàng, ngắn gọn và rất

Chuyên đề Véc tơ và tọa độ chính là phần kiến thức Hình học mới lạ mà lênđến cấp 3 học sinh mới được làm quen Vì vậy nhiều em chỉ học một cách máymóc và thụ động chứ không hiểu là học chuyên đề này để làm gì, có những ứngdụng như thế nào Đây cũng là một nguyên nhân khiến cho học sinh không nắm bắtđược kiến thức có chiều sâu và dễ dàng quên kiến thức đó sau một thời gian họcnhất định

2.2 Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:

2.2.1 Khảo sát thực tế:

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp Trước khi thực hiện đề tài, tôi đã khảo sát kiểm tra học sinh các lớp 12A1, 12A3 thông qua một số bài tập về nhà với nội dung chứng minh Bất đẳng thức; tìm Gía trị lớn nhất và Gía trị nhỏ nhất; giải Phương trình, Bất phương trình và Hệ phương trình ,

Kết quả như sau:

Số học sinh đạt điểm khá-giỏi rất ít , điểm trung bình chưa đạt 50%, còn lại làyếu, kém

Chất lượng bài làm của học sinh thấp, kĩ năng giải toán yếu

2.2.2 Áp dụng SKKN: Tôi đã tiến hành dạy phụ đạo, giao tài liệu và hướng dẫn

học sinh học ở nhà Trao đổi với học sinh về những băn khoăn vướng mắc mà các

em gặp phải khi làm các bài tập, sau đó tôi tiến hành giúp đỡ các em giải quyếtnhững vướng mắc đó

2.3 Nội dung kiến thức của SKKN :

vị , i j Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxy

2 Toạ độ của một điểm và của một véc tơ : Cho điểm M trong

Cho a trên hệ trục, khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho OM                            a

Gọi ( ; )x y là toạ độ của điểm M Khi đó ( ; )x y được gọi là toạ độ của véc

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

tơ a trên hệ trục Oxy và ký hiệu là a  ( ; )x y

3 Các phép toán véc tơ :

Cho hai véc tơ a  (a a b1 ; 2 ), (b b1 ; 2 )

và k là một số thực Các phép toán

véc tơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân một số với một véctơ, tích

vô hướng của hai véc tơ được xác định như sau:

4 Các công thức tính đại lượng :

Cho hai véc tơ a  (a a1 ; 2 ) ;b (b b1 ; 2 )

và gọi  là góc tạo bởi hai véctơ đó +) a b a b                            

khi và chỉ khi a và b là hai véctơ cùng hướng

.cos

5 Phương trình của đường thẳng, đường tròn :

* Phương trình của đường thẳng (d) đi qua điểm M x y( ; ) 0 0 và nhận

véctơ n ( ; )A B làm véc tơ pháp tuyến là: A x x(  0 ) B y y(  0 ) 0 

* Phương trình đường tròn tâm I a b( ; ) bán kính R là:

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp nhau đôi một Trên Ox Oy Oz, , lần lượt chọn các véc tơ đơn vị , ,  i j k Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz.

2 Toạ độ của một điểm và của một véc tơ :

Cho điểm M trong kh ông gian Oxyz Hạ MH vuông góc x Ox' , MK vuông góc y Oy' và ML vuông góc z Oz' Theo qui tắc hình hộp, ta có :

OM OH OK OL x                                                            i yjz k

Bộ ( ; ; )x y z được hoàn toàn xác định bởi điểm M và được gọi là toạ

độ của điểm M , ký hiệu M x y z( ; ; )

Cho a , khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho OM a  Gọi

( ; ; )x y z là toạ độ của điểm M Khi đó ( ; ; )x y z gọi là toạ độ của véc tơ

a trên hệ trục Oxyz và ký hiệu là a  ( ; ; )x y z

4 Các công thức tính đại lượng :

Cho hai vectơ a (a a a1 ; ; 2 3) ;b(b b b1 ; ; 2 3)

và gọi  là góc tạo bởi hai vectơ đó

Cho (d) là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương

a ( ; ; )a a a1 2 3 và điểm M Giả sử ta tính được AM  ( ; ; )b b b1 2 3

Khi đó

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) được tính là :

5 Phương trình của mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu :

a Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M x y z( ; ; ) 0 0 0 và có cặp vectơ chỉ phương a (a a a1; ;2 3) ;b(b b b1; ;2 3)

Bài 2 : Chứng minh rằng : a2  2a  5 a2  2a  5 2 5 (1)

Giải :

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp (1)  (a 1)2 22  (a1)222 2 5

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp Trong mặt phẳng toạ độ xét các vectơ :

Khi đó, từ a  b  a b  cos4x  1 sin4x  1 cos 2x  (dpcm)

Bài 5 : Cho a b c , , 0và ab bc ca abc   Chứng minh rằng :

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : u1;1;1 , v 5x2; 5y2; 5z2 cùng

1cos( , )

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3 2 tại 2

Bài 10 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

yf x( ) cos2x 2cosx 5 cos2x4cosx8

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

Vậy phương trình có nghiệm x 3

Bài 14: Giải phương trình: x 1x  3 x 2 1x2 (*)

Giải: Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u( ;1),x v( 1x; 3 x) thì:

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là: x1,x 1 2

Bài 15 : Giải bất phương trình:

52

x x

Vậy x 5 là nghiệm duy nhất

Bài 16 : Giải phương trình : x2 2x 5 x22x10  29 (1)

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp Xét ax; (12  x2 ) , b 12  y; y khi đó phương trình (1) có dạng

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

1

44

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

111

Thử lại ta được hệ đã cho có 3 nghiệm (1,0,0) ; (0,1,0) : (0,0 ,1)

Bài 22 : Giải bất phương trình:

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) và đường tròn (2) có điểmchung thoả điều kiện (3)

Vậy Pt có nghiệm khi

2

m m



SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

Bài 24: Cho tam giác ABC có độ dài các trung tuyến va độ dài bán kính đường tròn

ngoại tiếp lần lượt làm m m R a, b, c,

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

A

B y z

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

3 HIỆU QUẢ MANG LẠI

- Sau khi thực hiện đề tài bằng hình thức dạy phụ đạo, tôi tiến hành kiểm tra lại học sinh các lớp 12A1, 12A3 thông qua kiểm tra viết

Kết quả như sau:

Số lượng học sinh đạt điểm khá - giỏi tăng lên rõ rệt, điểm yếu - kém còn ít.Như vậy, chất lượng bài kiểm tra đã được tăng lên rõ rệt

Một số học sinh khá, giỏi còn biết vận dụng vào các bài toán ở mức độ khó hơn

- Như vậy, với SKKN này dù ít hay nhiều cũng giúp ích cho cho công việcgiảng dạy của tôi, góp một phần nhỏ giúp học sinh hiểu kĩ hơn và vận dụng tốt hơnvào giải toán, nâng cao chất lượng học môn toán hơn trước Đối với bản thân tôi, làmột giáo viên đứng lớp, viết SKKN này cũng giúp ích rất nhiều trong việc tự học

và trau dồi chuyên môn, nghiệp vụ của mình

- Mặc dù SKKN tôi viết chỉ tập chung vào một vấn đề rất nhỏ trong chương trìnhtoán THPT, nhưng việc áp dụng nó vào giảng dạy có tác dụng rất tốt, thời gian tớitôi sẽ phát triển thêm SKKN của mình áp dụng cho cả những đối tượng là học sinhtrung bình

4 ĐÁNH GIÁ PHẠM VI ẢNH HƯỞNG

x Chỉ có hiệu quả trong phạm vi Đơn vị áp dụng

Đã được chuyển giao, nhân rộng việc áp dụng ra phạm vi sở, ngành theo chứng cứ đính kèm

Đã phục vụ rộng rãi người dân trên địa bàn tỉnh, huyện/thành phố theo chứng cứ đính kèm

Đã phục vụ rộng rãi người dân tại Việt Nam, hoặc đã được chuyển giao, nhân rộng việc áp dụng tại nhiều tỉnh, thành theo chứng cứ đính kèm

SKKN_Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số dạng toán sơ cấp

5 TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí, Phương pháp véc tơ và tọa độ , NXBGD.

2 Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn, Giải tích 12, NXBGD.

3 Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn toán, NXBĐHSP.

4 Trần Phương, Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học môn toán,

NXBHN

5 Đề thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh ĐH-CĐ các năm gần đây

Trên đây là những kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi rút ra trong quá trình dạy học thực tiễn SKKN chắc chắn sẽ còn có những tồn tại và hạn chế Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn

Lạng Giang, tháng 5 năm 2020

Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Nam