=a n Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm... chứng minh rằng ABC là tam giác đều.. Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư... Áp dụng BĐT Bernouli:.
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
PHẦN 1 CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
> An
+ m > n > 0 và 0 <A < 1 Am
< An
+A < B và A.B > 0
B A
1
1
3/Một số hằng bất đẳng thức
+ A2 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ An 0 vớiA ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ A 0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ - A < A = A
+ A+B A + B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+ A−B A− B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)
Trang 2PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
1 (x−y)2 + (x−z)2 + (y−z)2 0đúng với mọi x;y;zR
Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
+ z2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zR
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
Trang 32 2
2 2
1 2 2
2 2
n
a a
a n
a a
Tóm lại các bước để chứng minh AB theo định nghĩa
Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
Trang 4Bước 2:Biến đổi H=(C+D)2hoặc H=(C+D)2+….+(E+F)2
4 4
4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
0 2
0 2
0 2
m q m p m n m
m
m q
m p
m n
2
q p n m
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có :a4 +b4 +c4 abc(a+b+c)
) 2 (
) 2 (
0 2
2 2
2 2
2
0 2
2 2
2 2 2
0
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 4 4 4
2 2 2
4 4 4
− +
− +
− +
− +
− +
−
− +
+
− +
+
− +
+
− +
− +
− + +
ac ab ac
bc bc
ab a
c c
b b
a
ab a a c b a
ab c a c c b ac b c b b a a
c c
b b
a
ab c ac b bc a
c a a
c c b c
b b a b
a
ab c ac b bc a c b a
ab c ac b bc a c b a
Đúng với mọi a, b, c
Trang 5Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương
ab b
(dấu bằng xảy ra khi 2a=b) b) a2 +b2 + 1 ab+a+b 2 (a2 +b2 + 1 ) 2 (ab+a+b)
Trang 6Giải:
( 10 10)( 2 2) ( 8 8)( 4 4)
b a b a b a b
12 8 4 4 8 12 12 10 2 2
10
12
b b a b a a b b a
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 3: cho x.y =1 và xy Chứng minh
y x
y x
−
+ 2 2
2 2
Giải:
y x
y x
−
+ 2 2
2 2 vì :xy nên x- y 0 x2+y2 2 2( x-y) x2+y2- 2 2 x+2 2y 0 x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 0
x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y- 2)2 0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
a/ P(x,y)=9x2y2 + y2 − 6xy− 2y+ 1 0 ,x yR
b/ a2 +b2 +c2 a + b + c
(gợi ý :bình phương 2 vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
+ +
=
z y x z y x
z y x
1 1 1
1
Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
Trang 7=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(
z y x
1 1
1 + + )=x+y+z - (1 + 1 +1) 0
z y
z y x
1 1
1 + + <
x+y+z theo gt)
2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương
Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
+
+ +
+ +
c a
c c b
b b a a
Giải:
c b a
a b
a
a c
b a b a c b a b a
+ +
+
+ +
+
+ +
+
c b a
b c
b
b
+ +
c c
a
c
+ +
+
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được :
1
+
+ +
+
c c b
b b a
a
(*)
c b a
c a b a
a b a a
+ +
+
+
+
c b a
b a c b
b
+ +
+
b c a c
c
+ +
+
+
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được :
2
+
+ +
+
c c b
b b a
+ +
c a
c c b
b b a
Trang 8c) (x+ y)2 4xy
d) + 2
a
b b
a/ Với hai số không âm : a, b 0, ta có: a+b 2 ab Dấu “=” xảy ra khi a=b
b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm :
n n n
n
n n
n
a a
a a a
a
a a a n a a
1
2 1 2
1
Dấu “=” xảy ra khi a1 =a2 = =a n
Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm
Ví dụ 1 : Giải phương trình :
2
3 4 2
2 1 2
4 1 4
2
= +
+ +
+
x
x x
x x
Giải : Nếu đặt t =2x thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt
0 , ,
+
+ +
+
b b
a
Vế trái của phương trình:
Trang 91 1
1
3 1 1
1 1 1
3 1 1
1 1
1
3 1
1 1
1
1 1
+ + +
+ + + +
+ + + +
+ + +
+ + +
+ +
b b a a
b
b a a
b c b a
b a
b a a
b a b
b a
b a a
b b
a
( )( )( )
3 3 1
1
3
1 1 3
+ +
b a b a b a b a
Vậy phương trình tương đương với :
0 1
4 2 1 1
1+ + + +
z y
1 1
1
+
+ +
c b a c b a
abc c
b a
abc c
b a
+ +
+ +
+ +
+ +
9 1
1 1
9 1 1 1
1 3 1 1 1
3
3 3
Suy ra Q =
1
1 1
1 1
1
+
+ +
Trang 10
Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng:
abc
c b a ab c ac b
bc
1 1
1
2 2
2
+ +
+
+ +
+ +
ac ab bc
a bc a
bc a bc
2
1 1 2
ac b
bc a
bc ac ab
c ab c
ab bc ac
b ac b
2
2 2
2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
2 2
2 2 2
+ +
+ +
+ + +
+ +
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
− +
+
− +
+
−
c b
a c
b a
c b
a
(*)
Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :
) 1 ( ) )(
)(
(
3 3
c b a b a c a c b
abc c
b a
c b
a c
b a
c b
a
− +
− +
− +
− +
+
− +
+
− +
Cũng theo bất đẳng thức Côsi :
) 2 ( ) (
2
1 ) )(
(b+c−a c+a−b b+c−a+c+a−b =c
Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được
) 3 ( 1 ) )(
)(
(
) )(
)(
(
− +
− +
− +
→
− +
− +
− +
c b a b a c a c b
abc
abc c
b a b a c a c b
Từ (1),(3) suy ra (*) Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều
Ví dụ 5:
Trang 11c b a
, , 0
z b
y a
y a
x ac zc yb xa
z c a y c a x c a c
z ac zc b
y ac yb a
x ac xa
y c a b
y ac yb c a b
ac b
+ + +
+ + + + +
+
+ +
+
+
) ( )
( ) (
2
2 2
2 2
đpcm z
y x ac
c a c
z b
y a
x ac zc yb xa
z y x c a c
z b
y a
x ac zc yb xa
z y x c a c
z b
y a
x ac zc yb xa
+ +
+
+ + +
+
+ + +
)(
( )
a b
b a
1 (Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 ) Chứng minh:
Trang 12+ + +
=
2 2
2 2 1
2 2
2 2 1
b b
a a
a a
• Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng
• Nếu a,b > 0:
b
b a
i i
2 2 1 2 2
2 2
Suy ra:
b a b a b
a b
n n
n n
.
1 )
( 2
1 )
( 2
1
2 2 1 1
2 2
2 2 1 2
2 2 2 1 2
2 1 1
+
+ +
+ + + +
+ + +
+
n n
i i
b
a b
a b
a dáu cùng
n i
2 2 1 1 1
Giải: Ta có: sin2 x+ cos2x= 1 , xR
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
4 4
2 2 4 4
2 2
cos sin
4
1
cos sin
2
1
1 1 cos sin
1 cos 1 sin
1
x x
x x
x x
x x
+
=
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa:
Trang 131 1 cos sin
4
1
1 cos 1 sin 4
1
4 4
2 2 8 8
2 4 4
+
+ +
x x
x x
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn Tìm GTLN của:
A C C
B B
(a1a2 a m +b1b2 b m + +c1c2 c m 2 a1m +b1m+ +c1m a2m+b2m + +c2m a m m +b m m + +c m m
Dấu”=” xảy ra bô số (a,b,….,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,…,m thì t i
sao cho: a=t i a i,b=t i b i, ,c=t i c i, Hay a1:b1: :c1 =a2 :b2 : :c2 =a n :b n : c n
2 ,
3 2 2
2 2 1
n Z n
a a
2
+ + + +
n
a a
1 1 4
1
1 1
2 2
k k
k k
Trang 143 2 2 1 1 2
3
1
2 1 1 2 1
1
2 7 1 2 5 1 2
5 1 2 3
1 1
3
1 2
1
2 1 1 2 1
1 1
2 2
2
2
+
n
k k
k
Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski:
2 3
2 3
1
3
1 2
1
2 2 1 2
+ + + +
n a
a a n
a a
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd 2 2 2 2
. c d b
b a d b c
Trang 15a a
a
2 1
2 1
thì
n
b a b
a b a n
b b
b n
a a
+ + + +
b
a a
a
2 1
2 1
b
a a
a
2 1
2 1
thì
n
b a b
a b a n
b b
b n
a a
+ + + +
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
b
a a
a
2 1
2 1
Ví dụ 1: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 và
3
2 sin
sin sin
2 sin sin 2
sin sin 2 sin
.
C B
A
C C
B B a
+ +
+ +
S là diện tích tan giác chứng minh rằng ABC là tam giác đều
Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư .
2
C B
a
C B
A
2 sin 2
sin 2
sin
sin sin
sin 2
(sin 3
1 sin
sin sin
2 sin sin 2
sin sin 2
sin sin
2 sin sin 2
sin sin 2
sin sin
3
2 sin 2
sin 2
sin sin sin
sin
C B
A C
B A
C C
B B A
A
C C
B B A
A
C B
A C
B A
+ +
+
+
+ +
+ +
+
+ +
+
C B
A
C B
sin 2
sin
sin sin
sin
Mặt khác:
Trang 16
) 2 ( 2 sin sin ).
sin 2 )(
sin 2
(
sin sin sin 4 sin sin 2 sin
2
) cos(
) cos(
sin 2 cos ) cos(
sin
2
2 sin ) cos(
).
sin(
2 2 sin 2
sin 2
sin
S C b a C B R A R
C B A B
A C
B A B
A C C
B A C
C B
A B
A C
B A
−
=
+
− +
= +
+
Thay (2) vào (1) ta có
3
2 sin
sin sin
2 sin sin 2
sin sin 2 sin
C B
A
C C B
B a
A
+
+
+ +
Dấu ‘=’ xảy ra ABC đều
Ví dụ 2(HS tự giải):
a/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: 1+1+1 9
c b
a b/ Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z 4 ( 1 −x)( 1 −y)( 1 −z)
+ +
+
c a c
b c b a
d)Cho x 0,y 0 thỏa mãn 2 x − y = 1 ;CMR: x+y
+
b a
c c a
b c b
2 2 2
+ +
+ +
+
+ +
+
c c a
b c b
a c b a b a
c c c a
b b c b
a
3
.
2 2 2 2
2
2
3 3
1
=
2 1
Vậy
2
1
3 3
3
+
+ +
+
c c a
b c b
a
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
3 1
Trang 17Ví dụ 4: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
2 2 2
x
Ta có 2 + 2 + 2 2 ( + ) = 2 ( + 1 ) 4
ab ab cd
ab c
ac ab
0
n
a
b) Dạng mở rộng:
- Cho a > -1, 1 thì (1 +a) 1 +na Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0
- cho a − 1 , 0 1 thì (1 +a) 1 +na Dấu bằng xảy ra khi va chỉ khi
=
= 1
Trang 18Áp dụng BĐT Bernouli:
( )
.
1 1
1 1 1
b a
a a
a
b a a
a b a
a a
b
b b
5 5
c b a
c c
b a
b c
b a a
Áp dụng BĐT Bernouli:
c b a
a c b c
b a
a c b c
b
a
a
+ +
− + +
− + +
2 5
1
2 1
(2) Chứng minh tương tự ta đuợc:
c b a
b a c c
b
a
b
+ +
− + +
2 5
c b a c
b
a
c
+ +
− + +
2 5
1
(4) Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có
c b a
c c
b a
b c
Trang 19
r n r
n r
r
n
a a
a n
a a
2 2 2 2
2 0
2 3
0 2 1 2
a
a a a
Chứng minh tương tự:
) 3 ( 3 2
) 2 ( 3 2
8
81
1 1 1 2 2
1 1 1 2 9
đpcm c
b a c b a
c b a c b a c
b a c
b a
+ +
b a x
x x x x
x
c
c c n c
c c c c
4
2
2 1 2
1
Phương pháp 8: Sử dụng tính chất bắc cầu
Trang 20Kiến thức: A>B và B>C thì A>C
Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d
+
d c b
d c a
d c a
(a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều phải chứng minh)
Ví dụ 2: Cho a,b,c>0 thỏa mãn
3
5
2 2
2 +b +c =
abc c b a
1 1 1
1 1 1
−
abc
1
Ví dụ 3: Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) >
1-a-b-c-d Giải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
Do a>0 , b>0 nên ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
Do c <1 nên 1- c >0 ta có (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd
(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh)
Ví dụ 4: Cho 0 <a,b,c <1 Chứng minh rằng: 2a3+ 2b3 + 2c3 3 +a2b+b2c+c2a
Trang 213 2
c a b
c a b
c a b
a d
c b
Trang 22`
Ví dụ 1: Cho a,b,c,d > 0 Chứng minh rằng
+ +
+ + +
+ + +
+ + +
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a
a
Giải: Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
d c b a
d a c
b a
a c
b
a
a
+ + +
+
+ +
+
Mặt khác :
d c b a
a c
b a
a
+ + +
+
Từ (1) và (2) ta có
d c b
a
a
+ +
+ + +
+
(3) Tương tự ta có
d c b a
a b d
c b
b d
c b
a
b
+ + +
+
+ +
+ +
d c b a
c b a
d c
c d
c b a
c
+ + +
+
+ +
+ +
d c b a
c d b
a d
d d
c b
a
d
+ + +
+
+ +
+ +
+ + +
+ + +
+ + +
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a
d
cd b
ab
d
c d
cd d b
cd ab b
cd ab
+
+
2
2 điều phải chứng minh
Trang 23tìm giá trị lớn nhất của
d
b c
a +
Giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử :
c
a d
b
Từ :
c
a d
b
d
b d c
b a c
a + 999
b/Nếu: b=998 thì a=1
d
b c
a + =
d c
được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn
(*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1+u2+ +u n
Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk về hiệu của hai số hạng liên tiếp
nhau:
u k =a k−a k+1
Khi đó :S = (a1−a2) (+ a2 −a3)+ +(a n−a n+1)=a1−a n+1
(*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn: P = u1u2 u n
Biến đổi các số hạng u k về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: u k=
1 +
2 2
1
+ +
=
n n
n
a
a a
a a
a a a
Ví dụ 1: Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng
Trang 24
4
3 1
2
1 1
1 2
1
+ + + +
+ +
n n n
n
Giải: Ta có
n n n k
1 1
+
+ với k = 1,2,3,…,n-1
Do đó:
2
1 2 2
1
2
1 2
1
2
1 1
n n
+ +
1
2 2
2 1
Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có
1 1
1 1
Trang 25
1
1
3
1 2
1
1 1
1 1
3
1 2
1 3
1
2
1 1 2
1
2 2
2 2
2
2
+ + +
Phương pháp 11: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a
Ví dụ 1: Cho a;b;c là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng
c a b
c b a
) (
) (
2 2 2
b a c c
c a b b
c b a a
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có: a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
2/ Ta có a > b-c 2 2 2
) (b c a
a − − > 0
b > a-c 2 2 2
) (c a b
b − − > 0
Trang 26b a c a c b c b a c b a
− +
− +
− +
− +
− +
− +
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
Trang 271 x y
M : M2(x1+x2,y1+y2);…;M n(x1 + +x n,y1+ +y n)
Giả thiết suy ra M n đường thẳng x + y = 1 Lúc đó:
2 1 2 1
2 2 2 2
3 2 3 3
Phương pháp 13: Đổi biến số
Ví dụ1: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng
2
3
+
+ +
+
c a c
b c b a
(1)
Trang 28Giải: Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=
2
x z
y+ −
; b =
2
y x
y x z x
x z y
2 2
2
− + +
− + +
− +
x y
z y
x x
z x
y
( + ) + ( + ) + ( + ) 6
z
y y
z z
x x
z y
x x y
Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + 2 ;
y
x x
y
+ 2
z
x x
z
; + 2
z
y y
z
nên ta có điều phải chứng minh
1 2
1
2 2
+
+ +
x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0
Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x+y+z3.3 xyz, và: + +
z y x
1 1 1
+
z y x z y
x Mà x+y+z < 1 Vậy 1+1 +1 9
z y
Trang 292)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0
CMR
( m n p) (m n p)
b a
pc a c
nb c b
+
+ +
+ +
0 )
(
0
0 ,
0 )
(
0
0 ,
0 )
(
a x x
f
a x x
f
a x x
2 1
S
f a x
x
Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm :
Trang 302 1
S
f a x
x
Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm ( ) ( ) 0
2 1
x
x x
2
2 2
− +
−
=
y
y y y
y
Vậy f( )x,y 0 với mọi x, y
4 4
2 2
Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n n0ta thực hiện các bước sau :
1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n
Trang 312 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi
là giả thiết quy nạp )
3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT
cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)
4 – kết luận BĐT đúng với mọi n n0
Ví dụ1: Chứng minh rằng :
n n
1 2
1
2
1 1
1
2 2
1 1
2
1 1
1
2 2
2
2 + + +k + k+ −k+ Theo giả thiết quy nạp
1 2 1
1 1 2 ) 1 (
1 1
2
1 1
1
2 2
2 2
2 + + +k + k+ −k + k+ −k+
11
11
1)
1(
1
1
1
2 2
+
++
+++
) 1 (
1
+
+ +
k k
k k k
k k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng Vậy bất
đẳng thức (1)được chứng minh
Ví dụ2: Cho n N và a+b> 0 Chứng minh rằng
n
b a
b
a +
(1)
Giải: Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1
Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1
Thật vậy với n = k+1 ta có
Trang 32b a
2
2
b a b
1
+ + k k
b a
(2)
Vế trái (2)
2 4
2
2
1 1 1
= +
k
b a b b a ab a
b a b a
4 2
1 1
1 1
+ + +
a (a k −b k).(a−b) 0
(+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b k k k k
b a b
1
Trang 331 ( −a1 −a2 −a k+1
Ta có: ( 1 −a1)( 1 −a2) ( 1 −a k+1) = ( 1 −a1)( 1 −a2) ( 1 −a k−1)[ 1 − (a k +a k+1) +a k a k+1]
2
1 )]
( 1 )[
1 ( ) 1 )(
1 2
1
Ví dụ 5: Cho 1 n , a i,b iR,i= 1 , 2 , ,n Chứng minh rằng:
) )(
( ) (a1b1+a2b2 + +a n b n 2 a12 +a22+ +a n2 b12+b22+ +b n2
Giải n=1: Bất đẳng thức luôn đúng
n=k (k ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là:
) )(
( ) (a1b1+a2b2+ +a k b k 2 a12+a22 + +a k2 b12 +b22 + +b k2
n= k+1 Ta cần chứng minh:
) )(
( ) (a1b1+a2b2 + +a k+1b k+1 2 a12+a22+ +a k2+1 b12+b22 + +b k2+1 (1)
1 2 2
2 2 1 2 2
2 2
( ) 1
VP = + + + k + + + k + + + k +
2 1 2 1 2
2 2 2 1 2
)
+ +
+ +
+ +
(a1b1 a2b2 a k b k) 2a1b1a k+1b k+1 2a2b2a k+1b k+1
2 1 2 1 1 1
+ + a k b k a k b k a k b k
2 )
a b a b a k b k (a1b1+a2b2 + +a k b k) a k+1b k+1+a k2+1.b k2+1
2 1 1 2
2 1