Tom tat ly thuyet on thi THPTQG

Cách giải 2: Bình phương hai vế dẫn đến phương trình hệ quả.Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai.. Hệ bất phương trình một ẩn: Là hệ gồm một số bất phương trình ẩn

 

a=0 b� b00 (1) vô nghiệm(1) nghiệm đúng với mọi x

② Giải và biện luận phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (2)

Trường hợp 1: Với a = 0, ta có phương trình bx c  , đây là0phương trình có hệ số cụ thể nên có thể kết luận được nghiệmcủa phương trình (2)

Trường hợp 2: Với a� , ta tính biệt thức: 0  b24ac

+ Nếu   : phương trình (2) vô nghiệm.0

+ Nếu   : phương trình (2) có nghiệm kép 0 0 2

b x

a

 + Nếu   : phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt01,2 2

a

 � 

' 0

 

(2) có nghiệm kép

'

b x a

 ' 0

  (2) vô nghiệm

Chú ý: Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 (a� ) có0

thể đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt t = x2 (t � )0

1

③ Định lí Viet:- Cho phương trình bậc hai có hai ax2 + bx + c =

0 (a� ) có hai nghiệm x0 1, x2 Khi đó:

x x a

- Ngược lại nếu có hai số u và v mà có tổng u + v = S, tích u.v =

P thì u và v là các nghiệm của phương trình: t2  St P 0

Chú ý:  Nếu phương trình (3) có hai nghiệm t t thì 1, 2

1 2

Dạng 3: Sử dụng định lí Viét xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai: ax2bx c 0a�0

Cách giải 2: Bình phương hai vế dẫn đến phương trình hệ quả.

Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai

II Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn:  A B ,  A = B.

Cách giải 1: Bình phương hai vế dẫn đến phương trình hệ quả.

Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai

2 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

a c



* Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm

* Nếu D = 0, Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0 thì hệ vô nghiệm

4

* Nếu D � thì hệ có 1 nghiệm 0

x

D x D

và

y

D y D

5 Hệ phương trình đối xứng loại 1: Là hệ phương trình mà

khi thay x bởi y và y bởi x thì mỗi phương trình của hệ khôngthay đổi

� , thay vào hệ phương trình ta được hệ

phương trình mới theo ẩn S, P Giải hệ này ta tìm được S,P.

- x,y khi đó là hai nghiệm của phương trình t2   (nếu có) St P 0

* Chú ý: Nếu (x;y) là một nghiệm thì (y;x) cũng là một nghiệm.

6 Hệ phương trình đối xứng loại 2: Là hệ phương trình mà

khi thay x bởi y và y bởi x thì phương trình này của hệ sẽ trở

thành phương trình kia của hệ, và ngược lại Ví dụ:

2 2

Cách giải: - Trừ từng vế hai phương trình ta được phương trình

ta nói BĐT C < D là BĐT hệ quả của BĐT A < B

3 Bất đẳng thức tương đương: Nếu BĐT A < B là hệ quả của

BĐT C < D và ngược lại thì ta nói hai BĐT tương đương nhau Kí

n ∈ ℕ* a b �a2 1n b2 1n Nâng hai vế của bất

đẳng lên một lũy thừa

5 Bất đẳng thức Côsi: Cho hai số a và b không âm:

Ta có: a b �2 ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.

 Cho x > 0, y > 0 Nếu x.y không đổi thì x + y nhỏ nhất khi vàchỉ khi x = y.

7 Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối:

 Dùng các bất đẳng thức đã biết: BĐT Côsi, BĐT chứa giá trị

tuyệt đối…

II Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn:

1 Khái niệm bất phương trình một ẩn:

Bất phương trình có dạng: f(x) < g(x), ( )f x �g x( ), f x( )g x( ),( ) ( )

f x �g x 2 Điều kiện của bất phương trình: là điều kiện của

ẩn x để hai vế f(x) và g(x) đều có nghĩa TXĐ: D = {x ∈  / f(x),g(x) có nghĩa)

3 Hệ bất phương trình một ẩn: Là hệ gồm một số bất phương

trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng

Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bấtphương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phươngtrình đã cho

Phương pháp giải hệ bất phương trình: Giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.

4 Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình (hệ

bất phương trình) được gọi là tương đương nếu chúng có cùngtập nghiệm Kí hiệu: �

5 Các phép biến đổi tương đương: bất phương trình P(x) <

P(x) < Q(x) � P2(x) < Q2(x)

6 Các chú ý khi giải bất phương trình:

i) Khi biến đổi hai vế của bất phương trình thì có thể làm thay đổi điều kiện của bất phương trình Vì vậy, để tìm nghiệm của bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thoả mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.

iii) Khi giải bất phương trình có ẩn ở mẫu ta quy đồng mẫu nhưng không được bỏ mẫu và phải xét dấu biểu thức để tìm tập nghiệm

VD: Giải bpt:

111

B2: Lập bảng xét dấu.

B3: Kết luận về dấu của nhị thức

4 Dấu của một tích, một thương các nhị thức bậc nhất:

Phương pháp xét dấu: Tìm nghiệm từng nhị thức có mặt trong

biểu thức Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức có mặttrong biểu thức Từ đó ta suy ra được dấu của biểu thức

VD: Xét dấu biểu thức:

(4 1)( 2)( )

5 Áp dụng vào việc giải bất phương trình:

a) Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu: Phương pháp giải:

B1: Đưa bất phương trình về dạng f(x) > 0 hoặc f(x) < 0

B2: Lập bảng xét dấu của biểu thức f(x)

B3: Dựa vào bảng xét dấu kết luận nghiệm của bất phương trình

* Chú ý: Vì bài toán xét dấu là bài toán trung gian để giải nhiều

bài toán khác và việc xét dấu không cần thiết phải trình bày vào

bài giải nên ta chỉ cần sử dụng bảng xét dấu thu gọn để tiết

kiệm thời gian và đảm bảo tính chính xác.

6 Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:

Chú ý:

2 20

① Dùng định nghĩa để khử trị tuyệt đối (phương pháp khoảng).

B1: Lập bảng xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.B2: Dựa vào bảng xét dấu khử dấu giá trị tuyệt đối và giải bấtphương trình trên từng miền xác định của bất phương trình.B3: Nghiệm bất phương trình là hợp các tập nghiệm trên từngmiền xác định

2 20

B B

0

B B

IV Dấu của tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a� ).0

2 Dấu của tam thức: Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a� ) có0

2 4

b ac

  

TH1: Nếu   : f(x) cùng dấu với a với mọi x R0 �

TH2: Nếu   : f(x) cùng dấu với a với mọi x R0 � \{ 2

b a

}

TH3: Nếu   Bảng xét dấu: Quy tắc: “Trong trái – Ngoài cùng”0

B1: Tính  và tìm nghiệm của tam thức (nếu có)

B2: Lập bảng xét dấu của biểu f(x)

B3: Kết luận dấu của tam thức

* Chú ý: Khi xét dấu một thương cần xác định điều kiện để phân

số có nghĩa.

3 Bất phương trình bậc hai một ẩn:

Dạng: f(x) > 0, f(x) < 0, ( ) 0; ( ) 0f x � f x � với f(x) = ax2 + bx + c(a�0)

@ Cách giải:

B1: Đưa bất phương trình về dạng f(x) > 0, f(x) < 0,( ) 0; ( ) 0

f x � f x �

B2: Lập bảng xét dấu biểu thức f(x)

B3: Nhận nghiệm ứng với dấu của bất phương trình

4 Các ứng dụng của tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c(a� 0)

10

o Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm

 trái dấu

00

a P

� �

� � 

00

a P

a

S P

a

�

� � 

�

Chủ đề 4: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

A Hệ thức lượng trong tam giác vuông

11

a c b B

2

a b c C

(p là nửa chu vi của tam giác ABC)

S pr ( r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC)

     

S p p a p b p c  

(công thức Hê - rông).

12

Sđáy.cao12

Chủ đề 5: HÌNH HỌC Oxy.

Hệ trục tọa độ

1 Trục toạ độ

 Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một

điểm gốc O và một vectơ đơn vị er Kí hiệu O e;r.

 Toạ độ của vectơ trên trục: ur( )a �u aer .r.

 Toạ độ của điểm trên trục: ( )M k �OM k e .

uuuur r

2 Hệ trục toạ độ

 Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau

Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là ir(1;0),rj (0;1)

O(0; 0) là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.

 Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ:u( ; )x y �u x i y j .  .

và N 0;b

có dạng : 1

y x d

a b 

③ Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

Cho hai đường thẳng 1:a x b y c1  1   và 1 0 2:a x b y c2  2  2 0

Xét hệ phương trình

00

x y

O

F 1

F 2 M

A2 A1

B1 B2

2 2( ):E x y 1

a  b 

(b2a2c2)

Đỉnh A1a;0 ,  A a2 ;0

Độ dài trục lớn A A1 22a

15

Đỉnh B10;b B b  , 2 ;0

Độ dài trục nhỏ B B1 22b

Tiêu điểm F1c;0 ,  F c2 ;0

Tiêu cự F F1 22c

Tâm sai e = 1 c a Diện tích S = ab

16

KIẾN THỨC CƠ BẢN LỚP 11

Chủ đề 1: Lượng giác 1.Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: sin2x c os2x1;

1 tan

a a

sin3a3sina4sin ; os3a c a4cos a3cosa

6.Công thức biến đổi tổng thành tích

8.Giá trị lượng giác của các góc liên quan.

Tan tan tan cot tan

Cot cot cot tan cot

9.Phương trình lượng giác cơ bản

Nếu a không đưa về cosv được & u thỏa 0 � u � ta viết u = arccosa.

18

Lúc đó áp dụng công thức nghiệm: tan u a �uarctana k k , ��

 Đặc biệt: * tanx = 1  x = 4

 + k (k�)

* tanx = –1  x = – 4

 + k (k�)

* cotx = –1  x = – 4

 + k (k�

* cotx = 0  x = 2

 + k (k�)

Chủ đề 2: Tổ hợp xác suất

1 Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong

hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành

19

động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của

hành động thứ nhất thì công việc đó có m n cách thực hiện

2 Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành

động liên tiếp Nếu có m cách thực thiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai có

mncách hoàn thành.

3 Hoán vị: Cho tập hợp a gồm n phần tử n �1

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán

vị của n phần tử đó

Ta kí kiệu số các hoán vị của n phần tử là P nn n 1 2.1 n!

4 Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử n �1

Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo mộ thứ

tự nào đó đgl một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

Ta kí hiệu số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:  !!

k n

n A

n C

Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố

1(1 )

11

n

n n

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:

3 Giới hạn hữu hạn của hàm số

a Giới hạn đặc biệt:  lim0 0

; xlim k 0

c x

x x ,ta thấy có thể sử dụngđạo hàm để tìm giới hạn của hàm số Cụ thể

1f(x) 1 x f'(x)

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm các giới hạn sau

Đạo hàm bậc nhất y�3ax22bx c Đạo hàm bậc hai

Câu 2. Hàm số nghịch biến trên � ⇔ y’ … 0 x ∈  ⇔0

Câu 4. Điều kiện để hàm số y ax3bx2 cx d đạt cực đại

tại x x0

Trả lời:  Bước 1 : giải phương trình y’(xo) = 0 tìm m.

 Bước 1 : thử lại y”(xo) … 0

Câu 5. Điều kiện để hàm số y ax3bx2 cx d đạt cực tiểu

tại x x0

Trả lời:  Bước 1 : giải phương trình y’(xo) = 0 tìm m.

 Bước 1 : thử lại y”(xo) … 0

Câu 6 Nêu cách tìm hoành độ điểm uốn của hàm số

 đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt khi yCĐ.yCT < 0

26

 đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều

③Tìm m để hàm số y x  3 3 mx2 3(2 m  1) x  1có hai cực trị Viếtphương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị ĐS m ≠ 1

 đồ thị cắt Ox tại 4 điểm pb lập thành cấp số cộng  y = 0 có 4nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng  at2 + bt+ c = 0 (đặt t

= x2 ≥ 0)có 2 nghiệm dương phân biệt (  > 0; P > 0; S > 0) thoả

t2 = 9t1 và sử dụng định lý Viet (S =

b a

)

Phương trình tiếp tuyến với đồ thịy f x   tại điểm M x y 0; 0 có

được gọi là hệ số góc của tiếp tuyến

TT song song với đường thẳng y = ax + b thì k = a

TT vuông góc với đường thẳng yaxbthì k =  0

1

f x

a

�  

TT tạo với trục 0x một góc  thì f x� 0  �tan

TT cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác vuông cân thì

Câu 14. phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Trả lời: tiệm cận đứng ………; tiệm cận ngang ……… Câu 15. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số : I(…… ; …….)

Câu 16. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định ⇔ y’

…… ⇔……

Câu 17. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔ y’

…… ⇔……

28

cx d đồng biến (hoặc nghịch biến) /(a;

x y x

3 Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ là số nguyên

HÀM LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Câu 19. Nêu các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên?

Trả lời

29

(8)logx�K .

Câu 25. Nêu các tính chất của hàm số mũ y a ? x

30

Câu 29. Nêu cách giải bất phương trình mũ?

31

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Câu 31. Nêu các tính chất cơ bản của nguyên hàm?

(I) �f x dx�  K

.(II) �k f x dx   K

với k�0.(III) ���f x   �g x dx�� K

Trả lời

(1) �sinxdxK

(2) �sin ax b dx   K

.(3) �cosxdxK

(10) �tan ax b dx   K

.(11) �cotxdxK

udv

Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.

Câu 36. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y f x , y g x ( ) liên tục trên � �a b; và hai đường thẳng x a, x b

được xác định theo công thức nào? Trả lời:

Câu 38. Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; ( ) S x là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , � �(a x b Giả sử ( )) S x là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ] a b Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định theo công thức nào?

Trả lời: V K

Câu 39. Nêu công thức tính thể tích khối tròn xoay được sinh

ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x ( ), trụchoành và hai đường thẳng x a, x b quanh trục Ox? Trả lời:

Câu 40. Nêu công thức tính thể tích khối tròn xoay được sinh

ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x ( ),

Số i thỏa mãn i2K được gọi là ……

Số phức là số có dạng z a bi  với a b, ��,

với a là ……….……., b là ……… của số phức z

Khi phần ảo b0�z a thì z là …….

Khi phần thực a0�z bi thì z là ……

Câu 42. Nêu các tính chất trên tập số phức �?

Nếu z a bi  thì zK gọi là mô đun của số phức.

Nếu z a bi  thì zK được gọi số phức liên hợp của z

34

Mối quan hệ giữa z và z là: Kz z K .

Câu 44. Nêu các phép toán trên tập số phức �?

Trả lời: Cho hai số phức z1 a bi1 1 và z2 a b i2 2 Khi đó

 Phương trình đường thẳng qua M(xo; yo) VTPT nr( ; )A B

A(x  xo) + B(y  yo) = 0

 Phương trình đường tròn tâm I(a; b), R = a2  :b c2

(x  a)2 + (y  b)2 = R2 ⇔ x2 + y2  2ax 2by + c = 0

 Phương trình chính tắc elip trục lớn 2a, trục nhỏ 2b:

2 2

Câu 48 Thể tích khối lập phương có cạnh bằng a? V K

Câu 49. Nêu một số đặc điểm chính của hình chóp tứ giácđều?

K K , với H là … của ABC.

Câu 51. Nêu công thức tính một số hình đa giác cơ bản?

là h, bán kính đáy r và đường sinh là l ?

Trả lời

 Diện tích xung quanh: S xqK

 Diện tích đáy (hình tròn): SđáyK

36

B

A

C D S

O

 Diện tích toàn phần: S tpS xqSđáyK

 Thể tích khối nón: � đáy  K

1 3

� Tâm là I , là trung điểm của……

-Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo

B

A

B D C

O

 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều KR

38

HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ OXYZ Câu 56. Nêu cách biểu diễn toạ độ véctơ trong không gian

i j k là các véctơ đơn vị trên

Câu 57. Nêu cách tính chất của véctơ trong không gian Oxyz?

Cho hai véctơ raa a a1; ;2 3, brb b b1; ;2 3 và k là số thực tùy ý, ta có:

là d M Oxz�� ; �� Kđến mặt phẳng Oyz

Giải tìm t (Dùng máy tính dò nghiệm)

Thay t vào Phương trình tham số của đường thẳng d  Tính được tọa độ hình chiếu H.

 Điểm A thuộc mặt cầu �IA R

 Điểm A nằm trong mặt cầu �IA R

Điểm A nằm ngoài mặt cầu �IA R

③ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

a) d R : mặt cầu  S và mặt phẳng ( ) không có điểm chung.

b) d R : mặt phẳng ( ) tiếp xúc mặt cầu  S tại H

-Điểm H được gọi là tiếp điểm.

-Mặt phẳng ( ) được gọi là tiếp diện.

Tìm tiếp điểm H là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng ( )

:

Viết phương trình đường thẳng d qua I và ( ) : ta có uuur uurdn.

Tọa độ H là giao điểm của d và( ) .

c) d R : mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu  S theo giao tuyến là

④ Vị trí tương đối của hai mặt cầu:

TH1: I I1 2 R1R2 : Hai mặt cầu đựng nhau (nằm trong nhau).

TH2: I I1 2 R1R2 : Hai mặt cầu tiếp xúc trong.

TH3: R1R2 I I1 2R1R2: Hai mặt cầu cắt nhau.

TH4: I I1 2R1R2: Hai mặt cầu tiếp xúc ngoài.

42