VECTO tóm tắt lý thuyết vecto, các dạng toán và phương pháp giải file word

Gọi M N P lần lượt là trung điểm của , , BC CA AB ., ,a Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không cùng phương với MNuuuur có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho.. a Các vectơ khác ve

CHƯƠNG I: VECTƠ

§1 CÁC ĐỊNH NGHĨA

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa vectơ:

Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm

mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu,

điểm nào là điểm cuối

Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu : ABuuur

Vectơ còn được kí hiệu là: , , , , a b x y

r r r r

Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu là 0r

2 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ

- Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương

- Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng

Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên (hình 2) thì hai vectơ ABuuur và CDuuur cùng hướng còn EFuur và HGuuur

ngược hướng

Đặc biệt: vectơ – không cùng hướng với mọi véc tơ

3 Hai vectơ bằng nhau

- Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài véc tơ uuurAB

Vậy ABuuur=AB.

- Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD khi đó AB CDuuur uuur=

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

 DẠNG 1: Xác định một vectơ; phương, hướng của vectơ; độ dài của vectơ

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCDE Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và

điểm cuối là đỉnh của ngũ giác

Mà từ bốn đỉnh , , ,A B C D của ngũ giác ta có 6 cặp điểm phân biệt do đó có

12 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2: Chứng minh rằng ba điểm , , A B C phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi AB ACuuur uuur,cùng phương

Ngược lại nếu uuur uuurAB AC,

cùng phương khi đó đường thẳng AB và AC song song hoặc trùng nhau Nhưng hai đường thẳng này cùng đi qua điểm A nên hai đường thẳng AB

và AC trùng nhau hay ba điểm , ,A B C thẳng hàng.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Gọi M N P lần lượt là trung điểm của , , BC CA AB , ,

a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không cùng phương với MNuuuur có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho

a) Các vectơ khác vectơ không cùng

phương với MNuuuur là

NM AB BA AP PA BP PB

uuuur uuur uuur uuur uuur uur uur

.b) Các vectơ khác vectơ - không cùng

hướng với ABuuur là uuur uur uuuurAP PB NM, ,

cùng hướng với NPuuur và AA'=NP.

Khi đó ta có AAuuuur'

là vectơ có điểm đầu là A và bằng vectơ NPuuur

Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a Gọi Mlà trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với C qua D Hãy tính độ dài của vectơ sau MDuuuur

N

M P

Bài 1.1: Cho ngũ giác ABCDE Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và

điểm cuối là đỉnh của ngũ giác

Lời giải:

O M

Bài 1.1 Hai điểm phân biệt, chẳng hạn , A B ta xác định được hai vectơ khác

vectơ-không là AB BA,

uuur uuur

Mà từ năm đỉnh , , ,A B C D E của ngũ giác ta có 10 cặp điểm phân ,

biệt do đó có 20 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C, D, O

a) Bằng vectơ ABuuur ; OBuuur

A uuur uuur uuur uuurAB=AC OB, =AO B uuur uuur uuur uuurAB=OC OB, =DO

C uuur uuur uuur uuurAB=DC OB, =AO D ABuuur uuur uuur uuur=DC OB, =DO

Lời giải:

Bài 1.2: a) ABuuur uuur uuur uuur=DC OB, =DO

b) BO DO OD, ,

uuur uuur uuur

Bài 1.3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng.

a) Khi nào thì hai vectơ ABuuur và ACuuur cùng hướng ?

A A nằm trong đoạn BC B Nằm chính giữa BC

C A nằm ngoài đoạn BC D Không tồn tại

b) Khi nào thì hai vectơ ABuuur và ACuuur ngược hướng ?

A A nằm trong đoạn BC B Nằm chính giữa BC

C A nằm ngoài đoạn BC D Không tồn tại

Lời giải:

Bài 1.3: a) A nằm ngoài đoạn BC

b) A nằm trong đoạn BC

Bài 1.4: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt.

a) Nếu AB BCuuur uuur= thì có nhận xét gì về ba điểm A, B, C

AC

C B nằm trên của AC D Không tồn tại

b) Nếu AB DCuuur uuur= thì có nhận xét gì về bốn điểm A, B, C, D

A FO OC FDuuur uuur uuur, ,

B FO AC EDuuur uuur uuur, ,

C BO OC EDuuur uuur uuur, ,

D FO OC EDuuur uuur uuur, ,

Lời giải:

Bài 1.6: a) FO OC EDuuur uuur uuur, ,

b) CO OF BA DEuuur uuur uuur uuur, , ,

Bài 1.7: Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O và M là trung điểm AB

Tính độ dài của các vectơ OA OBuuur uuur+

Ta có OAuuur uuur uuur+OB=OEÞ OA OBuuur uuur+ =OE=AB=a

Bài 1.8: Cho tam giác ABC đều cạnh a và G là trọng tâm Gọi I là trung điểm của AG

O A

B E

Hình 1.40

Tính độ dài của các vectơ BIuur.

Bài 1.8: (Hình 1.41)Ta có ABuuur=AB=a

Gọi M là trung điểm của BC

A đường thẳng song song đoạn thẳng AB

B đường trung trực của đoạn thẳng AB

C đường vuông góc của đoạn thẳng AB

Hình 1.41

Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên

MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I là trung điểm của BC Dựng điểm'

B sao cho 'B Buuur=AGuuur.Khẳng định nào sau đây đúng

a) A BIuur uur=IC B 3BIuur=2ICuur C BIuur uuur=2IC D 2BIuuur=ICuur

b) Gọi J là trung điểm của BB' Khẳng định nào sau đây là đúng

A 3uuurBJ=2IGuur B BJuur uur=IG C BJuur=2IGuur D 2BJuuur=IGuur

N M

Q

P A

D

Hình 1.6

cùng hướng với ICuur do đó hai vectơ BIuur, ICuur

bằng nhau hay BIuur uur=IC

b) Ta có 'B Buuur=AGuuur suy ra B B' =AG và BB'/ /AG.

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD Trên các đoạn thẳngDC AB theo thứ tự lấy các ,

điểm M N sao cho , DM=BN Gọi P là giao điểm của AM DB và Q là giao điểm ,

của CN DB Khẳng định nào sau đây là đúng?,

A AMuuuur uuur=NC B DBuuur uuur=QB C.Cả A, B đúng D.Cả A, B sai

Xét tam giác DDMP và BNQD ta có DM=NB (giả thiết), ·PDM=QBN· (so le trong)

Mặt khác ·DMP=APB· (đối đỉnh) và ·APQ=NQB· (hai góc đồng vị) suy ra

DMP=BNQ

Do đó DMPD = DBNQ (c.g.c) suy ra DB=QB.

Dễ thấy DB QBuuur uuur,

cùng hướng vì vậy DBuuur uuur=QB

Bài 1.10: (Hình 1.42) Do M, Q lần lượt là trung điểm của

AB và AD nên MQ là đường trung bình của tam giác

Vậy ta có MQ NPuuuur uuur=

Bài 1.11: Cho hình bình hành ABCD Gọi M N lần lượt là trung điểm của , DC AB ; , P

là giao điểm của AM DB và Q là giao điểm của , CN DB Khẳng định nào sau đây là ,đúng nhất

A DMuuuur uuur=NB B DPuuur uuur uuur=PQ=QB C.Cả A, B đều đúngD.Cả A, B đều sai

N M

Q

P A

D

Hình 1.42

Lời giải:

Bài 1.11: (Hình 1.43)

Ta có tứ giác DMBN là hình bình hành vì

1, / /2

DM=NB= AB DM NB

Suy ra DMuuuur uuur=NB

Xét tam giác CDQ có M là trung điểm

của DC và MP/ /QC do đó P là trung

điểm của DQ Tương tự xét tam giác

ABP suy ra được Q là trung điểm của

PB

Vì vậy DP=PQ=QB từ đó suy ra

DP=PQ=QB

uuur uuur uuur

Bài 1.12: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD Từ C vẽ

CIuur uuur=DA Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

a)

A ADuuur=ICuur B DIuur=CBuur

b)

A AIuur=IBuur uuur=DC B uurAI=2uuurIB=DCuuur

C 2AIuuur=IBuur uuur=DC D AIuur=IBuur uuuur=2DC

M

N A

b) I là trung điểm của ABÞ AIuur=IBuur và tứ giác BCDI là hình bình hànhÞ IBuur uuur=DC

suy ra AIuur=IBuur uuur=DC

Bài 1.13: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp Gọi B' là điểm đối xứng B qua OKhẳng định nào sau đây là đúng?

A uuurAH =B Cuuur' B 3uuuurAH =B Cuuur' C 2uuuurAH =B Cuuur' D AHuuur =2 'B Cuuur

Lời giải:

Bài 1.13: Ta có 'B C^BC AH, ^BCÞ B C' / /AH, 'B A^BA CH, ^ABÞ B A' / /CH

Suy ra AHCB' là hình bình hành do đó AHuuur =B Cuuur'

§2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Tổng hai vectơ

a) Định nghĩa: Cho hai vectơ ;a br r

Từ

điểm A tùy ý vẽ AB auuur r= rồi từ B

vẽ BCuuur r=b khi đó vectơ ACuuur được gọi là

tổng của hai vectơ ;a br r

2 Hiệu hai vectơ

a) Vectơ đối của một vectơ.

Vectơ đối của vectơ ar là vectơ ngược hướng và cúng độ dài với vectơ ar

Kí hiệu a- r

Như vậy ar+ -( )ar =0, r "ar và ABuuur=- BAuuur

b) Định nghĩa hiệu hai vectơ:

Hiệu của hai vectơ ar và br là tổng của vectơ ar và vectơ đối của vectơ br Kí hiệu là

( )

a b- = + -a b

3 Các quy tắc:

Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB BCuuur uuur uuur+ =AC

Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành thì AB ADuuur uuur+ =ACuuur

Quy tắc về hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB OA ABuuur uuur uuur- =

Chú ý: Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A A1, 2, ,A thì n

A A +A A + +A- A =A A

uuuuur uuuuur uuuuuuur uuuuur

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

 DẠNG 1: Xác định độ dài tổng, hiệu của các vectơ.

1 Phương pháp giải.

Để xác định độ dài tổng hiệu của các vectơ

 Trước tiên sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định định phép toán vectơ đó

 Dựa vào tính chất của hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó

2 Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có · 0

Theo quy tắc ba điểm ta có

 AB BC ACuuur uuur uuur+ =

uuur uuur uuur

 AC BC AC CB ABuuur uuur uuur uur- = + =uuur

uuur uuur uuur

 Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành

Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB ACuuur uuur+ =ADuuur

Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra

5

AD=BC=a

Vậy ABuuur uuur+AC = ADuuur =AD=a 5

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh a M là một điểm bất kỳ

B

D

Hình 1.10

a) Tính ABuuur uuur uuur uur uuur uuur+AD OA CB CD, - , - DA

A uuur uuurAB+AD =a 2 B OA CBuuur uur- =a

C CD DAuuur uuur- =a 2 D.Cả A, B, C đều đúng

b) Chứng minh rằng ur=MAuuur uuur uuur uuuur+MB MC- - MD không phụ thuộc vị trí điểm M Tính

độ dài vectơ ur

Lời giải:

(hình 1.11)

a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB ADuuur uuur+ =ACuuur

Suy ra ABuuur uuur+AD = ACuuur =AC

Áp dụng định lí Pitago ta có

AC =AB +BC = a Þ AC= a

Vậy ABuuur uuur+AD =a 2

+ Vì O là tâm của hình vuông nên OA COuuur=uuur suy ra

OA CBuuur uur- =CO CBuuur uur- =BCuuur

Vậy OA CBuuur uur- =uuurBC =a

+ Do ABCD là hình vuông nên CDuuur uuur=BA suy ra

CDuuur uuur- DA=BAuuur uuur+AD=BDuuur

Mà BDuuur=BD= AB2+AD2 =a 2 suy ra CD DAuuur uuur- =a 2

b) Theo quy tắc phép trừ ta có

O A

D

B

C C'

Hình 1.11

( ) ( )

ur= MAuuur uuur- MC + MB MDuuur uuuur- =CAuuur uuur+DB

Suy ra ur không phụ thuộc vị trí điểm M

Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC tại C'

Khi đó tứ giác ADBC' là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy ra

A ABuuur uuur- AC =a B uuur uuurAB+AC =a 3

Lời giải:

Bài 1.14: (Hình 1.45)Theo quy tắc trừ ta có

AB- AC=CBÞ AB- AC =BC=a

uuur uuur uur uuur uuur

Gọi A' là đỉnh của hình bình hành ABA C' và O là tâm

hình nình hành đó Khi đó ta có ABuuur uuur+AC=AAuuuur'

Suy ra ABuuur uuur+AC =AA'=2AO=a 3

Bài 1.15: Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh a M là một điểm bất kỳ

O C

A'

Hình 1.45

a) Tính AB ODuuur uuur uuur uuur uuur+ , AB OC- +OD

B AB OCuuur uuur uuur- +OD =a

b) Tính độ dài vectơ MA MB MC MDuuur uuur uuur uuuur- - +

A MAuuur uuur uuur uuuur- MB MC- +MD =a B MAuuur uuur uuur uuuur- MB MC- +MD =3a

C MAuuur uuur uuur uuuur- MB MC- +MD =2a D 3

2

a

MA- MB MC- +MD =uuur uuur uuur uuuur

-uuur -uuur -uuur u-uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur

LấyB' là điểm đối xứng của B qua A

Khi đó - DCuuur=ABuuur'Þ BA DCuuur uuur- =BAuuur uuur+AB'=BBuuur'

O A

B B'

Hình 1.46

Suy ra MAuuur uuur uuur uuuur- MB MC- +MD = BBuuur'=BB'=2a

Bài 1.16: Cho hình thoi ABCD cạnh a và · 0

60

BCD = Gọi O là tâm hình thoi.

Tính ABuuur uuur uuur uuur+AD OB DC, - .

OB DCuuur uuur- =COuuur=a =

Bài 1.17: Cho bốn điểm A, B, C, O phân biệt có độ dài ba vectơ OA OB OCuuur uuur uuur, ,

cùng bằng

a và OA OB OCuuur uuur uuur r+ + =0

a) Tính các góc AOB BOC COA, ,

A OBuuur uuur uuur+AC OA- =a 3 B OBuuur uuur uuur+AC OA- =2a 3

C OBuuur uuur uuur+AC OA- =3a 3 D OBuuur uuur uuur+AC OA- =a

Lời giải:

Bài 1.17: a) Từ giả thiết suy ra ba điểm A, B, C tạo thành tam giác đều nhận O làm

trọng tâm do đó ·AOB=BOC· =COA· =1200

b) Gọi I là trung điểm BC Theo câu a) DABC đều nên 3

2

AI= a

3

OBuuur uuur uuur+AC OA- =a

Bài 1.18: Cho góc Oxy Trên Ox, Oy lấy hai điểm A, B Tìm điều kiện của A,B sao cho

OA OBuuur uuur+ nằm trên phân giác của góc Oxy

A OA=OB B 1

2OA=OB C 2OA=OB D OA=2OB

Lời giải:

Bài 1.18: Dựng hình bình hành OACB Khi đó: OA OB ODuuur uuur uuur+ =

Vậy ODuuur nằm trên phân giác góc xOy Û OACB là hình thoi Û OA=OB

 DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ.

1 Phương pháp giải.

 Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ

Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái

có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn

C 3( )

2

AB CD+ +EA= CB+ED

uuur uuur uuur uur uuur

D AB CD EA CB EDuuur uuur uuur uur uuur+ + = +

b)

A uuur uuur uuurAC+CD- EC=2(AE DB CBuuur uuur uur- + )

B uuur uuur uuurAC+CD- EC=3(AE DB CBuuur uuur uur- + )

C

4

AE DB CB

AC+CD EC- =uuur uuur uur- +

uuur uuur uuur

D AC CD ECuuur uuur uuur uuur uuur uur+ - =AE DB CB- +

uuur uur uuur uuur uuur

uur uuur uuur uuur uuur

uur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uur uuur uuur r

uuur uuur uuur uuur r

C BAuuur uuur uuur+DA+AC=2uuuuurAM D BA DA ACuuur uuur uuur+ + =AMuuuur

b)

A OA OB OC OD OMuuur uuur uuur uuur+ + + =uuur B OA OB OCuuur uuur uuur uuur+ + +OD=3uuuuurOM

C OA OB OCuuur uuur uuur uuur+ + +OD=0r D OA OB OCuuur uuur uuur uuur+ + +OD=4uuuuurOM

C MA MCuuur uuur+ =MBuuur uuuur+MD D MAuuur uuur+MC=3(MBuuur uuuur+MD)

uuur uuur uuur uuur uuur r

b) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: OAuuur uuur=COÞ OA OCuuur uuur uuur uuur+ =OA+AO=0rTương tự: OB ODuuur uuur+ = Þ0r OA OB OCuuur uuur uuur uuur+ + +OD=0r

c) Cách 1: Vì ABCD là hình bình hành nên ABuuur uuur=DCÞ BAuuur uuur+DC=BAuuur uuur r+AB=0

uuur uuur uuur uuur uuuur uuur

uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur

Cách 2: Đẳng thức tương đương với

MA- MB=MD- MCÛ BA=CD

uuur uuur uuuur uuur uuur uuur

(đúng do ABCD là hình bình hành)

O A

B

Hình 1.12

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC CA AB Khẳng , ,

định nào sau đây là đúng nhất?

a)

A BM CN APuuur uuur uuur uuur+ + =AB B 1

2

BM+CN+AP= AB

uuur uuur uuur uuur

C BMuuur uuur uuur r+CN+AP=0 D BMuuur uuur uuur uuuur+CN+AP=2AB

C AP AN AC BMuuur uuur uuur uuur+ - + =AMuuuur D APuuur uuur uuur uuur+AN- AC+BM=0r

N là trung điểm của ACÞ CNuuur=NAuuur

Do đó theo quy tắc ba điểm ta có

A

b) Vì tứ giác APMN là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có

AP+AN=AM

uuur uuur uuuur

, kết hợp với quy tắc trừ

Þ uuur uuur uuur uuur+ - + =uuuur uuur uuur- + =uuur uuur+

Mà CMuuur uuur+BM=0r do M là trung điểm của BC

Vậy APuuur uuur uuur uuur+AN- AC+BM=0r

c) Theo quy tắc ba điểm ta có

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Theo câu a) ta có BMuuur uuur uuur r+CN+AP=0 suy ra OA OB OCuuur uuur uuur uuur uuur uuur+ + =OM+ON+OP

Û uuur uuur uuur uuur+ = - (đúng)

Bài 1.20: Cho các điểm , , ,A B C D E F Khẳng định nào đúng nhất? , ,

AD+BE CF+ =uuur uur uuur+ +

uuur uur uur

D AD BE CFuuur uur uur+ + =AEuuur uur uuur+BF+CD

Lời giải:

Bài 1.20: Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với

(uuur uuurAD- AE) (+ BE BFuur uur- ) (+ CF CDuur uuur- )=0r

uuur uur uuur uuur uur uuur

uuur uur uuur

Bài 1.21: Cho hình bình hành ABCD tâm O M là một điểm bất kì trong mặt

B uuur uuur uuur uuuurAB OD OC+ + =2AC

C AB OD OCuuur uuur uuur uuur+ + =AC D AB OD OCuuur uuur uuur uuuur+ + =3AC

b) BA BC OB ODuuur uuur uuur uuur+ + =

A BAuuur uuur uuur+BC+OB=3ODuuur B BA BC OB ODuuur uuur uuur uuur+ + =

C BAuuur uuur uuur+BC+OB=4ODuuur D BAuuur uuur uuur+BC+OB=2ODuuur

c) BA BC OBuuur uuur uuur uuuur uuur+ + =MO- MB

-C BA BC OBuuur uuur uuur uuuur uuur+ + =MO- MB D

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

c) Theo câu b) ta có BA BC OB ODuuur uuur uuur uuur+ + =

Theo quy tắc trừ ta có MO MBuuuur uuur- =BOuuur

Mà ODuuur=BOuuur suy ra BA BC OBuuur uuur uuur uuuur uuur+ + =MO- MB

O A

B

Hình 1.47