Chuyên đề các bài toán về số phức

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định phần thực của tổng các số phức.. HƯỚNG GIẢI:2[r]

Tailieumontoan.com



Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ

CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 11 năm 2020

I KI ẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Các ki ến thức cơ bản về số phức

• Tập hợp số phức:  • Số phức (dạng đại số) : z a bi= + ( ,a b∈  ), a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i =2 –1)

• z là số thực ⇔ phần ảo củazbằng 0 (b = ) 0

• z là thuần ảo ⇔ phần thực củaz bằng 0 (a = ) 0

• Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo  Hai s ố phức bằng nhau

Cho số phức z1= +a b i và z2 = +c d i

Khi đó 1 2  =

= ⇔ + = + ⇔  =  a c z z a b i c d i b d (phần thực bằng nhau, phần ảo bằng nhau)

2 Các phép toán v ề số phức

 Phép c ộng hai số phức

Cho số phức z1= +a b i và z2 = +c d i

Khi đó z1+z2 =(a b i+ ) (+ +c d i ) (= a c+ + +) (b d i)

 Phép tr ừ hai số phức

( ) ( ) ( ) ( ) 1− =2 + − + = − + − z z a b i c d i a c b d i

 Phép nhân hai s ố phức

( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 = + + = − + +

z z a b i c d i ac bd ad bc i

k.z = k.(a + bi) = ka + kbi  Phép chia hai s ố phức *) Số phức nghịch đảo của z= + ≠ : a bi 0 1= 2 = 21 2 ⋅ + z z z z a b ( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

+ − + − = = = = + + + + a b i c d i z z z z z ac bd bc ad i z z z z c d c d c d  M ô đun của số phức z là: 2 2 z = a +b

• ′z z = z z ′ • =

′ ′ z z z z • z − z′ ≤ +z z′ ≤ +z z′ • z − z′ ≤ −z z′ ≤ +z z′  Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z a bi= + là z = −a bi

• z =z; z+ = +z′ z z′; z− = − z′ z z′; z z′=z z ;′   =  ;

 

z z

2 2

*) Chú ý: Với *

k∈  thì 4 4 1 4 2 4 3

i = i + =i i + = − i + = −i

• T ổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Cho một cấp số nhân ( )u n với công bội q≠1 Đặt S n = + + + u1 u2 u n

Khi đó: (1 ) (4)

1

n n

n q

S

q

−

=

− hoặc 1 1

(5) 1

n n

u u S

q

+

−

=

−

• T ổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Cho một cấp số cộng ( )u n Đặt S n = +u1 u2 + + u n Khi đó:

1

( ) 2

+

= n n

n u u

2

−

n

n n

 Thực hiện các phép toán

 Tìm phần thực, phần ảo

 Số phức liên hợp

 Tính mô đun của số phức

 Phương trình bậc nhất theo z (và liên hợp của z)

 Hỏi tổng hợp về các khái niệm

 …

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hai số phức z1= + và 2 i z2 = + Phần thực của số 1 3i

phức z1+ bằng z2

Phân tích hướng dẫn giải

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Áp dụng công thức tính tổng của hai số phức

B2: Suy ra phần thực

L ời giải

Ta có z1+ = + + + = + z2 2 i 1 3i 3 4i

Khi đó phần thực của số phức z1+ bằng 3 z2

Bài t ập tương tự và phát triển:

Câu 1 Cho hai số phức z1= −2 2i , z2 = − +3 3i Khi đó số phức z1−z là 2

A − 5i B 5 5i− C − + 1 i D − + 5 5i

L ời giải

Ta có z1− =z2 (2 2− i) (− − +3 3i)= − 5 5i

Câu 2 Cho số phức z1= −1 6 ;i z2 = − Ph2 4i ần thực, phần ảo của 3z1−2z2 lần lượt là

A.− −1; 10 i B.1; 2 C. − −1; 10 D. –2;1

L ời giải

3z −2z =3 1 6− i −2 2 4− i = − −1 10i

Câu 3 Phần thực của z=(2 3+ i i) là

L ời giải

z= + i i= − + i ⇒ phần thực là 3−

Câu 4 Cho hai số phức z1= + và 1 i z2 = − +5 2i Tính môđun của số phức z1+ z2

L ời giải

z +z = + + − +i i = − + ⇔i z +z = − + =

Câu 5 Cho số phức z=i Số phức 2z− + là 3 i

A.− + 1 i B.− + 3 3i C. − + 1 3i D.1 i−

L ời giải

2z− + = − + = − + 3 i 2i 3 i 3 3i

Câu 6 Cho số phức z có số phức liên hợp z = − Tổng phần ảo của số phức z và z bằng 3 2i

L ời giải

Ta có: z= + 3 2 ;i z = − Vậy tổng phần ảo của số phức z và z bằng 0 3 2i

Câu 7 Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo?

C (5−i 7) (+ − −5 i 7) D (3+ − − +i) ( 3 i)

L ời giải

 (5−i 7) (+ − −5 i 7)= −2i 7 là số thuần ảo

 (10+ +i) (10− =i) 20 là số thực

 ( 7+ +i) ( 7− =i) 2 7 là số thực

 (3+ − − + = là số thực i) ( 3 i) 6

Câu 8 Cho hai số phức z1= + và 1 2i z2 = − Tổng phần thực và phần ảo của số phức 2 3i w=3z1+2z2

là

L ời giải

w=3z +2z =3 1 2+ i +2 2 3− i = + Vậy phần ảo của số phức w là 7 0i 12

Câu 9 Với mọi số phức = +z a bi ( ∀a , ∈  b ), hãy xác định mệnh đề đúng

A z− ∈ z , ∀ ∈z B z+2z∈ , ∀ ∈z

C z−2z∈ , ∀ ∈z D z+ ∈ z , ∀ ∈z

L ời giải Chọn D

Gọi số phức = +z a bi ( ∀a , ∈  b ), suy ra z = −a bi Khi đó z+ =z 2a∈ 

Do vậy mệnh đề đúng là : z+ ∈ z , ∀ ∈z

Câu 10 Cho hai số phức z1 = + và 1 2i z2 = − − 1 2i Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A z1−z1 =5 B z1 = z2

C z1+2z2 =5 D z1+z2 =1

L ời giải

Ch ọn B

Câu 1 Cho hai số phức z1= +1 i z; 2 = − Ph1 i ần thực của số phức z z b1 2 ằng

L ời giải Chọn D

z z = +i − = − = i i

Câu 2. Với mọi số ảo z , số 2 2

| z |

z + là:

A Số thực âm B Số thực dương C. Số 0 D. Số ảo khác 0

Lời giải

Do z là số ảo nên z có dạng: z=bi b( ∈  )

Ta có: 2 2 ( )2 2 2 2

z + z = bi +b = − +b b =

Câu 3. Số phức 1 3

1 3

i i

+

− có phần ảo bằng

5

− B.3

5 C.

3 5

− D. 4

5

−

L ời giải

( ) ( )( )

2

1 3

i i

i

+

1 3

i i

+

− có phần ảo bằng 3

5

Câu 4 Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn 5 3

1 2

−

i lần lượt là

L ời giải

5

1

⇒ = +

Phần thực, phần ảo của z lần lượt là 1;1

Câu 5 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( ) 1

1

i

i

−

+ Môđun của số phức w= + 1 2z+z2

có giá trị là

Lời giải Chọn C

2

1

5

2

i

i

−

+

Câu 6. Cho số phức z= + Tìm số phức 2 5i w= +iz z

A w= − 7 3i B.w= − − 3 3i C w= + 3 3i D w= − − 7 7i

Lời giải Chọn B

5 2

2 5

= − +



= + ⇒ = −iz i⇔ = + = − −

Câu 7 Tìm các số thực x y, thỏa mãn đẳng thức ( ) ( )3

3 5 1 2 35 23

x + i +y − i = − + i

A. (x y; ) (= −3; 4) B. (x y; ) (= − −3; 4) C. ( ) (x y; = 3; 4− ) D. (x y; ) ( )= 3; 4

L ời giải

Ta có ( )3

1 2− i = − +11 2i

3 5 1 2 35 23 3 11 5 2 35 23

x + i +y − i = − + i⇔ x− y + x+ y i= − + i

Câu 8 Cho số phức z thỏa mãn z−(2 3+ i z) = −1 9i Tính tích phần thực và phần ảo của số phức z

L ời giải

Gọi z= + (với ,x yi x y∈ ), ta có z = − x yi

Theo giả thiết, ta có x+ −yi (2 3+ i)(x−yi)= −1 9i⇔ − −x 3y−(3x−3y)i= −1 9i

3 1

− − =





2 1

x y

=



⇔  = −

 Vậy xy= − 2

Câu 9 Cho số phức z thỏa mãn: 2

(2 3 )− i z+ +(4 i z) = − +(1 3 )i Xác định phần thực và phần ảo của z

A Phần thực là −2; phần ảo là 5 i B Phần thực là 3− ; phần ảo là 5 i

C Phần thực là −2; phần ảo là 3 D Phần thực là −2; phần ảo là 5

L ời giải

Giả sử số phức z= +a bi a( , b∈  )

(2 3 )− i z+ +(4 i z) = − +(1 3 )i

Câu 10 Gọi z là nghi1 ệm có phần ảo âm của phương trình 2

4 20 0

z − z+ = Tìm tọa độ điểm biểu diễn

của z 1

Lời giải

4 20 0

2 4

= +



− + = ⇔  = −

 ⇒ = − z1 2 4i

Vậy điểm biểu diễn của số phức z là 1 M(2;−4)

Câu 1 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = 2 và z2 là số thuần ảo

L ời giải

Gọi z= +x yi x y, ∈ 

Ta có z = 2⇔x2+y2 = (1) 2

2

z = x −y + xyi là số thuần ảo khi và chỉ khi 2 2

0

x −y = (2)

Từ (1), (2)

1 0

y



⇒ − = ⇔ = ±

Vậy có 4 số phức thỏa yêu cầu đề bài

Câu 2 Cho số phức z= +x iy x y, , ∈  thỏa mãn 3

z = − i Cặp số ( ; )x y là

A (2; 2) B (1;1) C ( 2− + 3; 2− + 3) D ( 2− − 3; 2− − 3)

L ời giải Chọn B

Ta có

x y y



− = −



Đặt y tx= suy ra t=1 1 ( ; ) (1;1)

1

x

x y y

=



⇒ = ⇒ =

Câu 3 Số phức z thỏa 2 3 19

z= + +i i + i + + i Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A z =18

B z có phần thực bằng 18− và phần ảo bằng 0

C z có phần thực bằng 9− và phần ảo 9−

D z i− = − +9 9i

L ời giải

20

i

Câu 4 Gọi z z là hai nghi1, 2 ệm của phương trình 2

2 6 0

z − z+ = Trong đó z có ph1 ần ảo âm Giá

trị biểu thức M =|z1|+| 3z1−z2| là:

L ời giải

2

Câu 5 Cho số phức z thỏa mãn (2z−1 1)( + +i) (z+1 1)( − = −i) 2 2i Giá trị của z là ?

3 B 2 C 3

2 D

2

2

L ời giải

Gọi z= +a bi a b ,( ∈  ta có : )

(2z−1 1)( + +i) (z+1 1)( − = − ⇔i) 2 2i (2a− +1) 2bi(1+ +i) ( a+ −1) bi(1− = −i) 2 2i

⇔ a− b− + a+ b− i= a b− + − a+ +b i= − i

1

3

 =



+ =



a

a b

b

Vậy 2

3

z =

Câu 6 Cho z , 1 z là các nghi2 ệm phức của phương trình 2

2z − 4z+ 11 = 0 Tính giá trị của biểu thức

2

z z

+ +

2 C.

11

11

4

L ời giải

Giải phương trình đã cho ta được các nghiệm: 1 2

3 2 3 2

1 , 1

z = − i z = + i

Suy ra

2 2

3 2 22

| | | | 1 ; 2

2 2

z z   z z

= = +  = + =

2

11

z z

+

=

Câu 7 Cho số phức z≠ thỏa mãn 0 ( ) 2

2

2 1

i z

z i z

+

= + − Tìm phần ảo của số phức 3

z

4

− B. 9

32 C.

1 4

− D. 4

5

−

Lời giải

( ) 2

2

2 1

i z

z i z

+

2 1

+

⇔ i zz = + −z i

z ⇔(2+i z) = + −z 2i 1 1( )

Đặt z x yi= + với x y, ∈  và 2 2

0

x +y > Ta có: ( ) (1 ⇒ 2+i)(x−yi)= + + −x yi 2i 1

x y

+ + =



⇔  − − =



1 4 3 4

x y

 = −



⇔ 

 = −



(Thỏa mãn)

4 4 32 32

z= − − i⇒z = + i ⇒Ch ọn B

Câu 8 Cho các số phức z z th1; 2 ỏa mãn z1 =1;z2 =2; z1+z2 = 3 Tính giá trị của biểu thức

1 2 1 2

P=z z +z z

A P= −2 B P =2 C P=8 D P= −8

L ời giải

1 1 1 1 1; 2 2 2 2 4

z = ⇒z z = z = ⇔z z =

Câu 9 Cho số phức thỏa mãn z i z i+

− là số thuần ảo Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là:

A.Đường tròn tâm O , bán kính R=1

B Hình tròn tâm O , bán kính R =1 (kể cả biên)

C Hình tròn tâm O , bán kính R =1 (không kể biên)

D Đường tròn tâm O , bán kính R =1 bỏ đi một điểm ( )0,1

L ời giải:

Gọi M x y ( ; ) là điểm biểu diễn số phức z x yi= +

+ +

Để z i z i+

− là số thuần ảo thì

2 2

1 0 1

+ −

2 2

1 1

0

1

x

y

Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính R =1 bỏ đi một điểm ( )0,1

Câu 10 Cho số phức z= +a bi (a b, ∈  thỏa mãn ) 6 7

+

+

z

i Tính P= + a b

L ời giải Chọn A

Từ giả thiết ta có:

6 7

i

+

2

P

Câu 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, giả sử ba điểm A B C, , lần lượt biểu diễn các số phức 1 +i, 3 + 2 ,i z

z

trong đó z= +a bi a b( , ∈  là số phức thỏa mãn điều kiện ) z+ + = − −1 i z 1 2i Tìm a b+ biết

ba điểm A B C, , thẳng hàng

2 C.

5

7

6

L ời giải

Vì z= +a bi a, , b∈ ⇒ = − z a bi theo giả thiết ta có:a+ +1 i b( +1) (= a− − +1) (b 2)i

( )

Do đó A( ) ( ) ( )1;1 ;B 3; 2 ;C a b ;

Ta có AB( )2;1 ,AC x( −1;y−1)

Để 3 điểm A B C; ; thẳng hàng , 0 1 .2

1 1

AC k AB k

− =





 

( )

2 1 0 2

Từ ( )1 và ( )2 ta có hệ phương trình

4

6

a

a b

a

 =



− + =



Câu 2 Cho số phức 2 6 ,

3

m

i z

i

+

 

=  − 

  m nguyên dương Có bao nhiêu giá trị m∈[1;50] để z là số thuần

ảo?

L ời giải

Ta có: 2 6 (2 ) 2

3

m

i

i

+

 

=  = =

−

 

z là số thuần ảo khi và chỉ khi m= 2k+ 1, k∈ 

Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài

Câu 3 Cho số phức 26 ( ) ( ) ( )2 ( )26

1

1 1 n 1 1 1

n

=

= +∑ + + + + + + + Phần thực của số phức z là

A (1 2 )+ 13 B − +(1 2 )13 C −213 D 213

L ời giải

( ) ( )2 ( )26 ( )1 27 1

i

( ) ( )26 13( ) 13 13

2 (1 2 )

i

Vậy phần thực là 13

2

Câu 4 Cho số phức 20 ( ) (20 )( )

3

1

i

−

+

L ời giải Chọn C

5

2

1

1

i

−

( )2 ( )20 ( )2 10 ( )10

1+i = + + = ⇒ +1 2i i 2i 1 i = 1+i  = 2i =2 i i = −2

1

1 2i 1 2i 1 4i i 5 i

i i

+ − + = − + = +

3

1

i

−

+

Câu 5 Cho số phức z thỏa mãn ( ) 2 6

− = +i i z − i

z Biết z a bi= + (Vớia b, ∈ ) Tính giá trị

của biểu thức 2

3

A=a + b

25

25

L ời giải Chọn A

Đặt z = ≥ k 0

1− = +1 − i+

1 i 1 i z i 1 k 1 k i i

⇔ − = + − ⇔ − − + = −

Lấy mô đun 2 vế ta có ( ) (2 )2 40

1 k 1 k k 2

k

− + + = ⇔ =

Suy ra 1 3 2 6 2 6 6 8

+

6 8

5 5

z= + i

3 25

A=a + b=

Câu 6 Cho số phức z a bi= + thỏa mãn điều kiện a b, ≠ 0 và

2

2

1 1

z z

z z

+ +

− + là số thực Tính giá trị của

biểu thức 1 46 46

1

a b P

a b

− −

=

− −

A 1

2

4

1 3

L ời giải

1+ +z z = +1 a+bi + a+bi = a − + +b 1 a +i 2ab+b

1− +z z = +1 a −b −a +i 2ab−b

2 2 2

1

z z

+ + =

2 2

=

2

2

1

1

z z

z z

+ +

2a b 2b 2b 0 2b a b 1 0 a b 1

Ta có :

4 4

6 6

A

Câu 7 Trong mặt phẳng phức Oxy, trong các số phức z thỏa z+ − ≤1 i 1 Nếu số phức z có môđun lớn

nhất thì số phức z có phần thực bằng bao nhiêu ?

2

− −

2

−

2

−

2

+

L ời giải

Gọi M x y ( ), là điểm biểu diễn số phức z= +x yi x y( , ∈R)

Gọi A là điểm biểu diễn số phức 1 i− +

y= −x

Ta có : z+ − ≤ ⇔1 i 1 MA≤ Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là hình tròn tâm 1

(−1;1 ,) =1

A R như hình vẽ

Để max z ⇔max OM( ) ⇒M thỏa hệ : ( ) (2 )2





= −



2 2 2

2 2 2

 −

=





⇒

 +

= −





x x

OM lớn nhất khi 2 2

2

+

= −

x

2 3 2020

S = +i i + i + + i

A S = −1010 1010+ i B S = −1010 1010 − i

C S 1010 1010 i.= − D S =1010 1010 + i

L ời giải Chọn C

1 2 3 4 2020

P= + +i i + i + + i ⇒ =S Pi Xét hàm số ( ) 2 3 2020

f x =x+x +x + +x

-Nếu x= thì 1 f x( )=2020

-Xét x≠ ta có 1 ( ) ( 2020 ) 2021

x

f x x x x x x x x

x x

− − + + + + = =

=

Có

2021 1 ( 1) 2020 2021 1

1 2 3 2020

x x x x x x

f x x x x

Do đó ( )

2

2020 2021 1

1010 1010 1

− +

′

−

i i

i

1010 1010

Câu 9 Cho số phức z thỏa mãn z− −2 3i = Gọi ,1 M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của biểu thức z+ − Tính 1 i 2 2

T =M +m

L ời giải

Gọi N A, (−1;1) là các điểm lần lượt biểu diễn các số phức z ; 1 i− +

Vì z− +(2 3 )i =1⇒ thuộc đường tròn tâm N I( )2;3 bán kính R=1

max z+ − =1 i maxNA= R+IA= +1 13 ; min z+ − =1 i minNA = −R IA = − +1 13

Vậy T =28

Câu 10 Xét các số phức z a bi  ( , a b   ) có môđun bằng 2 và phần ảo dương Tính giá trị của

2020

(5( ) 2)

S a b khi biểu thức P  2 z 3 2z đạt giá trị lớn nhất

L ời giải

Gọi số phức z= + , với a bi a, b∈ 

Theo giả thiết, ta có z =2 ⇔ 2 2

4

a +b = Suy ra − ≤ ≤ 2 a 2

Khi đó, P= + +2 z 3 2−z ( )2 2 ( )2 2

= + + + − + = 8 4+ a+3 8 4− a

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki:

P≤ +  + a + − a  hay P≤4 10, với mọi 2− ≤ ≤a 2

Vậy Pmax =4 10 khi 3 8 4+ a = 8 4− a ⇔ 8

5

a= −

( )

6 5 6 5

b

b L

 =



⇒ 

 = −



2018

5 5

S a b      



