CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ VÀ CHỮ SỐ Dạng 1: VIẾT SỐ TỰ NHIÊN TỪ NHỮNG CHỮ SỐ CHO TRƯỚC.. + Lập được các số tự nhiên từ những chữ số cho trước theo điều kiện của số.. Quy tắc so sán
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ VÀ CHỮ SỐ
Dạng 1: VIẾT SỐ TỰ NHIÊN TỪ NHỮNG CHỮ SỐ CHO TRƯỚC.
A MỤC TIÊU:
+ HS nắm dược tính chất cơ bản của số tự nhiên
+ Lập được các số tự nhiên từ những chữ số cho trước theo điều kiện của số
3 Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị
4 Hai số chẵn (lẻ) liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị
5 Quy tắc so sánh hai STN
a) Trong hai STN, số nào có nhiều chữ số hơn thì số đó lớn hơn
b) Nếu hai só có cùng số chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phảilớn hơn sẽ lớn hơn
II Một số dạng toán điển hình:
Ví dụ 1 Cho 3 chữ số 1 , 8 , 3 Hỏi
a Viết được tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau từ 3 chữ số đó
b Hãy viết các số đó rồi xếp theo thứ tự từ bé đến lớn
c Tính tổng các số vừa viết được bằng cách nhanh nhất
Trang 3a Lập được bao nhiêu số có 3 chữ số( các chữ số có thể lặp lại)
b Hãy viết các số đó theo thứ tự từ lớn đến bé
*Lưu ý: Bất kì số nào cộng với 0 cũng bằng chính số đó nên ta không tính đến chữ số 0.
Ví dụ 3: : Cho 4 chữ số : 1; 2; 3; 4 Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số khác nhau chia hếtcho 2
Bài giải
Gọi abc là số cần lập ( a khác 0) Vì a; b; c khác nhau và abc 2
Nên với 4 chữ số đã cho ta có : c = 2 hoặc c = 4
Trang 4Bài 1: Từ 3 chữ số 4, 6, 3 Hỏi:
a.Lập được bao nhiêu số có 3 chữ số( các chữ số có thể lặp lại)
b Hãy viết các số đó theo thứ tự từ lớn đến bé
a.Lập được bao nhiêu số có 3 chữ số( các chữ số có thể lặp lại)
b Hãy viết các số đó theo thứ tự từ lớn đến bé
c Tính tổng các số đó
Bài giảia) Vì 0 không thể đứng ở hàng trăm và các chữ số của số có thể lặp lại, nên với 3 chữ số
đã cho ta có:
- 2 cách chọn chữ số hàng trăm
- 3 cách chọn chữ số hàng chục
- 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị
Trang 5Bài 3: Cho 3 chữ số a, b, c với 0 < a < b < c và a + b + c = 10.
a Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số khác nhau từ 3 chữ số đó
abc , acb bac , bca, cab, cba
b.Vì 0 < a < b <c nên các số đó được xếp theo thứ tự tăng dần như sau:
abc, acb , bac, bca , cab, cba
c.Ta nhận thây mỗi chữ số a, b, c xuất hiện 2 lần ở mỗi hàng trăm, chục , đơn vị
Trang 6A MỤC TIÊU:
+ HS nắm được cấu tạo thập phân của số
+ Biết phân tích cấu tạo số tự nhiên
+ Vận dụng kiến thức để giải các bài toán bằng phân tích cấu tạo số tự nhiên
- Thiết lập các mối quan hệ trong bài toán bằng các đẳng thức toán
- Biến đổi các đẳng thức đã lập được về các đẳng thức đơn giản hơn
- Dùng phương pháp lựa chọn để tìm kết quả
- Thử lại để xác định số cần tìm
II Một số dạng toán điển hình:
1 Viết thêm một số chữ số vào bên phải, bên trái hoặc xen giữa một số tự nhiên
Ví dụ 1 Tìm số có 2 chữ số biết rằng khi viết thêm 1 chữ số 9 vào bên trái số đó
ta được số mới gấp 13 lần số cần tìm
Ví dụ 1 10 CĐBDHSG toán 4-5 tập 1
Bài giải
Gọi số phải tìm là ab (a>0; a,b <10)
Nếu viết thêm chữ só 9 vào bên trái số ab ta được số 9ab Theo bài ra ta có :
9ab = ab x 13
900 + ab = ab x 13
Trang 7Ví dụ 2 Tìm số có 2 chữ số biết rằng khi viết thêm 1 chữ số 0 vào giữa 2 chữ số đó ta
được số mới gấp 9 lần số ban đầu
Bài giải
Gọi số phải tìm là ab (a>0; a,b <10)
Khi viết thêm chữ số 0 xen giữa hai chữ số a và b ta được số a0b
Theo đề bài ta có:
a0b = ab x 9
a x 100 + b = (a x 10 + b) x 9
a x 100 + b = a x 90 + b x 9
a x 10 = b x 8 ( bớt cả hai vế đi ax90 và b)
-> a x 5 = b x 4 (chia cả hai vế cho 2)
Vì a x 5 chia hết cho 5 nên b x 4 cũng phải chia hết cho 5 Suy ra b = 0 hoặc 5
2 Xóa bớt một số chữ số của số tự nhiên
Ví dụ 3: Cho một số có 3 chữ số, nếu ta xóa đI chữ số hàng trăm thì số đó giảm đI 7
Trang 8Cách 1: ta có: a x 100 + bc = 7 x bc
a x 100 = 6 x bc (cùng bớt cả hai vế di bc)
a x 50 = 3 x bc (cùng chia cả hai vế cho 2)
- Vì bc là số có hai chữ số, nên 3 x bc < 300 Suy ra a < 6 (1)
- Vì 3 x bc chia hết cho 3, nên a x 50 cũng phải chia hết cho 3 (2)
Nếu b chẵn thì vế trái là số lẻ mà vế phải là số chẵn Nếu b lẻ thì vế phải là số lẻ vế trái
là số chẵn Vậy trường hợp này bị loại
3 Số tự nhiên và tổng , hiệu , tích, thương các chữ số của nó.
Ví dụ 4 Tìm một số có hai chữ số sao cho số đó bằng tổng của hai chữ số của nó nhân
Trang 9 a x 2 = b ( chia cả hai vế cho 3)
Như vậy số phải tìm có chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục Ta có các số cần tìm: 12, 24, 36, 48
Ví dụ 5 Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho hiệu các chữ số của nó được
Ta thấy tổng A và tổng B đều gồm 3 số hạng, trong đó có 2 số hạng giống nhau
đó là abc và ab Số hạng còn lại: 1999 > 1997 Vậy A< B
III Bài tập về nhà
Trang 10Bài 1: Tìm một số có 2 chữ số , biết rằng khi viết thêm 1 chữ số 0 vào bên phải số đó ta
được số mới mà tổng của số mới với số phải tìm là 132
Cách 2 : (Đưa về dạng toán Tìm hai số khi biết Tổng và tỉ số của hai số đó để giải.)
Khi viết thêm 1 chữ số 0 vào bên phải một số thì số đó gấp lên 10 lần
Theo đề bài ta có sơ đồ:
Bài 2: Cho phép trừ có số trừ là số có 2 chữ số và hiệu là 3000 Nếu viết thêm số trừ
vào chính bên phải của số trừ ta được số bị trừ Tìm phép trừ đó
Trang 11Ta có phép trừ: 3030 -30 =3000
Vậy phép trừ đó là 3030 -30 =3000
Bài 3: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì
nó tăng thêm 1112 đơn vị
Trang 12a x 100 + bc = 7 x bc
a x 100 = 7 x bc - bc
a x 100 = (7 – 1 ) x bc
a x 100 = 6 x bc
a x 50 = 3 x bc (cùng chia cả hai vế cho 2)
Vì 3 x bcchia hết cho 3 nên a x 50 cũng phải chia hết cho 3 Và bc là số có 2 chữ số nên a = 3; bc = 50 Số phải tìm là 350
Bài 5 : Tìm số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó.
Ví dụ 6 trang 12 10 CĐBDHSG toán 4,5 tập 1
Bài giải Cách 1 Gọi số phải tìm là ab Theo bài ra ta có: ab = 5 x ( a + b)
a x 10 + b = 5 x a + 5 x b
a x 5 = b x 4 ( bớt cả hai vế đi ax5 và b)
Vì a x 5 chia hết cho 5, nên b x 4 cũng phải chia hết cho 5 Vậy b = 0 hoặc b = 5
+ Nếu b = 0 thì a x 5 = 0 -> a = 0 (loại)
+ Nếu b = 5 thì a x 5 = 4 x 5 -> a = 4
Ta có số 45 thoả mãn điều kiện bài toán
Cách 2 Gọi số phải tìm là ab Theo bài ra ta có: ab = 5 x ( a + b)
Vì 5 x ( a+b) chia hết cho 5, nên ab cũng phải chia hết cho 5 Suy ra ab có tận cùng là 0 hoặc 5
+ Nếu b = 0 thì 5 x (a+b) = 5 x a = a0 -> a = 0 (loại)
+ Nếu b = 5 thì 5 x (a+b) = 5 x (a+5) =a5
-> 5 x a + 25 = a x 10 + 5
-> 20 = a x 5 -> a = 4
Ta có số 45 thoả mãn điều kiện bài toán
Bài 6 : Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 3 lần tích các chữ số của
nó Bài 20 trang 18 10 CĐBDHSG toán 4,5 tập 1
Bài giải
Trang 13Gọi số phải tìm là ab(a khác 0; a; b <10).
Theo đề bài ta có: ab = 3 x a x b
-> a x 10 + b = 3 x a x b
Vì 3 x a x b và a x 10 luôn chia hết cho a, nên b cũng phải chia hết cho a
- Nếu b = a thì a x 10 + a = 3 x a x a hay a x 11 = 3 x a x a (vô lí)
- Nếu a khác b , bằng phương pháp thử chọn ta tìm được các số 15 hoặc 24 thỏa mãn điều kiện bài toán
Trang 14I Kiến thức cần nhớ:
1 Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.
2 Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn
vị của các thừa số trong tích ấy.
9 Hiệu của hai số lẻ là số chẵn
10 Hiệu của hai số chẵn là số chẵn Hiệu SC – SL = SL.
11 Tích của các số lẻ là số lẻ Tích có một thừa số là SC thì tích là SC.
II Một số dạng toán điển hình:
Ví dụ 1 Không làm tính hãy cho biết kết quả sau dây đúng hay sai? Giải thích tại sao?
a) 136 x 136 – 42 = 1960 b) ab x ab – 8557 = 0
Ví dụ 10 trang 15 10 CĐBDHSG toán 4,5 tập 1
Giải
a) Ta thấy tích của 136 x 136 có tận cùng là 6 Số trừ 42 có tận cùng là 2 Số có tậncùng là 6 trừ đi số có tận cùng là 2 kết quả không thể có tận cùng bằng 0 được Vậy kết quả trên là sai
b) Ta thấy tích của ab x ab (Tích của một số tự nhiên nhân với chính nó )chỉ có thể
Trang 15Từ 1 đến 1997 có 1997 số tự nhiên liên tiếp, trong đó các số lẻ gồm: 1; 3; 5; 7; …;
Ví dụ 3 Tích sau có tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
b) Lập luận tương tự như trên, tích trên có tận cùng là 5
Trang 16c) Chữ số tận cùng của tích 21 x 23 x 25 x 27 và 11 x 13 x 15 x 17 đều bằng chữ sốtận cùng của tích 1 x 3 x 5 x 7 và bằng 5 Cho nên hiệu trên có tận cùng bằng 0.
III Bài tập về nhà
Bài 1 Tích 1x2x3x4x5 98x99x100 có tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Bài 28 trang20 10 CĐBDHSG toán 4,5 tập 1
- Nhóm 3 thừa số 25 , 50, 75 khi nhân với 1 số chia hết cho 4 thì cho 2 chữ số 0 tận cùng ở tích Vậy nhóm này tạo ra 6 chữ số 0 tận cùng ở tích
Trang 17Bài 3 Không làm tính , hãy xét xem kết quả sau đúng hay sai? Giải thích vì sao?
Ta có: 7 x7 = 49
7 x 7 x 7 = 343
7 x 7 x 7 x7 = 2401
Như vậy 4 số 7 nhân với nhau thì có tận cùng bằng 1
Ta lại có 1991 : 4 = 497 (dư 3) và 7 x 7 x 7 = 343 (tận cùng bằng 3) Từ phân tích này taviết lại như sau:
7 x7 x7 x … x 7
Trang 18= 2401 x 2401x …x 2401 x 343 cú chữ số tận cựng bằng 3
Vậy kết quả của phộp tớnh trờn cú tận cựng là 2
Bài 5 Khụng cần làm tớnh em hóy xem xột cỏc phộp tớnh sau đỳng hay sai? Giải thớch:
Ví dụ 3 Cho một số có 3 chữ số , biết chữ số hàng đơn vị là 3 và khi xoá bỏ chữ số 3 đó
thì ta đựơc số mới mà hiệu của số đã cho với số mới là 489 Tìm số đã cho
Cách 1: Gọi số phải tìm là ab3 ( a>0 ; a;b<10) Khi xoá bỏ chữ số 3 ta đợc số mới là ab
Cách 2 : Khi xoá bỏ chữ số 3 ở hàng đơn vị của một số thì số đó bớt đi 3 đơn vị và giảm
đi 10 lần Theo đề bài ta có sơ đồ
+Bài toán 1: Cho một số có 3 chữ số trong đó chữ số hàng đơn vị là 8 Nếu chuyển chữ
số 8 lên đầu thì ta đợc một số mới có 3 chữ số, số mới đem chia cho số ban đầu đợc
Trang 19ab = 735 : 49 => ab = 15 Vậy số cần tìm là: 158
Thử lại: 815 : 158 = 5 ( d 25 )
+ Bài toán 2:
Cho một số có 3 chữ số trong đó chữ số hàng trăm là 5 Nếu chuyển số 5 ra đằng sau số
đó thì đợc số mới có 3 chữ số kém số ban đầu 324 đơn vị
- Nếu 45 - ab = 0 thỡ ab = 45 Suy ra cd = 99 x (45 – 45) = 99 x 0 = 0 Vậy cd = 00
Ta cú số cần tỡm thỏa món điều kiện bài toỏn là: 4500
- Nếu 45 - ab = 1 thỡ ab = 45 – 1 = 44 Suy ra cd = 99 x (45 – 44) = 99 x 1 = 99 Vậy
cd = 99 Ta cú số cần tỡm là: 4499
Trang 20Bài 8 Tỡm số cú 3 chữ số biết rằng số đú gấp 5 lần tớch cỏc chữ số của nú.
Giải Gọi số phải tỡm là abc ( a> 0; a,b <10)
Theo bài ra ta cú: abc = 5 x a x b x c
Vỡ 5 x a x b x c chia hết cho 5, nờn abc chia hết cho 5 Vậy c = 0 hoặc 5
+ Nếu c = 0 thỡ 5 x a x b x c = 0 -> abc = 0 (loại)
+ Nếu c = 5 thỡ số phải tỡm cú dạng ab5 Thay vào ta cú:
100 x a + 10 x b + 5 = 5 x a x b x 5
100 x a + 10 x b + 5 = 25 x a x b
20 x a + 2 x b + 1 = 5 x a x b ( chia cả hai vế cho 5)
Vỡ 5 x a x b chia hết cho 5; 20 x a cũng chia hết cho 5, nờn 2 x b + 1 cũng phải chia hết cho 5 Vậy 2 x b phải cú tận cựng là 4 hoặc 9 Nhưng 2 x b luụn là số chẵn nờn b = 2 hoặc7
Ví dụ 1 Tìm số có 2 chữ số biết rằng khi viết thêm 1 chữ số 0 vào giữa 2 chữ số đó ta
đợc số mới gấp 9 lần số ban đầu
GiảiGọi số phải tìm là ab (a>0; a,b <10)
Khi viết thêm chữ số 0 xen giữa hai chữ số a và b ta đợc số a0b
Theo đề bài ta có:
a0b = ab x 9
a x 100 + b = (a x 10 + b) x 9
a x 100 + b = a x 90 + b x 9
a x 10 = b x 8 ( bớt cả hai vế đi ax90 và b)
-> a x 5 = b x 4 (chia cả hai vế cho 2)
Vì a x 5 chia hết cho 5 nên b x 4 cũng phải chia hết cho 5 Suy ra b = 0 hoặc 5
Trang 21Vậy số phải tìm là 45
Ví dụ 2 Tìm số có 2 chữ số biết rằng khi viết thêm 1 chữ số 9 vào bên trái số đó ta đợc
số mới gấp 13 lần số cần tìm
Gọi số phải tìm là ab (a>0; a,b <10)
Nếu viết thêm chữ só 9 vào bên trái số ab ta đợc số 9ab Theo bài ra ta có :
Giải: a) Trong phép nhân có chứ thừa số 5 nên tích là một số chia hết cho 5, do đó chữ
số tận cùng của tích là 0 hoặc 5 Vì các thừa số là số lẻ nên tích là số lẻ Vậy chữ số tận cùng của tích là 5
b) Tích gồm các thừa số tận cùng là 2 nên tích có 10 thừa số và ta có:
2 x 12 x 22 x 32 x 42 x 52 x 62 x 72 x 82 x 92
*… x 57 x 59.*6 x * … x 57 x 59 *6 x *… x 57 x 59.*4
* … x 57 x 59 *6 x *… x 57 x 59.*4 = * … x 57 x 59 *4
Trang 22Do tÝch cña hai sè tËn cïng b»ng 2 th× cã tËn cïng lµ 4; tÝch cña bèn sè tËn cïng b»ng 2 th× cã tËn cïng lµ 6; tÝch cña sè cã tËn cïng b»ng 6 víi sè cã tËn cïng lµ 4 th× cã tËn cïng lµ 4, nªn tÝch:
TÝch cã thÓ viÕt: *… x 57 x 59.*1 x *… x 57 x 59.*1 x *… x 57 x 59.*1 x … x 57 x 59 x *… x 57 x 59 = * *1*1 … x 57 x 59
98 thõa sè
V× tÝch c¸c sè cã tËn cïng lµ 1, nªn tÝch 39 x 49 x 59 x … x 57 x 59 x 1979 x 1989 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1