CHƯƠNG 2: ĐA THỨC CHEBYSHEVI.. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT ĐA THỨC CHEBYSHEV: 1.. Các tính chất của đa thức loại I: Đa thức Chebyshev có nhiều tính chất hay, được sử dụng rất nhiều trong việ
Trang 1CHƯƠNG 2: ĐA THỨC CHEBYSHEV
I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT ĐA THỨC CHEBYSHEV:
1 Định nghĩa:
*Các đa thức T x , n ∈ N xác định như sau: n( )
1, 2
T x xT x T x
�
�
� Gọi là các đa thức Chebyshev loại I
* Các đa thức Tn(x), n ∈ N xác định như sau:
�
�
� Gọi là các đa thức Chebyshev loại II
2 Các tính chất của đa thức loại I:
Đa thức Chebyshev có nhiều tính chất hay, được sử dụng rất nhiều trong việc giải quyết các bài toán đa thức
Sau đây xin được nêu một số tính chất quan trọng (việc chứng minh rất dễ dàng) -Tính chất 1: x�1,1,ta có T x n cos( arccos )n x
-Tính chất 2: T x là đa thức bậc n, n ��,hệ số cao nhất là n 2n 1
-Tính chất 3: T x là hàm chẵn khi x chẵn và là hàm lẻ khi x lẻ n( )
-Tính chất 4: Đa thức T x có đúng n nghiệm phân biệt trong n ( ) 1,1:
2
k
k
n
-Tính chất 5: a) T x n �1,x�1,1
b) T x n chỉ tại n+1 điểm khác nhau trong1 1,1là
cos 1, 2, ,
k
k
n
Chú ý là: T x n k 1k
Các điểm x gọi là điểm luân phiên Chebyshev k
-Tính chất 6: P x bậc n, hệ số cao nhất bằng 1, ta có
1 max
2n
P x �
1
*
2
P x T x
�
Trang 23 Các tính chất của đa thức loại II:
-Tính chất 1: x�1,1 ta có
sin arccos2
1
n
U x
x
-Tính chất 2: U x n 1T n' x
n
-Tính chất 3: a/ U x là đa thức hệ số nguyên, bậc n -1, hệ số cao nhất là n 2n 1
b/ U x là hàm chẵn nếu x lẻ và là hàm lẻ nếu x chẵn n
-Tính chất 4: U x n �n x, �1,1
-Tính chất 5: Đa thức U x có đúng n-1 nghiệm phân biệt khác nhau trong n 1,1
Đặc biệt: Từ tính chất 2 và 4, ta có:
n
T x �n x�
II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA:
Bài 1: Chứng minh rằng mọi đa thức f x bậc n�1đều có thể biểu diễn dưới dạng
0
n
i
Và cách biểu diễn này là duy nhất
Lời giải
Ta cóT x là đa thức bậc n có hệ số cao nhất là n 2n 1 nên ta có thể viết
n
T x x x với x là đa thức bậc nhỏ hơn n
n
x T x x
Bằng quy nạp ta chứng minh được:
f x a a T x a T x a T x
Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của cách biểu diễn này
Giả sử
f x a a T x a T x a T x a a T x a T x a T x
0
n
i
Vậy a0 a'0 a1 a'1 a n a'n 0
Hay a0 a a' ,0 1 a' , ,1 a n a'n
Trang 3Một trong những dấu hiệu để nhận biết bài toán đa thức có sử dụng tính chất đa thức Chebyshev hay không đó là miền giá trị đa thức Các bài toán trên miền1,1đều gợi ra cách giải bằng phương pháp này
Ta xét thêm một số ví dụ:
Bài 2: Cho đa thức hệ số thực f x ax3 bx2 cx d, Biết rằng0 x�1,1ta
có f x � Tìm max của , , , a b c d
Nhận xét: Ta sẽ lưu ý cách chọn điểm luân phiên trong đa thức Chebyshev.
Lời giải:
Đặt
( 1)
1
1
1 0
b
a b c
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
Từ giả thiết:
4 2 3
a b c d
�
�
�
� Bằng cách xét: f x 4x33x
và g x 2x21
Thì ta có dấu đẳng thức xảy ra Vậy:
ax a 4 ,
ax b 2 ,
ax c 3 ,
ax d
m
m
m
m
Chú ý: f(x),g(x) là xét dự trên cơ sở cos2x,cos3x
Bài 3: Cho đa thức P n1 x bậc không vượt quá n1có hệ số bậc cao nhất a , thỏa 0
1
Chứng minh rằng a �2n1
Trang 4Lời giải
Ta viết đa thức đã cho dưới dạng nội suy Lagrange theo các nút nội suy cos2 1
2
j
j x
n là
các nghiệm của đa thức Chebyshev T x n
1
n
T x
0
1
2
j
j
n
0
1
n
j
Bài 4: Giả thiết rằng đa thứcP n1 x thỏa mãn các điều kiện của Bài 1 Chứng minh
rằng P n1 x �n x, �1,1
Lời giải:
Với các x được chọn như ở bài toán trên thì do hàm số cos j y x nghịch biến trong 0;
nên 1 x n x n1 x2x11 Nếux1 x 1 thì
(do x x j 0 vàT x có dấu không đổi trên n ( ;1]x1 )
1
2n n
j
�
2
n
j
n n
x x
T x
T x
(3)
'
n
n
T x
n
Nên từ (2) và (3) suy ra
1 � , �( ;1]1
n
Hoàn toàn tương tự ta cũng có
1 � , �[ 1, )
Xétx n � �x x Khi đó ta có1
Trang 5
2
n
Do
�sin �2
x
2n 2n n n và
1 x
n
� Suy ra:
1
1 1
n
n
Tóm lại ta đã chứng minh được rằng P n1 x �n x, �1,1
Bài 5: Cho đa thức lượng giác
1sin 2sin 2 nsin
P t a t a t a nt
Thỏa mãn điều kiện P t �1,t��\ , 2 , ,0, , 2 ,
Chứng minh rằng , \ , 2 , ,0, , 2 ,
sin
P t
n t
Lời giải:
1 cos
P t
t vớiP n1 x là đa thức dạng (1) Đặt cos t Khi đóx
1
x � và
P t P t x P x
Ta thấy P x thỏa mãn điều kiện của Bài 2 nên
1 � , �1,1
n
Do đó
, \ , 2 , ,0, , 2 ,
sin
P t
n t
Bài 6: Cho đa thức lượng giác
0
n
j
Thỏa mãn điều kiện P x �1,x��
Chứng minh rằng P x' �n x, ��
Lời giải:
Trang 6Chox tuỳ ý Do0
0
sin 2
n j j
'
2
Và g' 0 P x' 0 Ta chứng minh rằng g' 0 � Thật vậy,n g x là đa thức lượng giác
chứa thuần sin như trong Bài 3 và
1
Nên theo kết quả của bài 3 thì
sin
g x
n
x � x��\ , 2 , ,0, , 2 , (4)
Nhưng g 0 suy ra0
n
�
x��\ , 2 , ,0, , 2 ,
' 0 0
g x g
g x
�
x
x �
Ta nhận được g' 0 �n
Từ đó ta có P x' 0 � Nhưng n x được chọn tùy ý nên suy ra 0 P x' �n ��x
Bài 7 (Định lý Berstein-Markov)
Cho đa thức
0 n 1 n
P x a x a x a
Thỏa mãn điều kiện P x n �1,x�1;1
Chứng minh rằng khi đó : P'n x �n2,x�1;1 (5)
Lời giải:
Đặt xcosa Khi đó theo giả thiết thì P ncosa � Do1 P ncosa có dạng
0
j
Nên ta có thể áp dụng kết quả của Bài 4 Ta được
Trang 7 2 '
n
Cũng theo Bài 4, ta có P'n x
n
n � Suy ra: P x' �n2
Nhận xét : Dựa vào kết quả của Định lý Berstein-Markov, sau khi áp dụng liên tiếp kết quả
của định lí này, ta sẽ thu được kết quả sau:
Nếu P x n �1,x�1;1 thì 2
k
P x ���n n n n k ��x�
Bài 8: Cho a a1, , ,2 a là các số thực không âm và không đồng thời bằng 0 n
a/ Chứng minh rằng phương trình n 1 n 1 1 0
x a x a x a (6)
có đúng một nghiệm dương duy nhất
b/ Giả sử R là nghiệm dương của phương trình (6) và
,
Chứng minh rằng khi đó A A �R B
Lời giải:
2
n
a
�
2 n
n
a
f x
Nhận xét rằng f x liên tục và f x nghịch biến trong
khoảng 0,� nên tồn tại duy nhất R sao cho0 f R 1
b) Đặtc j a j
A
Suy rac j � và 0
1
1
n j j
c
� Do hàm số y = -lnx lõm trong khoảng0,� nên
j
a
1
n
j
j
�
�
j
a
Vậy nên ln A A �ln R B � A A �R B